第一章 半导体中的电子状态

能级为什么会分裂？
当原子聚集形成晶体时，不能改变量子态的总数 没有相同的量子态
二、晶体中能带的形成
2、N个原子的情况
N个原子相距很远时，相互作用忽略不计。 N个原子逐渐靠近，最外层电子首先发生共有化运动， 每一个能级分裂成N个相距很近的能级， 形成一个准连续的能带。 N个原子继续靠近，次外壳层电子也开始相互反应， 能级分裂成能带。
2 d 2 ( x ) E ( x ) 简化为一维情况时，有： 2 2m0 dx
其解为 ：
( x) Aei 2 kx
三、半导体中电子的状态和能带
自由电子能量与波矢的关系
2 2 h E k
2mo
波矢可连续变化，自由电子的能量是连续能谱
三、半导体中电子的状态和能带
2、晶体中电子的运动状态——布洛赫波
孤立原子中的电子 能级 电子的共 有化运动 晶体中的电子 能带
小结
自由电子 连续 周期性 势场 晶体中的电子 不完全连续
小结
1.2 半导体中的电子运动、有效质量
一、能量
用泰勒级数把电子的能量在极值点展开，若能带底的位置在k=0处， 可得到：
k2 d 2E E( k ) E( 0 ) 2 dk 2
第来自百度文库章 半导体中的电子状态
第一章 Part 1 1.1 半导体中的电子状态和能带 1.2 半导体中的电子运动、有效质量 1.3 半导体的导电机构、空穴 1.4 载流子的回旋共振 1.5 常见半导体的能带结构
1.1 半导体中的电子状态和能带
一、原子中电子的状态和能级
电子的运动服从量子力学，处于一系列特定的运动状态 —— 量子态，要完全描述原子中一个电子的状态，需要四个量子数： n—主量子数,
一、k空间的等能面
2、等能面为椭球面
设导带极小值Ec位于k=0处，取椭球主轴为坐标系， 则导带底附近能带可表示为：
h k k z2 E (k ) E (0) ( ) 2 m m2 m3
等能面为椭球面时，有效质量是各向异性的。
2
2 x 1
2 ky
一、k空间的等能面
3、旋转椭球等能面
Si: 1S22S22P63S23P2
一、原子中电子的状态和能级
在单个原子中，电子状态的特点是：
总是局限在原子和周围的局部化量子态， 其能级取一系列分立值。
二、晶体中能带的形成
1、两个原子的情况
相距很远时，相互作用忽略不计 原子逐渐靠近，外层轨道发生电子的共有化运动
能级分裂
二、晶体中能带的形成
0

未满带电子对导电有贡献
本征半导体的导电机构、空穴
4、空穴
存在一个空状态的未满带
J ' [ q vi (k )]
i 1
N
用一个电子填充这个空状态，则变为满带
J满 0
把价带中空着的状态看成是 带正电的粒子，称为空穴
J ( q )v ( k h ) 0
J qv(k h )
坐标原点置于旋转椭球中心，并使kz轴与旋转椭球长轴重合。
m1 , m 2 mt k x ,k y
横向有效质量； 纵向有效质量；
m3 ml k z
则等能面可表示为：
2 2 h2 kx k y kz2 E(k) E(0) ( ) 2 mt ml
一、k空间的等能面
n L=2 m=0,1,-1,2,-2
二、晶体中能带的形成
以硅为例：
二、晶体中能带的形成
在金刚石中这两个带之间的间距（禁带宽度）很大， 表现出绝缘性； 在Si，Ge中，禁带较窄，因而表现出半导体性质。
三、半导体中电子的状态和能带
单电子近似： 晶体中的某一个电子是在周期性排列且固 定不动的原子核势场以及其他大量电子的平均 势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而 且它的周期与晶格周期相同。
本征半导体的导电机构、空穴
空穴的性质：
1.带有正电荷(+q)，其电量等于电子电量； 2.其速度等于该状态上电子的速度、方向相反； 3.价带中的空穴数恒等于价带中的空状态数； 4.空穴能量增加的方向与电子能量增加的方向相反； 5.空穴具有正的有效质量。
本征半导体的导电机构、空穴
半导体中有两种导电粒子：电子和空穴。
二、晶体中能带的形成
原子外壳层交叠的程度最大，共有化运动显著，能级分裂 的很厉害，能带很宽； 原子内壳层交叠程度小，共有化运动很弱，能级分裂的很 小，能带很窄。
二、晶体中能带的形成
3、能带重组（轨道杂化）
简并度 不计自旋的 计入自旋的 S能级 P能级 d能级 n L=0 n L=1 m=0 m=0,1,-1 1或 无简并 3 5 状态数 1 3 5 状态数 2 6 10
小结
自由电子和晶体中电子的E-k，v-k和m-k关系:
小结
半导体中的电子 自由电子
1h k E( k ) * 2 mn
2
2
1 h2k 2 E (k ) 2 m0
hk v mn
hk v m0
f m a
有效质量

f m0 a
1.3 本征半导体的导电机构、空穴
本征半导体的导电机构、空穴
三、半导体中电子的状态和能带
自由电子波函数：
( x) Aei 2 kx
e
i2 k x
晶体中电子波函数： k ( x )
u k ( x)
布洛赫波的强度随晶格周期性变化，说明电子在晶体 的一个晶胞中各点出现的几率不同，但在晶体中每一个晶 胞的对应位置上，出现的几率是一样的——电子在晶体内 的共有化运动。
2 h 2 2 2 三维情况： E (k ) E (0) ( k k k x y z ) 2m n
此式表示的等能面是一个球面。
当E(k)一定时，对应于多组不同的(kx, ky, kz)，将这些不同的(kx, ky, kz)连接起来构成一个封闭面，其上能值均相等，称为等能面。
等能面为球面时，载流子的有效质量是各向同性
或
k2 d 2E E( k ) 2 dk 2
如果令
1 h2k 2 E( k ) 2 m* n
1 1 d 2E k 2 d 2 E 1 h2k 2 2 则 E(k) 2 ，得到： h dk 2 mn 2 dk 2 mn
mn*具有质量的量纲，称为有效质量。
k2 d 2E 在能带顶部k=0处，类似的有： E( k ) E( 0 ) 2 dk 2
三、半导体中电子的状态和能带
1.自由空间（势场恒定，或势能＝0）电子运动状态
2 2 (r ) E (r ) 自由空间中，电子的运动状态（三维）： 2m0
上式的解是一平面波：
i 2 k r (r ) Ae
平面波的波矢可用来描述自由电子的运动状态 自由空间中的电子波函数的强度处处相等 ——电子在空间各点出现的几率相同，说明电子是自由运动的。
晶体中总电流为零，不导电。
有外场时： 能带中的所有状态以相同的速率移动； 电子在k空间的对称分布并未改变； 晶体中的总电流仍为零。
满带电子对导电没有贡献。
本征半导体的导电机构、空穴
2、空带
能带中没有电子，谈不上导电。
0

3、未满带
无外电场时： 电子在k空间对称分布，不导电。 有外电场时： 电子分布不对称，具有正负速 度的电子产生的电流不能全部 抵消，总电流不再为零。
1 a f m
这正是牛顿第二定律的形式。 如果将晶体中的电子看成是质量为
m 的粒子，
则电子在晶体中的运动满足牛顿第二定律 ——在外力作用下，电子的加速度与电子所受的外 力成正比，与电子的有效质量成反比。
三、电子的加速度
引入有效质量这一概念的意义在于：
有效质量概括了晶体内部势场对电子的作用，使得 在解决晶体或半导体中电子在外力作用下的运动规律时， 可以不涉及到内部势场对电子的作用，而直接按照牛顿 第二定律由外力求出电子的加速度。
一、能量
引入有效质量后，半导体中电子与自由电子的E(k)~k关系相似。 半导体中的电子 自由电子
1 h2k 2 E( k ) 2 m* n
1 1 d 2E 2 h dk 2 mn
1 h 2k 2 E (k ) 2 m0
一、能量
有效质量的符号
1 h2k 2 E (k ) E (0) * 2 mn
'
格子空间的不同晶胞的等价点上。
三、半导体中电子的状态和能带
求解一维条件下晶体中电子的薛定谔方程，可以得到图(a)所 示的晶体中电子的E(k)~k关系：
(a) E(k)~k关系
(b) 能带
三、半导体中电子的状态和能带
晶体中电子E-k关系与 自由电子E-k关系对比
三、半导体中电子的状态和能带
小结
在能带底部： mn*>0
在能带顶部： mn*<0
二、半导体中电子的平均速度
可以证明，对于晶体中的电子：
1 dE v h dk
1 h2k 2 将 E( k ) 带入上式，得到 2 m* n
hk v mn
自由电子：
hk v m0
半导体中电子v-k关系也与自由电子v-k关系形式相同。
二、半导体中电子的平均速度
表征量子态具有的能量大小，n=1,2,3…
L—角量子数, 表征电子运动的角动量大小，L=0,1,2…(n-1) m—磁量子数, 决定轨道角动量在空间的方位，m=0,1,-1,2,-2…L,-L s—自旋量子数, 决定自旋角动量在空间的方位，s=1/2,-1/2
一、原子中电子的状态和能级
能级
电子壳层
晶体中的电子，要受到周期性势场V(x)的作用，其薛定谔方程 （一维）为： 2 2
d ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m0 dx
i2 k x
布洛赫已经证明，该方程的解为：
k ( x) e
u k ( x)
布洛赫函数(布洛赫波)
式中uk(x)是一具有与晶格同周期的周期性函数。 布洛赫函数的波矢用来描述晶体中电子的运动状态
半导体的导电机构:
导带上的电子参与导电，价带上的空穴也参与导电。
本征半导体的导电机构:
导带中有多少电子，价带中就有多少空穴； 导带上的电子参与导电，价带上的空穴也参与导电。
1.4 载流子的回旋共振
一、k空间的等能面
1、等能面为球面
导带底EC在k空间的原点k=0处，导带底附近 h2k 2 一维情况： E (k ) E (0) 2mn
一、原子中电子的状态和能级
3 2 3d 1 3p 0 3s 1 2p 0 2s 0 1s 5(0,1,2) 10 3(0,1) 6 1(0) 2 3(0,1) 1(0) 1(0) 6 2 2 18
2
8 2
1
N 主壳层
L 支壳层
M的取
值个数
泡利不相容原理 能量最低原理
(S)考虑 电子 自旋 总数
四、有效质量的性质
①有效质量mn*只是一个等效意义的参量； ②有效质量mn*不是常数，在带顶和带底附近 近似为常数； ③mn*可以取正值，也可以取负值，在转折点 处，mn*=±∞； ④一般情况下，有效质量具有方向性； ⑤能带宽，mn*较小（外层电子）；能带窄， mn*则较大（内层电子）。
1 1 d 2E 2 h dk 2 mn
半导体中电子的速度： 1.在能带顶和能带底，电子的速度为零； 2.在能带中部，速度的数值最大； 3.处于k态和-k态的电子，能量相等； 4.
v ( k ) v ( k )
；
5.能带越宽，v越大(红色曲线)。
1 dE v h dk
三、电子的加速度
可以推出，在外力作用下，晶体中电子的运动规律为：
晶体的导电性取决于电子在能带中的填充情况： 满带：完全被电子占据的能带 空带：完全未被电子占据的能带 半满带：部分被电子占据的能带
本征半导体的导电机构、空穴
1、满带
无外场时： E(+k)=E(-k)，即电子在k空间是对称分布的; v(k)=-v(-k), k状态和-k状态的电子速度大小相等， 方向相反
如果能带极值不在k=0处： 1、等能面的表达式：
2 (k y k y 0 ) 2 (k z k z 0 ) 2 h 2 (k x k 0 x ) E (k ) E (k 0 ) [ ] 2 m1 m2 m3
三、半导体中电子的状态和能带
3、E-k关系
由于在晶体中每一个晶胞的对应位置上（等价点上），电子 出现的几率是一样的，这些等价点上的电子状态是相同的。 考虑一维情况，波矢可以写为：
n k k a
'
和 k 表征的是同一电子状态。这些 k 值处于倒
n k k , n 0, 1, 2, 3,... a