第三章系统的时间响应分析

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3.1 时间响应及其组成

时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，数 学上即系统微分方程在一定初始条件下的解。 如图示系统 外力作用（输入）：

动力学方程
根据微分方程解的理论


式中
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k 297 N / m
（2）求m M p exp( / 1 2 ) 100% 0.0029 9.6% 0.6 0.03 将tp和ξ代入tp计算式 t p 2s, 0.6 tp
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、
单位阶跃响应
• 当
1
，系统为临界阻尼系统时
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3.3 二阶系统时间响应
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3.4 二阶系统性能指标

总结

要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据
最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
单位脉冲响应 单位阶跃信号
传递函数：
单位斜坡信号
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3.2 一阶系统时间响应

一阶系统：微分方程 性能指标：调整时间ts

传递函数：
一阶系统地阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-△）所需要的时间 （ △为允许误差） 稳态值 △· 稳态值
ts

调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统惯性越大，调整时间越 长，响应越慢
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、
单位阶跃响应
• 当 0 1 ，
系统为欠阻尼系统时
d n 1 2
:二阶系统的有阻尼固有频率 易朋兴

已知系统响应曲线或性能指标，辨识系统参数


例3-2：图示机械系统，在质量块上xi(t)=8.9N的力后，质量块的 响应曲线xo(t)如图所示，求m、k、c xi ( t ) 8.9N ,xo ( ) 0.03m,x o( t p ) x o( ) 0. 0029m,t p 2s 解：由图可知
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

单位脉冲响应
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ω n、
• 当 1 ，系统为过阻尼系统时
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二阶系统：

Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 ωn、ζ ：特征参数 i n n
单位阶跃响应
• 当 1 ，系统为过阻尼系统时
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：
系统传递函数为 而
Xi ( s ) 8. 9 N s
G( s )
XO ( s ) 1 X i ( s ) ms 2 cs k
（1）求k
t
根据拉氏变换终值定理
s0 s0
xo ( ) limxo ( t ) lims.X o ( s ) lims
1 8.9 8.9 . N N ms 2 cs k s k
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3.4 二阶系统性能指标

已知系统响应曲线或性能指标，辨识系统参数

例3-2：图示机械系统，在质量块上xi(t)=8.9N的力后，质量块的 响应曲线xo(t)如图所示，求m、k、c
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3.4 二阶系统性能指标
传递函数：
T：

单位阶跃响应
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3.2 一阶系统时间响应

一阶系统：微分方程 单位斜坡响应
传递函数：
T
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3.2 一阶系统时间响应

一阶系统： 微分方程 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
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3.4 二阶系统性能指标

二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应

峰值时间tp ：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间
当ζ一定时ωn增大tp就减小； 当ωn一定时ζ增大， tp就增大
s1 ,2 n n 2 1
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

单位脉冲响应
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 ωn、ζ ：特征参数 i n n
若存在特征根具有正实部， 若存在特征根实部为0， 系统自由响应项发散， 其余实部为负，则自由响应 系统不稳定 称为瞬态响应项等幅振荡 系统临界稳定
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3.1 时间响应及其组成

系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性 结论 特征根实部影响自由响应项的收敛性 若所有特征根均有负实部，系统自由响应项收敛，系 统稳定，此时自由响应称为瞬态响应，强迫响应项称 为稳态响应 若存在特征根实部为正，系统自由响应项发散，系统 不稳定 若存在特征根实部为0，其余实部为负，则自由响应 等幅振荡,系统临界稳定 特征根的虚部影响自由响应项的振荡频率 虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈
ωn、ζ
• 当 0 ，系统为零阻尼系统时
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、ζ
单位脉冲响应
• 当
1
，系统为临界阻尼系统时
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、ζ
单位阶跃响应
• 当 0 ，系统为零阻尼系统时
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3.4 二阶系统性能指标

二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应

振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

特征方程 s2 2n s n2 0 特征根 特征根在S平面上的分布
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 ωn、ζ ：特征参数 i n n
• 当 0 1 ，系统为欠阻尼系统时
d n 1 2
:二阶系统的有阻尼固有频率 易朋兴
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3.3 二阶系统时间响应

二阶系统：

单位脉冲响应
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) 2 X i ( s ) s 2 2n s n
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华中科技大学机械学院
机电系 易朋兴、熊良才
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第三章 系统时间响应分析



时间响应及其组成 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 二阶系统的性能指标 高阶系统的时间响应 系统的误差分析与计算 单位脉冲响应函数在时间响应中的作用
作业 3.4(3), 3.5, 3.8, 3.12, 3.15, 3.17

Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、
二阶系统的阻尼比影响系统的振荡特性，阻尼比越小，振荡越剧烈

不同阻尼比时的振荡情况比较如下
单位脉冲信号 单位阶跃信号
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3.4 二阶系统性能指标

二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应

上升时间tr ：响应曲线第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间
当ζ一定时ωn增大tr就减小； 当ωn一定时ζ增大， tr就增大
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3.4 二阶系统性能指标

二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应

最大超调量Mp ：
Mp与ωn无关，只与ζ有关；
当ζ增大， Mp就减小，反之亦然
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3.4 二阶系统性能指标

二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应

调整时间ts ：xo(t) 取值满足下面不等式时所需要的时间
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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3.1 时间响应及其组成
初态为零由输入引起的强迫响应
初始条件引起的解 自由响应
输入引起的自由响应 输入引起的强迫响应 强迫响应
零输入响应
零状态响应
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3.1 时间响应及其组成

时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，数 学上即系统微分方程在一定初始条件下的解。 一般情况，系统动态方程为

系统性能指标的矛盾性。一般说来，系统的上升时间tr 、峰值时间tp 、调
整时间ts等反映系统响应快速性的性能指标与最大超调量Mp 、振荡次数N 等指标是相互矛盾的

已上各个性能指标的公式是从典型二阶欠系统的阶跃响应中推导出来的。
如果系统是具有零点的二阶系统，这些公式是不能直接应用的。但是，其 性能指标同二阶系统特征参数之间的变化趋势却保持不变
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3.1 时间响应及其组成

控制系统中典型输入信号
单位脉冲信号 单位阶跃信号 单位斜坡信号
单位抛物线信号
正弦信号
随机信号
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3.2 一阶系统时间响应

一阶系统： 微分方程 单位脉冲响应

方程解的一般形式为
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3.1 时间响应及其组成

时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，数 学上即系统微分方程在一定初始条件下的解。

讨论

系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关 由y(t)=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应 对于线性定常系统，若x(t)引起的输出为y(t),则x’(t)引起的输 出为y’(t) 华中科技大学 易朋兴
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3.1 时间响应及其组成

系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
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8
3.1 时间响应及其组成

系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
若所有特征根均有负实部， 系统自由响应项收敛于0， 系统稳定。 此时自由响应称为瞬态响应