高三数学立体几何经典例题

高三数学立体几何经

典例题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

厦门一中 立体几何专题

一、选择题(10×5′=50′)

1.如图,设O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心， 过O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为Q 、R 、S ，则

PS

PR PQ 1

11+

+ ( ) A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等

D.是一个与平面QRS 位置无关的常量

2.在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-,1n n B.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-,2n n C.⎪⎭⎫ ⎝⎛π2,0 D.⎪

⎭

⎫ ⎝⎛π-π-n n n n 1,2 3.正三棱锥P-ABC 的底面边长为2a ,点E 、F 、G 、H 分别是PA 、PB 、BC 、AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是 ( )

A.(0,+∞)

B.⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∞,332a C.⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞,632a D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,212a 4.已知二面角α-a -β为60°，点A 在此二面角内，且点A 到平面α、β的距离分别是AE =4，AF =2，若B ∈α,C ∈β,则△ABC 的周长的最小值是 ( )

A.43

B.27

C.47

D.23

5.如图，正四面体A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上， 使得

FD

CF

EB AE ==λ(0<λ<+∞),记f (λ)=αλ+βλ,其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则 ( )

A.f (λ)在(0,+∞)单调增加

B.f (λ)在(0,+∞)单调减少

C.f (λ)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少

D.f (λ)在(0,+∞)为常数

6.直线a ∥平面β,直线a 到平面β的距离为1，则到直线a 的距离与平面β的距离都等于5

4

的点的集合是 ( )

A.一条直线

B.一个平面

C.两条平行直线

D.两个平面 7.正四棱锥底面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为 ( ) A.)(6

122Q S Q - B.

)(31

22Q S Q - C.

)(2

122Q S Q - D.

S Q 3

1

8.已知球O 的半径为R ，A 、B 是球面上任意两点，则弦长|AB |的取值范围为 ( )

第1题图

第5题图

A.［0,2R ］

B.(0,2R ]

C.（0,2R ）

D.［R ,2R ］

9.已知平面α∩平面β=l ,m 是平面α内的一条直线，则在平面β内 （ ） A..一定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直 B.一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直 C.不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直 线m 垂直

D.不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与 直线m 垂直

10.如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折 叠即可还原），则这个多面体的顶点数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 二、填空题（4×4′=16′）

11.边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为 ;推广到空间，棱长为a

的正四面体内任一点到各面距离之和为 .

12.在△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°，其所在平面外一点P 到A 、B 、C 三个顶点的距离都是14，则P 点到直线BC 的距离为 .

13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是 .

14.有120个等球密布在正四面体A-BCD 内，问此正四面体的底部放有 个球. 三、解答题（4×10′+14′=54′）

15.定直线l 1⊥平面α,垂足为M ，动直线l 2在平面α内过定点N ，但不过定点M .MN =a 为定值，在l 1、l 2上分别有动线段AB =b ,CD =c .b 、c 为定值.问在什么情况下四面体ABCD 的体积最大最大值是多少

16.如图所示，已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点，求：

（1）PM 与FQ 所成的角； （2）P 点到平面EFB 的距离; （3）异面直线PM 与FQ 的距离.

17.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°,3AD =DC =3,AB =2,E 是CD 上一点，满足DE ＝1，连结AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝60°,设AC 与BE 的交点为O .

(1)试用基向量AB ,AE ,1AD 表示向量1OD

第10题图

第16题图

(2)求异面直线OD 1与AE 所成的角.

(3)判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直，并说明理由.

18.如图，在斜棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°,顶点B 1在底面ABC 上的射影O 恰好是AB 的中点.

（1）求证：B 1C ⊥C 1A ； （2）求二面角C 1-AB-C 的大小.

19.如图所示，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC ，BC =2a ,AC =a ,AB =

3a ,点P 到平面

ABC 的距离为

2

3a

. （1）求二面角P-AC-B 的大小； （2）求点B 到平面PAC 的距离.

第17题图

第18题图