轴对称中的动点问题:将军饮马
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轴对称中的动点问题
【命题:严学荣 审核:明祥彬】
将军饮马问题:如图所示,将军准备从A 点出发,想让马到一条笔直的河流上去饮水,然后再去B 地,那么走怎样的路线最短呢?
【题型梳理】
一、两点一线型(两定一动) 例1 如图,A 、B 两点在直线l 的异侧,点P 是l 上一动点,若AB =5,求P A +PB 的最小值.
【变式训练】
1.如图,直线l 和l 的同侧两点A 、B ,在直线l 上求作一点P ,使P A +PB 最小.
2. 如图,A 、B 两点在直线l 的同侧,点P 是l 上一动点,若AB =5,求PA PB −的最大值.
3.如图,直线l 和l 的同侧两点A 、B ,在直线l 上求作一点P ,使PA PB −的最大.
l A
l
l
l
二、一点两线型(一定两动) 例2 如图,点P 是∠MON 内的一点,分别在OM ,ON 上 作点A ,B .使△P AB 的周长最小
【变式训练】
1.如图,点A 是∠MON 外的一点,在射线OM 上作点P ,使P A 与点P 到射线ON 的距离之和最小.
三、两点两线型(两定两动)
例3 如图,点P ,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM ,ON 上作点A ,B .使四边形P AQB 的周长最小
【变式训练】
如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A 到B 的距离最短?
【精讲精练】
1.如图,在台球桌面ABCD 上,有白和黑两球分别位于M ,N 两点处,问:怎样撞击白球M ,使白球先撞击台边BC ,反弹后再去击中黑球N ?
O
O
N
A
O
2.已知,如图△ABC为等边三角形,高AH=10cm,P为AH上一动点,D为AB的中点,则PD+PB
的最小值为cm.
3.如图,MN是正方形ABCD的一条对称轴,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD 最小时,∠PCD=°.
4.如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为
5.如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=30°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N 分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,连接MB,若AB=8 cm,△MBC的周长是14 cm,
(1)求BC的长
(2)在直线MN上是否存在点P,使PA PC
−的值最大,若存在,画出点P的位置,并求最大值,若不存在,说明理由.
7.如图,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,当BM+MN的值最小时,求AN.
D
A B
C
M
M
N
C
B
A
【能力提升】
8.直线l 的同侧有两点A 、B ,在直线l 上求两点C 、D ,使得AC 、CD 、DB 的和最小,且CD 的长为定值1cm ,点D 在点C 的右侧.
9
.长方形OACB ,OA =3,OB =4,D 为边OB 的中点.若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF =2,当四边形CDEF 的周长最小时,画出点E 、F 的位置;
10.嘉贡七(2)班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO ,BO ),AO 桌面上摆满了桔子,OB 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到C 处,请你在下图帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
11.已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,过点A 的直线MN ∥BC ,点P 是MN 上的任意点.求证:PB +PC≥2A B .
l
B