初一整体思想解题
整体思想在解题中的运用
造 不 失 为数 学解 题 的 又一 个 重 要 手段 ．
、
在 数 与式 运算 中 的应用
的联 系 ， 把 式 子 ２２ｘ一 进 行 变 形 ， 后 直 接 利 用 已知 条 件 ， 能 ｘ－ｙ ３ 然
二 、 方 程 、 等式 中 的应用 在 不
例 ５ （０ １ ２ ｌ 湖北 黄 冈 ）若 关 于 ， 的二 元 一 次 方 程 组 Ｙ
这样我们 就可以不用求 的具体数值了． 和ｙ
点 评 ： 决 此题 的 关 键 仍 是 利 用 整 体 思 想 ， 例 １ 例 ２ 同 解 与 、 不
些看似彼此独立 ， 实质上 紧密相连 的量作为整体进行处理 ， 从 而使 问题获解 ， 数学 称之 为“ 整体思想 ” ． 整体思想是初 中学生
的是 先 将 条 件 进 行 有 理 化 ． 所 求 问题 （ 数 式 ） 行 变形 ， 整 将 代 进 再
名 师导 航
例３ （ 全国初 中数学联赛 题 ） ｎ ｘ 设 ＝ ／７— ， ３ １则 ＋
１ ａ－ 。 ２ （ ２ ２６ 一１ ＝ ） ．
Ａ２ ． ４
Ｂ２ ．５
Ｃ４ ／ ｌ ．＼ — ０ ＋
Ｄ４ 厂 １ ．～ ＋ ２
分析 ： 这是一 道常 见的代数式 条件求值 问题 ， 果 如
解： 令 ｌ ２ ＋ － ２ ＋ ～ …＋ －ｌ ２ ＋ － ＋ ２２ ＿ ２ ＋３ ２２【 ｎ ２ ｏ ｏ＋ １ ２
￣ ２ ＝ ＋ ＋ ＋ ＿ ２ ２ ＋ ＋ ２２ ． Ｔ ２ １ ２‘２２ 一 ＿ … ２２ｌ —“ ＋ ＋４ ０ ０ ‘ ＋
部编数学七年级上册专题2.5整式中的整体思想(强化)(解析版)含答案
专题2.5 整式中的整体思想【例题精讲】【例1】已知12x y -=，则(2)x y --+的结果是( )A ．32-B ．112C ．72D ．72-【解答】解：12x y -=Q ，12y x \-=-，(2)x y \--+1(2)2=--1.5=-，故选：A ．【例2】已知232a a +=，则2391a a ++的值为 7 ．【解答】解：232a a +=Q ，2391a a \++23(3)1a a =++321=´+61=+7=．故答案为：7．【例3】当1x =时，代数式23ax bx ++的值为1，当1x =-时，代数式23ax bx --的值为( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：当1x =时，代数式为31a b ++=，即2a b +=-，则当1x =-时，代数式为3235a b +-=--=-．故选：D ．【例4】已知23a b -=，25b c -=-，10c d -=，则多项式223a b d +-的值为( )【解答】解：232510a b b c c d -=ìï-=-íï-=î①②③，①+②，得2a c -=-，2c a \=+④，把④代入③，得210a d +-=，8a d \-=，2216a d \-=⑤．②+③，得25b d -=⑥，⑤+⑥，得22321a b d +-=．故选：A ．【例5】若x ，y 二者满足等式2222x x y y -=-，且12xy =，则式子2222()2020x xy y x y ++-++的值为( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【解答】解：2222x x y y -=-Q ，12xy =22220x x y y \-+-=，21xy =．2222()2020x xy y x y \++-++222222020x xy y x y =++--+222222020x x y y xy =-+-++．012020=++2021=．故选：C ．【题组训练】一．选择题（共42小题）1．已知231a a +=，则代数式2261a a +-的值为( )【解答】解：231a a +=Q ，222612(3)12111a a a a \+-=+-=´-=．故选：B ．2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为( )A ．18B ．12C ．9D ．7【解答】解：23669x x -+=Q ，2363x x \-=，221x x \-=，226167x x \-+=+=．故选：D ．3．当2x =时，代数式37ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，这个代数式的值为( )A ．5B ．19C ．31-D ．19-【解答】解：2x =Q 时，代数式37ax bx +-的值等于19-，把2x =代入得：82719a b +-=-8212a b \+=-根据题意把2x =-代入37ax bx +-得：827a b ---(82)7a b =-+-(12)7=---5=故选：A ．4．代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：2346x x -+Q 的值为9，23469x x \-+=，2343x x \-=，2413x x \-=，\2461653x x -+=-+=．故选：D ．5．已知代数式2x y +的值是3，则代数式241x y ++的值是( )A ．1B ．4C ．7D ．不能确定【解答】解：23x y +=Q ，2412(2)1x y x y \++=++，231=´+，61=+，7=．故选：C ．6．若8x y +=，6y z +=，2220x z -=，则x y z ++的值为( )A ．10B ．12C ．14D ．20【解答】解：8x y +=Q ，6y z +=，14x y y z \+++=，则214x y z ++=，2x y y z +--=，则2x z -=，22()()20x z x z x z -=-+=Q ，10x z \+=，21014y \+=，解得：2y =，则10212x y z ++=+=．故选：B ．7．若2X Y +=，3Z Y -=-，则X Z +的值等于( )A ．5B ．1C ．1-D ．5-【解答】解：2X Y +=Q ，3Z Y -=-，231X Y Z Y X Z \++-=+=-=-．故选：C ．8．已知100m n -=，1x y +=-，则代数式()()x n m y ----的值是( )A ．101-B ．99-C ．99D ．101【解答】解：100m n -=Q ，1x y +=-，()()x n m y \----x n m y=-++()()x y m n =++-1100=-+99=．故选：C ．9．若代数式23x x +的值为5，则代数式2269x x +-的值是( )A ．10B ．1C ．4-D ．8-【解答】解：235x x +=Q ，2269x x \+-22(3)9x x =+-259=´-1=．故选：B ．10．若2320x x --=，则2262020x x -+的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【解答】解：2320x x --=Q ，232x x \-=，2262020x x \-+22(3)2020x x =-+222020=´+2024=，故选：D ．11．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于100-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为( )A ．100B ．100-C ．98D ．98-【解答】解：Q 当2x =时，整式31ax bx +-的值为100-，821100a b \+-=-，即8299a b +=-，则当2x =-时，原式82199198a b =---=-=．故选：C ．12．若223m m +=，则2481m m +-的值是( )A ．11B ．8C ．7D ．12【解答】解：223m m +=Q ，224814(2)143111m m m m \+-=+-=´-=．故选：A ．13．如果多项式235a b -+=，则多项式642(b a -+= )A ．7B ．8-C ．12D ．12-【解答】解：235a b -+=Q ，6422(23)225212b a a b \-+=-++=´+=．故选：C ．14．已知32a b -=，则代数式627a b --的值为( )A ．3-B ．3C ．11-D ．5-【解答】解：32a b -=Q ，627a b \--2(3)7a b =--227=´-47=-3=-．故选：A ．15．已知232a b -=，则569a b -+的值是( )A ．0B ．2C ．1-D ．1【解答】解：2?32a b =Q ，\原式5?3(2?3)5321a b ==-´=-．故选：C ．16．若20x y +-=，则代数式8x y --+的值是( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解答】解：20x y +-=Q ，2x y \+=，8x y \--+()8x y =-++28=-+6=，故选：C ．17．若231a b -=，则代数式146a b +-的值为( )A ．1-B ．1C ．2D ．3【解答】解：231a b -=Q ，14612(23)a b a b \+-=+-121=+´12=+3=，故选：D ．18．若22350x x +-=，则代数式2469x x --+的值是( )A ．4B ．5C ．1-D ．14【解答】解：22350x x +-=Q ，2235x x \+=，224692(23)92591x x x x \--+=-++=-´+=-．故选：C ．19．若3270x y --=，则646x y --的值为( )A ．20B ．8C ．8-D ．20-【解答】解：3270x y --=Q ，327x y \-=，6462(32)62761468x y x y \--=--=´-=-=．故选：B ．20．已知22x y -=，则代数式362014x y -+的值是( )A ．2016B ．2018C ．2020D ．2021【解答】解：22x y -=Q ，\原式3(2)20143220142020x y =-+=´+=，故选：C ．21．若23a b +=，则代数式24a b +的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：23a b +=Q ，\原式2(2)236a b =+=´=，故选：D ．22．若23m n -=．则代数式842m n +-的值为( )A ．14B ．11C ．5D ．2【解答】解：23m n -=Q ，84282(2)82314m n m n \+-=+-=+´=，故选：A ．23．已知23120x x --=，则2395x x -++的值是( )A ．31B ．31-C ．41D ．41-【解答】解：23120x x --=Q ，2312x x \-=，223953(3)5312531x x x x \-++=--+=-´+=-，故选：B ．24．若221m m +=，则2483m m +-的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：221m m +=Q ，2483m m \+-24(2)3m m =+-413=´-1=．故选：D ．25．当1x =时，代数式23ax bx ++的值为1，当1x =-时，代数式23ax bx --的值为( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：当1x =时，代数式为31a b ++=，即2a b +=-，则当1x =-时，代数式为3235a b +-=--=-．故选：D ．26．已知221a a -=．则2364a a -+的值为( )A ．1-B ．1C ．2-D ．5【解答】解：221a a -=Q ，\原式23(2)4a a =--+34=-+1=．故选：B ．27．若当1x =时，多项式23a bx cx dx +++的值是8，且当1x =-该多项式值为0，则a c +的值是( )A ．4B ．8C ．16D ．无法确定【解答】解：Q 当1x =时，多项式23a bx cx dx +++的值是8，且当1x =-该多项式值为0，\代入得：8a b c ++=，0a b c d -+-=，两式相加得：228a c +=，两边都除以2得：4a c +=，故选：A ．28．若代数式22x y -+的值是5，则代数式241x y -+的值是( )A ．4B ．7C ．5D ．不能确定【解答】解：225x y -+=Q ，23x y \-=，241x y \-+2(2)1x y =-+231=´+61=+7=．故选：B ．29．已知代数式2x y +的值是3，则124x y --的值是( )A ．2-B ．4-C ．5-D ．6-【解答】解：Q 代数式2x y +的值是3，12412(2)1235x y x y \--=-+=-´=-．故选：C ．30．已知3a b -=，则64()(b a --= )A ．12-B ．18C ．18-D ．12【解答】解：3a b -=Q ，64()b a \--64()a b =+-643=+´612=+18=．故选：B ．31．当1x =时，代数式31px qx ++的值是2020-，则当1x =-时，代数式31px qx ++的值是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【解答】解：1x =Q 时，代数式31px qx ++的值是2020-，\把1x =代入31px qx ++得，12020p q ++=-，2021p q \+=-，2021p q \--=，把1x =-代入31px qx ++得，1p q --+20211=+2022=，故选：D ．32．已知260a b +-=，那么代数式182a b ++的值是( )A ．14B ．11C ．5D ．2【解答】解：260a b +-=Q ，1302a b \+-=，\原式1311112a b =+-+=，故选：B ．33．已知2x y +=，则2211122x xy y ++-的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：2211122x xy y ++-221(2)12x xy y =++-21()12x y =+-．2x y +=Q ，\原式21212=´-21=-1=．故选：A ．34．如果代数式2a b -的值为4，那么代数式423b a --的值等于( )A ．11-B ．7-C ．7D ．1【解答】解：24a b -=Q ，24b a \-=-，423b a \--2(2)3b a =--2(4)3=´--83=--11=-，故选：A ．35．已知23x y -=，则代数式624x y -+的值为( )A ．0B ．1-C ．3-D ．3【解答】解：23x y -=Q ，62462(2)623660x y x y \-+=--=-´=-=故选：A ．36．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为( )A ．19B ．19-C ．17D ．17-【解答】解：Q 当2x =时，整式31ax bx +-的值为19-，82119a b \+-=-，即8218a b +=-，则当2x =-时，原式82118117a b =---=-=．故选：C ．37．若代数式23a a -的值是4，则213522a a --的值是( )A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-【解答】解：Q 代数式23a a -的值为4，234a a \-=，\213522a a --21(3)52a a =--1452=´-25=-3=-．故选：B ．38．已知2a b -=，12a c -=，则代数式29()3()4b c b c -+-+的值是()A ．32-B ．32C ．0D ．94【解答】解：2a b -=Q ，12a c -=，\两式左右分别相减，得32b c -=-，29()3()4b c b c \-+-+2339()3()224=-+´-+999424=-+0=．故选：C ．39．如果代数式22x x +的值为5，那么代数式2243x x +-的值等于( )A ．2B ．5C ．7D ．13【解答】解：225x x +=Q ，2243x x \+-，22(2)3x x =+-253=´-103=-7=．故选：C ．40．若代数式28x y -+的值为18，则代数式364x y -+的值为( )A ．30B ．26-C ．30-D ．34【解答】解：2818x y -+=Q ，210x y \-=，3643(2)4310434x y x y \-+=-+=´+=故选：D ．41．当4x =时，多项式7533ax bx cx ++-的值为4-，则当4x =-时，该多项式的值为( )A ．4B ．3-C ．2-D ．答案不确定【解答】解：方法1：当4x =时，7533ax bx cx ++-163841024643a b c =++-4=-，所以163841024641a b c ++=-，当4x =-时，7533ax bx cx ++-163841024643a b c =----(16384102464)3a b c =-++-13=-2=-．方法2：当4x =时，7533ax bx cx ++-7532223a b c =++-4=-，所以7532221a b c ++=-，当4x =-时，7533ax bx cx ++-7532223a b c =----753(222)3a b c =-++-13=-2=-．故选：C ．42．已知代数式21x x -+的值为9，则2331x x --的值为( )A ．23B ．26-C ．23-D ．26【解答】解：223313()1x x x x --=--，219x x -+=Q ，28x x \-=，将28x x -=代入23()1x x --中可得38123´-=．故选：A ．二．填空题（共18小题）43．已知541x y z -=+=+，代数式222()()()y x z x y z -+-+-的值为 126 ．【解答】解：541x y z -=+=+Q ，6z x \-=-，9y x -=-，3y z -=-，把6z x -=-，9y x -=-，3y z -=-代入222()()()81369126y x z x y z -+-+-=++=，故答案为：126．44．若3mn m =+，则3310m mn -+= 1 ．【解答】解：原式33103()10m mn m mn =-+=-+，3mn m =+Q ，3m mn \-=-，\原式3(3)101=´-+=，故答案为：1．45．若2210a a --=，则2365a a -++= 2． ．【解答】解：2210a a --=Q ，221a a \-=，\原式23(2)5a a =--+315=-´+35=-+2=．故答案为：2．46．若25x y -=，则824x y -+= 2- ．【解答】解：25x y -=Q ，2410x y \-+=-，8248102x y \-+=-=-，故答案为：2-．47．已知232a a +=，则2391a a ++的值为 7 ．【解答】解：232a a +=Q ，2391a a \++23(3)1a a =++321=´+61=+7=．故答案为：7．48．若多项式2237x x ++的值为10，则多项式2697x x +-的值为 2 ．【解答】解：由题意得：2233x x +=226973(23)72x x x x +-=+-=．49．已知2230m m --=，则23()3(6)m m m --+= 9- ．【解答】解：原式233183m m m=---23618m m =--，2230m m --=Q ，223m m \-=，\原式23(2)18m m =--3318=´-918=-9=-，故答案为：9-．50．已知2m n -=，5mn =-，则3()(3)mn n mn m ---的值为 4- ．【解答】解：原式333mn n mn m=--+332m n mn =-+，2m n -=Q ，5mn =-，\原式3()2m n mn=-+322(5)=´+´-610=-4=-，故答案为：4-．51．如果2x =-，12y =，那么代数式221(43)3()3x xy x xy ---的值是 6 ．【解答】解：原式22433x xy x xy=--+22x xy =-，当2x =-，12y =时，原式21(2)2(2)4262=--´-´=+=，故答案为：6．52．已知21m n -=，则22(2)(1)m m m n +-+-= 2 ．【解答】解：21m n -=Q ，\原式2221m m m n =+--+21m n =-+11=+2=．故答案为：2．53．若3mn m =+，则23510mn m mn +-+= 1 ．【解答】解：原式3310mn m =-++，把3mn m =+代入得：原式393101m m =--++=，故答案为：154．已知10a b -=-，3c d +=，则()()a d b c +--= 7- ．【解答】解：当10a b -=-、3c d +=时，原式a d b c=+-+a b c d=-++103=-+7=-，故答案为：7-．55．已知1xy =，12x y +=，那么代数式(43)y xy x y ---的值等于 1 ．【解答】解：1xy =Q ，12x y +=，\原式434()211y xy x y x y xy =-++=+-=-=，故答案为：156．若235m mn +=，则2253(93)m mn mn m ---+= 10 ．【解答】解：235m mn +=Q ，\原式22225393262(3)10m mn mn m m mn m mn =-+-=+=+=，故答案为：1057．如果代数式2238a b -++的值为1，那么代数式2462a b -+的值等于 16 ．【解答】解：2238a b -++Q 的值为1，22381a b \-++=，2237a b \-+=-，2462a b \-+22(23)2a b =--++2(7)2=-´-+142=+16=故答案为：16．58．若多项式223x x +的值为 5 ，则2697x x ++= 22 ．【解答】解：2235x x +=Q ，2697x x \++23(23)7x x =++357=´+157=+22=故答案为： 22 ．59．已知210a b -+=，则代数式241a b --的值为 3- ．【解答】解：210a b -+=Q ，21a b \-=-，241a b \--2(2)1a b =--2(1)1=´--21=--3=-故答案为：3-．60．已知233a b -=-，则546a b -+= 11 ．【解答】解：233a b -=-Q ，546a b\-+52(23)a b =--52(3)=-´-56=+11=故答案为：11．。
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
初中奥数精讲——第29讲用整体思想解题-答案精讲
初中奥数精讲——第29讲用整体思想解题-答案精讲一、知识点解析1. 解数学问题时，一般情况下，为了弄清整体，常把它分成若干个简单问题和不同的情形，分类讨论，各个击破。
与分解、分类处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握方向，找出解题思路。
2. 运用整体思想常用手段与技巧（1）整体观察；（2）整体代入；（3）整体换元；（4）整体求和；（5）整体求积等等。
这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，用整体思想解题是很有意思的一类奥数题，很有技巧性。
这部分题型多样，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在用整体思想解题的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题例1 （全国初中数学联赛试题）设a、b、c是不全相等的任意数，若，则x、y、z中（）。
A. 都不小于零B. 都不大于零C. 至少有一个小于零D. 至少有一个大于零由于a、b、c的任意性，若孤立地考虑x、y、z，则很难把握x、y、z的正负性，考虑整体x+y+z的值。
解答：例22004名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？为什么？若考虑每场比赛的可能情形逐步分解过程较繁，从整体上看淘汰制，每场比赛总要淘汰一名选手，则简洁明快。
解答：因为每场比赛总要淘汰一名选手，现在2004名选手要决出冠军，需淘汰2003名选手，所以需要2003场比赛。
例3 （天津市竞赛题）利用初一的知识还不能求出a，即使求出来再带入计算也很繁，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体带入求值。
解答：例4已知4×4的数表（如下），如果把它的任一行（横行）或一列（竖列）中的所有数同时变号，称为一次变换。
试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数？若着眼于局部看每一行或每一列数的正负变化很难把握规律，若从整体出发看所有16个数的乘积与变换后每行或每列四个数的乘积之间的关系就出现规律，即变化过程中存在的不变性质是解决问题的关键。
整体思想在初中数学解题中的应用——以“图形与几何”问题为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７整体思想在初中数学解题中的应用整体思想在初中数学解题中的应用㊀㊀㊀ 以 图形与几何 问题为例Һ林㊀芹㊀陈豫眉㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在初中数学学习阶段，对于一些数学问题若过度拘泥于常规解法，则很难找到解决问题的突破口，容易造成寸步难行的局面．当 山重水复疑无路 时，尝试观察问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，便能使原本的问题化繁为简㊁化难为易，达到 柳暗花明㊁一举成功 的效果．因此，本文将以图形与几何问题过程中蕴含的整体思想为主线，挖掘其内含的解题策略，以期帮助学生了解更多的解题方法，培养学生的整体意识，提升学生数学思维的敏捷性㊁概括性与灵活性．ʌ关键词ɔ整体思想；初中数学；图形与几何著名数学教育家波利亚认为： 掌握数学就意味着要善于解题 ．然而，善于解题并不意味着一味地使用自身熟悉的㊁做过的题型去 套 ．这种只满足于解出答案，不对问题所蕴含的思想㊁方法进行归纳的学习方式已经无法满足学生内在发展的需要．因此，教师在教学中应该有意识地培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力，提高数学素养．整体思想作为数学思想中的重要思想，旨在从已有问题的整体性质出发，认真观察问题的整体结构，对其进行恰当的分析与改造，把握住问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，将其中的某部分看成一个整体［１］，挖掘式子或图形之间的内在联系，再对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使得原有式子或图形的结构变得更加清晰明了，容易解决．图形与几何问题较为重视推理过程，整体思想非常符合这一要求，它能将学生的思维过程有效地融合在一起，而又不至于太过分散［２］．这种以整体的眼光看待问题㊁解决问题的方法，在解决图形与几何问题中发挥着不可替代的作用．１㊀整体思想在求解图形面积中的应用通过观察归纳，不难发现中小学阶段在求解图形面积的相关问题是有共通之处的．求解平面不规则图形的面积问题的解题关键其实就在于需将原有的不规则图形转化为规则图形求解，既能考查学生的读图㊁识图能力，又能考查学生的数学转化思想与思维的灵活性［３］．而数学的整体思想恰好在这一类求解图形面积问题中发挥着不可替代的作用，在求解此类问题时，常常需要学生运用整体的眼光去看待原有的不规则图形，即从原有图形的局部结构特征入手，与其所学的规则图形关联起来，达到解决问题的目的．例１㊀如图１，☉Ａ㊁☉Ｂ㊁☉Ｃ两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图１分析㊀本题若依据常规思路，我们会考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们发现，尽管上述图形的阴影部分是规则图形扇形，但我们不知道每个扇形所对圆心角的度数，故无法顺利求解出每个扇形的面积．然而，若用整体的眼光去看待问题，由于三个扇形的半径均为０．５ｃｍ，那么自然可以将三个阴影部分转换成一个半径为０．５ｃｍ的半圆，既打通了思维上的阻碍，还简化了计算的过程．例２㊀如图２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，分别以ＡＣ㊁ＢＣ为直径画半圆，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图２分析㊀本题若依据常规思路，我们首先考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们可以发现，上述图形的阴影部分均为不规则图形，无法根据标准图形面积的计算公式直接计算．那么，我们可以转换思路，尝试利用差值思想，结合其他标准图形解决问题．然而，经观察思考发现其他图形中仍包含未知的不规则图形，也无法顺利解㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７决问题．因此，先不考虑结论，我们先从已知的可利用的条件入手．将各部分阴影面积分别用Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ａ，ｂ来表示，再利用已知条件，建立三个等式：Ｓ１＋Ｓ３＋ａ＝１２π１２ˑ２()２＝π２，①Ｓ１＋Ｓ２＋ｂ＝１２π１２ˑ４()２＝２π，②Ｓ１＋ａ＋ｂ＝１２ˑ４ˑ２＝４，③由①＋②－③，得Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝５π２－４．例３㊀如图３，矩形ＡＢＣＤ被两条对角线分成了四个小三角形，已知四个小三角形的周长和为８６ｃｍ，一条对角线长为１３ｃｍ，求矩形的面积．图３分析㊀本题若依据常规思路，为求解矩形的面积，则需知道矩形ＡＢＣＤ的长和宽．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解矩形相应的边长．然而，若运用整体思想，根据矩形面积公式Ｓ＝ＡＢ㊃ＢＣ，只需求解出ＡＢ㊃ＢＣ的值．由题可知ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝８６－２（ＡＣ＋ＢＤ）＝８６－４ˑ１３＝３４，可以得到ＡＢ＋ＢＣ＝１７．再将上述式子两边同时平方，可得ＡＢ２＋２ＡＢ㊃ＢＣ＋ＢＣ２＝２８９．又因为ＡＢ２＋ＢＣ２＝１３２＝１６９，所以ＡＢ㊃ＢＣ＝６０．例４㊀如图４，两个正方形有一个公共顶点，已知大㊁小正方形的边长分别为ａ１，ａ２，求әＡＢＣ的面积．（用ａ１，ａ２的代数式表示）图４㊀㊀图５分析㊀本题若从常规思路解决问题，想要求解әＡＢＣ的面积，需要知道әＡＢＣ相应的底边与高，方可利用三角形面积公式进行求解．但是，经过观察发现，我们无法根据现有条件直接利用公式求解әＡＢＣ的面积．因此，需要转化为规则图形面积的加减来计算．如图５所示，我们可以利用辅助线补全上述图形，将原有的不规则图形补全为规则图形，使得整个图形成为矩形，这时所求的әＡＢＣ的面积就可以利用整个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即ＳәＡＢＣ＝ａ１（ａ１＋ａ２）－１２ａ１２－１２ａ２（ａ１＋ａ２）－１２ａ２（ａ１－ａ２），化简可得ＳәＡＢＣ＝１２ａ１２．通过观察上述问题，我们不难发现利用整体思想在求解图形面积问题中的关键是善于用 集成 的眼光．在求解此类问题的过程中，若拘泥于常规思路或解法，常常会发现无法运用现有的知识进行求解，即容易走入 死胡同 ．但是，如若我们认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，把握图形的整体结构特征，便能使原有的问题化繁为简㊁化难为易，达到柳暗花明㊁豁然开朗的效果．２㊀整体思想在几何问题中的应用几何问题，说到底也就是图形问题，旨在研究图形的性质．这就要求学生能够分辨出题目所给出的信息，且能够洞察隐藏在已知图形下的与解决问题相关的另一 子图形 ［４］，再利用 局部 或 全局 的整体性，将二者恰当地结合起来，使得原来无从下手的问题，变得简单，解决问题的思路也变得清晰明了．例５㊀如图６，求ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝．图６分析㊀由图可知，ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＥＡＤ，而øＥＡＤ＝øＢＡＣ，故ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＢＡＣ㊀①．同理ø３＋ø４＝１８０ʎ－øＡＢＣ㊀②，ø５＋ø６＝１８０ʎ－øＡＣＢ㊀③．由①＋②＋③可得ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－øＡＢＣ－øＡＣＢ－øＢＡＣ．而现在若想单独求解øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ的度数，将会无计可施．但是，根据题意可知，需要求解的是ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６的值．因此，我们不必拘泥于单个角的度数，应当从整体的角度入手，把握角与角之间的内在联㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７系．øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ是әＡＢＣ的三个内角，根据三角形的内角和定理，可知øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ．因此，我们只需将上述式子看成一个整体，就可得到ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－（øＡＢＣ＋øＡＣＢ＋øＢＡＣ）＝３ˑ１８０ʎ－１８０ʎ＝３６０ʎ．例６㊀如图７，已知在әＡＢＣ中，øＢＡＣ＝５０ʎ，ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，求øＢＤＣ的度数．图７分析㊀本题若依据常规思路，想要求解øＢＤＣ的度数，则需要分别求解出әＢＤＣ中øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解出相应的度数，解题陷入了困局．然而，我们若采用整体思想，不再拘泥于øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数，而是将两者看成一个整体，即尝试求解øＤＢＣ＋øＤＣＢ的度数．由于øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ，且øＢＡＣ＝５０ʎ，得到øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎ．又因为ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，可以得到øＤＢＣ＝１２øＡＢＣ，øＤＣＢ＝１２øＡＣＢ，即øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２（øＡＢＣ＋øＡＣＢ）＝６５ʎ．而在әＢＤＣ中，øＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，则可求得øＢＤＣ＝１１５ʎ．例７㊀如图８，在平行四边形ＡＢＣＤ中，øＤＡＢ＝７０ʎ，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，并且ＡＥ平分øＤＡＦ，求øＥＡＣ的度数．图８分析㊀根据图８可知，øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ．但想要求解øＥＡＣ的度数，无须分别求解两个角的度数，只需要运用整体思想，将øＥＡＦ和øＦＡＣ看成一个整体．根据题意可以发现，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，又因为ＡＥ平分øＤＡＦ，øＤＡＢ＝７０ʎ．故可以得到øＤＡＢ＝øＤＡＥ＋øＥＡＦ＋øＦＡＣ＋øＣＡＢ＝２（øＥＡＦ＋øＦＡＣ）＝７０ʎ，即øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ＝３５ʎ．例８㊀如图９，已知ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ交ＡＯ的延长线于点Ｄ，Ｅ是ＢＣ的中点，求证：ＤＥ＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图９分析㊀通过观察，利用整体思想，对其进行补形，延长ＡＣ，ＢＤ，交于点Ｆ．由题意可知，ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ，可知әＡＢＦ为等腰三角形，可以将原图中的凹五边形看成是等腰三角形ＡＢＦ的一部分，如图１０所示，则点Ｄ就是ＢＦ的中点，ＡＢ＝ＡＦ且ＢＤ＝ＤＦ．又由于Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＤ为әＢＣＦ的中位线，即ＤＥ＝１２ＣＦ＝１２（ＡＦ－ＡＣ）＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图１０综上所述，在求解某些图形与几何问题时，不要执拗于计算出某部分具体的值．应当从已有问题的整体出发，认真观察图形与几何的整体结构，运用 集成 的眼光，尝试将部分图形与几何看成一个整体，建立起局部与整体的联系，对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使原有图形与几何的结构变得清晰明了，使问题变得易于解决．ʌ参考文献ɔ［１］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［２］石浩冰．整体思想在几何计算题中的应用［Ｊ］．教师，２０１５（３２）：７６．［３］相剑利．平面不规则图形面积求解策略［Ｊ］．数学大世界，２０１０（１０）：１２－１５．［４］魏东升．整体思想在立体几何解题中的应用探究［Ｊ］．教学考试，２０２１（２９）：６５－６８．。
七下练测第12招整体思想在解题中的四种应用习题新版新人教版
整体代换在求角度中的应用
2.如图①，CE∥AB，所以∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B，所
以∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝∠A＋∠B.这是一个有用的
结论，借用这个结论，在如图②所示的四边形ABCD内，
引一条和边平行的直线，求∠A＋
∠B＋∠C＋∠D的度数.
【解】如图②，过D作DE∥AB，交BC于E.
和转化为两组同旁内角的度数和，使问题得以解决.
整体代换在解方程组中的应用
− − = ，
3.解方程组：ቐ
−+
＋
= .
− − = ，①
【解】ቐ
−+
＋
= . ②
由①，得4x－5y＝7.③
将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝3.
【解】因为a－b＝ ，b－c＝ ，
所以a－c＝(a－b)＋(b－c)＝ ＋ .
所以(a－b)2＋(b－c)2＋a－c＝( )2＋( )2＋ ＋ ＝8＋
＋ .
【点方法】
本题利用整体变形思想求值，a－b，b－c可以根据已
知条件直接代入，a－c只有转化为a－c＝(a－b)＋(b－c)＝
− ＝ ，
即ቐ
解得൞
＋ = .
＝ .
＝ ，
所以原方程组的解为൞
＝ .
【点方法】
本题利用整体换元思想，将x－y看成一个整体，用m
表示，将x＋y看成一个整体，用n表示，即将关于x，y的方
程组转化为关于m，n的方程组，使计算简便.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= .
07 利用整体代入思想解题
点评：本题三次构造，然后用替换 ，逐渐靠近答案，难度升级 【难度】较难
10．已知是方程一个根，求的值． 【答案】2015 【解析】 试题分析：
把已知方程变形求出与，代入所求代数式，即可求解．
试题解析： 解：∵是方程一个根
∴ ∴，
【难度】较难
（整体加减） 11．已知，则 【答案】12 【解析】 试题分析： 已知因式分解得，而 ，故即可得解． 试题解析： 解：由 得
∴ 故选B． 【难度】较易
类型三 函数与图象中的整体思想
19．已知与成正比例 （1）试说明是的一次函数； （2）如果时，，时，，求与的函数关系式． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 试题分析： （1）我们把与都看成一个整体，设，得出 从而说明是的一次函数 （2）当我们把握两组数值代入解析式中后得到一个三元二次方程组， 显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把看作一个整体，就可以求 出，，从而求出与的函数关系式是，在这个问题中两次用到整体思想． 试题解析： 解：（1）∵与成正比例，
∴设 整理得 ∵是常数，且 ∴是的一次函数． （2）解：当时，；时， ，解得 这个函数的解析式
【难度】一般
类型四 几何与图形中的整体思想
（整体转换）
【例题9】如图，
．
【答案】 【解析】 试题分析：
由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性 质，我们将视为一个整体，那么应与△中外角相等，同理，分别与，相 等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了． 试题解析： 解：如图，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和
类型三 函数与图象中的整体思想
【例题8】已知和成正比例（其中、是常数） （1）求证：是的一次函数； （2）如果时，；时，，求这个函数的解析式． 【答案】
初一整体思想运用
一、直接代入
二、转化已知式后再代入
三、转化所求式后再代入
四、同时转化所求式和已知式， 寻找共同式子
强化练习辅导课程内容Fra bibliotek排1，有理数（重点在运算） 2，一元一次方程 3，图形的认识和总结 4，相交线与平行线 5，平面直角坐标系 6，二元一次方程 7，整式、因式、分式 8，数学思想（配方、整体、方程思想） 9，八年级知识准备
医学资料
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
初一整体思想运用
思考：无限吃巧克力
解密：无限吃巧克力
整体代入思想
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 （组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代 入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处 理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问 题中的具体运用。
有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是 通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母 又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思 想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定 整体。
七年级上培优专题——整体思想求值(附答案)
七年级上培优专题——整体思想求值（附答案）题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】 设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】 已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】 有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算 的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】 把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（ ）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ． ⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝ ．整体思想之构造整体【练习5】 如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为 ．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
整体思想在初一数学中的运用
整体思想在初一数学中的应用解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。
它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。
引例：计算：111111111111111123201623420172320172342016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++-++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L ＝___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________.2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=.3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足：1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：226201620172018x x x -+++=三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2.在△ABC 内部有2018个点，将这2018个点与点A 、B 、C 连结，可以把△ABC 分割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：2,3,6ab bc ca a b b c c a ===+++，则abc ab bc ca ++＝_______________.2.已知：x =，求322201636731x x x x -+++的值.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。
初中七年级下册数学基础习题练习： 整体思想在解题中的应用
整体思想在解题中的应用【知识要点】整体思想方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
【经典例题】例1.若0132=-+x x ，求185523+++x x x 的值.例2．若z y x ,,满足173=++z y x 和2001104=++z y x ，则分式y x z y x 3200020002000+++的值为多少？。
例3．计算)20051190511805117051)](2105120051190511805117051(1[)2105120051190511805117051)](20051190511805117051(1[++++++++-++++++++例4．设2006321,,,,a a a a Λ都是正数，如果)()(200632200521a a a a a a M +++⋅+++=ΛΛ， )()(200532200621a a a a a a N +++⋅+++=ΛΛ，比较M 、N 的大小。
例5．甲、乙两同学从400m 环形跑道上的某一点背向出发，分别以2m/s 和3m/s 的速度慢跑。
小狗以6m/s 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以6m/s 的速度去甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了多少米？【练习】1．若133=-x x ，则200173129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、200D 、20052．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体图形，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（ ）A 、21B 、24C 、33D 、373．甲、乙两人在长400m 的直路上来回慢跑，速度分别为3m/s 和2.5m/s 。
2024年北师大版七年级下册数学期末提分复习第17招运用整体思想解题的六种技巧
(1)将x 2 ＋y 2 变形为(x＋y) 2 －2xy，再代入已知条件
计算即可；(2)将x 2 ＋y 2 变形为(x＋y) 2 －2xy，再代入已
知条件，即可求出xy的值，将(x－y) 2 变形为(x＋y) 2 －
4xy，代入即可求解.(3)将(x－2 022) 2 ＋(2 024－x) 2 ＝12
CA组成的平面图形中，∠D＝28°，则∠A＋∠B＋∠C＋
∠F的度数为( C )
A.62°
B.152°
C.208°
D.236°
分类训练
【点拨】
整体联想待求式与已知条件之间的关系并正确应用相关
性质定理是解题的关键.
分类训练
整体代换在比较线段大小中的应用
3.[新考法 截长补短法]如图，在正方形ABCD中，E为BC边
所以GB＝AB＝5 cm，CH＝CD＝10 cm.
则GH＝GB＋BC＋CH＝23 cm.
所以ME＝MH－DH－DE＝GH－CD－DE
＝23－10－6＝7(cm).故EF＝7 cm.
所以AF＝GM－GA－MF＝GH－AB－EF＝
23－5－7＝11(cm).
所以这个六边形的周长为5＋8＋10＋6＋7＋11＝47(cm).
个
＝1 … .
个
分类训练
整体设元在求值中的应用
5.计算： − − − ⋯ −
－ －…－
( ＋ ＋ ＋…＋
)－(1－
)( ＋ ＋ ＋…＋
).
整体思想的解题策略
整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。
本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。
在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。
这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。
一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。
例1：证明21×43×65…×n n 212-＜121+n 证：设M=21×43×65…×n n 212-，N=32×54×76…×122+n n ，显然M ＜N 则MN=(21×43×65…×n n 212-)(32×54×76…×122+n n )=121+n∵M 2＜MN ∴M 2＜121+n 故M ＜121+n 评注：本解法抓住M ，N 这两个整体，使问题得到解决。
本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。
例2：设三个方程ax 2+bx+c=0，bx 2+cx+a=0，cx 2+ax+b=0有公共实数解，求实数a 、b 、c 之间的关系。
解：设三个方程的公共实数根为x 0，则 ax 02+bx 0+c=0 ① bx 02+cx 0+a=0 ② cx 02+ax 0+b=0 ③①+②+③ (a+b+c)( x 02+x 0+1)=0∵x 02+x 0+1=(x 0+21)+43＞0，∴a+b+c=0评注：本题欲求a 、b 、c 关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c 这一整体，使问题的解决豁然开朗。
二、整体求解解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。
整体思想解题专题练习
整体思想解题专题练习
姓名 考试时间 30分钟 得分
一、整体直接代入
将已知的式子直接代入求式中求值
二、变形已知
已知变形的方法有：移项、等于两边同时乘除同一个数（式），两边平方
三、变形求式
（一）添加括号
（二）求式变形
四、变形已知求式
将已知条件与求式都变形，直到能求值为止
五、添加括号
通过添加括号，达到将只有符号差异的式子转化成已知式子
六、整体加减
方法运用
1、如果a+b=5,那么())(42
b a b a +-+的值为 2、已知6432+-x x 的值等于9，则42-x ＝
3、已知5242+-y y 的值等于7，则122+-y y ＝
4、已知0232=--a a ，则2625a a -+＝
5、已知9﹣6y ﹣4y 2＝7，则2y 2+3y+7的值为
6、已知代数式5x 2﹣8+15x ＝﹣3，则2x 2+6x ﹣3的值为
7、若x ＋2y+3z ＝10,4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值是_____________。
8、若方程组⎩⎨⎧=++=+3
313y x k y x 的解x ，y 满足10<+<y x ，k 的取值范围是为 9、已知x ﹣2y ＝﹣2，则3﹣x+2y 的值是
10、已知43=-y x ，则5－2x+6y 的值是
11、已知2122=+-x x ，则x x 1+
的值为。
谈谈整体思想在初中数学解题中的运用
谈谈整体思想在初中数学解题中的运用【摘要】本文对整体思想在初中数学解题中的运用作初步的分析探讨，论述了整体思想在数学学习中的重要性。
【关键词】整体思想；运用整体思想是一种重要的思想方法，什么是整体思想？整体思想就是将问题看成一个完整的整体，注重问题的整体结构和结构改造的思维过程。
它的特点是从宏观上全面观察事物的整体结构，从整体上去揭示事物的本质。
在数学解题中灵活应用整体思想能够达到快捷、简洁、过程容易的功效。
我们在学好基本概念和基本知识的前提下应多注重学习体会这种数学思想在实际解题中的运用，从而体会这种思想，努力提高分析问题和解决问题的能力。
初中数学运用整体思想解题的具体表现形式有全局整体法、整体代换法、整体改造法、局部整体法、整体补形法等。
现就结合自己多年的教学实践，在广泛吸取同行经验的基础上，谈谈整体思想在如下几方面的实际运用。
一、整体思想在代数式求值中的运用七年级上册《数学》的第三章中用字母表示数就是一个整体思想运用的体现，代数式中的字母不仅可以表示一个数，还可以表示成一个式子或一系列的数值。
例1：已知x+y=3，x3+y3+x2y+xy2=9，求x2+y2的值。
分析与解答：欲求x2+y2的值，最容易想到的是先求x与y的值。
因而要先解方程。
这样便产生两个问题，其一，我们现在还没学过解方程；其二，即使将用x来表示出y的代数式代入解那计算也是复杂的事，不过，能从整体上改变，将x3+y3+x2y+xy2=9变形为（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）=9，即x2-xy+y2+xy=3，故x2+y2=3。
解：∵x3+y3+x2y+xy2=（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）=（x+y）（x2-xy+y2+xy）=（x+y）（x2+y2）=9，x+y=3∴x2+y2=3像这类问题从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从“整体” 上把握已知量之间的关系，则思路更为明朗、解法更为巧妙。
初一整体思想解题练习及答案
整体思想一．填空题（共2小题）1．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n=﹣2，mn=﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为．2．代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值．例如：已知a+2b=2，求1﹣a﹣2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则﹣（a+2b）=﹣a﹣2b=﹣2，所以1﹣a﹣2b=1﹣2=﹣1．请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2﹣2a﹣2=0，则5+a﹣a2=．二．解答题（共4小题）3．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知xy=2x+2y，求代数式（3x﹣5xy+3y）÷（﹣x+3xy﹣y）的值．提示：把xy和x+y当做一个整体．4．阅读下列文字，并解决问题．已知x2y=3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．5．如果已知x+y=5，那么x+y+6=11，反之，如果已知x+y+6=11，那么x+y=5．在以上运算中，体现了一种整体思想，这里的“x+y“可以看作一个“整体“．试着进行下面的计算：（1）已知x2﹣2x﹣5=0，那么2x2﹣4x﹣5=；（2）已知3x+4y﹣6x﹣1﹣y=0，那么x﹣y=；（3）已知a+b=A，ab=A+2011，1﹣2（a+ab）+（ab﹣2b）=3A，你能确定a+b 与ab的值吗？如果能，请求出它们的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）．（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9 y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知，求代数式的值．提示：把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入．整体思想参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n=﹣2，mn=﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为﹣8．【分析】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵m+n=﹣2，mn=﹣4，∴原式=2mn﹣6m﹣6n+3mn=5mn﹣6（m+n）=﹣20+12=﹣8．故答案为：﹣8．2．代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值．例如：已知a+2b=2，求1﹣a﹣2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则﹣（a+2b）=﹣a﹣2b=﹣2，所以1﹣a﹣2b=1﹣2=﹣1．请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2﹣2a﹣2=0，则5+a﹣a2= 4．【分析】先求得a2﹣2a=2，然后依据等式的性质得到a﹣a2=﹣1，最后代入计算即可．【解答】解：∵a2﹣2a﹣2=0，∴a2﹣2a=2．等式两边同时乘以﹣得：a﹣a2=﹣1．∴原式=5+（﹣1）=4．故答案为：4．二．解答题（共4小题）3．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知xy=2x+2y，求代数式（3x﹣5xy+3y）÷（﹣x+3xy﹣y）的值．提示：把xy和x+y当做一个整体．【分析】（1）由B+C=（A+B）﹣（A﹣C），去括号合并得到B+C的最简结果，将x=2代入计算即可求出值；（2）根据已知等式求出2x2+3y的值，原式前两项提取3变形后，将2x2+3y的值代入计算即可求出值；（3）由题意得到xy=2（x+y），原式变形后将xy=2（x+y）代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，∴B+C=（A+B）﹣（A﹣C）=3x2﹣5x+1+2x﹣3x2+5=﹣3x+6，当x=2时，原式=6﹣6=0；（2）根据题意得：2x2+3y+7=8，即2x2+3y=1，则原式=3（2x2+3y）+8=3+8=11；（3）根据题意得：xy=2（x+y），则原式=[3（x+y）﹣5xy]÷[﹣（x+y）+3xy]=﹣7（x+y）÷5（x+y）=﹣．4．阅读下列文字，并解决问题．已知x2y=3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b），=﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab，=﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab，=﹣4×33+6×32﹣8×3，=﹣108+54﹣24，=﹣78．5．如果已知x+y=5，那么x+y+6=11，反之，如果已知x+y+6=11，那么x+y=5．在以上运算中，体现了一种整体思想，这里的“x+y“可以看作一个“整体“．试着进行下面的计算：（1）已知x2﹣2x﹣5=0，那么2x2﹣4x﹣5=5；（2）已知3x+4y﹣6x﹣1﹣y=0，那么x﹣y=﹣；（3）已知a+b=A，ab=A+2011，1﹣2（a+ab）+（ab﹣2b）=3A，你能确定a+b 与ab的值吗？如果能，请求出它们的值．【分析】（1）求出x2﹣2x，然后代入所求代数式进行计算即可得解；（2）合并同类项，然后求解即可；（3）把a+b和ab换成A，然后解方程求出A的值，再代入求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣5=0，∴x2﹣2x=5，∴2x2﹣4x﹣5=2（x2﹣2x）﹣5=2×5﹣5=5；（2）∵3x+4y﹣6x﹣1﹣y=﹣3x+3y﹣1=﹣3（x﹣y）﹣1，∴﹣3（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣；故答案为：（1）5；（2）﹣；（3）1﹣2（a+ab）+（ab﹣2b）=1﹣2a﹣2ab+ab﹣2b=1﹣2（a+b）﹣ab，∵a+b=A，ab=A+2011，∴1﹣2A﹣A﹣2011=3A，解得A=﹣335，所以，a+b=﹣335，ab=﹣335+2011=1676．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）．（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9 y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知，求代数式的值．提示：把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入．【分析】（1）按提示把A+B和A﹣C整体代入，可得B+C的表达式，然后再代值计算即可．（2）按提示把后个代数式转化为第一个代数式的变形式，然后把第一个代数式的结果代入，可简化运算．（3）把代数式先进行合并同类项，然后按提示把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入求值即可．【解答】解：（1）∵B+C=（A+B）﹣（A﹣C），∴B+C=3x2﹣5x+1﹣（﹣2x+3x2﹣5）=﹣3x+6；当x=2时，上式=﹣6+6=0；（2）∵6x2+9 y+8=3（2x2+3y）+8，已知2x2+3y+7=8，得2x2+3y=1∴上式=3×1+8=11；（3）原代数式=，由已知得xy=2（x+y），所以原式==﹣．。
七年级数学下册《利用整体思想解题》讲义 (新版)苏科
利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a-=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013+++L ，则评析把111232013+++L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，GH＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8．FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。
初中七年级下册数学基础习题练习： 整体思想在解题中的应用
整体思想在解题中的应用【知识要点】整体思想方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
【经典例题】例1.若0132=-+x x ，求185523+++x x x 的值.例2．若z y x ,,满足173=++z y x 和2001104=++z y x ，则分式y x z y x 3200020002000+++的值为多少？。
例3．计算)20051190511805117051)](2105120051190511805117051(1[)2105120051190511805117051)](20051190511805117051(1[++++++++-++++++++例4．设2006321,,,,a a a a Λ都是正数，如果)()(200632200521a a a a a a M +++⋅+++=ΛΛ， )()(200532200621a a a a a a N +++⋅+++=ΛΛ，比较M 、N 的大小。
例5．甲、乙两同学从400m 环形跑道上的某一点背向出发，分别以2m/s 和3m/s 的速度慢跑。
小狗以6m/s 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以6m/s 的速度去甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了多少米？【练习】1．若133=-x x ，则200173129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、200D 、20052．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体图形，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（ ）A 、21B 、24C 、33D 、373．甲、乙两人在长400m 的直路上来回慢跑，速度分别为3m/s 和2.5m/s 。