初二数学全等三角形证明题专题训练

合集下载

八年级数学上册三角形全等证明题专项练习

八年级数学上册三角形全等证明题专项练习

八年级数学上册三角形全等证明题专项练习1、如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:BE∥CF.2、已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE ≌△CDF.3、如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。

求证:AM是△ABC的中线。

4、已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DE F.5、如图:AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。

求证:AE=AF6、如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。

求证:△AED≌△BFC。

7、如图:在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。

求证:BD⊥AC。

8、已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE BF.求证:AB CD∥.ADECBFM FE CB ADCBACMFEFED CBA9、如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD10、如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论.11、如图,已知AB =DC ,AC =DB ,BE =CE ,求证:AE =DE.12、如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE .13、已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C14、已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C15、P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB16、已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE17、已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DCDCBA FEA BC DP DACBACEDBABECD.3421DCBAABC DE F图918、如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.19、如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA20. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。

人教版数学八年级全等三角形证明题精选20题

人教版数学八年级全等三角形证明题精选20题

三角形全等专题训练1已知:如图,四边形ABCD 中,AC 平分角BAD ,CE 垂直AB 于E ,且∠B+∠D=180度,求证:AE=AD+BE2,已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。

求证:BE =CD 。

3,如图,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题。

① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CFAEDCBDCABDCE 124,如图,在四边形ABCD 中,AB=BC ,BF 是∠ABC 的平分线,AF ∥DC ,连接AC 、CF ,求证:CA 是∠DCF 的平分线。

FDAC B5、如图,△ABC 中,AB=AC ,过A 作GE ∥BC ,角平分线BD 、CF 交于点H ,它们的延长线分别交GE 于E 、G ,试在图中找出三对全等三角形,并对其中一对给出证明。

6、已知:如图,AB 、CD 交于O 点,CE//DF ,CE=DF ,AE=BF 。

求证:∠ACE=∠BDF 。

EGABCDEFO7. 已知:如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,E 是AD 上一点,BE 的延长线交AC 于F ,若BD=AD ,DE=DC 。

求证:BF ⊥AC 。

8.已知:如图,AB=CD ,AD=BC ,O 是AC 中点,OE ⊥AB 于E ,OF ⊥D 于F 。

求证:OE=OF 。

9.已知:如图,AC ⊥OB ,BD ⊥OA ,AC 与BD 交于E 点,若OA=OB ,求证:AE=BE 。

AB CDEFA BCD E F OO B AC D E10.已知:如图,AB//DE ,AE//BD ,AF=DC ,EF=BC 。

求证:△AEF ≌△DBC 。

A BCDEF11.已知:如图,PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线,•它们交于点P ,PD ⊥BM 于D ,PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线.12.在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E . (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证:①△ADC ≌△CEB ;②DE =AD +BE ; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证:DE =AD -BE ;(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问DE ,AD ,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.CBE D图1NMABC DEMN图2AC BEDN M 图313如图,已知AD 是△ABC 的中线, DE ⊥AB 于E , DF ⊥AC 于F , 且BE=CF , 求证:(1)AD 是∠BAC 的平分线;(2)AB=AC .14如图,等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AD 为腰CB 上的中线,CE⊥AD 交AB 于E .求证∠CDA =∠EDB .15在Rt △ABC 中,∠A =90°,CE 是角平分线,和高AD 相交于F ,作FG ∥BC 交AB 于G ,求证:AE =BG .F A 1 2 E CDBCD12ABCDE16.如图,已知△ABC是等边三角形,∠BDC=120º,说明AD=BD+CD的理由17如图,在△ABC中,AD是中线,BE交AD于F,且AE=EF,说明AC=BF的理由18如图,在△ABC中,∠ABC=100º,AM=AN,CN=CP,求∠MNP的度数19如图,已知∠BAC=90º,AD⊥BC, ∠1=∠2,EF⊥BC,FM⊥AC,说明FM=FD的理由20如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,A,C,D三点在同一直线上,连结BD,AE,并延长AE交BD于F.求证:(1)△ACE≌△BCD(2)直线AE与BD互相垂直ABC D E F。

完整版)全等三角形基础练习证明题

完整版)全等三角形基础练习证明题

完整版)全等三角形基础练习证明题1.已知三角形ABC中,AD为中线,BE⊥AD,CF⊥AD,证明BE=CF。

2.已知四边形ACBD中,AC=BD,AE=CF,BE=DF,证明AE∥CF。

3.已知四边形ABCD中,AB=CD,BE=DF,AE=CF,证明AB∥CD。

4.已知四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,证明AB∥CD。

5.已知两个三角形中,∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,BD=CE,证明三角形ABD≌三角形ACE。

6.已知四边形ABED中,CD∥AB,DF∥EB,DF=EB,证明AF=CE。

7.已知四边形BEFC中,BE=CF,AB=CD,∠B=∠C,证明AF=DE。

8.已知四边形ABED中,AD=CB,∠A=∠C,AE=CF,证明EB∥DF。

9.已知三角形ABC中,M为AB的中点,∠1=∠2,MC=MD,证明∠C=∠D。

10.已知四边形ABFE和CDFE中,AE=DF,BF=CE,AE∥DF,证明AB=CD。

11.已知四边形ABCD中,∠1=∠2,∠3=∠4,证明AC=AD。

12.已知四边形ABCD中,∠E=∠F,∠1=∠2,AB=CD,证明AE=DF。

13.已知四边形ABCDEF中,ED⊥AB,EF⊥BC,BD=EF,证明BM=ME。

14.已知三角形ABC中,高AD与BE相交于点H,且AD=BD,证明三角形BHD≌三角形ACD。

15.已知四边形ABCDE中,∠A=∠D,AC∥FD,AC=FD,证明AB∥DE。

16.已知三角形ABC和三角形ADE中,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2,证明∠3=∠4.17.已知三角形ABC和三角形DEF中,EF∥BC,AF=CD,AB⊥BC,DE⊥EF,证明三角形ABC≌三角形DEF。

18.已知四边形ABED中,AD=AE,∠B=∠C,证明AC=AB。

19.已知三角形ABC中,AD⊥BC,BD=CD,证明AB=AC。

20.已知三角形ABC和三角形BAD中,∠1=∠2,BC=AD,证明三角形ABC≌三角形BAD。

全等三角形证明题及答案15道

全等三角形证明题及答案15道
1.已知:如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求证: BC=ED.
证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,
即:∠EAD=∠BAC,
在△EAD和△BAC中
∠B=∠E AB=AE
∠BAC=∠EAD ,
∴△ABC≌△AED(ASA),
∴BC=ED.
全等三角形的判定与性质.
如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF, AE=CF,BE=DF.求证:△ADE≌△CBF.
∴△BCF≌△CBD(ASA). 全等三角形的判定.
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF. 求证:AD是△ABC的角平分线.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴Rt△BDE=Rt△DCF=90°. BD=DC BE=CF , ∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL), ∴DE=DF, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD是角平分线.
直角三角形全等的判定
如图,△ABC中,∠ABC=∠BAC=45°,点 P在AB上,AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D, E,已知DC=2,求BE的长.
∵∠ABC=∠BAC=45° ∴∠ACB=90°,AC=BC ∵∠DAC+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90° ∴∠DAC=∠BCE 又∵∠ADC=∠CEB ∴△ACD≌△CEB ∴BE=CD=2.
:∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC, 在△ABC和△ADC 中, AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC , ∴Fra bibliotekABC≌△ADC.
全等三角形的判定.
9.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF, AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC≌△DEF.

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明:设△ABC 和△DEF 是两个三角形,如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E,则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF:步骤一:通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF,延长直线段 CF 至点 X,使得 CX = CE。

步骤二:连接线段 AX。

步骤三:证明∠AXB = ∠EXF:由于∠A = ∠D,所以∠AXB = ∠DXE(共同的角度)。

又由于∠B = ∠E,所以∠DXE = ∠EXF。

因此,∠AXB = ∠EXF。

步骤四:证明∠ABX = ∠EFX:由于∠B = ∠E,所以∠ABX = ∠EXF(共同的角度)。

因此,∠ABX = ∠EFX。

步骤五:证明 AB = EF:由于 CX = CE,且∠ABX = ∠EFX,根据 SSS(边-边-边)全等三角形定理,则可得∆ABX ≌ ∆EFX。

因此,AB = EF。

综上所述,根据两角和相等定理,已经证明了△ABC ≌△DEF。

2. SAS全等三角形定理证明:设△ABC 和△DEF 是两个三角形,如果 AB = DE,∠A = ∠D,且 AC = DF,则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF:步骤一:连接线段 BC 和 EF。

步骤二:证明∠ABC = ∠DEF:由于 AB = DE,且∠A = ∠D,根据线段角度定理,可得∠ABC = ∠DEF。

步骤三:证明 BC = EF:由于 AC = DF,且∠ABC = ∠DEF,根据 SAS(边-角-边)全等三角形定理,可得△ABC ≌△DEF。

综上所述,根据SAS全等三角形定理,已经证明了△ABC ≌△DEF。

3. SSS全等三角形定理证明:设△ABC 和△DEF 是两个三角形,如果 AB = DE,BC = EF,且AC = DF,则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF:步骤一:连接线段 AC 和 DF。

步骤二:连接线段 BC 和 EF。

八年级上册数学全等三角形证明题

八年级上册数学全等三角形证明题

八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。

(一)题目1。

1. 题目。

已知:如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE = AC,延长BE交AC于F。

求证:AF = EF。

2. 解析。

证明:延长AD到G,使DG = AD,连接BG。

因为AD是BC边上的中线,所以BD = CD。

在△BDG和△CDA中,BD = CD,∠BDG = ∠CDA(对顶角相等),DG = DA。

根据SAS(边角边)全等判定定理,可得△BDG≌△CDA。

所以BG = AC,∠G = ∠CAD。

又因为BE = AC,所以BG = BE。

所以∠G = ∠BEG。

因为∠BEG = ∠AEF(对顶角相等),所以∠AEF = ∠CAD。

所以AF = EF。

(二)题目2。

1. 题目。

如图,在△ABC和△DEF中,AB = DE,BE = CF,∠B = ∠DEF。

求证:AC = DF。

2. 解析。

因为BE = CF,所以BE + EC = CF+EC,即BC = EF。

在△ABC和△DEF中,AB = DE,∠B = ∠DEF,BC = EF。

根据SAS全等判定定理,可得△ABC≌△DEF。

所以AC = DF。

(三)题目3。

1. 题目。

已知:如图,AB = CD,AE = DF,CE = FB。

求证:AF = DE。

2. 解析。

因为CE = FB,所以CE + EF = FB + EF,即CF = BE。

在△AEB和△DFC中,AB = CD,AE = DF,BE = CF。

根据SSS(边边边)全等判定定理,可得△AEB≌△DFC。

所以∠B = ∠C。

在△ABF和△DCE中,AB = CD,∠B = ∠C,BF = CE。

根据SAS全等判定定理,可得△ABF≌△DCE。

所以AF = DE。

(四)题目4。

1. 题目。

如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CA = CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE = BD,BD的延长线与AE交于点F。

八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练

八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1:全等+等腰性质1、如图,在△ABE 中,AB =AE,AD =AC,∠BAD =∠EAC, BC 、DE 交于点O 。

求证:(1) △ABC ≌△AED ; (2) OB =OE 。

2、已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB =DC,BE =CF ,∠B =∠C . 求证:OA =OD .题型2:两次全等1、AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点.求证:BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上,且AB =CD ,BF =DE ,AE =CF,求证:AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F,交BC 于点G,交AB 的延长线于点E ,且AE=AC 。

求证:BG=FG题型3:直角三角形全等(余角性质)1、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G . 求证:BD =CG .2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上,且过A ,B 两点分别作直线的垂线,垂足分别为D ,E ,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.3、如图,∠ABC =90°,AB =BC ,D 为AC 上一点,分别过A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为E 、F 求证:EF =CF -AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.5、如图:BE ⊥AC,CF ⊥AB ,BM=AC ,CN=AB.求证:(1)AM=AN ;(2)AM ⊥AN 。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DCAD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD BC证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CGBACDF21 E∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90°∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°∴∠D =∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC =∠FAC∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS )∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=28. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:1CD AB9. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

八年级全等三角形证明经典50题(含答案)

八年级全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD BC证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CGB ACDF21E∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90°∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°∴∠D =∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC =∠FAC∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS )∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD<4+2 1<AD<3∴AD=28.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB9.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)

八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)

∴BC=ED.
全等三角形的判定与性 质.
01
如图,在△ABC中, ∠C=90°,点D是AB边上的 一点,DM⊥AB,且 DM=AC,过点M作 ME∥BC交AB于点E.求证: △ABC≌△MED。
02
证明:∵MD⊥AB,
∴∠MDE=∠C=90°,
∵ME∥BC,
∴∠B=∠MED,
在△ABC与△MED中, ∠B=∠MED ∠C=∠EDM DM=AC ,
∠D=∠B , ∴△ADF≌△CBE(ASA), ∴AF=CE, ∴AF+EF=CE+EF,即
AE=CF.
全等三角形的判定与性 质.
11.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延 长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;
证明:∵∠ABC=90°,
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
全等三角形的判定.
如图,在△ABC中, AB=AC,AD平分 ∠BAC.求证: ∠DBC=∠DCB.
解:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∴在△ACD和△ABD中 AB=AC ∠BAD=∠CAD
AD=AD , ∴△ACD≌△ABD, ∴BD=CD, ∴∠DBC=∠DCB.
:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中, AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ,
∴△ABC≌△ADC.
全等三角形的判定.
9.如图,已知 点E,C在线段
BF上, BE=CF, AB∥DE, ∠ACB=∠F.
求证: △ABC≌△DEF

证明:∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF.
全等三角形的判定与性质.

初二数学-全等三角形证明经典50题

初二数学-全等三角形证明经典50题

初二数学几何证明1.已知:AB=4 , AC=2 , D是BC中点,AD是整数,求AD2.已知:D 是AB 中点,/ ACB=90。

,求证:CD -AB2A3.已知:BC=DE,/ B= / E,Z C= / D, F 是CD 中点,求证:4.已知:/ 仁/2, CD=DE , EF//AB,求证:EF=AC已知:AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求证:/ B=2 / C7.已知:AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点,AD 是整数,求 ADD5. AE=AD+BE,求证: O6.8.已知:D 是AB 中点,/ ACB=90 °,求证:CD 1 AB29.已知:BC=DE,/ B= / E,/ C= / D, F 是CD 中点,求证:12.已知:AC 平分/ BAD , CE丄AB , / B+ / D=180 °,求证:AE=AD+BECD=DE , EF//AB,求证:EF=AC10.已知:/ 1 = / 2,c12.如图,四边形ABCD中,AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD,且点E在AD 上。

求证:BC=AB+DC。

D14.已知:AB=CD,/ A= / D,求证:/ B= / CB15. P 是/ BAC 平分线 AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB17.已知,E 是 AB 中点,AF=BD , BD=5 , AC=7,求 DC18. ( 5 分)如图,在△ ABC 中,BD=DC ,/ 仁/2,求证:AD 丄 BC .19. ( 5分)如图,0M 平分/ POQ , MA 丄OP,MB 丄OQ , A 、B 为垂足,AB 交0M 于点N . 求证:/ OAB= /OBA16.已知/ ABC=3 / C ,Z 1 = / 2, BE 丄 AE ,求证:AC-AB=2BE20. ( 5分)如图,已知 AD // BC ,/ PAB 的平分线与/ CBA 的平分线相交于 E , CE 的连线 交 AP 于D .求证:AD+BC=AB .(6分)如图,△ ABC 中,AD 是/ CAB 的平分线,且 AB=AC+CD ,求证:/ C=2/ B22. (6分)如图①,E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点,且 DE 丄AC 于E , BF 丄AC 于F , 若AB=CD , AF=CE , BD 交 AC 于点 M .(1) 求证:MB = MD , ME=MF(2) 当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立 请给予证明;若不成立请说明理由.23. ( 7分)已知:如图, DC // AB ,且DC =AE , E 为AB 的中点,(1)求证:△ AEDEBC.21.(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC夕卜,请再写出两个与△ AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):24. (7分)如图,△ ABC中,/ BAC=90度,AB=AC, BD是/ ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F .求证:BD=2CE.25、(10分)如图: DF=CE AD=BC/ D=Z G 求证:△26、(10分)如图:AE、BC交于点M F点在AM上,求证:AM>^ ABC的中线。

初中八年级数学上册的第12章全等三角形证明经典50题含答案

初中八年级数学上册的第12章全等三角形证明经典50题含答案

1.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,111749AD是整数,求ADABCD解:延伸AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=22.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:1CDAB2 ADA21EBCFD证明:连结BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连结BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。

4.已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=ACA21F∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD均分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延伸AB取点E,使AE=AC,连结DE∵AD均分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD证明:在AE上取F,使EF=EB,连结CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC均分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE=AD+BE7.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD ABD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=28.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:1CDAB2 ADCB解:延伸AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DEA21EBCFD证明:连结BF和EF。

八年级全等三角形证明经典50题(含答案)

八年级全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD B C证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF 。

∵∠ABC=∠AED 。

∴∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点GCG∥EF,可得,∠EFD=CGDDE =DC∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CG∠CGD=∠EFDBACDF21 E又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又 EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90°∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°∴∠D =∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC =∠FAC∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS )∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD<4+2 1<AD<3∴AD=28.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB9.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

三角形全等证明题60题(有规范标准答案)

三角形全等证明题60题(有规范标准答案)

全等三角形证明题专项练习60题(有答案)1.已知如图,△ABC≌△ADE,∠B=30°,∠E=20°,∠BAE=105°,求∠BAC的度数.∠BAC=_________.2.已知:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:△ABD≌△CDB.3.如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,请说明△ABC≌△ADE 的道理.4.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD.试说明下列结论成立的理由.(1)∠DBH=∠DAC;(2)△BDH≌△ADC.5.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF,则AB=AC,并说明理由.6.如图,AE是∠BAC的平分线,AB=AC,D是AE反向延长线的一点,则△ABD与△ACD全等吗?为什么?7.如图所示,A、D、F、B在同一直线上,AF=BD,AE=BC,且AE∥BC.求证:△AEF≌△BCD.8.如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于O,△ABE与△ACD全等吗?说明你的理由.9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的.10.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.11.已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC≌△FDE,应增加什么条件?并根据你所12.如图,已知AB=AC,BD=CE,请说明△ABE≌△ACD.13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F,在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明.(△ABC与△A1B1C1全等除外)14.如图,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:△ABC≌△DEF.15.如图,AB=AC,AD=AE,AB,DC相交于点M,AC,BE相交于点N,∠DAB=∠EAC.求证:△ADM≌△AEN.16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形(如图2),B、C、E三点在同一条直线上,连接DC.求证:△ABE≌△ACD.17.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.请在图中找出所有全等的三角形,用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD.(1)求证:△ABD≌△EBC.(2)你可以从中得出哪些结论?请写出两个.19.等边△ABC边长为8,D为AB边上一动点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2,求AF的长;(2)求当AD取何值时,DE=EF.20.巳知:如图,AB=AC,D、E分别是AB、AC上的点,AD=AE,BE与CD相交于G.(Ⅰ)问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.(Ⅱ)请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根椐所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低)21.已知:如图,AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF∥BC,交CD于F,(1)根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.(2)EF平分∠DEC吗?为什么?22.如图,己知∠1=∠2,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗?为什么?23.如图,B,F,E,D在一条直线上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE.试证明:(1)△DFC≌△BEA;(2)△AFE≌△CEF.24.如图,AC=AE,∠BAF=∠BGD=∠EAC,图中是否存在与△ABE全等的三角形?并证明.25.如图,D是△ABC的边BC的中点,CE∥AB,E在AD的延长线上.试证明:△ABD≌△ECD.26.如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.(1)求证:△AOB≌△DOC;(2)求∠AEO的度数.27.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC.(1)求证:△ABF≌△DEC;(2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果,不要证明)28.如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.(1)求证:△ABD≌△GCA;(2)请你确定△ADG的形状,并证明你的结论.29.如图,点D、F、E分别在△ABC的三边上,∠1=∠2=∠3,DE=DF,请你说明△ADE≌△CFD的理由.30.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BE⊥AC于点E,点F在线段BE上,∠1=∠2,点D在线段EC上,给出31.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,AB=BC,BD=BE,EA=DC,求证:△BEA≌△BDC.32.阅读并填空:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.请说明△ADC≌△CEB的理由.解:∵BE⊥CE于点E(已知),∴∠E=90°_________,同理∠ADC=90°,∴∠E=∠ADC(等量代换).在△ADC中,∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________,∴∠1+∠2=90°_________.∵∠ACB=90°(已知),∴∠3+∠2=90°,∴_________.在△ADC和△CEB中,.∴△ADC≌△CEB (A.A.S)33.已知:如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.(1)写出图中你认为全等的三角形(不再添加辅助线);(2)选择你在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.34.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.试说明下列结论正确的理由:(1)∠C=∠E;(2)△ABC≌△ADE.35.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证:△ACE≌△CBF.36.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE∥CA交AB于E,点P是线段AC上的一动点,连接PE.探究:当动点P运动到AC边上什么位置时,△APE≌△EDB?请你画出图形并证明△APE≌△EDB.37.已知:如图,AD∥BC,AD=BC,E为BC上一点,且AE=AB.求证:(1)∠DAE=∠B;(2)△ABC≌△EAD.38.如图,D为AB边上一点,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CA=CB,CD=CE,图中有全等三角形吗?指出来并说明理由.39.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.40.如图,已知D是△ABC的边BC的中点,过D作两条互相垂直的射线,分别交AB于E,交AC于F,求证:BE+CF>EF.41.如图所示,在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM,猜想PM与HN有什么关系?试说明理由.42.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG.(1)求证:BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.43.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB=CD,BC=AD,请说明:∠A=∠C的道理,小明动手测量了一下,发现∠A确实与∠C相等,但他不能说明其中的道理,你能帮助他说明这个道理吗?试试看.45.如图,AD是△ABC的中线,CE⊥AD于E,BF⊥AD,交AD的延长线于F.求证:CE=BF.46.如图,已知AB∥CD,AD∥BC,F在DC的延长线上,AM=CF,FM交DA的延长线上于E.交BC于N,试说明:AE=CN.47.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB 交BC于E,求证:CT=BE.48.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.∠B与∠D相等吗?请你说明理由.49.D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=EF,AE=CE,求证:AB∥CF.50.如图,M是△ABC的边BC上一点,BE∥CF,且BE=CF,求证:AM是△ABC的中线.51.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点,AF⊥CD交于CD的延长线于点F,BE⊥CD于点E,求证:EF=CF﹣AF.52.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若MN是经过点A的直线,BD⊥MN于D,EC⊥MN于E.(1)求证:BD=AE;(2)若将MN绕点A旋转,使MN与BC相交于点O,其他条件都不变,BD与AE边相等吗?为什么?(3)BD、CE与DE有何关系?53.已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD和CE为△ABC的高,BD和CE相交于点O.求证:OB=OC.54.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等.试说明AE=DF的理由.55.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连接DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC的长.56.如图:已知∠B=∠C,AD=AE,则AB=AC,请说明理由.57.如图△ABC中,点D在AC上,E在AB上,且AB=AC,BC=CD,AD=DE=BE.(1)求证△BCE≌△DCE;(2)求∠EDC的度数.58.已知:∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E.求证:BD=2CE.59.如图,已知:AB=CD,AD=BC,过BD上一点O的直线分别交DA、BC的延长线于E、F.(1)求证:∠E=∠F;(2)OE与OF相等吗?若相等请证明,若不相等,需添加什么条件就能证得它们相等?请写出并证明你的想法.60.如下图,AD是∠BAC的平分线,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F,且BD=DC.求证:BE=CF.全等三角形证明题专项练习60题参考答案:1.∵△ABC≌△ADE 且∠B≠∠E,∴∠C=∠E,∠B=∠D;∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣20°=130°.2.∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD.又BD=DB,∴△ABD≌△CDB(ASA).3.△ADF与△AEF中,∵∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,∴∠E=∠C.∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.∵AC=AE,∴△ABC≌△ADE.4.(1)∵∠BHD=∠AHE,∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°∴∠DBH=∠HAE∵∠HAE=∠DAC∴∠DBH=∠DAC;(2)∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC在△BDH与△ADC中,∴△BDH≌△ADC.5.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△DBE与△DCF是直角三角形,∵BD=CD,DE=DF,∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴∠B=∠C,∴AB=AC.6.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠CAE;∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE,即∠DAB=∠DAC;又∵AB=AC,AD=AD,∴在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SAS)7.∵AE∥BC,∴∠B=∠C.∵AF=BD,AE=BC,∴△AEF≌△BCD(SAS).8.△ABE与△ACD全等.理由:∵AB=AC,∠A=∠A(公共角),AE=AD,∴△ABE≌△ACD.9.图中的全等三角形有:△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BDE≌△CDE.理由:∵D是BC的中点,∴BD=DC,AB=AC,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS);∵AE=AE,∠BAE=∠CAE,AB=AC,∴△ABE≌△ACE(SAS);∵BE=CE,BD=DC,DE=DE,∴△BDE≌△CDE(SSS).10.:∵∠1=∠2,∴∠ACB=∠DCE,在△ABC和△DEC中,,∴△ABC≌△DEC(SAS)11. 增加AB=DF.在△ABC和△FDE 中,∴△ABC≌△FDE(SSS).12.∵AB=AC,BD=CE,∴AD=AE.又∵∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(SAS).13.△CBD≌△CA1F证明如下:∵AC=BC,∴∠A=∠ABC.∵△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C1,∴∠A1=∠A,A1C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α.∴∠A1=∠ABC(1分),A1C=BC.∴△CBD≌△CA1F(ASA)14.∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠B=∠DEF,∠F=∠ACB.∵BE=CF,∴BE+CE=CF+EC.∴BC=EF.∴△ABC≌△DEF (ASA).15.∵AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠AEB,∴△ACD≌△ABE,∴∠D=∠E,又AD=AE,∠DAB=∠EAC,∴△ADM≌△AEN16.∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90,即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,∴∠BAE=∠CAD,在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD17.答:△BDE≌△FEC,△BCE≌△FDC,△ABE≌△ACF;证明:(以△BDE≌△FEC为例)∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°,∵CD=CE,∴△EDC是等边三角形,∴∠EDC=∠DEC=60°,∴∠BDE=∠FEC=120°,∵CD=CE,∴BC﹣CD=AC﹣CE,∴BD=AE,又∵EF=AE,∴BD=FE,在△BDE与△FEC中,∵,∴△BDE≌△FEC(SAS).18.(1)证明如下:∵∠ABD=∠1+∠EBC,∠CBE=∠2+∠EBC,∠1=∠2.∴∠ABD=∠CBE.在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC(AAS);(2)从中还可得到AB=BC,∠BAD=∠BEC19.(1)∵AB=8,AD=2∴BD=AB﹣AD=6在Rt△BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴BE=BD=3∴CE=BC﹣BE=5在Rt△CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴CF=CE=∴AF=AC﹣FC=;(2)在△BDE和△EFC中,∴△BDE≌△CFE(AAS)∴BE=CF∴BE=CF=EC∴BE=BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣BD=∴AD=时,DE=EF20.(1)图中全等的三角形有四对,分别为:①△DBG≌△EGC,②△ADG≌△AEG,③△ABG≌△ACG,④△ABE≌△ACD;(4分)(Ⅱ)∵AB=AC,AD=AE,∠A是公共角,∴△ABE≌△ACD(SAS)④;∵AB=AC,AD=AE,∴AB﹣AD=AC﹣AE,即BD=CE;由④得∠B=∠C,又∵∠DGB=∠EGC(对顶角相等),BD=CE(已证),∴△DBG≌△EGC(AAS)①;由①得BG=CG,由④得∠B=∠C,又∵AB=AC,∴△ABG≌△ACG(SAS)③;由①得BG=CG,且AD=AE,AG为公共边,∴△ADG≌△AEG(SSS)②;21.(1)△ABC≌△DCB.证明:∵AB=CD,AC=BD,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.(SSS)(2)EF平分∠DEC.理由:∵EF∥BC,∴∠DEF=∠EBC,∠FEC=∠ECB;由(1)知:∠EBC=∠ECB;∴∠DEF=∠FEC;∴FE平分∠DEC22.△ABC≌△DCB.理由如下:∵∠ABC=∠DCB,∠1=∠2,∴∠DBC=∠ACB.∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB23.(1)∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF.即BE=DF.在△DFC和△BEA中,∵,∴△DFC≌△BEA(SAS).(2)∵△DFC≌△BEA,∴CF=AE,∠CFD=∠AEB.∵在△AFE与△CEF中,∵,∴△AFE≌△CEF(SAS)24.△ABF与△DFG中,∠BAF=∠BGD,∠BFA=∠DFG,∴∠B=∠D,∵∠BAF=∠EAC,∴∠BAE=∠DAC,∵AC=AE,∠BAE=∠DAC,∠B=∠D,∴△BAE≌△DAC.答案:有.△BAE≌△DAC25.∵CE∥AB,∴∠ABD=∠ECD.在△ABD和△ECD中,,∴△ABD≌△ECD(ASA)26.(1)证明:在△AOB和△COD中∵∴△AOB≌△COD(AAS)(2)解:∵△AOB≌△COD,∴AO=DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO=90°27.1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AB=DE,AF=DC,∴△ABF≌△DEC.(2)解:全等三角形有:△ABC和△DEF;△CBF和△FEC28.证明:(1)∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高,∴∠AFC=∠AEB=90°(垂直定义),∴∠ACG=∠DBA(同角的余角相等),又∵BD=CA,AB=GC,∴△ABD≌△GCA;(2)连接DG,则△ADG是等腰三角形.证明如下:∵△ABD≌△GCA,∴AG=AD,∴△ADG是等腰三角形.29.解:∵∠4+∠6=180°﹣∠3,∠5+∠6=180°﹣∠2,∠3=∠2,∴∠4+∠6=∠5+∠6,∴∠4=∠5,∵在△ADE和△CFD中,,∴△ADE≌△CFD(AAS).30.①DF∥BC.证明:∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠C+∠CBE=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ABF+∠CBE=90°,∴∠C=∠ABF,∵DF∥BC,∴∠C=∠ADF,∴∠ABF=∠ADF,在△AFD和△AFB中∴△AFD≌△AFB(AAS).31.在△BEA和△BDC中:,故△BEA≌△BDC(SSS).32.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.请说明△ADC≌△CEB的理由.解:∵BE⊥CE于点E(已知),∴∠E=90°(垂直的意义),同理∠ADC=90°,∴∠E=∠ADC(等量代换).在△ADC中,∵∠1+∠2+∠ADC=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠1+∠2=90°(等式的性质).∵∠ACB=90°(已知),∴∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3(同角的余角相等).在△ADC和△CEB中,.∴△ADC≌△CEB (A.A.S)33.(1)△ABF≌△DEC,△ABC≌△DEF,△BCF≌△EFC;(2分)(2)△ABF≌△DEC,证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D,(3分)在△ABF和△DEC中,(4分)∴△ABF≌△DEC.(5分)34.(1)△ADF与△AEF中,∵∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,∴∠C=∠E;(2)∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.∵AC=AE,又∠C=∠E,∴△ABC≌△ADE.35.∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠ACE+∠CAE=90°,(直角三角形两个锐角互余)∵∠ACE+∠BCF=90°,∴∠CAE=∠BCF,(等角的余角相等)∵AE⊥CD,BF⊥CD,∴∠AEC=∠BFC=90°,在△ACE与△CBF中,∠CAE=∠BCF,∠AEC=∠BFC,AC=BC,36.当动点P运动到AC边上中点位置时,△APE≌△EDB,∵DE∥CA,∴△BED∽△BAC,∴=,∵D是BC的中点,∴=,∴=,∴E是AB中点,∴DE=AC,BE=AE,∵DE∥AC,∴∠A=∠BED,要使△APE≌△EDB,还缺少一个条件DE=AP,又有DE=AC,∴P必须是AC中点.37.(1)∵AE=AB,∴∠B=∠AEB,又∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE,∴∠DAE=∠B;(2)∵∠DAE=∠B,AD=BC,AE=AB,∴△ABC≌△EAD.38.△ACE≌△BCD.∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD(都是∠ACD的余角),在△ACE和△BCD中,∵,∴△ACE≌△BCD.39.∵∠BAC=∠DAE,即∠BAD=∠EAC,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE.40.证明:延长FD到M使MD=DF,连接BM,EM.∵D为BC中点,∴BD=DC.∵∠FDC=∠BDM,∴△BDM≌△CDF.∴BM=FC.∵ED⊥DF,∴EM=EF.∵BE+BM>EM,∴BE+FC>EF.41.PM=HN.理由:∵在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,∴∠MEH=∠NQH=90°,∠MQP=∠NQH=90°∵∠MHE=∠NHQ(对顶角相等),∴∠EMH=∠QNH(等角的余角相等)在△MPQ和△NHQ中,,∴△MPQ≌△NHQ(ASA),∴MP=NH.42.(1)∵BG∥AC,∴∠DBG=∠DCF.∵D为BC的中点,∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF,在△BGD与△CFD中,∵∴△BGD≌△CFD(ASA).∴BG=CF.(2)BE+CF>EF.∵△BGD≌△CFD,∴GD=FD,BG=CF.又∵DE⊥FG,∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).∴在△EBG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.43.∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D∴∠E=∠ADC=90°∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°∴∠BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD,BE=CD=2.5﹣1.7=0.8(cm)44.∵AB=CD,BC=AD,又∵BD=DB,在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C.45.∵AD是△ABC中BC边上的中线,∴BD=CD.∵CE⊥AD于E,BF⊥AD,∴∠BFD=∠CED.在△BFD和△CED中,∴△BFD≌△CED(AAS).∴CE=BF46.∵AD∥BC,∴∠E=∠ENB,∵∠ENB=∠CNF,∴∠E=∠CNF,∵AB∥CD,∴∠A=∠B,∵∠C=∠B,∴∠EAB=∠DCB,∵AM=CF,∴AE=CN.47.证明:过T作TF⊥AB于F,∵AT平分∠BAC,∠ACB=90°,∴CT=TF(角平分线上的点到角两边的距离相等),∵∠ACB=90°,CM⊥AB,∴∠ADM+∠DAM=90°,∠A TC+∠CA T=90°,∵AT平分∠BAC,∴∠DAM=∠CA T,∴∠ADM=∠ATC,∴∠CDT=∠CTD,∴CD=CT,又∵CT=TF(已证),∴CD=TF,∵CM⊥AB,DE∥AB,∴∠CDE=90°,∠B=∠DEC,在△CDE和△TFB中,,∴△CDE≌△TFB(AAS),∴CE=TB,∴CE﹣TE=TB﹣TE,即CT=BE.48.∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE即∠BAC=∠DAE又∵AB=AD,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SAS)∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)49.∵DE=EF,AE=CE,∠AED=∠FEC,∴△AED≌△FEC.∴∠ADE=∠CFE.∴AD∥FC.∵D是AB上一点,∴AB∥CF50.∵BE∥CF,∴∠CMF=∠BME,∠FCM=∠EBM.∴△CFM≌△BEM.∴CM=BM.即AM是△ABC的中线51.∵AC⊥BC,BE⊥CD,∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠CBE=90°.∴∠FCA=∠EBC.∵∠BEC=∠CFA=90°,AC=BC,∴△BEC≌△CFA.∴CE=AF.∴EF=CF﹣CE=CF﹣AF52.解:(1)证明:由题意可知,BD⊥MN与D,EC⊥MN与E,∠BAC=90°,则△ABD与△CEA是直角三角形,∠DAB=∠ECA,在△ABD与△CEA中,∵,∴△ABD≌△CEA,∴BD=AE;(2)若将MN绕点A旋转,与BC相交于点O,则BD,CE与MN垂直,∴△ABD与△CEA仍是直角三角形,两个三角形仍全等,∴BD与AE边仍相等;(3)∵△ABD≌△CEA,∴BD=AE,AD=EC,∴DE=BD+EC或DE=CE﹣BD或DE=BD﹣CE.53.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD、CE分别为△ABC的高,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴在△BEC和△CDB中,∴△BEC≌△CDB,∴∠1=∠2,∴OB=OC解:连接CD,∵∠ACB=90°,D是AB边的中点∴CD=AD,∠DAC=∠DCF∵DE与CF平行且相等∴∠EDA=∠DAC∴∠EDA=∠DCF在△AED和△CFD中CD=AD,∠EDA=∠DCF,DE=CF∴△AED≌△CFD∴AE=DF.55.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD在△ADE和△ADC中∵∴△ADE≌△ADC(SAS)∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5(cm)56.在△AEB与△ADC中,.∴△AEB≌△ADC(AAS).∴AB=AC(全等三角形,对应边相等)57.(1)证明:在△BCE和△DCE中∴△BCE≌△DCE(SSS).(2)解:∵AD=DE,∴∠A=∠AED;∴∠EDC=∠A+∠AED=2∠A,设∠A=x,根据题意得,5x=180°,解得x=36°∴∠EDC=2∠A=72°证明:延长CE、BA交于点F.∵CE⊥BD于E,∠BAC=90°,∴∠ABD=∠ACF.又AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE.有BE=BE,∴△BCE≌△BFE,∴CE=EF,∴CE=BD,∴BD=2CE.59.(1)证明:在△ABD和△CDB中∵AB=CD,AD=BC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠DBC,∴DE∥BF.∴∠E=∠F.(2)答:当O是BD中点时,OE=OF.证明如下:∵O是BD中点,∴OB=OD.又∵∠ADB=∠DBC,∠E=∠F,∴△ODE≌△OBF(AAS).∴OE=OF.(当AE=CF时也可证得60.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°.∵AD平分∠EAC,∴DE=DF.在Rt△DBE和Rt△DCF中,∴Rt△DBE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.。

全等三角形证明经典试题50道

全等三角形证明经典试题50道

全等三角形证明经典试题50道1.(已知:如图,E,F 在AC 上,AD ∥CB 且AD =CB ,∠D =∠B .求证:AE =C F .【答案】∵AD ∥CB∴∠A=∠C又∵AD=CB ,∠D=∠B∴△ADF ≌△CBE∴AF=CE∴AF+EF=CE+EF即AE=CF2. 已知:如图,∠ABC =∠DCB ,BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线.求证:AB =DC 证明:在△ABC 与△DCB 中(ABC DCB ACB DBCBC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知)(公共边)(∵AC 平分∠BCD ,BD 平分∠ABC ) ∴△ABC ≌△DCB∴AB =DC3. 如图,点D ,E 分别在AC ,AB 上.(1) 已知,BD =CE ,CD=BE ,求证:AB=AC ;(2) 分别将“BD=CE ”记为①,“CD=BE ” 记为②,“AB=AC ”记为③.添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③以①为结论构成命题2.命题1是命题2的命题,命题2是命题.(选择“真”或“假”填入空格).【答案】(1) 连结BC ,∵BD=CE ,CD=BE ,BC=CB .∴△DBC ≌△ECB (SSS )∴∠DBC =∠ECB∴AB=AC(2) 逆,假;4. 如图,在□ABCD中,分别延长BA,DC到点E,使得AE=AB,CH=CD,连接EH,分别交AD,BC于点F,G。

求证:△AEF≌△CHG.【答案】证明:∵□ABCD∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H∵ AE=AB,CH=CD∴ AE=CH∴△AEF≌△CHG.5. 如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.【证明】∵AF=DC,∴AC=DF,又∠A=∠D ,AB=DE,∴△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.6. 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?【答案】解:全等.理由如下:∵两三角形纸板完全相同,∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D,∴AB-BF=BD-BC,即AF=DC.在△AOF和△DOC中,∵AF=DC,∠A=∠D,∠AOF=∠DOC,∴△AOF≌△DOC(AAS).7. 已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.【答案】∵AD ∥CB∴∠A=∠C又∵AD=CB ,∠D=∠B∴△ADF ≌△CBE∴AF=CE∴AF+EF=CE+EF即AE=CF8. 在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.(1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.【答案】(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2)∵AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠AC B=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由(1)知 Rt △ABE ≌Rt △CBF , ∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.9. 如图6,AB BD ⊥于点B ,ED BD ⊥于点D ,AE 交BD 于点C ,且BC DC =.求证AB ED =.【答案】(1)证明:∵AB BD ⊥,ED BD ⊥∴90ABC D ∠=∠=在ABC ∆和EDC ∆中ABC D BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC ∆≌EDC ∆ABC EF 第22题图 A 图6 B C DE∴AB ED10.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合,连结BE 、EC .试猜想线段BE 和EC 的数量与位置关系,并证明你的猜想.【答案】BE=EC ,BE ⊥EC∵AC=2AB ,点D 是AC 的中点∴AB=AD=CD∵∠EAD=∠EDA=45°∴∠EAB=∠EDC=135°∵EA=ED∴△EAB ≌△EDC∴∠AEB=∠DEC ,EB=EC∴∠BEC=∠AED=90°∴BE=EC ,BE ⊥EC11.已知:如图,E,F 在AC 上,AD ∥CB 且AD =CB ,∠D =∠B .求证:AE =CF .【答案】∵AD ∥CB∴∠A=∠C又∵AD=CB ,∠D=∠B∴△ADF ≌△CBE∴AF=CE∴AF+EF=CE+EF即AE=CF12. 如图,D ,E ,分 别 是 AB ,AC 上 的 点 ,且AB=AC ,AD=AE .求证∠B=∠C . 【答案】证明:在△ABE 和△ACD 中,AB =AC ∠A =∠A AE =AD∴△ABE ≌△ACD∴∠B =∠C13. 如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点B 、C 作AD 与其延长线的垂线BE 、CF ,垂足分别为点E 、F .求证:BE =CF . AB CDE【证明】∵在△ABC中,AD是中线,∴BD=CD,∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD=∠BED=90°,在△BED与△CFD中,∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD,∴△BED≌△CFD,∴BE=CF.14. 已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.求证:AB=AC【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,又∠E=∠B,∴∠B =∠C,∴AB=AC.15. 如图,在平行四边形ABCD 中,E为BC 中点,AE的延长线与DC的延长线相交于点F.(1)证明:∠DFA = ∠FAB;(2)证明: △ABE≌△FCE.(第18题图)【答案】证明:(1)∵AB与CD是平行四边形ABC D的对边,∴AB∥CD,(1分)∴∠F=∠FAB.(3分)(2)在△ABE和△FCE中,∠FAB=∠F (4分)∵∠AEB=∠FEC (5分)BE=CE (6分)∴△ABE≌△FCE.(7分)16.如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)若∠D=50°,求∠B的度数.【答案】17.如图,已知:点B 、F 、C 、E 在一条直线上,FB =CE ,AC =DF .能否由上面的已知条件证明AB ∥ED ?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适....的条件...,添加到已知条件中,使AB ∥ED 成立,并给出证明. 供选择的三个条件(请从其中选择一个):①AB =ED ;②BC =EF ;③∠ACB =∠DFE .【答案】解:由上面两条件不能证明AB//ED .有两种添加方法.第一种:FB =CE ,AC =DF 添加 ①AB =ED证明:因为FB =CE ,所以BC =EF ,又AC =EF ,AB =ED ,所以ABC ≅DEF所以∠ABC =∠DEF 所以AB//ED第二种:FB =CE ,AC =DF 添加 ③∠ACB =∠DFE证明:因为FB =CE ,所以BC =EF ,又∠ACB =∠DFEAC =EF ,所以ABC ≅DEF所以∠ABC =∠DEF 所以AB//ED 18.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的点(不与B ,C 重合),F ,E 分别是AD 与其延长线上的点,CF ∥BE . 请你添加一个条件,使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.(1)你添加的条件是:▲;(2)证明: AB DEFC(第25题) A CB D F E (第18题图)【答案】解:(1)DC BD =(或点D 是线段BC 的中点),ED FD =,BE CF =中任选一个即可﹒(2)以DC BD =为例进行证明:∵CF ∥BE ,∴∠FCD ﹦∠EBD .又∵DC BD =,∠FDC ﹦∠EDB ,∴△BDE ≌△CDF .19.如图,分别过点C 、B 作△ABC 的BC 边上的中线AD 与其延长线的垂线,垂足分别为E 、F .求证:BF =CE .【答案】∵CE ⊥AF ,FB ⊥AF ,∴∠DEC =∠DFB =90°又∵AD 为BC 边上的中线,∴BD =CD , 且∠EDC =∠FDB (对顶角相等)∴所以△BFD ≌△CDE (AAS ),∴BF =CE .20.如图,已知AD 是△ABC 的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AE D ≌△AFD ,需添加一个条件是:_______________,并给予证明.全品中考网【答案】解法一:添加条件:AE =AF ,证明:在△AED 与△AFD 中,∵AE =AF ,∠EAD =∠FAD ,AD =AD ,∴△AED ≌△AFD (SAS ).解法二:添加条件:∠EDA =∠FDA ,证明:在△AED 与△AFD 中, B D CAEF∵∠EAD =∠FAD ,AD =AD ,∠EDA =∠FDA∴△AED ≌△AFD (ASA ).21.已知:如图,点C 是线段AB 的中点,CE=CD ,∠ACD=∠BCE,求证:AE=BD .题20图【答案】证明:∵点C 是线段AB 的中点,∴AC=BC ,∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD, 在△ACE 和△BCD 中,AC BC ACE BCD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△BCD (SAS ),∴AE=BD.21.已知:如图,点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,EA ⊥AD ,FD ⊥AD ,AE =DF ,AB =DC .求证:∠ACE =∠DBF .【答案】证明:∵AB =DC∴AC =DB∵EA ⊥AD ,FD ⊥AD∴∠A =∠D =90°在△EAC 与△FDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DB AC D A FD EA∴△EAC ≌△FDB∴∠ACE =∠DBF .22.如图,点A 、E 、B 、D 在同一条直线上,AE =DB ,AC =DF ,AC ∥DF .请探索BC 与EF 有怎样的位置关系?并说明理由.D O C B A 【答案】解:BC ∥EF .理由如下:∵AE =DB ,∴AE +BE =DB +BE ,∴AD =DE .∵AC ∥DF ,∴∠A =∠D ,∵AC =DF ,∴△ACB ≌△DFE ,∴∠FED =∠CBA ,∴BC ∥EF .23.如图,点B 、D 、C 、F 在一条直线上,且BC = FD ,AB = EF.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC ≌△EFD ,你添加的条件是;(2)添加了条件后,证明△ABC ≌△EFD.【答案】(1)∠B=∠F 或 AB ∥EF 或 AC=ED .(2)证明:当∠B=∠F 时在△ABC 和△EFD 中AB EF B F BC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EFD (SAS)24.如图,BAC ABD ∠=∠.(1)要使OC OD =,可以添加的条件为:或;(写出2个符合题意的条件即可)(2)请选择(1)中你所添加的一个条件,证明OC OD =.【答案】解:(1)答案不唯一. 如C D ∠=∠,或ABC BAD ∠=∠,或OAD OBC ∠=∠,或AC BD =. ……4分说明:2空全填对者,给4分;只填1空且对者,给2分.(2)答案不唯一. 如选AC BD =证明OC=OD.证明: ∵BAC ABD ∠=∠, ∴ OA=OB. ……………………6分 又 AC BD =,∴ AC-OA=BD-OB ,或AO+OC=BO+OD. ∴OC OD =. ……………………8分25.八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案: FAB CD E AB C D E FDOCB A B(Ⅰ)∠AOB 是一个任意角,将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合,即PM=PN ,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.(Ⅱ)∠AOB 是一个任意角,在边OA 、OB 上分别取OM=ON ,将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合,即PM=PN ,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.(2)在方案(Ⅰ)PM=PN 的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.【答案】解:(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件.……………………………2分(2)方案(Ⅱ)可行.……………………………3分证明:在△OPM 和△OPN 中⎪⎩⎪⎨⎧===OP OP PN PM OP OM∴△OPM ≌△OPN(SSS)∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)……………………………5分(3)当∠AOB 是直角时,此方案可行.……………………………6分∵四边形内角和为360°,又若PM ⊥OA,PN ⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,∴∠AOB=90°∵若PM ⊥OA,PN ⊥OB,且PM=PN∴OP 为∠AOB 的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)当∠AOB 不为直角时,此方案不可行.…………8分26.如图,AB 是∠DAC 的平分线,且AD =AC 。

初二数学全等三角形证明题专题训练

初二数学全等三角形证明题专题训练

初二数学全等三角形证明题专题训练1.如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。

求证:ACF BDE ∆≅∆。

2.如图,在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。

求证:21C ∠=∠+∠。

3.如图,在ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。

求证:AE CF =。

4.如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =。

5. 如图,,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P 。

求证:BP 为MBN ∠的平分线。

6.如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点,且CD AB =,ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ∆的中线。

求证:2AC AE =。

7.如图,在ABC ∆中,AB AC >,12∠=∠,P 为AD 上任意一点。

求证:AB AC PB PC ->-。

8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且BECCFA α∠=∠=∠.(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF BE AF -(填“>”,“<”或“=”号);②如图2,若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ;(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明.9.已知:如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G 。

(完整word版)八年级全等三角形证明经典50题(含答案).doc

(完整word版)八年级全等三角形证明经典50题(含答案).doc

1.已知:AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点,AD 是整数,求ADA 解:延长AD 至IJE,使AD=DE・・・D 是BC 中点BD=DC在厶ACD 和厶BDE 中AD=DEZBDE= ZADC BD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE 中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即 4・2 <2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=2延长CD 与P,使D 为CP 中点。

连接VDP=DC,DA=DBA AC BP 为平行四边形又 Z ACB=90・・・平行四边形ACBP 为矩形AAB=CP=1/2AB 2.已知:D 是AB 中点,Z ACB=90 0,求证:CD [AB 2AAP,BP3.已知:BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点,求证:Z 1= Z2证明:连接BF和EF・・・ BC=ED,CF=DF, Z BCF= Z EDF・・・三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)・・・ BF=EF, ZCBF=Z DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/. Z EBF=Z BEFo・・・ Z ABC= Z AED o・・・ Z ABE= Z AEBo/. AB=AE o在三角形ABF和三角形AEF屮AB=AE,BF=EF,ZABF= Z ABE+ Z EBF= ZAEB+ Z BEF= Z AEF・・・三角形ABF和三角形AEF全等。

・・・ Z BAF= Z EAF(Z 1= Z 2)o4. 己知:Z 1= Z 2 , CD=DE , EF//AB ,求证:EF=AC过C作CG〃EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得,Z EFD= CGDDE= DCZFDE= Z GDC (对顶角)AA EFD^A CGDEF= CGZCGD = Z EFD又,EF// AB・・・,Z EFD= Z 1Z1= Z 2・・・Z CGD= Z 2・・・△ AGC为等腰三角形,AC= CG又EF=CG・・・EF= AC5.已知:AD 平分Z BAC, AC=AB+BD ,求证:Z B=2 Z C证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DEVAD 平分Z BACAZ EAD=Z CAD・・・AE=AC, AD = ADA A AED^A ACD ( SAS)AZ E=Z CVAC = AB+BD・・・AE= AB+BD・・・AE= AB+BEABD = BE・・・Z BDE=Z EVZ ABC=Z E+ Z BDEAZ ABC = 2 ZEAZ ABC = 2 ZC6.己知:AC 平分Z BAD , CE丄AB , Z B+ Z D=180 ° ,求证:AE=AD+BE・・・CE丄AB ・・・Z CEB=Z CEF= 90° ・・・EB=EF, CE = CE, AACEB^ACEF ・・・Z B=Z CFEVZ B+Z D= 180 ° , ZCFE+Z CFA= 180 0AZ D = Z CFAVAC 平分Z BAD・・・Z DAC = Z FACVAC = AC・・・△ ADC 竺△ AFC ( SAS)/.AD = AF ・・・AE= AF+ FE= AD + BE解:延长AD至IJE,使AD=DE・・・D是BC中点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DC7.已知:AB=4 , AC=2 , D是BC屮点, AD是整数,求ADA 证明:在AE上取F,使EF= EB,连接CFAAACD^ABDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即4・2 < 2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=218.已知:D 是AB 中点,Z ACB=90 0,求证:CD -AB2解:延长AD到E,使AD=DE・・・D是BC屮点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2•・•在A ABE中9.已知:BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点,求证:Z 1= Z2A证明:连接BF和EF。

全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)(含答案)

全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)(含答案)

全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)考卷信息:本套训练卷共30题,培优篇15题,拔尖篇15题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形!1.(2021春•道里区期末)如图,点A ,C 在EF 上,AD ∥BC ,DE ∥BF ,AE =CF .(1)求证:△ADE ≌△CBF ;(2)直接写出图中所有相等的线段(AE =CF 除外).【解题思路】(1)利用ASA 证明△ADE ≌△CBF 即可;(2)根据△ADE ≌△CBF 即可得图中所有相等的线段.【解答过程】(1)证明:∵AD ∥BC∴∠DAC =∠BCA ,又∵∠DAC +∠EAD =180°,∠BCA +∠FCB =180°,∴∠EAD =∠FCB ,∵DE ∥BF ,∴∠E =∠F ,在△ADE 和△CBF 中,{∠EAD =∠FCB AE =CF ∠E =∠F,∴△ADE ≌△CBF (ASA ),(2)∵△ADE ≌△CBF ,∴ED =FB ,DA =BC ,EC =F A .∵AD ∥BC ,∴∠DAC =∠BCA ,在△ADC 和△CBA 中,{AD =CB ∠DAC =∠CBA AC =CA,∴△ADC ≌△CBA (SAS ),∴AB =CD ;∴图中所有相等的线段有:ED =FB ,DA =BC ,AB =CD ,EC =F A .2.(2021春•宁德期末)如图,AB ,CD 交于点O ,AC =DB ,∠ACD =∠DBA .(1)说明△AOC ≌△DOB 的理由;(2)若∠ACD =94°,∠CAO =28°,求∠OCB 的度数.【解题思路】(1)直接利用AAS 即可证明△AOC ≌△DOB ;(2)利用三角形外角的性质得到∠COB ,再根据△AOC ≌△DOB 得到OC =OB ,即可求得∠OCB .【解答过程】解:(1)在△AOC 和△DOB 中,{∠AOC =∠DOB ∠ACO =∠DBO AC =DB,∴△AOC ≌△DOB (AAS );(2)∵∠ACD =94°,∠CAO =28°,∴∠COB =∠ACD +∠CAO =122°,∵△AOC ≌△DOB ,∴OC =OB ,∴∠OCB =(180°﹣122°)÷2=29°.3.(2021春•沙坪坝区校级期末)如图,在△ABC 中,AC =BC ,点D 在AB 边上,点E 在BC 边上,连接CD ,DE .已知∠ACD =∠BDE ,CD =DE .(1)猜想AC 与BD 的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AD =3,BD =5,求CE 的长.【解题思路】(1)利用AAS 证明△ADC ≌△BED ,即可得结论;(2)结合△ADC ≌△BED ,可得AC =BD =5,BE =AD =3,进而可得CE 的长.【解答过程】解:(1)AC =BD ,理由如下:∵AC =BC ,∴∠A =∠B ,在△ADC 和△BED 中,{∠A =∠B ∠ACD =∠BED CD =DE,∴△ADC ≌△BED (AAS ),∴AC =BD ;(2)由(1)知:△ADC ≌△BED ,∴AC =BD =5,BE =AD =3,∴BC =AC =5,∴CE =BC ﹣BE =2.4.(2021春•渝中区校级期末)如图,点E 在△ABC 的边AC 上,且∠ABE =∠C ,AF 平分∠BAE 交BE 于F ,FD ∥BC 交AC 于点D .(1)求证:△ABF ≌△ADF ;(2)若BE =7,AB =8,AE =5,求△EFD 的周长.【解题思路】(1)根据平行线的性质得到∠ADF =∠C ,等量代换得到∠ABF =∠ADF ,由角平分线的定义得到∠BAF =∠CAF ,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到AD =AB =8,BF =DF ,由线段的和差得到DE =AD =AE =8﹣5=3,根据三角形的周长公式即可得到结论.【解答过程】解:(1)∵FD ∥BC ,∴∠ADF =∠C ,∵∠ABF =∠C ,∴∠ABF =∠ADF ,∵AF 平分∠BAE ,∴∠BAF =∠CAF ,在△ABF 和△ADF 中,{∠BAF =∠DAF ∠ABF =∠ADF AF =AF,∴△ABF ≌△ADF (AAS );(2)∵△ABF ≌△ADF ,∴AD =AB =8,BF =DF ,∵AE =5,∴DE =AD ﹣AE =8﹣5=3,∴△EFD 的周长=EF +DF +DE =EF +BF +DE =BE +DE =7+3=10.5.(2021春•北碚区校级期末)如图,已知D 是AC 上一点,AB =DA ,AB +DC =ED ,AE =BC .(1)求证:△ABC ≌△DAE ,(2)若∠BAE =125°,求∠DCB 的度数.【解题思路】(1)根据SSS 证明三角形全等即可.(2)利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.【解答过程】(1)证明:∵DE =AB +DC ,AB =AD ,∴DE =AD +DC =AC ,在△ABC 和△DAE 中,{AB =AD AC =DE BA =AE,∴△ABC ≌△DAE (SSS ).(2)解:∵△ABC ≌△DAE ,∴∠EAD =∠B ,∴∠B +∠BAC =∠EAD +∠BAC =∠EAB =125°,∴∠DCB =180°﹣(∠B +∠BAC )=180°﹣125°=55°.6.(2021春•莱芜区期末)如图,已知AD 、BC 相交于点O ,AB =CD ,AM ⊥BC 于点M ,DN ⊥BC 于点N ,BN =CM .(1)求证:△ABM ≌△DCN ;(2)试猜想OA 与OD 的大小关系,并说明理由.【解题思路】(1)根据HL 可证明:△ABM ≌△DCN ;(2)根据AAS 证明△AMO ≌△DNO 可得结论.【解答过程】(1)证明:∵BN =CM ,∴BN +MN =MN +CM ,即CN =BM ,∵AM ⊥BC 于点M ,DN ⊥BC 于点N ,∴∠AMB =∠DNC =90°,在Rt △ABM 和Rt △DCN 中,{AB =CD BM =CN, ∴Rt △ABM ≌Rt △DCN (HL );(2)解:OA =OD ,理由如下:∵Rt △ABM ≌Rt △DCN ,∴AM =DN ,在△AMO 和△DNO 中,{∠AOM =∠DNO ∠AMO =∠DNO AM =DN,∴△AMO ≌△DNO (AAS ),∴OA =OD .7.(2021春•静安区期末)如图,已知四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ∥BC .E 为BD 上一点,且BE =AD ,∠DEF =∠ADC ,EF 交BC 的延长线于点F .(1)AD 和BC 相等吗?为什么?(2)BF 和BD 相等吗?为什么?【解题思路】(1)根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD 与△CDB 全等,进而利用全等三角形的性质解答即可;(2)根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB 与△CDB 全等,进而解答即可.【解答过程】解:(1)AD =CB ,理由如下:∵AD ∥BC ,∴∠ABD =∠CDB ,同理可得,∠ADB =∠CBD ,在△ABD 与△CDB 中,{∠ABD =∠CDB BD =DB ∠ADB =∠CBD,∴△ABD ≌△CDB (ASA ),∴AD =CB ;(2)BF =BD ,理由如下:∵AD =CB ,BE =AD ,∴BC =BE ,∵∠DEF =∠ADC ,∴∠DEF ﹣∠DBF =∠ADC ﹣∠ADB ,即∠EFB =∠CDB ,在△EFB 与△CDB 中,{∠EFB =∠CDB BC =BE ∠FBE =∠DBC,∴△EFB ≌△CDB (ASA ),∴FB =DB .8.(2021春•沙坪坝区校级月考)如图,△ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D .BE ⊥AC ,垂足为G ,AB =CF ,BE =AC .(1)求证:AE =AF ;(2)求∠EAF 的度数.【解题思路】(1)利用SAS 证明△AEB ≌△F AC 可证明结论;(2)由全等三角形的性质可得∠E =∠CAF ,由余角的定义可求得∠EAF 的度数.【解答过程】(1)证明:∵CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,∴∠CAD +∠ACD =∠CAD +∠EBA =90°,∴∠ACD =∠EBA ,在△AEB 和△F AC 中,{AB =FC ∠EBA =∠ACF BE =CA,∴△AEB ≌△F AC (SAS ),∴AE =F A ;(2)解:∵△AEB ≌△F AC ,∴∠E =∠CAF ,∵∠E +∠EAG =90°,∴∠CAF +∠EAG =90°,即∠EAF =90°.9.(2021春•铁岭月考)已知:如图,AB =AC ,∠1=∠2.(1)找出图中的所有全等三角形(直接写出);(2)求证:AD =AE .【解题思路】(1)直接根据全等三角形的判定可得答案;(2)先根据SAS 证得△ABF ≌△ACF ,再根据ASA 证得△BDF ≌△CEF ,然后根据全等三角形的性质可得结论.【解答过程】解:(1)△ABF ≌△ACF ,△BDF ≌△CEF ,△ADF ≌△AEF ,△ADC ≌△AEB ;(2)证明:在△ABF 和△ACF 中,{AB =AC ∠1=∠2AF =AF,∴△ABF ≌△ACF (SAS ),∴∠B =∠C ,BF =CF .在△BDF 和△CEF 中,{∠B =∠C BF =CF ∠BFD =∠CFE,∴△BDF ≌△CEF (ASA ),∴BD =CE ,∴AB ﹣BD =AC ﹣CE ,∴AD =AE .10.(2021•南岗区模拟)已知:在△ABC 和△DBE 中,AB =DB ,BC =BE ,其中∠ABD =∠CBE .(1)如图1,求证:AC =DE ;(2)如图2,AB =BC ,AC 分别交DE ,BD 于点F ,G ,BC 交DE 于点H ,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四对全等三角形.【解题思路】(1)根据SAS 证明△ABC 与△DBE 全等,利用全等三角形的性质解答即可.(2)根据全等三角形的判定解答即可.【解答过程】证明:(1)∵∠ABD =∠CBE ,∴∠ABD +∠DBC =∠CBE +∠DBC ,即∠ABC =∠DBE ,在△ABC 与△DBE 中,{AB =DB ∠ABC =∠DBE BC =BE,∴△ABC ≌△DBE (SAS ),∴AC =DE ;(2)由(1)得△ABC ≌△DBE ,∴∠A =∠D ,∠C =∠E ,AB =DB ,BC =BE ,∴AB =BE ,∵AB =BC ,∴∠A =∠C ,∴∠A =∠E ,在△ABG 与△EBH 中,{∠A =∠E AB =BE ∠ABD =∠EBC,∴△ABG ≌△EBH (ASA ),∴BG =BH ,在△DBH 与△CBG 中,{BG =BH ∠DBH =∠CBG DB =CB,∴△DBH ≌△CBG (SAS ),∴∠D =∠C ,∵DB =CB ,BG =BH ,∴DG =CH ,在△DFG 与△CFH 中,{∠DFG =∠CFH ∠D =∠C DG =CH,∴△DFG ≌△CFH (AAS ).11.(2021•三水区一模)如图,AB =AC ,直线l 过点A ,BM ⊥直线l ,CN ⊥直线l ,垂足分别为M 、N ,且BM =AN .(1)求证△AMB ≌△CNA ;(2)求证∠BAC =90°.【解题思路】(1)由HL证明△AMB≌△CNA即可;(2)先由全等三角形的性质得∠BAM=∠ACN,再由∠CAN+∠ACN=90°,得∠CAN+∠BAM=90°,即可得出结论.【解答过程】证明:(1)∵BM⊥直线l,CN⊥直线l,∴∠AMB=∠CNA=90°,在Rt△AMB和Rt△CNA中,{AB=CABM=AN,∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL);(2)由(1)得:Rt△AMB≌Rt△CNA,∴∠BAM=∠ACN,∵∠CAN+∠ACN=90°,∴∠CAN+∠BAM=90°,∴∠BAC=180°﹣90°=90°.12.(2021•广州模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是∠ACB内部一点,连接CE,作AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为点D,E.(1)求证:△BCE≌△CAD;(2)若BE=5,DE=7,则△ACD的周长是30.【解题思路】(1)根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC;(2)利用(1)中结论,根据全等三角形的性质即可解决问题;【解答过程】(1)证明:∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,∴∠E =∠ADC =90°,∴∠EBC +∠BCE =90°.∵∠BCE +∠ACD =90°,∴∠EBC =∠DCA .在△BCE 和△CAD 中,{∠E =∠ADC ∠EBC =∠DCA BC =AC,∴△BCE ≌△CAD (AAS );(2)解:∵:△BCE ≌△CAD ,BE =5,DE =7,∴BE =DC =5,CE =AD =CD +DE =5+7=12.∴由勾股定理得:AC =13,∴△ACD 的周长为:5+12+13=30,故答案为:30.13.(2020春•越秀区校级期中)已知:△ABN 和△ACM 的位置如图所示,∠1=∠2,AB =AC ,AM =AN . 求证:(1)∠BAN =∠CAM ;(2)∠ODA =∠OEA .【解题思路】(1)由∠1=∠2,则∠1+∠MAN =∠2+∠MAN ,即∠BAN =∠CAM ;(2)先证△ACM ≌△ABN (SAS ),得∠M =∠N ,再证△ADN ≌△AEM (ASA ),即可得出结论.【解答过程】证明:(1)∵∠1=∠2,∴∠1+∠MAN =∠2+∠MAN ,即∠BAN =∠CAM ;(2)在△ACM 和△ABN 中,{AM =AN ∠CAM =∠BAN AC =AB,∴△ACM ≌△ABN (SAS ),∴∠M =∠N ,在△ADN 和△AEM 中,{∠DAN =∠EAM AN =AM ∠N =∠M,∴△ADN ≌△AEM (ASA ),∴∠NDA =∠MEA ,即∠ODA =∠OEA .14.(2020•江北区模拟)如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AB 边上一点,过点C 作CF ∥AB ,交ED 的延长线于点F .(1)求证:△BDE ≌△CDF ;(2)当AD ⊥BC ,AE =2,CF =1时,求AC 的长.【解题思路】(1)根据平行线的性质得到∠B =∠FCD ,∠BED =∠F ,由AD 是BC 边上的中线,得到BD =CD ,于是得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到BE =CF =1,求得AB =AE +BE =3,于是得到结论.【解答过程】证明:∵CF ∥AB ,∴∠B =∠FCD ,∠BED =∠F ,∵AD 是BC 边上的中线,∴BD =CD ,在△BDE 和△CDF 中,{∠B =∠FCD ∠BED =∠F BD =CD,∴△BDE ≌△CDF (AAS );(2)∵△BDE ≌△CDF ,∴BE =CF =1,∴AB =AE +BE =2+1=3,∵AD ⊥BC ,BD =CD ,∴AC =AB =3.15.(2020秋•萧山区月考)如图,已知在△ABC 中,BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,F 是BD 上一点,BF =AC ,G 是CE 延长线上一点,CG =AB ,连接AG ,AF .(1)试说明∠ABD =∠ACE ;(2)探求线段AF ,AG 有什么关系?并请说明理由.【解题思路】(1)根据的等角的余角相等,即可证明∠ACG =∠ABF ;(2)根据SAS 推出△ABF ≌△GCA 即可解决问题;【解答过程】(1)证明:∵BD 、CE 是△ABC 的高,∴∠ADB =∠AEC =90°,∴∠ABF +∠BAD =90°,∠GCA +∠BAD =90°,∴∠ABF =∠GCA ,(2)结论:AF =AG ,AF ⊥AG .理由如下:在△ABF 和△GCA 中,{AB =CG ∠ABF =∠GCA BF =AC,∴△ABF ≌△GCA (SAS ),∴AF =AG ,∠GAC =∠AFB ,∵∠AFB=∠ADB+∠F AD,∠GAC=∠GAF+∠F AD,∴∠GAF=∠ADF,∵∠ADF=90°,∴∠GAF=90°,∴AG⊥AF,AG=AF.16.(2021•张家界模拟)如图,四边形ABCD中,AB=BC=2CD,AB∥CD,∠C=90°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,连接DE(1)求证:△ABE≌△BCD;(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系,并说明理由;(3)若CD=1,试求△AED的面积.【解题思路】(1)由平行线的性质得出∠ABE+∠C=180°,得出∠ABE=90°=∠C,再证出BE=CD,由SAS证明△ABE≌△BCD即可;(2)由全等三角形的性质得出AE=BD,证出∠ABF+∠BAE=90°,得出∠AFB=90°,即可得出结论;(3)由全等三角形的性质得出BE=CD=1,求出CE=BC﹣BE=1,得出CE=CD,△AED的面积=梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积,即可得出答案.【解答过程】(1)证明:∵AB∥CD,∴∠ABE+∠C=180°,∵∠C=90°,∴∠ABE=90°=∠C,∵E是BC的中点,∴BC=2BE,∵BC=2CD,∴BE=CD,在△ABE和△BCD中,{AB=BC∠ABE=∠CBE=CD,∴△ABE≌△BCD(SAS);(2)解:AE=BD,AE⊥BD,理由如下:由(1)得:△ABE≌△BCD,∴AE=BD,∵∠BAE=∠CBD,∠ABF+∠CBD=90°,∴∠ABF+∠BAE=90°,∴∠AFB=90°,∴AE⊥BD;(3)解:∵△ABE≌△BCD,∴BE=CD=1,∵AB=BC=2CD=2,∴CE=BC﹣BE=1,∴CE=CD,∴△AED的面积=梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积=12(1+2)×2−12×2×1−12×1×1=3 2.17.(2020秋•台江区校级期中)如图,A,B,C三点共线,D,C,E三点共线,∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F,AE=BD.(1)求证:C是DE的中点;(2)求证:AB=2CF.【解题思路】(1)过D 作DH ⊥AC 的延长线与H ,根据全等三角形的判定证得△AEF ≌△BDH ,得到EF =DH ,再证得△EFC ≌△DHC 得到CE =CD ,即可证得即可证得结论;(2)由(1)得,△AEF ≌△BDH ,△EFC ≌△DHC ,根据全等三角形的性质得到AF =BH ,CF =CH ,再根据线段的和差即可证得结论.【解答过程】证明:(1)过D 作DH ⊥AC 的延长线与H ,∴∠EFC =∠DHC =90°,在△AEF 和△BDH 中,{∠A =∠DBC ∠AFE =∠BHD =90°AE =BD,∴△AEF ≌△BDH (AAS ),∴EF =DH ,在△EFC 和△DHC 中,{∠FCE =∠HCD ∠EFC =∠DHC =90°EF =DH,∴△EFC ≌△DHC (AAS ),∴CE =CD ,∴C 是DE 的中点;(2)由(1)得,△AEF ≌△BDH ,△EFC ≌△DHC ,∴AF =BH ,CF =CH ,∴AB +BF =BF +FH ,FH =2FC ,∴AB =FH ,∴AB =2CF .18.(2021春•铁岭月考)如图,△AOC 和△BOD 中,OA =OC ,OB =OD ,∠AOC =∠BOD =α(0<α<90°),AD 与BC 交于点P .(1)求证:△AOD ≌△COB ;(2)求∠APC (用含α的式子表示);(3)过点O 分别作OM ⊥AD ,ON ⊥BC ,垂足分别为点M 、N ,请直接写出OM 和ON 的数量关系.【解题思路】(1)由∠AOC =∠BOD ,可得∠AOD =∠COB ,然后根据SAS 可得结论;(2)根据全等三角形的性质得∠OAD =∠OCB ,再根据三角形外角性质可得答案;(3)根据全等三角形的性质得∠MAO =∠NCO ,由垂直定义得∠AMO =∠CNO ,再根据全等三角形的判定与性质可得结论.【解答过程】解:(1)∵∠AOC =∠BOD ,∴∠AOC +∠COD =∠BOD +∠COD ,∴∠AOD =∠COB ,在△AOD 和△COB 中,{OA =OC ∠AOD =∠COB OD =OB,∴△AOD ≌△COB (SAS );(2)由(1)可知△AOD ≌△COB ,∴∠OAD =∠OCB ,令AD 与OC 交于点E ,则∠AEC =∠OAD +∠AOC =∠OCB +∠APC ,∴∠AOC =∠APC ,∵∠AOC =α,∴∠APC =α;(3)∵△AOD ≌△COB ,∴∠P AP =∠BCO ,即∠MAO =∠NCO ,∵OM ⊥AD ,ON ⊥BC ,∴∠AMO =∠CNO =90°,在△AOM 和△CON 中,{∠MAO =∠NCO ∠AMO =∠CNO OA =OC,∴△AOM ≌△CON (AAS ),∴OM =ON .19.(2020秋•花都区月考)如图所示,BD 、CE 是△ABC 的高,点P 在BD 的延长线上,CA =BP ,点Q 在CE 上,QC =AB .(1)探究P A 与AQ 之间的关系;(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形,AC >AB ,∠A 是钝角,其他条件不变,上述结论是否成立?画出图形并证明你的结论.【解题思路】(1)由条件可得出∠1=∠2,可证得△APB ≌△QAC ,可得结论;(2)根据题意画出图形,结合(1)可证得△APB ≌△QAC ,可得结论.【解答过程】(1)结论:AP =AQ ,AP ⊥AQ 证明:∵BD 、CE 是△ABC 的高, ∴BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,∴∠1+∠CAB =90°,∠2+∠CAB =90°, ∴∠1=∠2,在△QAC 和△APB 中,{QC =AB ∠1=∠2CA =BP,∴△QAC ≌△APB (SAS ),∴AQ =AP ,∠QAC =∠P ,而∠DAP +∠P =90°,∴∠DAP +∠QAC =90°,即∠QAP =90°,∴AQ ⊥AP ;即AP =AQ ,AP ⊥AQ ;(2)上述结论成立,理由如下:如图所示:∵BD 、CE 是△ABC 的高,∴BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,∴∠1+∠CAE =90°,∠2+∠DAB =90°, ∵∠CAE =∠DAB ,∴∠1=∠2,在△QAC 和△APB 中,{QC =AB ∠1=∠2CA =BP,∴△QAC ≌△APB (SAS ),∴AQ =AP ,∠QAC =∠P ,∵∠PDA =90°,∴∠P +∠P AD =90°,∴∠QAC +∠P AD =90°,∴∠QAP =90°,∴AQ ⊥AP ,即AP =AQ ,AP ⊥AQ .20.(2020春•萍乡期末)在△ABC 中,AB =AC ,D 是直线BC 上一点,以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ,使AE =AD ,∠DAE =∠BAC ,连接CE ,设∠BAC =∠1,∠DCE =∠2.(1)如图①,当点D 在线段BC 上移动时,试说明:∠1+∠2=180°;(2)如图②,当点D 在线段BC 的延长线上移动时,请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系?并说明理由.【解题思路】(1)由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ,可得∠ACE =∠ABD ,由三角形的内角和定理可得结论;(2)由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ,可得∠ACE =∠ABD ,由三角形的内角和定理和平角的定义可得结论.【解答过程】证明:(1)∵∠DAE =∠BAC ,∴∠BAD =∠CAE ,在△ABD 和△ACE 中,{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE,∴△BAD ≌△CAE (SAS ),∴∠ACE =∠ABD ,∵∠BAC +∠ABD +∠ACB =180°,∴∠BAC +∠ACB +∠ACE =∠BAC +∠BCE =180°,∴∠1+∠2=180°;(2)∠1=∠2,理由如下:∵∠DAE =∠BAC ,∴∠BAD =∠CAE ,在△ABD 和△ACE 中,{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE,∴△BAD ≌△CAE (SAS ),∴∠ACE =∠ABD ,∵∠BAC +∠ABD +∠ACB =180°,∠ACE +∠ACB +∠DCE =180°,∴∠1=∠2.21.(2020春•揭阳期末)已知△ABC ,点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点,连接BD 、CF 交于点E .(1)若BD ⊥AC ,CF ⊥AB ,如图1所示,试说明∠BAC +∠BEC =180°;(2)若BD 平分∠ABC ,CF 平分∠ACB ,如图2所示,试说明此时∠BAC 与∠BEC 的数量关系;(3)在(2)的条件下,若∠BAC =60°,试说明:EF =ED .【解题思路】(1)根据余角的性质得到∠DEC =∠BAC ,由于∠DEC +∠BEC =180°,即可得到结论;(2)根据角平分线的性质得到∠EBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠ACB ,于是得到结论;(3)作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ,由∠BAC =60°,得到∠BEC =90°+12∠BAC =120°,求得∠FEB =∠DEC =60°,根据角平分线的性质得到∠BEM =60°,推出△FBE ≌△EBM ,根据全等三角形的性质得到EF =EM ,同理DE =EM ,即可得到结论.【解答过程】解:(1)∵BD ⊥AC ,CF ⊥AB ,∴∠DCE +∠DEC =∠DCE +∠F AC =90°,∴∠DEC =∠BAC ,∠DEC +∠BEC =180°,∴∠BAC +∠BEC =180°;(2)∵BD 平分∠ABC ,CF 平分∠ACB ,∴∠EBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠ACB ,∠BEC =180°﹣(∠EBC +∠ECB )=180°−12(∠ABC +∠ACB )=180°−12(180°﹣∠BAC )=90°+12∠BAC ;(3)作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ,∵∠BAC =60°,∴∠BEC =90°+12∠BAC =120°,∴∠FEB =∠DEC =60°,∵EM 平分∠BEC ,∴∠BEM =60°,在△FBE 与△EBM 中,{∠FBE =∠EBM BE =BE ∠FEB =∠MEB,∴△FBE ≌△EBM (ASA ),∴EF =EM ,同理DE =EM ,∴EF =DE .22.(2020秋•淇滨区校级期中)(1)如图1所示,△ACB 和△ECD 都是等腰三角形,A 、C 、D 三点在同一直线上,连接BD 、AE ,并延长AE 交BD 于点F ,试判断AE 与BD 的数量关系及位置关系,并证明你的结论.(2)若△ECD 绕顶点C 顺时针转任意角度后得到图2,图1中的结论是否仍然成立?请说明理由.【解题思路】(1)根据SAS 推出△ACE ≌△BCD ,根据全等三角形的性质得出∠CAE =∠DBC ,根据∠ACB =90°求出∠CAE +∠AEC =90°,求出∠DBC +∠BEF =90°,根据三角形内角和定理求出∠BFE =90°即可;(2)根据SAS 推出△ACE ≌△BCD ,根据全等三角形的性质得出∠CAE =∠DBC ,根据∠ACB =90°求出∠CAE +∠AOC =90°,求出∠DBC +∠BOE =90°,根据三角形内角和定理求出∠BFO =90°即可.【解答过程】(1)AE ⊥BD .证明:在△ACE 和△BCD 中{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE ≌△BCD (SAS ),∴∠CAE =∠DBC ,∵∠ACB =90°,∴∠CAE +∠AEC =90°,∵∠CAE =∠DBC ,∠AEC =∠BEF ,∴∠DBC +∠BEF =90°,∴∠BFE =180°﹣90°=90°,∴AE ⊥BD ;(2)解:结论还成立,理由是:∵∠ACB =∠ECD ,∴∠ACB +∠BCE =∠ECD +∠BCE ,即∠ACE =∠BCD ,在△ACE 和△BCD 中{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠CAE=∠DBC,∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠AOC=90°,∵∠CAE=∠DBC,∠AOC=∠BOE,∴∠DBC+∠BOE=90°,∴∠BFO=180°﹣90°=90°,∴AE⊥BD.23.(2020秋•蒙阴县期中)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时,①找出图中一对全等三角形;②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系,并加以证明.【解题思路】(1)根据余角和补角的性质易证得∠DAC=∠ECB,已知∠ADC=∠CEB=90°,AC=CB,根据全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB,根据各边的相等关系即可得DE=AD+BE.(2)同理可证得△ADC≌△CEB,再根据各边的相等关系可得DE=AD﹣BE.【解答过程】(1)证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=180°﹣90°=90°,∴∠DAC=∠ECB;在△ADC和△CEB中,∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS)①,(7分)∴DC=EB,AD=CE,∴DE=AD+BE.(9分)(2)解:同理可得△ADC≌△CEB①;(11分)∴AD=CE,CD=BE,∴DE=AD﹣BE②.(14分)24.(2018秋•环翠区期末)(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,若∠EAF=12∠BAD,可求得EF、BE、FD之间的数量关系为BE+DF=EF.(只思考解题思路,完成填空即可,不必书写证明过程)(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,若∠EAF=12∠BAD,判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗,若成立,请完成证明,若不成立,请说明理由.【可借鉴第(1)问的解题经验】【解题思路】(1)线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF.如图1中,延长CB至M,使BM =DF,连接AM,利用全等三角形的性质解决问题即可.(2)结论:EF+DF=BE.如图2中,在BE上截取BM=DF,连接AM,证明△ABM≌△ADF(SAS),推出AM=AF,∠BAM=∠DAF,再证明△AEM≌△AEF(SAS),可得结论.【解答过程】解:(1)线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF.如图1,延长CB至M,使BM=DF,连接AM,∵∠ABC +∠D =180°,∠ABC +∠1=180°,∴∠1=∠D ,在△ABM 和△ADF 中,{AB =AD ∠1=∠D BM =DF,∴△ABM ≌△ADF (SAS ),∴AM =AF ,∠3=∠2,∵∠EAF =12∠BAD ,∴∠4+∠4=∠EAF ,∴∠GAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ,在△MAE 和△F AE 中,{AM =AF ∠MAE =∠FAE AE =AE,∴△MAE ≌△F AE (SAS ),∴EF =EM ,∵EM =BM +BE =BE +DF ,∴EF =BE +FD ;故答案为:BE +DF =EF .(2)结论:EF +DF =BE .理由:在BE 上截取BM =DF ,连接AM ,∵∠B +∠ADC =180°,∠ADC +∠ADE =180°,∴∠B =∠ADF ,在△ABM 与△ADF 中,{BM =DF ∠ABM =∠ADF AB =AD,∴△ABM ≌△ADF (SAS ),∴AM =AF ,∠BAM =∠DAF ,∵∠EAF =12∠BAD ,∴∠EAF =∠EAM ,在△AEM 与△AEF 中,{AM =AF ∠EAF =∠EAM AE =AE,∴△AEM ≌△AEF (SAS ),∴EM =EF ,即BE ﹣BM =EF ,即BE ﹣DF =EF ,∴EF +DF =BE .25.(2021春•和平区期末)如图,在△ABC 中,AC =BC ,点D 在边AB 上,AB =4BD ,连接CD ,点E ,F 在线段CD 上,连接BF ,AE ,∠BFC =∠AEC =180°﹣∠ACB .(1)①∠FBC 与∠ECA 相等吗?说明你的理由;②△FBC 与△ECA 全等吗?说明你的理由;(2)若AE =11,EF =8,则请直接写出BF 的长为 3 ;(3)若△ACE 与△BDF 的面积之和为12,则△ABC 的面积为 48 .【解题思路】(1)①连接BC ,由已知及∠AEC =180°﹣∠AED ,可得到∠ACB =∠AED .再证明∠CAE =∠BCF ,由三角形内角和定理可得∠FBC =∠ECA ;②利用“ASA ”证明△FBC ≌△ECA ;(2)由(1)中全等三角形的结论及已知可得到BF 的长;(3)由(1)中结论可得S △FBC =S △ECA ,所以S △ECA +S △BDF =12=S △FBC +S △BDF =S △DBC ,根据AB =4BD ,可得到S △DBC =14S △ABC =12,从而可得△ABC 的面积.【解答过程】解:(1)①∠FBC =∠ECA ,理由如下:连接BC ,如右图.∵∠BFC =∠AEC =180°﹣∠ACB ,且∠AEC =180°﹣∠AED ,∴∠ACB =∠AED .由外角定理可得∠AED =∠ACD +∠CAE ,又∠ACB =∠ACD +∠BCF ,∴∠CAE =∠BCF ,由三角形内角和定理可得∠FBC =∠ECA .②△FBC 与△ECA 全等,理由如下:在△FBC 和△ECA 中,{∠FBC =∠ECA BC =CA ∠BCF =∠CAE,∴△FBC ≌△ECA (ASA ).(2)由(1)中②可知,FC =AE =11,BF =CE ,又EF =8,∴CE =FC ﹣EF =11﹣8=3,∴BF =3,故答案为:3.(3)由(1)中结论可知S△FBC=S△ECA,∴S△ECA+S△BDF=12=S△FBC+S△BDF=S△DBC,又AB=4BD,∴S△DBC=14S△ABC=12,∴S△ABC=48.故答案为:48.26.(2020•岱岳区一模)已知∠ABC=90°,点D是直线AB边上的点,AD=BC.(1)如图1,点D在线段AB上,过点A作AF⊥AB,且AF=BD,连接DC、DF、CF,试判断△CDF 的形状并说明理由;(2)如图2,点D在线段AB的延长线上,点F在点A的左侧,其他条件不变,以上结论是否仍然成立?请说明理由.【解题思路】(1)利用SAS证明△F AD≌△DBC,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,即可判断三角形的形状;(2)利用SAS证明△F AD和△DBC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出结论.【解答过程】(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:∵AF⊥AB,∴∠A=90°,在△F AD和△DBC中,∵{AF=BD∠A=∠B=90°AD=BC,∴△F AD≌△DBC(SAS),∴∠ADF=∠BCD,DF=DC,∵∠BDC+∠BCD=90°,∴∠ADF+∠CDB=90°,∴∠FDC=180°﹣90°=90°,又∵DF=DC,∴△CDF是等腰直角三角形;(2)仍然成立,理由如下:∵AF⊥AB,∴∠A=90°,在△F AD和△DBC中,∵{AF=BD∠A=∠DBC=90°AD=BC,∴△F AD≌△DBC(SAS),∴∠ADF=∠BCD,DF=DC,∵∠BDC+∠BCD=90°,∴∠ADF+∠BDC=90°,即∠FDC=90°,又∵DF=DC,∴△CDF是等腰直角三角形.27.如图(1),线段AD∥BC,连接AB、CD,取CD中点E,连接AE,AE平分∠BAD.(1)线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系?请说明理由.(2)如果点C在AB的左侧,其他条件不变,如图(2)所示,那么(1)中的结论还成立吗?如果成立,请说明理由;如果不成立,请写出新的结论,并说明理由.【解题思路】(1)延长AE ,BF 交于点F ,即可求证△ADE ≌△FCE ,即可求得CF =AD ,AB =BF ,即可求得AB =AD +BC ;(2)不成立,新的结论为:AB +BC =AD .延长AE ,BF 交于点F ,可证△ADE ≌△FCE 和AB =BF ,即可解题.【解答过程】解:(1)延长AE ,BF 交于点F ,∵AE 平分∠BAD ,∴∠BAF =∠DAF ,∵AD ∥BC ,∴∠AFB =∠DAF ,∴AB =BF ,在△ADE 和△FCE 中,{∠DAE =∠EFC ∠AED =∠FEC DE =CE,∴△ADE ≌△FCE (AAS ),∴CF =AD ,∵BF =BC +CF ,∴AB =BC +AD ;(2)不成立,新结论为:AB =AD ﹣BC .延长AE ,BF 交于点F ,证明:∵AE 平分∠BAD ,∴∠BAF =∠DAF ,∵AD ∥BC ,∴∠AFB =∠DAF ,∴AB =BF ,在△ADE 和△FCE 中,{∠DAE =∠EFC ∠AED =∠FEC DE =CE,∴△ADE ≌△FCE (AAS ),∴CF =AD ,∵BF +BC =CF ,∴AB +BC =AD .28.(2021春•章丘区期末)如图,CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA =CB ,E 、F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC =∠CF A =α.(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部,且E 、F 在射线CD 上.①如图1,若∠BCA =90°,α=90°,则BE = CF ;②如图2,若0°<∠BCA <180°,请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 α+∠BCA =180° ,使①中的结论们然成立,并说明明理由;(2)如图3,若线CD 经过∠BCA 的外部,a =∠BCA ,请提出关于EF ,BE ,AF 三条线段数量关系的合理猜想,并简述理由.【解题思路】(1)由∠BCA =90°,∠BEC =∠CF A =α=90°,可得∠CBE =∠ACF ,从而可证△BCE ≌△CAF ,故BE =CF .(2)若BE =CF ,则可使得△BCE ≌△CAF .根据题目已知条件添加条件,再使得一对角相等,△BCE ≌△CAF 便可得证.(3)题干已知条件可证△BCE ≌△CAF ,故BE =CF ,EC =F A ,从而可证明EF =BE +AF .【解答过程】解:(1)∵∠BEC =∠CF A =α=90°,∴∠BCE +∠CBE =180°﹣∠BEC =90°.又∵∠BCA =∠BCE +∠ACF =90°,∴∠CBE =∠ACF .在△BCE 和△CAF 中,{∠BEC =∠CFA ,∠CBE =∠ACF ,BC =AC .∴△BCE ≌△CAF (AAS ).∴BE =CF .(2)α+∠BCA =180°,理由如下:∵∠BEC =∠CF A =α,∴∠BEF =180°﹣∠BEC =180°﹣α.又∵∠BEF =∠EBC +∠BCE ,∴∠EBC +∠BCE =180°﹣α.又∵α+∠BCA =180°,∴∠BCA =180°﹣α.∴∠BCA =∠BCE +∠ACF =180°﹣α.∴∠EBC =∠FCA .在△BCE 和△CAF 中,{∠CBE =∠ACF ,∠BEC =∠CFA ,BC =CA .∴△BCE ≌△CAF (AAS ).∴BE =CF .(3)EF =BE +AF ,理由如下:∵∠BCA =α,∴∠BCE +∠ACF =180°﹣∠BCA =180°﹣α.又∵∠BEC =α,∴∠EBC +∠BCE =180°﹣∠BEC =180°﹣α.∴∠EBC =∠FCA .在△BEC 和△CF A 中,{∠EBC =∠FCA ,∠BEC =∠FCA ,BC =CA .∴△BEC ≌△CF A (AAS ).∴BE =CF ,EC =F A .∴EF =EC +CF =F A +BE ,即EF =BE +AF .29.(2020春•南岸区期末)在∠MAN 内有一点D ,过点D 分别作DB ⊥AM ,DC ⊥AN ,垂足分别为B ,C .且BD =CD ,点E ,F 分别在边AM 和AN 上.(1)如图1,若∠BED =∠CFD ,请说明DE =DF ;(2)如图2,若∠BDC =120°,∠EDF =60°,猜想EF ,BE ,CF 具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由.【解题思路】(1)根据题目中的条件和∠BED =∠CFD ,可以证明△BDE ≌△CDF ,从而可以得到DE =DF ;(2)作辅助线,过点D 作∠CDG =∠BDE ,交AN 于点G ,从而可以得到△BDE ≌△CDG ,然后即可得到DE =DG ,BE =CG ,再根据题目中的条件可以得到△EDF ≌△GDF ,即可得到EF =GF ,然后即可得到EF ,BE ,CF 具有的数量关系.【解答过程】解:(1)∵DB ⊥AM ,DC ⊥AN ,∴∠DBE =∠DCF =90°,在△BDE 和△CDF 中,∵{∠BED =∠CFD ,∠DBE =∠DCF ,BD =CD ,∴△BDE ≌△CDF (AAS ).∴DE =DF ;(2)EF =FC +BE ,理由:过点D 作∠CDG =∠BDE ,交AN 于点G ,在△BDE 和△CDG 中,{∠EBD =∠GCD BD =CD ∠BDE =∠CDG,∴△BDE ≌△CDG (ASA ),∴DE =DG ,BE =CG .∵∠BDC =120°,∠EDF =60°,∴∠BDE +∠CDF =60°.∴∠FDG =∠CDG +∠CDF =60°,∴∠EDF =∠GDF .在△EDF 和△GDF 中,{DE =DG ∠EDF =∠GDF DF =DF,∴△EDF ≌△GDF (SAS ).∴EF =GF ,∴EF=FC+CG=FC+BE.30.(2021春•揭东区期末)已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F.(1)如图1,求证:△ACE≌△DCB.(2)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB=120°;如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB=90°;(3)如图3,若∠ACD=β,则∠AFB=180°﹣β(用含β的式子表示)并说明理由.【解题思路】(1)求出∠ACE=∠DCB,根据SAS证出两三角形全等即可;(2)根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,求出∠EAB+∠DBA=∠ACD,∠AFB =180°﹣(∠EAB+∠DBC),代入求出即可;(3)根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,求出∠EAB+∠DBA=∠ACD,∠AFB =180°﹣(∠EAB+∠DBC),代入求出即可.【解答过程】(1)证明:∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB,在△ACE和△DCB中∵{AC=CD∠ACE=∠DCB CE=CB,∴△ACE≌△DCB;(2)解:∵∠ACD=60°,∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°,∵△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,∴∠CAE+∠DBC=60°,∴∠AFB=180°﹣60°=120°;当∠ACD=90°时,∵∠ACD=90°,∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°,∵△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,∴∠CAE+∠DBC=90°,∴∠AFB=180°﹣90°=90°;故答案为:120°,90°;(3)解:当∠ACD=β时,∠AFB=180°﹣β,理由是:∵∠ACD=β,∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β,∵△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,∴∠CAE+∠DBC=β,∴∠AFB=180°﹣(∠CAE+∠DBC)=180°﹣β;故答案为:180°﹣β.。

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
八年级全等三角形简单证明题及解 答(5道)
汇报人:XX
目 录
• 题目一:基本的全等三角形证明 • 题目二:利用角平分线性质证明 • 题目三:通过边边边条件证明 • 题目四:结合中线性质进行证明 • 题目五:综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一:基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$,其中$AB = DE$,$AC = DF$,$\angle BAC = \angle EDF$。求证:$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知,△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步,根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步,因为BD=AD(已知),所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF(已知), 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步,交叉相乘得AD*EC=AE*CF,即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF(对顶角相 等),所以△ADE∽△ACF。
第三步,根据相似三 角形的性质,有 AB/AC = BD/DC。
综上,我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三:通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中,AB = DE,BC = EF,AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件,我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中,AB = DE,BC = EF,AC = DF(已

人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练-最新

人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练-最新

BA DC 人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练·最新全等三角形证明习题(1)1.在△ABC 中,AB=AC ,AD 是三角形的中线.求证:△ABD ≌△ACD2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .3.已知,如图BD 平分∠ABC ,AB = BC 。

求证:AD = CD4.如图(1):AD ⊥BC ,垂足为D ,BD=CD 。

求证:AB=AC 。

CBABDC E A5. 如图,点E, F 在BC 上,BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D6. 如图,AB=AD, BC=DE, ∠B=∠D . 问∠BAE 与∠DAC 相等吗?为什么?7. 已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD 是∠BAC 的平分线.8.如图所示在△ABC 中,AB=AC , D 是BD 的中点,求证:△9.如图(2):AC ∥EF ,AC=EF ,AE=BD 。

求证:△ABC ≌△EDF 。

CO ED BA FC10.已知:如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D 在BE 边上. 求证:∠CAE=∠DAB .11.已知:点D 在AB 上,点E 在AC 上,BE 和CD 相交于点O ,AB=AC , ∠B=∠C 。

求证: △ABE ≌△ACD12.如图:AC=DF ,AD=BE ,BC=EF 。

求证:∠C=∠F 。

13.如图:AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。

求证:BF=CF 。

DBEA OC FEB DADA14.如图,CE ⊥AB 于E , DF ⊥AB 于F , AF=BE , 且AC=BD , 求证:AC ∥BD15.如图,已知AB=DE ,BC=EF ,AF=DC ,则∠EFD=∠BCA ,请说明理由。

16.如图(6):CG=CF ,BC=DC ,AB=ED ,点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

初二数学全等三角形证明题专题训练
1.如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。

求证:ACF BDE ∆≅∆。

2.如图,在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。

求证:21C ∠=∠+∠。

3.如图,在ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。

求证:AE CF =。

4.如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =。

5. 如图,,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P 。

求证:BP 为MBN ∠的平分线。

6.如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点,且CD AB =,ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ∆的中线。

求证:2AC AE =。

7.如图,在ABC ∆中,AB AC >,12∠=∠,P 为AD 上任意一点。

求证:AB AC PB PC ->-。

8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC
CFA α∠=∠=∠.
(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF BE AF -(填“>”,“<”或“=”号);
②如图2,若0
180
BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则
α∠与BCA ∠ 应满足的关系
是 ;
(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数
量关系,并给予证明.
9.已知:如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G 。

(!)求证:BF =AC ;
A
B
C E
F D
D
A
B
C
E
F
A
D F C
E
B
图1
图2
图3
(2)求证:CE =
1
2
BF ; (3)CE 与BC 的大小关系如何?试证明你的结论。

10.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,A ,C ,D 三点在同一直线上,连结BD ,AE ,
并延长AE 交BD 于F .(1)求证:△ACE ≌△BCD .(2)直线AE 与BD 互相垂直吗?证明你的结4.如图,在四边形ABCD 中,AB=BC ,BF 是∠ABC 的平分线,AF ∥DC ,连接AC 、CF ,求证:CA 是∠DCF 的平分线。

11.如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点D 为射线BC 上一动点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF . 解答下列问题:
(1)如果AB=AC ,∠BAC=90º.
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),如图乙,线段CF 、BD 之间的位置关系为 ,数量关系为 .
②当点D 在线段BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC ,∠BAC≠90º,点D 在线段BC 上运动.
试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF ⊥BC (点C 、F 重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
A
B
C
D
E F 第28题图
图甲
图乙 F
E
D
C
B
A
F E
D
C
B A
图丙
12.数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF .
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
13.已知:如图在ABCD 中,过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、
AB DC BC 、、的延长线于点E M N F 、、、.
观察图形并找出一对全等三角形:△________≌△____________,请加以证明;
E B M
O
D
N
F
C
A
A D F
C
G
E
B
图1
A D F C
G
E B 图2
A
D F
G
E
B
图3
B A O D C
E 图8
14. 如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .
求∠AEB 的大小;
(2)如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋
转(ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.
C B O
D 图7 A E。

相关文档
最新文档