数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题

一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）

A 充分条件

B 必要条件

C 充分必要条件

D 无关条件 2、

=∂∂),(00|)

,(y x x

y x f （ ） A x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim

00000

； B x

y x x f x ∆∆+→∆)

,(lim 000；

C x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim

00000

； D x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）

A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；

B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；

C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；

D 以上全不对。

4、2

222

2)

(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y

x

e z =，则=∂∂+∂∂y

z y x z x

（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）

1、 证明函数⎪⎩

⎪

⎨⎧=+≠++=0

00),(22222

2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，

但它在该点不可微；

2、 设

⎰⎰'=-x x

t

x f x f dt d e x f 0)

(),(,)(2

求ττ；

3、 设有隐函数,0

x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；

4、 计算

(cos sin )

x C

e ydx ydy -⎰

，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点

的光滑曲线；

5、 计算

zdS

∑

⎰⎰，其中∑为22

z x y =+在

1

4z ≤

的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分⎰+++++L

dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的

原函数；

3、验证函数

⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222

22

2

y x y x y x xy y x f

在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.

部分题目参考答案：

二、1、证明：||||

02

2

xy y

x xy ≤+≤（4分）

2

2

)

0,0(),(lim

y

x xy y x +→=0所以函数在（0，0）

点连续，（3分）又00

lim

0=∆→∆x

x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，

（4分）但2

2)0,0(),(lim

y x y

x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

由于2

22

2

'0

00)()(,)()(x x

x x

x

t

x

x

x

t

xe dt e dt d e

x f dt d e

x f ----==-+=='=⎰⎰⎰⎰⎰ττττ，所

以 2

1

2121)(21)(22

220

020

+-=-=--==----⎰⎰x x

x

t

t x

t

e e t d e dt te x

f .

二、3、 [解法 1] 由隐函数、复合函数求导法

''

11''''1212221F zF z

z

x y x

xF yF F F z z ⋅

∂=-=

∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ''

22''''

1212221

F zF z z

x y y

xF yF F F z z ⋅∂=-=

∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

''120x y F d F d z z ⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，''12220

zdx xdz zdy ydz F F z z --⋅+⋅=

''12''

12zF dx zF dy dz xF yF +=+，故 ''12'

'

'

'1212zF zF z

z

x xF yF y xF yF ∂∂==∂+∂+.

由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.

二、4、 解 令X =cos x e y ，Y =sin x e y -，则 x Y ∂∂=y X

∂∂=

sin x e y -,故被积表达式

(cos sin )

x e ydx xdy -一定有原函数，注意到

(cos )x d e y =(cos sin )x e ydx xdy -,知

(,)u x y =cos x e y 是(cos sin )x

e ydx xdy -的一个原函数，故由定理21.13，有

(cos sin )

x C

e ydx ydy -⎰

=

(,)

(0,0)

cos |x a b e y =cos 1a

e b -.

二、5、解 曲面∑在0x y 平面上的投影区域

2

22

1(,)2xy D x y x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+≤⎨⎬

⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，而2,2z z

x y x y ∂∂==∂∂，于是曲面的面积微元

()()2

2

1x y dS z z d σ''=++=22144x y d σ++ 所以

2222()144xy

D zdS x y x y d σ∑

=+++=

⎰⎰⎰⎰

12220

14d r x rdr

π

θ+⎰

⎰

（在极坐标系下计算）

1

40

1

2142t π=+⎰

2

()r t = 2

421

12

)8

u u du π

+=

-=

(14)u t =+.