2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(14)

加试模拟训练题（14）

1、非等腰ABC ∆的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，

11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ∆中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111

,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ∆和123B B B ∆的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

2、对任意实数z y x ,,， 试证：).9(6

19132)9(6191222

222z y x yz xz xy z y x +++≤++≤++-

3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.

4、求方程||1r

s

p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.

加试模拟训练题（14）

1、非等腰ABC ∆的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，

11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ∆中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111

,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ∆和123B B B ∆的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

证明 （1）因为12AC A ∆∽11AAC ∆，12AB A ∆∽11AA B ∆，所以有

122212111111C A AA AA B A C A AC AB B A ===

，从而有131211121113

C A

C A C A B A B A B A ==，即23A A 是121B A C ∠的角平分线。

（2）设123A A A ∆的外心为O ，连221,,,OI IA OA OA ，则12OI A A ⊥。由于132A A A ∠=

()1121231131121211111121

902

A C A C A A C A A A C A C A

B

C A B A C A ∠+∠+∠=∠+

∠+∠=︒+∠，所以22113211221

18090902

A OI A OA A A A A C A A IO ∠=

∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠，于是有290IA O ∠=︒，

即2IA 与O 相切于2A 。同理2IB 与123B B B ∆的外接圆相切于2B ，从而I 在O 与123B B B ∆的外接圆的根轴上，即 ,,I P Q 三点共线。

2、对任意实数z y x ,,， 试证：

).9(6

19132)9(6191222

222z y x yz xz xy z y x +++≤++≤++- 证明：当z y x ==时，所证不等式显然成立.

当z y x ,,不全为零时，,092

2

2

>++z y x 将所证不等式可变形为

.619

193261912

22+≤++++≤-z

y x yz xz xy

令

k z

y x yz

xz xy =++++2

22932 ① ①式中的z y x ,,均可取一切实数（z y x ,,不同时为零即可）. 不妨取变量z 作为考查对象. （1）当0=z 时，22y x xy k +=

，由||22

2xy y x ≥+，得,21||2

2≤+y

x xy 即.2

1

21≤≤-

k （2）当0≠z 时，将①式整理，得,03)9()2(2

2

2

=-+++-yz z y k x z y kx k 可以为0，当0=k 时，不等式显然成立；

当0≠k 时，因R x ∈，0≥∴∆，即0>∆或.0=∆ 由0=∆得)39(4)2(2

2

2

yz kz ky k z y -+-+=∆ .0)91(4)124()41(2

2

2

2

=-+++-=k z y kz z y k 当21±

=k 时，不等式显然成立； 当2

1

±≠k 时，.0,≥'∴∈∆R y .0)91(4)41(4)124(2

2

2

2

≥---+='k z k kz z ∆

即,0)]31)(31)(41()31[(162

2

2

≥-+--+k k k k z ,0162

>z 0)]31)(31)(41()31(2

2

≥-+--+∴k k k k

即.0)6191)(6191()31(≤+---

+k k k k 解得：，k 3

1

6191-≤≤-或.6

19

10+≤

≤k 同理，由0>∆，得0)91(4)124()41(2

2

2

2

>-+++-k z y kz z y k ，对任意实数y 都满

足的充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<---+=''>-.

0)91(4)41(4)124(,

0412

2222

k z k kz z k ∆解得.031<<-k

综合以上，可得k 的取值范围是：

.6

19

16191+≤≤-k 由此可得

.619

193261912

22+≤++++≤-z y x yz xz xy 即所证不等式成立.

3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有