人教版八年级数学上册 分式解答题单元培优测试卷

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：

（1）方程+=+的解；

（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．

【答案】（1）x=4；（2）x=．

【解析】

通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．

解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：

，

化简可得：，

整理可得：2x=15﹣8，

解得：x=，

这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），

这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；

解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：

，

化简可得：，

解得：x=，

这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），

这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；

所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，

由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，

分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，

所以方程的解为x ==4；

（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ），

所以方程的解为x =． 2．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333

+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.

例如：像33x x -+，23

x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，2

3x x -，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.

例如：将分式2253

x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设2

25(3)()x x x x a b +-=+++

则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立， ∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩ ∴225(3)(1)2(3)(1)22133333

x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253

x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：

2225332(3)(3)2(3)32213333333

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253

x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731

x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； （2）已知整数x 使分式225112

x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961

x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15.

【解析】

【分析】

（1）先变形2731x x x ---=26691

x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；

（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．

【详解】

解：（1）2731x x x ---=26691

x x x x --+-- =

(1)6(1)91

x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132

x x x x +++-+ =

2(2)(2)132

x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112

x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，

∴x=-1或-3或11或-15.

【点睛】

本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．

3．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示）

（2）谁的购买方式比较合算?

【答案】（1）

2m n +元/千克；2mn m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算． 【解析】

【分析】

（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；

（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式

的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．

【详解】

（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为800()

16002

m n m n

++

=元/千克；

乙采购员两次购买饲料的平均单价为

16002

800800

mn

m n

m n

=

+

+元/千克；

（2）

22

2()4()

22()2() m n mn m n mn m n

m n m n m n

++--

-==

+++

，

∵（m-n）2≥0，2（m+n）＞0，

∴

2

2

m n mn

m n

+

-

+

，即

2

2

m n mn

m n

+

+

，

则乙的购货方式合算．

【点睛】

此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

4．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源

EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．

（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；

（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．

【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%

【解析】

【分析】

（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.

（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.【详解】

解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：

300 x ：

3000.6

x

+

=4：1，