2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(14)

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2013届高三数学二模好题集锦

2013届高三数学二模好题集锦12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是．16、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M （）.A π6 .B π7 .C π12 .D π1317、若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（）． .A 1- .B 0 .C21.D 1 18、正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为（）.A 2． .B 3． .C 4． .D 5．12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-(3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++，则lim4nnn A →∞=___________.14．已知1()4f x x =-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.【解析】⑴设12a k =，2a k =，则：322k a k +=，30a =分两种情况： k 是奇数，则2311022a k a --===，1k =，1232,1,0a a a === 若k 是偶数，则23022a ka ===，0k =，1230,0,0a a a === ⑵当3m >时，123123423,21,2,2,m m m m a a a a ---=+=+==45122,,2,1,0m m m m n a a a a a ++-======∴1124223n m m m S S +≤=++++=+⑶∵211log n a >+，∴211log n a ->，∴112n a ->由定义可知：1,212,2nnn n n na a a a a a +⎧⎪⎪=≤⎨-⎪⎪⎩是偶数是奇数∴112n n a a +≤ ∴1211112112n n n n n n a a a a a a a a a ----=⋅⋅⋅≤⋅∴111212n n n a --<⋅= ∵n a N ∈，∴0n a =，综上可知：当211log n a >+()n N ∈时，都有0n a =12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，β(0≠)满足|β|＝2，且与β－的夹角为120°，则||的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .12. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于．13. 已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R ，满足 (2)()3,(4)()103x x f x f x f x f x +-≤+-≥⨯,则)2014(f = ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．如图，过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ QQ Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L，11122OPQ Q PQ ∆∆，，2331n n n Q PQ Q PQ -∆∆，，，L L 的面积分别为123,,,,,,n G G G G L L 数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ；（2）求n a ，limnn nG S →∞；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，对于正整数,,,p q r s ，若p q r s <<<，且p s q +=+试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在；其中正确命题的序号为 .17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x xx x m x f π，其中0>m 。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U = 2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序) n bb b n22212+++≥ (倒序) n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。

2、已知),0(,,∞+∈z y x ，且1=++z y x ，证明：274222≤++x z z y y x 成立的条件.3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。

证明设 BOP DOQ α∠=∠=，则()sin sin,sin sin AOD QD AQOQD OD OQD OAαα+∠==∠∠，从而有()sin sin AOD AQ OD OA QDαα+∠=。

类似地，有()sin sin AOB AP OBOA BP αα+∠=，因此有()()sin sin AOD AQ OD BP AOB AP OB QD αα+∠=+∠。

同理，由()sin sin ,sin sin COD BOQ BQ QC OQB OB OQB OCα∠-∠==∠∠，可得()()sin sin ,sin sin COD BOC QC OB PC ODBOQ OC BQ DOP OC PDαα∠-∠-==∠∠，因此有()()sin sin COD QC OB PDBOC PC OD QBαα∠-=∠-。

设 AC 与 PQ 交于点L ，由梅涅劳斯定理，1,1AQ DP CL CQ BP ALQD PC LA QB PA LC==，于是有()()()()sin sin 1sin sin AOD COD AOB BOC αααα+∠∠-=+∠∠-。

2013全国数学联赛试题及答案2

AC sin ADC sin APE ， CD sin CAD sin EPF BD BD sin BFD sin PFA AP ，由于 = EF BF sin BDF sin PAF PF
1= SPAE AP PE sin APE BD AC SPFE PF PE sin EPF EF CD
n 1
于任意正整数 n ，都有 S2n 1 bn 2
2
n(u v) 。
2 r 2 (u v )
取 n 2r (u v), r Z 时， S2n 1 2 平方数。综上所述，结论成立。
r 2 (u v)2 2r

2
(u v )
r (u v) 都是完全

k

因此，我们取的 2k 个整数满足要求。原题证明：对于任意正整数 2 n 2k ，都存在正整数 2 r k ，使得 2r 1 n 2r ，由引理存在 2r 个整数它们都不是 n 的倍数，使得任意将它们分为两组都会有一组中有若干个数之和是 n 的倍数。再任意添加 2k 2r 个大于 n 的正整数，则得到满足题意的 2k 个整数。
蕴
秀
斋
2013 年全国高中数学联赛二试参考解答
1、 AB 是圆的一条弦， P 是 AB 上一点， E , F 在线段 AB 上，满足 AE EF FB ，射线 PE, PF 分别与交于 C , D 。求证： EF CD AC BD 。
P w A E F B
证明：由正弦定理
证明：令 bn S2n 1 ，则 b1 S1 a1 u v ，由已知
bn 1

2013年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为B卷)(含解答)

AB < BC
∠AP B = ∠BP C
7
AB BC
1
B
A
P
∠BP C = ∠CP D
P
BM BC
C2 =
M; = DM CD
C
D
A, B, C, D
3.
x, y, z
x2 + y2 + z2 = 10
u = 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2
6 − x2 +
6 − y2 +
2
6 − z2
x = 0, y = 0 (P
x– )
a+c = 0
ac x−
2
+ y2 =
ac 2
a+c
a+c
x–
(0, 0), (2ac/(a + c), 0)
b) x–
A, B, C, D (−1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)
∠AP B = ∠BP C
P
y–
∠BP C = ∠CP D
1 16
(y1y2
+
8)2
=
0
y1y2 = −8 (−8)2
x1x2 = 16 = 4.
F (1, 0)
−→ −−→ √ x1 − x2 = (x1 + 1) − (x2 + 1) = |F A| − |F B| = 4 3.
4
y2 = 4x
x1, x2
√2 x1 + x2 = (x1 − x2)2 + 4x1x2 = 4 3 + 4 × 4 = 8.
Tn
n=3

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(14).doc

加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点A^B^C,, AA r, BB, 分别交圆于爲,场，AAQG中的角平分线分别交dG，£G于点九，场，证明(1)乌令是G的角平分线；(2)如果P,0是AA］出含和肚屁场的两个外接圆2、对任意实数兀,y,z，试证：-―(%2 + y2 +9z2) < xy + 2xz + 3yz < +(x2 +)；2 +9z2).3、设"是正整数，我们说集合｛1, 2, •••, 2"｝的一个排列（勺內‘…心）具有性质P，是指在｛1, 2, •••, 2"—1｝当中至少有一个几使得I X； - x j+l \= n.求证，对于任何"，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方p r -q s 1= 1的整数解，其中是质数，r,s是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点4,冋,G ,妙,BB{ 分别交圆于％，场，AA0C1中ZC1A1B I,ZC I B1A1的角平分线分别交于点九,％，证明(1) %令是的角平分线；(2)如果P,0是AA.A4和的两个外接圆的交点，则点/在直线PQ上。

证明(1 )因为AAQA s , AA5,A s AA4Q ,所以有呈=AA^ =业，从而有尘=£A =,即4 4是的角平分线。

C/1 AC] AB X B}A X BjA,昭B{A3A(2)设AA]令&的外心为O,连01,1\,0^,0\,则0/丄4令。

由于ZA J A3A=ZAC4 + ZC^A3 + ZQ^Aj = ZA]C]4 +|(ZC1A2B I + ZCjA.fi! ) = 90° + ZA1C/2，所以ZA2OI=^=180°- ZA,A3A = 90° - Z^QA2 = 90° - ZA2IO , 于是有ZZ42O=90°,即他与O相切于厶。

2013二模理科数学答案.doc

永州市2013年高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11．（二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14．－10 15．＜16．（1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分（3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分（2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分）解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1，即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1），故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+，点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分（2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412，得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分（2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==，则()g x 在点B 处切线方程为2y x =．由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-，令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立，函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。

2013年全国高中数学联赛试题及其解答

文武光华
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素的和为。解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值为。解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为。解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识

2013年全国高中数学联赛模拟试题

等于．３．设数列ｎ１，ａ２， …，ａ， …，满足ａｌ —ａ２ —１，ａ３
、
（本题满分４０分）如图。锐角 △ ＡＢＣ内接于
—２，且对任何自然数，都有ａｎａ卅ａ＋。 ≠１，又
ａｎ＋１口２ｎＨ十３：＝＝ａ＋ｎ＋ｌ＋ａ ” ＋２＋ｎ＋３，则ａ１＋ａ２
（ ∈ Ｎ）．
７．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线Ｙ。一２ｘ的
焦点为Ｆ，设Ｍ是抛物线上的动点，则
为．
三、（本题满分５Ｏ分）设Ｓ是一些互不相同的四元数组（口，ａ。，ａ。，ａ）的集合，其中ａ一０或１，ｉ＝１，２，３，４．已知Ｓ的元素个数不超过１５，且满足：若（ａ，
二、（本题满分４Ｏ分）设Ｐ
×５０２，则Ｎ除以２０１２的余数是．６．已知函数厂（ｚ）满足对于一切ｚ∈Ｒ都有－厂（ｚ）＋ｆ（２０１２一ｚ）一２０１３成立，且方程２０１２ｆ（ｚ）一２０１３ｘ有７个不同的实数根，则这７个实数根的和
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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(8)(附答案)

加试模拟训练题（8）1、已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。

2.设ABC ∆三边长为c b a ,,，有不等式∑∑-+≥-,)(31)(22c b acb c b ------① 试证不等式①中的系数31是最优的.3、设M={ 1,2,3,…,2m n} (m,n ∈N *)是连续2m n 个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在m+1个数，a 1,a 2,…a m+1，满足a i |a i+1 (i=1,2,…,m).4．已知*,,,N n m b a ∈，且2,1),(>=a b a ，试问mmnnb a b a ++|的充要条件是m n |吗？ 2006年山东省第二届夏令营试题）加试模拟训练题（8）1、已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。

证明设圆1234,,,,O O O O O 的半径分别为1234,,,,R r r r r ，圆1234,,,O O O O 与圆O 的切点分别为 ,,,A B C D ，1234,,,OO a OO b OO c OO d ====，1223,O OO O OO αβ∠=∠=，3414,O OO O OO γδ∠=∠=，因为12R a r b r =+=+，所以有()()()22222221212122cos 21cos 4sin 2l O O r r a b ab a b ab ab ααα=--=+---=-=，即122l α=。

2013年高三二模数学(文科)试卷与答案

CBAPN（第8题图）2013年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（文科）（时间 120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.)150tan(︒- 的值为A.33 B. 33- C.3 D. 3- 2.已知i 是虚数单位，则复数ii-+131的模为 A.1 B.2 C.5 D.53.下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是A. x y lg =B.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 C. ||x x y = D.3x y -=4.已知一组具有线性相关关系的数据),(,),(),,(2211n n y x y x y x ，其样本点的中心为)3,2(，若其回归直线的斜率的估计值为2.1-，则该回归直线的方程为A.22.1+-=x yB.32.1+=x yC. 4.52.1+-=x yD. 6.02.1+=x y5.若0>ω ，函数6cos(πω+=x y 的图像向右平移32π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为 A.34 B. 23C. 3D. 46.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，若F 与椭圆上的点的最大距离、最小距离分别为m M 、，则该椭圆上到点F 的距离为2mM +的点的坐标是 A.),(2a b c ± B. ),(2ab c ±- C.),0(b ± D.不存在7．定义n n a a a a a a ,,,),,,min(2121 是中的最小值，执行程序框图（如右图），则输出的结果是 A.51 B. 41 C. 31 D. 32 8.如右下图，在ABC ∆中，21=,P 是BN 上的一点，若m 92+=,则实数m 的值为 A.3 B. 1 C.31D. 91 9.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是 A. ]617,21[ B. ]43,21[ C. ]617,43[ D. ),21[+∞ 10.已知正方形321P P AP 的边长为2，点B 、C 分别为边3221,P P P P 的中点，沿AB 、BC 、CA 折叠成一个三棱锥P-ABC （使321,,P P P 重合于点P ），则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为 A.π38 B.36π C.12π D.6π11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值为 A. 0 B.34 C. 23D. 3 12.已知函数3)(x ax x f -= ，对区间（0，1）上的任意21,x x ，且21x x <，都有1212)()(x x x f x f ->-成立，则实数a 的取值范围为A. （0，1）B. [4.+∞)C. (0,4]D.(1,4]A BEDCFC第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在ABC ∆中，若23,45,60=︒=∠︒=∠BC B A ,则AC 的长度为14.已知母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角为34π，则该圆锥的体积为 15．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的倾斜角为,32π离心率为e ，则b e a 222+的最小值是16.将函数])1,0[(2∈+-=x x x y 的图像绕点M(1,0)顺时针旋转θ角（20πθ<<）得到曲线C,若曲线C 仍是一个函数的图像，则θ的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题与解答

2 2
解：经简单变形可得到 P 2[(cos x 1) (cos y 1) ], 注意到当 x (0,

2
) 时， f ( x) (cos x 1)2 (0,1) 且单调增，于是 P ( 2,0) .
6、设 F 为椭圆 C :
x2 y2 过椭圆 C 外的一点 P 作椭圆 C 的切线，切点为 M ， 1 的右焦点， 4 3
二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分。） 11、求函数 y x x x 1 的值域.
2 2
12、已知数列 {an },{bn } 满足： a1 1, b1 3, an 1 2
27an 27b , bn 1 2 n 2 , n N * . 2 2 9an 4bn 9an 4bn
2013 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）
（考试时间：5 月 12 日上午 8:00——10:00）考生注意：1、本试卷共两个大题（13 个小题），全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、不能使用计算器。一、填空题（本题满分 90 分，每小题 9 分。直接将答案写在横线上。） 1、设集合 A {1,3,5,7,9}, B {2,4,6,18} ，若 C {a b | a A, b B} ，则集合 C 的所有元素之和为＿＿＿＿ . 2、已知数列 {an } 满足： a0 0, a1 1 ，且 a2 n an , a2 n 1 an 1, n N * , 则
于是 L 1 ( )
2
二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分。） 11、求函数 y x x x 1 的值域.
2 2

2013届高三数学第二次模拟考试文(西城二模)(含解析)

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i + （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i --【答案】 A解析2i (1i)1i i i ⋅-=-=+，选A.2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3【答案】 A解析因为a 与b 共线，所以0=，解得1λ=-，选A.3．给定函数：①2y x =；②2xy =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④【答案】 D解析①2y x =为偶函数.；②2xy =非奇非偶.③cos y x =为偶函数.④3y x =-为奇函数，选D.4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3 （B ）3- （C ）13（D ）13-【答案】 B解析双曲线的方程为221y x k-=-，即221,a b k ==-，所以2221c a b k =+=-.又2e =，所以22214c e k a==-=，解得3k =-，选B.5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤ 【答案】 C解析第一次循环，满足条件，2,3S k ==;第二次循环，满足条件，23,5S k =⨯=;第三次循环，满足条件，235,9S k =⨯⨯=;第四次循环，满足条件，2359,17S k =⨯⨯⨯=; 第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出.所以条件应满足1733k <<，即当22k ≤，满足，所以选C.6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα【答案】C解析对于A ，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB 与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A 不正确；对于B ，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD ，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C ，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D ，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C ．7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(1,0)- （D ）(,1)-∞-【答案】 B解析由()f x k =得||()e ||x f x x k =+=，即||e ||x k x =-.令||e ,||x y y k x ==-，分别作出函数||e ,||x y y k x ==-的图象，如图，由图象可知要使两个函数的交点有2个，则有1k >，即实数k 的取值范围是(1,)+∞，选B.8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是（A ）8 （B ）7（C ）6（D ）5【答案】 B解析有条件可知有1，必有5；有2必有4；3可单独在一起.满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个.选B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______．【答案】 6-解析因为直线1l ∥2l ，所以21131m -=≠-，解得6m =-. 10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）【答案】>解析由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙.11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．【答案】3，解析由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2742AB AB =+-，所以2230AB AB --=，解得3AB =或1AB =-，舍去.所以△ABC 的面积是11sin 3223222S AB BC π=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．【答案】59解析直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，1≤，即229a b +≥.当1a =时，28b ≥，此时3b =，有1组.当2a =时，25b ≥，此时3b =，有1组.当3a =时，20b ≥，此时1,2,3b =，有3组.所以共有5组.所有满足a ，b 的组合有339⨯=组.所以满足条件的概率为59. 13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．【答案】 1c >或(1,)+∞解析要使函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增，则10c ->，解得1c >.所以:p 1c >.因为不等式20x x c -+≤的解集是∅，所以判别式140c ∆=-<，解得14c >，即:q 14c >.因为p 且q 为真命题，所以,p q 同为真，即14c >且1c >，解得1c >.所以实数c 的取值范围是1c >.14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．【答案】 2，4解析由01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩得0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，做出对应的平面区域（阴影部分）为平行四边形.所以平行四边形的面积为212⨯=.设(,)Q s t ，则s x yt x y=+⎧⎨=-⎩，解得22s t x s t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，得0202s t s ≤+≤⎧⎨≤≤⎩.做出对应的平面区域（阴影部分）如图为平行四边形OMFE.则平行四边形的面积为224⨯=.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积；（Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>； 11．3，2； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =，舍去 3q =-． ………………4分所以 214a a q==． ………………6分所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分因为 1211222n n n n b b +++-=-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos20=α． ………………11分因为 62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分所以四面体PBFC 的体积为 PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分 322131=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=． ………6分又因为AF ∥CD ，CD AF 21=，所以AF ∥EQ ，EQ AF =．所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………8分因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以直线AE ∥平面PFC ． ………………9分（Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥．因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分因为 ⊂FQ 平面PFC ，所以平面PFC ⊥平面PCD . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 11x =，或21x =． ………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1)22-+． ………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-． ………………12分 ③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-． ………………13分综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x在区间[2,3]上的最小值是533a --；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以点M的坐标为2(,55． ………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ……………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………7分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………8分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2-． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,n b b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠．………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。

2013年全国数学竞赛试题详细参考答案

（第3题）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）12+ （C ）72+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）E12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要（第4题）（第8题）接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．（第8题答案）（第9题答案）另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c+=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。