第1112章小结习题课C2
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（一） 恒定磁场和电磁感应 内容概括
一、电流
磁场
习题课
1. 已知电流求 B 的方法
（1）毕—萨定律
dB ?
?0
4π
Idl ? er r2
注意：矢量 标量
（2）安培环路定理 (求B 条件:闭合电流有特殊对称性 ）
?l B?dl ? ?0? I
磁场是涡旋场
长直载流（直线、圆柱面 /体/筒 、电缆）磁场；
B?dl ? B2? r ? 0 B ? 0
L
? ? R1 ? r ? R2
B?dl
L
?
B2?
r
?
?0
I
习题课 I
r R2 R1
Lr
L
?I
?
?
I (R22 ?
R12 ) ?
(r 2
?
R12 )
B?
? 0I (r 2 ? R12 ) 2? r (R22 ? R12 )
? r ? R2
B?dl
L
?
B2? r
2R 2?
?
载流长直螺线管、细螺绕环
的磁场
B
?
?? 0nI (内)
? ?
0
(外)
2. 磁通量和高斯定理
习题课
磁通量 d? ? B?dS
? ? ?S B?dS
? 磁场的高斯定理 B?dS ? 0 S
二、磁场的效应
磁场为无源场
磁场对电流的作用力（ 安培力）
dF ? Idl ? B
F ? ?l Idl ? B
Ei ?
(v ?B) ?dl
l
或
Ei
?
?N
d? dt
? Ei ? l Ek ?dl
或
Ei
?
?
N
d? dt
特例： 自感现象
E L
?
?
L
dI dt
，L
?
? I
四、磁场的能量 自感磁能
Wm
?
1 2
LI 2
习题课
磁场能量密度
wm
?
Wm V
?
B2
2? 0
普遍适用
? ? 磁场能量
B2
Wm ?
V wm dV ?
b
c vB cos(900 - ? )dl ? vB sin? l
b
?ac ? ?ab ? ?bc ? vB sin? l 方向：a c
例6(练习册P9:二/3) 有一圆型线圈半径为 a，放在变
化的磁场中，磁感强度 B ? 5 ? 4t2 (T ) , 则第二秒末
线圈中的感生电动势的大小为 _____。A、B两点哪
dV
V 2? 0
自感系数 L
Wm
?
1 2
LI2
磁场能量 Wm
（二）典型例题分析
例1 (练习册P6三/1）.如图所示，两根长 直导线载有大小相同、方向相反的电流，试
习题课Fra Baidu bibliotek
y
求P点的磁感应强度 . 解: 建立直角坐标系，判断P点磁场方向
B1 B2 x
P
B1 ? ? B1 sin 450 i ? B1 cos45 0 j ? ? ?0I 2 i ? ?0I 2 j 2? 2a 2 2? 2a 2 ? ? ?0I i ? ?0I j; 4? a 4? a
3) 2
方向
?
BO ? Bab ? Bbc ? Bcd ? ? 0I (2 ? 2? R
3) ? ? 0I ;
6R
方向 ?
例3(P8三/1) 一长直空心圆柱形导
体半径分别为 R1和R2，导体内载有电
流I，且均匀分布在导体的横截面上。 求导体内、外磁感强度的分布。
R1 R2
解：根据安培环路定理
? r ? R1
v 中以速度 向右运动， ab= bc= l 则ca的感应电
动势为( )
v? B
解： ?ac ? ?ab ? ?bc
根据动生电动势公式
d? ? v ? B ?dl
×
a
× bd×l ?c ×
v
× ×B× ×
(v ? B) ? ab ? ?ab ? 0
v? B
? ? 而?bc ?
c
v ? B ?dl ?
点的电势高？ _____.
×× ××
解：导体不动，磁场变化，产 生感生电动势。
均匀磁场： ? ? BS
×
×
E×i
×
B
×× ××
AB
大小：Ei
?
d? dt
?
dB S
dt
?
8t?
a2
t?2 ?
16?
a2
方向: 楞次定律确定逆时针方向 (B随时间增加 ) A端电势高
例7（P10二/4） 一金属棒长为 L，水平放置，以
长度的三分之一为轴心，在水平内以角速度 ? 转动。
金属棒处在均匀磁场 B中，方向如图，求 ab两端的电
势差Uab ，哪端电势高？ 解：以转轴为坐标原点，
在棒上任取线元 dx
B v? B
a
L O x dx
3
b
x
根据动生电动势的定义 d? ? v ? B ?dx
?
?0I
B ? ?0I 2? r
例4 (P8二/2). 如图所示，在真空中有一 习题课 半径为R的3/4圆弧形导线，其中通以电流 I，
导线置于均匀磁场 B 中，且 B 与导线所在平面垂直。
则该导线所受磁力的大小为 ______，并在图中标明其
方向______. 解: 均匀磁场 中,平面载流导线
× ×c × ×
?
1
4? Rsin 300
a
? cos? 2 )
Ib
r
600 600 c I
o
(cos0 0 ? cos300 ) ? ? 0I (1? 2? R
d
3) 2
B ? ?0I 1 ? ?0I
bc 2R 3 6R
方向 ?
方向 ?
Bcd
?
4?
?0I
Rsin300
(cos1500
?
cos1800)?
?0I (1? 2? R
磁场对运动电荷的作用力（ 洛仑兹力 ）
F ? qv? B
三、电磁感应
习题课
产生感应电动势的条件： 穿过回路的 磁通量发生变化
电磁感应定律
Ei
?
?
N
d? dt
导体构成回路 方向：楞次定律
? 非静电力为
洛仑兹力
对于不成回路的导体
Ei ?
(v ?B) ?dl
l
动生电动势
非静电力为 感生电场力
感生电动势
? 对于导体回路
a
a I1
?
I
2
B1
?
?0I 2? 2a
B2
?
?0I i 2? a
Bp
?
B1 ?
B2 ?
?0I i 4? a
?
?0I 4? a
j
例2(P6三/2). 将无限长载流直导线弯成如图 习题课 所示的形状，已知电流 I，圆弧半径为 R，
求O处的磁感应强度大小和方向。
解:
Bab
? ?
?0 4?
I (cos
r? 0I
I
I
受力等于从始端至终端直导 线通有相同电流受力。
×
× O
×
R
×B
a
F× × × ×
连接ac，如图， 根据安培定律 dF ? Idl ? B
磁力大小: F ? I acB ? 2RIB
磁力方向 : 同 I ac ? B , 即垂直于 ac连线向下。
例5 (练习册P9:一/2) 如图所示，导体 abc在均匀磁场
长直载流螺线管、载流螺绕 环内部磁场 .
（3）利用典型例题结果求磁场
习题课
? 一段直线电流的磁场
B?
?0I 4? r
(cos?1 ?
cos? 2 )
? 无限长直线电流的磁场 B ? ? 0I 2? r
? 圆形电流圆心处 的磁场 B ? ? 0I
2R
? 圆心角为? 的载流弧线圆心处的磁场 B ? ? 0 I ?
一、电流
磁场
习题课
1. 已知电流求 B 的方法
（1）毕—萨定律
dB ?
?0
4π
Idl ? er r2
注意：矢量 标量
（2）安培环路定理 (求B 条件:闭合电流有特殊对称性 ）
?l B?dl ? ?0? I
磁场是涡旋场
长直载流（直线、圆柱面 /体/筒 、电缆）磁场；
B?dl ? B2? r ? 0 B ? 0
L
? ? R1 ? r ? R2
B?dl
L
?
B2?
r
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I
习题课 I
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Lr
L
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B?dl
L
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?
载流长直螺线管、细螺绕环
的磁场
B
?
?? 0nI (内)
? ?
0
(外)
2. 磁通量和高斯定理
习题课
磁通量 d? ? B?dS
? ? ?S B?dS
? 磁场的高斯定理 B?dS ? 0 S
二、磁场的效应
磁场为无源场
磁场对电流的作用力（ 安培力）
dF ? Idl ? B
F ? ?l Idl ? B
Ei ?
(v ?B) ?dl
l
或
Ei
?
?N
d? dt
? Ei ? l Ek ?dl
或
Ei
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N
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特例： 自感现象
E L
?
?
L
dI dt
，L
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四、磁场的能量 自感磁能
Wm
?
1 2
LI 2
习题课
磁场能量密度
wm
?
Wm V
?
B2
2? 0
普遍适用
? ? 磁场能量
B2
Wm ?
V wm dV ?
b
c vB cos(900 - ? )dl ? vB sin? l
b
?ac ? ?ab ? ?bc ? vB sin? l 方向：a c
例6(练习册P9:二/3) 有一圆型线圈半径为 a，放在变
化的磁场中，磁感强度 B ? 5 ? 4t2 (T ) , 则第二秒末
线圈中的感生电动势的大小为 _____。A、B两点哪
dV
V 2? 0
自感系数 L
Wm
?
1 2
LI2
磁场能量 Wm
（二）典型例题分析
例1 (练习册P6三/1）.如图所示，两根长 直导线载有大小相同、方向相反的电流，试
习题课Fra Baidu bibliotek
y
求P点的磁感应强度 . 解: 建立直角坐标系，判断P点磁场方向
B1 B2 x
P
B1 ? ? B1 sin 450 i ? B1 cos45 0 j ? ? ?0I 2 i ? ?0I 2 j 2? 2a 2 2? 2a 2 ? ? ?0I i ? ?0I j; 4? a 4? a
3) 2
方向
?
BO ? Bab ? Bbc ? Bcd ? ? 0I (2 ? 2? R
3) ? ? 0I ;
6R
方向 ?
例3(P8三/1) 一长直空心圆柱形导
体半径分别为 R1和R2，导体内载有电
流I，且均匀分布在导体的横截面上。 求导体内、外磁感强度的分布。
R1 R2
解：根据安培环路定理
? r ? R1
v 中以速度 向右运动， ab= bc= l 则ca的感应电
动势为( )
v? B
解： ?ac ? ?ab ? ?bc
根据动生电动势公式
d? ? v ? B ?dl
×
a
× bd×l ?c ×
v
× ×B× ×
(v ? B) ? ab ? ?ab ? 0
v? B
? ? 而?bc ?
c
v ? B ?dl ?
点的电势高？ _____.
×× ××
解：导体不动，磁场变化，产 生感生电动势。
均匀磁场： ? ? BS
×
×
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×
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×× ××
AB
大小：Ei
?
d? dt
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dB S
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?
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t?2 ?
16?
a2
方向: 楞次定律确定逆时针方向 (B随时间增加 ) A端电势高
例7（P10二/4） 一金属棒长为 L，水平放置，以
长度的三分之一为轴心，在水平内以角速度 ? 转动。
金属棒处在均匀磁场 B中，方向如图，求 ab两端的电
势差Uab ，哪端电势高？ 解：以转轴为坐标原点，
在棒上任取线元 dx
B v? B
a
L O x dx
3
b
x
根据动生电动势的定义 d? ? v ? B ?dx
?
?0I
B ? ?0I 2? r
例4 (P8二/2). 如图所示，在真空中有一 习题课 半径为R的3/4圆弧形导线，其中通以电流 I，
导线置于均匀磁场 B 中，且 B 与导线所在平面垂直。
则该导线所受磁力的大小为 ______，并在图中标明其
方向______. 解: 均匀磁场 中,平面载流导线
× ×c × ×
?
1
4? Rsin 300
a
? cos? 2 )
Ib
r
600 600 c I
o
(cos0 0 ? cos300 ) ? ? 0I (1? 2? R
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3) 2
B ? ?0I 1 ? ?0I
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Bcd
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Rsin300
(cos1500
?
cos1800)?
?0I (1? 2? R
磁场对运动电荷的作用力（ 洛仑兹力 ）
F ? qv? B
三、电磁感应
习题课
产生感应电动势的条件： 穿过回路的 磁通量发生变化
电磁感应定律
Ei
?
?
N
d? dt
导体构成回路 方向：楞次定律
? 非静电力为
洛仑兹力
对于不成回路的导体
Ei ?
(v ?B) ?dl
l
动生电动势
非静电力为 感生电场力
感生电动势
? 对于导体回路
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I
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例2(P6三/2). 将无限长载流直导线弯成如图 习题课 所示的形状，已知电流 I，圆弧半径为 R，
求O处的磁感应强度大小和方向。
解:
Bab
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I
受力等于从始端至终端直导 线通有相同电流受力。
×
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R
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F× × × ×
连接ac，如图， 根据安培定律 dF ? Idl ? B
磁力大小: F ? I acB ? 2RIB
磁力方向 : 同 I ac ? B , 即垂直于 ac连线向下。
例5 (练习册P9:一/2) 如图所示，导体 abc在均匀磁场
长直载流螺线管、载流螺绕 环内部磁场 .
（3）利用典型例题结果求磁场
习题课
? 一段直线电流的磁场
B?
?0I 4? r
(cos?1 ?
cos? 2 )
? 无限长直线电流的磁场 B ? ? 0I 2? r
? 圆形电流圆心处 的磁场 B ? ? 0I
2R
? 圆心角为? 的载流弧线圆心处的磁场 B ? ? 0 I ?