微积分 函数的极限

lim f ( x ),
x x0
lim f ( x ),
x x0
lim f ( x ),
x
x
lim f ( x ),
x
lim f ( x ), lim f ( x ).
注意 (1)考察 lim f ( x )时，规定x x0 .
x x0
当x趋于x0时，f ( x )的变化趋势与f ( x )在x0处的值无关. 只考查靠近x0的点的函数值的变化规 律.
x x 0
x
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x 0
lim f ( x ) A充要条件是
x
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x
二、由函数图形及函数值认识函数极限
例.观察求出下列函数的极限 : (由函数图形来观察 )
X
A

X
思考 lim f ( x ) ＝a,
x
x x
x
lim f ( x ) b的定义和图像
x
lim f ( x ) ＝ lim f ( x ) A lim f ( x ) A
例
sin x 证明 lim 0. x x
y
y
y f ( x)
y
P
y a ya
y a
几何解释:
O
思考 lim f ( x ) a,
x x 0 x x 0 x x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) A lim f ( x ) A
x x
0
x x 0
lim f ( x ) b的定义和图像.
f ( x ) 无限趋于
一个确定的数 A , 则称 当x X 时, f ( x ) 收敛于 A ,
或称 A 是 f ( x ) 在 x X 下的极限,
记为
x X
lim f ( x ) A 或 f ( x ) A ( x X 时)
常用极限符号
x x0
否则称 f ( x ) 在 x X 时发散或极限 lim f ( x ) 不存在 . x X
( ) x0 x x0 x0
x
注：
0 x x0 的含义是什么？
x 落入点 x0 的空心 邻域内
考虑空心邻域，是什么意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是 否有定义，定义的值是什么，但是，在附近必须要有 定义。
例:求下列极限
x2 1 (1) lim( x 1);(2) lim x 1 x 1 x 1
x 1, x 1 (3)lim f ( x ) 其中 f ( x ) x1 x 1 1, 解:(1) lim( x 1) 2 2
x1
(2)
x2 1 lim lim( x 1) 2 x1 x 1 x 1
x1
1
(3) lim f ( x ) lim( x 1) 2 说明：函数极限与某一点的函数值无关，研究该点的空 心邻域
( 2)称 lim f ( x )为x x0时的右极限,亦记为f ( x0 0);
x x0
称 lim f ( x )为x x0时的左极限( f ( x0 0)).
x x0
( 3)一般不可出现 lim f ( x )记号.
(4) lim f ( x ) 只是一种记号， x X
不能称“lim f ( x )存在” , 或称“x X时f ( x )收敛于 ”
x X
只能说函数f ( x )当x X时发散, 或极限趋于无穷 .
函数极限的分析性定义：
x
lim f ( x ),
x
x
lim f ( x ),
lim f ( x ).
x
选择 lim f ( x ) A
" X " 定义
定义：对于任意小的正 数，总存在一个正数 X,
当x X时，都有
f ( x) A
则称常数A是函数f ( x)在x 时的极限。
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
图 像
sin x x
sin x sin x 1 证 0 x x x
, x
1

1 0, 取 X , 则当 x X时恒有
sin x 0 , x
sin x 故 lim 0. x x
x x0
lim f ( x ),
x x0
lim f ( x ),
x1
性质
(1) f ( x ) 是初等函数 , x0 在 f ( x ) 的定义域
内, 那么 x x0 时（有时候只能是单侧 过程）， f ( x ) f ( x0 ) , 即
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
( 2) lim f ( x ) A的充要条件是
§2.2 函数极限
对于函数y=ƒ(x), 考察它的极限，考察自变量x在定 义域 内变化时，相应的函数值的变化趋势。
x ;
x x0 ;
x ;
x ;
x x0 ;
xx ;
0
用记号 x X 统一表示Hale Waihona Puke Baidu6 种极限过程
描述性定义
定义：如果在极限过程 x X 下,
1 (1) lim , x x 1 lim 0 , x x 1 1 lim , lim , x x x x 1 lim 0 , x x 1 lim , x 0 x 1 lim 0 , x x 1 1 lim , lim . x 0 x x 0 x
x x0
lim f ( x ),
选择 lim f ( x ) A
x x0
" "定义
定义：对于任意小的正 数，总存在一个正数
0 x－x0 时，都有 (一般也比较小） ,当
f ( x) A
则称常数A是函数f ( x)在x x0时的极限。
当x在x0的空心邻域时,函数y f ( x )图形完全落 在以直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内 .