数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

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数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题2### 数学分析期末考试试题2一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \sin x \)在区间[0, \( \pi \)]上的最大值是： - A. 1- B. \( \frac{\pi}{2} \)- C. \( \sqrt{2} \)- D. \( \sqrt{3} \)2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：- A. 0- B. 1- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 如果\( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，那么\( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \)的值是：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 无法确定4. 函数\( g(x) = x^2 + 3x + 2 \)的导数是：- A. \( 2x + 3 \)- B. \( x^2 + 3 \)- C. \( 2 + 3x \)- D. \( 3x + 2 \)5. 以下哪个序列是收敛的？- A. \( \{ \frac{1}{n} \} \)- B. \( \{ (-1)^n \} \)- C. \( \{ n^2 \} \)- D. \( \{ \frac{1}{n^2} \} \)二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点是______。

2. 如果\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \)______。

3. 函数\( h(x) = e^x \)的泰勒展开式在\( x = 0 \)处的前三项是______。

09级数学专业《数学分析》第三学期期末考试试题(B)

数学科学学院10－11学年第一学期期末考试试题考试科目：数学分析年级： 09适用专业：数学与应用数学考试时间：120分钟考试方式：闭卷试卷类别：B 试题满分：100分一．填空题（每题4分，共20分）1．2200x y →→= ．2．设n 是曲面222236x yz ++=在点(1,1,1)P 处指向外侧的法矢量，则u =P 点处沿n 方向的方向导数=_______．3．设数量场u =,则()div gradu =_ ____．4．交换积分顺序()()231320010,,x x I dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰= ．5．全微分()22sin cos x y dx x ydy +的所有原函数为．二．计算（每题8分，共40分）1．求arctany z x=的所有二阶偏导数． 2．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰．3．设L 是半圆周cos :sin x a t L y a t=⎧⎨=⎩，0t π≤≤，计算第一型曲线积分()22L I x y ds =+⎰． 4．计算()333S x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰ 外，其中S 为球面2222x y z R ++=的外侧．5．计算曲线积分224L xdy ydx I x y-=+⎰ ，其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠），取逆时针方向．三．证明题（每题10分，共40分）1．设,ϕψ均为二次可微函数，()()u x x y y x y ϕψ=+++，证明：2222220u u u x x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂． 2．设()1,1f x y xy=-，()[)[),0,10,1x y D ∈=⨯，证明：(),f x y 在D 上非一致连续． 3．设(),f x y 在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),dc I x f x y dy =⎰在[],a b 上连续．4．设函数()()2222220,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(),f x y 在()0,0点可微．。

《数学分析》华东师大出版社第三学期期末复习试题3-7

一、填空（每空2分，共20分） 1．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是。

数学分析(3)试卷及答案

数学分析(3)期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项：1.考试时间：120分钟。

2.试卷含三大题，共100分。

3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分)1、设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。

2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

4、设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。

5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

6、在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

《数学分析Ⅲ》期末考试卷03.doc

数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2, 3, 4, 5题每题5分，共26分）du = ____________________ o2、设厶：x 2 + y 2 = a 2,则 j xdy - ydx =L4、改变累次积分 pyj7（x, y ）么的次序为 ________________________ o5、设 £＞：x+yW], 贝＞J jj （A /5 + V ）dxdy = _______________________ 二、断题（正确的打“O” ；错谋的打“X”；每题3分, 共15分）判1若函数.f （x, y ）在点/Xx 0, y°）连续，则函数.f （x, y ）/?（x 0, y°）必存在一点阶偏导数。

（） 2、若函数/（x, y ）在点〃（x （）, y 0）可微，则函数/（x, y ）在点/7（x （）, y （））连续。

（）3、若函数/（x, y ）在点p （x°, y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则必有几（勺，儿）二几（％‘儿）。

（）4、 J f （x,y ）dx= J /（x, y ）dx o（）L （A 9B ） UB ,A ）5、已知u = In Jx? +于,则冀 OXdu 3、设厶: x 二3cost,则曲线积分J （x 2+y 2）ds = L若函数/（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x, y）在D上可积。

（）1、用格林公式计算曲线积分I = j (e K sin y - 3y)dx + (e x cos y - 3)dy ,AO其中AO 为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x 2 + y 2 =处上半部分的路线。

2、计算三重积分 + >,2 )dxdydz ,V其中是由抛物ilHz = x 24-/与平HHz 二4围成的立体。

每小题9分，共45分)三、计算题I = JJdS ,s4、计算第二型曲面积分其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。

数学分析第三学期期末复习卷两套卷七卷八卷九

数学分析第三学期期末复习卷三套卷七卷八卷九卷七一、填空（每空2分，共20分）1．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是。

2．若0),(≠=∂∂a a a y f ，则=--→ax a a f a x f a x ),(),(lim 3．若),(y x f 关于x 是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，区域D 关于y 轴对称，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(4．设曲面S 为)10,10(0≤≤≤≤=y x z ，下侧为正侧，),(y x f 在S 上连续，则⎰⎰SdS y x f ),(的计算公式是；⎰⎰S dxdy y x f ),(的计算公式是；⎰⎰Sdydz y x f ),( 5．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；6．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；二、求偏导数或全微分（共20分）1．（10分）证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222222y x y x y x y x y x f 在原点（0, 0）连续且偏导数存在，但在此点不可微. 2．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 三、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .四、（50分）求下列积分1．（5分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．求⎰++-=L y x xdy ydx I 22，其中L 是包含原点的任一条分段光滑封闭曲线，逆时针方向为正.4．（15分）以S 表示椭球B ：1222222=++cz b y a x 的上半部分（0≥z ），αc o s ，βcos ，γcos 表示S 的外法线的方向余弦，计算曲面积分 ⎰⎰++SdS c z b y a x z )cos cos cos (222γβα. 5．（10分）求⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz 其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.卷八一、（10分）讨论函数xy y x f 1sin),(=在点（0，0）的重极限与累次极限二、（10分）设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 是连续的，并且每当固定x 时对y 是单调的，证明f 是R 2上的二元连续函数三、求偏导数或全微分（共20分） 1．（5分）求函数 )arcsin(x y z =的偏导数.2．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分.3．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 四、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .五、（50分）求下列积分1．（10分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2 其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．（15分）求常数λ，使得曲线积分0)()(22222222=+-+⎰L dy y x y x dx y x y x λλ对上半平面内任何光滑闭曲线成立.4．（15分）计算⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 222，其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-的外侧卷九一、（10分）讨论函数yx y x y x f 1sin 1sin )(),(+=在点（0，0）的重极限与累次极限二、（10分）设),(y x f 在集合2R G ⊂上对x 连续，对y 满足利普希茨条件： y y L y x f y x f ''-'≤''-'),(),(，其中（x , y’）, (x , y ’’)G ∈, L 为常数，试证明f 在G 上处处连续三、求偏导数或全微分（共20分）1．（5分）求函数 )arcsin(x y z =的偏导数.2．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分.3．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 四、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .五、（50分）求下列积分1．（10分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2 其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．（15分）已知21)0(=f ，确定)(x f ，使⎰-+B A x dy x f dx y x f e )())((与路径无关，并求当A ，B 分别为（0, 0），（1, 1）时，曲线积分的值.4．（15分）设空间区域V 由曲面222y x a z --=（0>a ）与平面0=z 围成，记V 的表面外侧为S ，体积也记为M ，求证⎰⎰++-=Sdxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x M )1(2222。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。

12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。

13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。

数学分析第三学期试题

《数学分析》《第三学期》期末考试试题一．将函数()()2f x x x ππ=-≤≤展开为Fourier 级数（10分）二．计算（每题9分共54分） 1．求极限22limx y x yx xy y →∞→∞+-+2．设()2arctan ,x z x y y e =+=，求x dzdx = 3．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰4．设函数(),z z x y =是由方程ln x zz y=确定的，求z x ∂∂及z y ∂∂5．求第二型曲线积分()()2211L x dy ydxI x y --=-+⎰ ，其中L 为环绕点()1,0的简单、可求长的闭曲线 6．求三重积分,V其中V 是由曲面222,1x y z z +==所界的区域三．判断反常积分30sin p x dx x +∞⎰关于p 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的一致收敛性（10分）四．（第1题10分，第2题16分共26分） 1．设()(),,,y f x y f x y 都在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),ba I y f x y dx =⎰在[],c d 上可微，并且在[],c d 上成立()(),b y a dI y f x y dx dy=⎰2．设()22220,0,,0x y f x y x y +≠=+=⎩证明：（1）(),f x y 在()0,0的邻域中连续；（2）(),f x y 在()0,0的邻域中具有有界的偏导函数(),x f x y '，(),y f x y '；（3）(),f x y 在点()0,0不能微分。

《数学分析》《第三学期》期末考试试题一. 概念题（5分）叙述含参变量的无穷积分1(,)f x y dx +∞⎰关于参数y 在数集Y 上不一致收敛的定义.二. 填空题（每题3分，共15分）1. 函数u xyz =在点(1,1,1)沿()2,1,3l =-的方向导数为 .2. 设()x x y =是由方程22221x y a b+=所确定的函数, 则dxdy= . 3. 01sin limx y xyx →→= .4. 设(,)z z x y =是由方程2222221x y z a b c ++=所确定的函数, 则zx∂=∂ . 5. 螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z ct ===上对应3t π=处的切线为 .三. 计算题（每题6分，共30分）1. 求22()()x y D I edxdy -+=⎰⎰的值, 其中()D 是闭圆域2220x y R ≤+≤.2. 设(,)u f x y =, 且其一阶、二阶偏导数都存在且连续. 若cos ,sin x r y r θθ==, 求22u r ∂∂，22uθ∂∂.3. 用柱坐标变换计算()V I zdxdydz =⎰⎰⎰, 其中()V 是上半球体:2221,0x y z z ++≤≥.4. 求函数222u x xy y x y =-+-+的极值.5. 计算333()S x dydz y dzdx z dxdy++⎰⎰外, 其中()S 为球面222x y z R++=. 四. 解答题（每题10分，共50分） 1. 求224L xdy ydxI x y+-=+⎰, 其中L 为以(1,0)为圆心, R 为半径的圆周(1)R ≠, L +表示逆时针方向.2. 设函数(,)f x y 在矩形[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,)ba y f x y dxϕ=⎰在[,]c d 上连续. 3.试验证函数(,)h x y =在原点(0,0)点连续, 且两个偏导数都存在, 但在(0,0) 不可微.4. 求22(2sin )(2cos sin )x y x dx y x x y dy -+-的原函数.5. 设平面区域()D 在x 轴和y 轴上投影长度分别为,x y l l , (),αβ为()D 内任一点,证明: 22()1()()4x y D x x dxdy l l αβ--≤⎰⎰.。

数学分析三试卷及答案

函数 y y( x) ，且 y y( x) 在上连续。
证明：（i ）先证隐函数的存在性。由条件（ 3）知， F x0 , y 在 y0 b, y0 b 上是 y 的严格单减函数，而由条件（ 2）
解：取平面 z y 3 上由曲线 L 所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面，定
向为上侧，则的法向量为
cos ,cos ,cos
由 Stokes 公式得 cos
0,
11 ,
。
22
cos cos
3zdx 5xdy 2 ydz
L
x
y
3z 5x
2 dS
dS z 2y
……（3 分) ……（6 分)
《数学分析》 ( 三 ) ――参考答案及评分标准
一 . 计算题（共 8 题，每题 9 分，共 72 分）。
1. 求函数 f ( x, y) 3 x sin 1 3 y sin 1 在点 (0,0) 处的二次极限与二重极限 .
y
x
解： f ( x, y)
3 x sin 1
3
1 y sin
3x
3 y ，因此二重极限为 0 . …… (4 分)
2w
2
2w 2w 。
…… (4 分) …… (9 分)
4. 要做一个容积为 1m3的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省 ? 解：设圆桶底面半径为 r , 高为 h , 则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数 : S表 2 rh 2 r 2 ,
约束条件 : r 2 h 1。构造 Lagrange 函数： F (r , h, ) 2 rh 2 r 2
x2
y2
…… (9 分 )

数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000；Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yxez=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

数学分析3期末试题

For personal use only in study and research; not for commercial use2012 –2013学年第一学期期末考试题11数学教育《数学分析》（三）一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分）1. 下列数项级数中收敛的是（）A. 211n n∞=∑； B.201n nn∞=+∑； C. 11n n∞=∑； D. 0123n n n ∞=++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是（）A. 1(1)n n n ∞=-∑B. 1n n ∞=1n n ∞=1sin n n n ∞=∑3.函数项级数1nn x n∞=∑的收敛域是（）A. (1,1)-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,1]- 4.幂级数021nn n x n ∞=+∑的收敛半径是（）5. 下列各区域中，是开区域的是（）6.点集11{,|}E n N n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的聚点是（）A. (){0,0}B.()0,0C. 0,0D.{}{}0,07.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数（） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( )A.偏导数连续B.连续C. 偏导数存在D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则zx∂∂等于（） A.()()u x v y x y ∂∂∂∂ B. ()()du x v y dx y ∂∂ C. ()()du x v y dx D. ()()u x v y x y∂∂+∂∂ 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( )A. 偏导数连续;B. 偏导数存在;C.存在切平面;D. 存在方向导数.二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分）11. 若数项级数11np n n ∞=-∑（）绝对收敛，则p 的取值范围是；12. 幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数是；13．幂级数201(1)n n x n∞=-∑的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________17．函数y z x =，则zy∂=∂ ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=的方向导数是 ___________；19．设cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩，则 x x r y y r ϕϕ∂∂∂∂=∂∂∂∂ ；20．若arctany x =，则dydx=______________________。

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xy y x f =),(在原点不可微．（）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微．（ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（ √ ）7.平面图形都是可求面积的．（⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（ √ ）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

数学分析期末复习题

13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题2. 求隐函数(组)的一阶偏导数3. 求抽象函数的二阶偏导数4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5. 求函数的极值6. 计算第一型曲面积分7. 计算第二型曲面积分8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1. 用定义证明多元函数的极限2. 证明多元函数的连续性3. 研究含参量积分的一致收敛性4. 证明含参量非正常积分的连续性5. 三重积分的证明题6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题7. 证明二重极限不存在8. 多元函数的可微性证明例题一、计算题1. 全微分计算题公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+uz∂∂dz 。

例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。

2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e z x +=，求yx z ∂∂∂2。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dxdz。

3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xye )，求yx u∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。

4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

《数学分析III》期末考试卷及参考答案05

第 1 页共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为：； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等；（）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续；（）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积；（）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò；（）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得分分阅卷人阅卷人得分分阅卷人阅卷人第 3 页共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得分分阅卷人阅卷人考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得分分阅卷人阅卷人第 7 页共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)，则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分）一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分）由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分）于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。