高二数学定积分的简单应用3
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
高二数学定积分的简单应用3
但是，一天早晨，我发现其中一棵最旺盛的兰草，叶子出现了灰褐色斑，且渐趋蔓延。几天后，几片叶子开始枯黄，其它叶子像得到了传染病似的，也萎靡不振，对我的关爱呵护没有反应。我心急 如焚，焦虑不安，苦苦地反思养护的过错，但百事不得其解。立博体育中文版
几位常常来观赏且赞不绝口的所谓亲朋邻居，有的和我一样痛心疾首，并想法设法，出谋划策；有的却不再登门来看了，好像这兰草的病也要传染给他们似的；有的虽然来了，只是斜眼扫视一下； 有的刚开始来看了看，以后则不来了；有的还说兰草本不应该在这里养；有的用怀疑的口气指责这兰草太娇气了，难以栽养；有的议论纷纷，添油加醋，捕风捉影，进行非议丑化；有的本就怀疑，心存 嫉妒，于是趁机造谣滋事，指责否定，等等。真是“一叶知秋意”、“患难见真情”啊。兰草似乎倍感委屈、痛苦和失望，那神情好像在说：你们人类有的人也太势利了、太卑劣了，我有生机的时候， 赞美羡慕，说我赏心悦目，好看好香，想方设法嬉皮பைடு நூலகம்脸地接近我，挨靠我，但一旦我出了事，失去了生机，没有价值了，就离我而去，好像我从来就不是香草，而是一株臭草，是一棵恶草，甚至是一 株毒草，恨不得将我连根铲除掉，抛弃掉，燃烧掉，世态炎凉，人心险恶啊。真是“一死一生，乃知交情；一贫一富，乃知交态；一贵一贱，交情乃见”啊。
高中数学同步教学 第4章 §3 定积分的简单应用
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＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为 体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
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互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积 为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化 为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积 分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直 线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章 定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简 单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问 题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以 及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们 处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求 简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
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试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。
在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。
在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。
它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。
通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。
在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。
在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。
在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。
在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。
在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。
定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。
通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。
1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。
在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。
在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。
在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。
定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。
2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
高二数学定积分的简单应用3
高二定积分的简单应用
内容标题定积分的简单应用一、教学目标1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用.二、知识要点分析1. 定积分在物理学中的简单应用（1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a<b ）内所经过的路程S 等于其速度V=v （t ）在区间[a ，b]上的定积分，（其中v （t ）恒为正）即⎰=badt t v S )(（2）变力做功：物体在力F （x ）的作用下做直线运动，且物体沿着力F （x ）相同的方向从x=a 移动到x=b （a<b ）变力所做的功W=⎰badx x F )(2. 定积分求曲边多边形的面积 （1）几种典型曲边梯形面积的计算方法（i ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为正）围成的曲边梯形面积⎰=badx x f S )(（ii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为负）围成的曲边梯形面积⎰⎰-==babadx x f dx x f S )(|)(|（iii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，两条曲线y=f （x ），y=g （x ），))()((x g x f ≥围成的图形面积⎰-=badx x g x f S )]()([(（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形（b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数（d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和.【典型例题】知识点一：定积分在物理学中的简单的应用例1：一物体在力F ⎩⎨⎧>+≤≤=)2(,43)20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ）A . 44B . 46C . 48D . 50【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函数F （x ）在区间［0，4］上的定积分.【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和.【解题步骤】由定积分的物理意义知：⎰⎰⎰⎰++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝42220|)423(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ）【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是⎰+4)43(dx x .例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 621-内的运动路程.【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,21[上的定积分.【思路分析】由v －t 曲线知：v （t ）是关于t 的分段函数，即在［0，1］时间内物体做加速直线运动在［1，3］时间内物体做匀速运动，在［3，6］时间内物体也做加速运动但加速度不同所以首先要确定v （t ）分段函数的表达式，然后求物体在]6,21[内运动的路程，即是v（x ）在三个区间内的定积分之和.【解题步骤】由v （t ）曲线知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤≤≤=)63(,131)31(,2)10(,2)(t t t t t t v⎰⎰⎰⎰=+++=+++==∴6363231121231621121449|)t t 61(|t 2|t dt )1t 31(dt 2tdt 2dt )t (v S 故物体在s s 621-内运动的路程是m 449【解题后的思考】本题是考查利用定积分求变速直线运动的路程的问题，v （t ）往往是关于时间t 的分段函数，所以首先是求出v （t ）函数的分段表达式，再求在每一个区间上的定积分然后相加即得，体现的数学思想是数与形结合的思想.易错点是：求在每个时间区间的函数表达式有误.例3：一质点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度)/(342s m t t v +-=运动，求 （1）在t=4s 时该点的位置. （2）在t=4s 时运动的路程.【题意分析】本题的第一问中：在t=4s 的位置是由物体的位移确定的，故物体的位移就是在［0，4］内v （t ）的定积分.第二问中，从时刻t=0到时刻t=4不能保证0)(≥t v 恒成立.而路程是位移的绝对值之和.因此要把区间［0，4］分割，以便能准确的判断v （t ）在哪些区间为正哪些区间为负.【思路分析】由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：在区间［0，1］，［3，4］内v （t ）为正值，在区间［1，3］内v （t ）为负值.在时刻［1，3］内物体运动的路程是⎰+--312)34(dt t t.【解题步骤】（1）在时刻t=4s 时物体的位移是：⎰=+-=+-44023234|)3231()34(m t t t dt t t 即t=4s 时刻质点距出发点m 34（2）由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：运动物体在t=4s 时刻运动的路程⎰⎰⎰+-++-++-=43213122dt )3t 4t (|dt )3t 4t(|dt )3t 4t(S⎰⎰⎰+-++--+-=43213122dt )3t 4t (dt )3t 4t (dt )3t 4t (＝4【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变速直线运动路程的问题，要明确仅当v （t ）恒为正时，物体在时刻t=0到时刻t=4时运动的路程⎰=badt t v S )(，因此本题正对v（t ）的表达式要把时刻区间［0，4］分割，确保在哪些时刻区间v （t ）为正，哪些时刻区间v （t ）为负.体现的数学思想是分类讨论的数学思想.同时要理解物理学中的路程与位移的区别.易错点是：混淆路程与位移的概念.【小结】这一题组三个例题主要讲述利用定积分求变力做功的问题和求变速直线运动物体的路程问题.对求变力做功问题要根据物理学的意义求力F 的表达式，及在力F 作用下位移的起始位置与末位置，以确定积分的上下限.在求变速直线运动路程问题时，要根据v （t ）曲线写出v （t ）函数的表达式，或由v （t ）表达式判断在时刻区间v （t ）是否为正.因为仅当v （t ）恒为正时，⎰=badt t v S )(.知识点二：求曲边梯形的面积例1：曲线3x y =与直线y=x 围成的图形的面积是（ ） A .⎰--113)(dx x xB .⎰--113)(dx x xC . ⎰-103)(2dx x xD . ⎰--013)(2dx x x【题意分析】根据定积分的几何意义要求两曲线围成的图形面积必须确定被积函数、积分的上下限.【思路分析】在同一坐标系内画出函数3x y =和y=x 的图象，求出交点坐标从而确定积分的上下限及被积函数.【解题过程】在同一坐标系内画出函数图象（如图）A （1，1），B （－1，－1）由两函数图象知：两图象围成的面积在第一、第三象限. 根据图象的对称性知：两部分面积相等.在第一象限两图象围成的面积OAC OAC S S S 曲边三角形∆∆-=1⎰⎰⎰-=-=∴13103101)(dx x x dx x xdx S故两曲线围成的图形面积⎰-==1031)(22dx x x S S ，选（C ）【解题后的思考】本题是利用定积分求曲边图形的面积，解题的关键是确定被积函数和积分的上下限.通过画出两函数的图象及求交点坐标来确定积函数和积分的上下限，体现了数形结合这一数学思想的应用，易错点：画函数图象不准确导致积分上下限的确定有误.例2：求抛物线)0y (x 8y 2>=与直线x+y －6=0及y=0围成的图形面积.【题意分析】画出图形确定被积函数和积分的上下限，再利用定积分的几何意义求面积 【思路分析】画出)0y (x 8y 2>=及x+y －6=0的图象，求两曲线的交点坐标，正确划分图形，然后确定被积函数及积分的上下限. 【解题过程】由题意画出图形（如图）由⇒⎩⎨⎧=-+>=06)0(82y x y x y 两曲线的交点A （2，4） 故所求的面积⎰⎰-+=+=∆622)6(8dx x dx x S S S ABC OAB 曲边三角形＝340|)216(|3286222032=-+⨯x x x【解题后的思考】本题考查求两条曲线围成的曲边梯形面积的问题，处理的方法（1）准确地画出两个函数的图象，（2）求出两曲线的交点坐标，然后对正确的图形分割后，（3）确定被积函数及积分的上下限.体现数形结合的思想及其应用，易错点是：图形分割不正确导致被积函数有误，如本题会误认为：S=⎰--4]8)6[(dx x x .例3：在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作切线，使之与曲线以及x 轴围成的面积为121，求切点A 的坐标，及过点A 的切线方程. 【题意分析】本题考查的知识点是：导数的几何意义及利用定积分求曲边图形的面积.利用导数的几何意义求切线AC 的方程，再利用曲边三角形的面积是121求切点坐标 【思路分析】设切点A （),00y x 求出切线方程进而求出C 点坐标，根据121=AOC S 曲边三角形求出0x .【解题过程】设切点A （),00y x ，由导数的几何意义知：切线AC 的斜率k=2x 0，所以切线方程是)(2000x x x y y -=-，200x y =， 2002x x x y -=∴切线方程是 令)0,2(000x C y ⇒=， 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成的图形面积是S ， 则S==--=⋅-=-⎰∆2000x 03x 02ABC AOB x )2x x (21|x 31|AB ||BC |21dx x S S 00曲边三角形 30x 121， ,1121121030=⇒=∴x x 故切点A （1，1），所求的切线方程为y=2x －1. 【解题后的思考】本题是导数与积分综合试题，解题的关键是（1）利用导数求切线斜率进而求切线方程.（2）利用积分求曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积来表示曲边三角形AOC 的面积.求切点坐标，易错点是：求曲边三角形AOC 的面积时不会分割为曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积.【小结】本题组主要讲述利用定积分求曲边图形的面积，处理问题的关键是要能画出函数的图象，并且合理地分割图形，以便确定被积函数和积分的上下限.易错点：图形分割不合理导致被积函数和积分上下限的确定错误.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲定积分的简单的应用，在处理定积分在物理学中的应用和求曲边图形面积时充分体现了数形结合的数学思想的应用和分类讨论的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、填空题（每题5分，计20分）1. 已知函数f （x ）＝dx bx ax x)1(20++⎰是奇函数，且f （1）－f （－1）=31，则a+b=__________2. 直线y=2x+3与抛物线y=x 2围成的图形面积是3. 长为25cm 的弹簧，若加100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，则弹簧从25cm 到30cm 所做的功是4. 曲线xy=1及直线y=x ，y=2围成的平面图形的面积是 .二、计算题（计40分）：5. 已知f （x ）=⎰-===-≠++1'2,2)(,0)0(,2)1(),0(,dx x f f f a c bx ax 求f （x ）的解析式.（10分）6. 某一物体沿数轴的正方向做变速直线运动，其速度v （t ）=1－t 2，初始位置为x 0=1，求它在前2秒内走过的路程及2秒末的位置.（10分）7. 在原点O 有一个带电量为＋q 的点电荷，它所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距离原点a 处沿着射线方向移至距O 点为b （a<b ）的地方，求电场力所做的功.（10分）8. 求曲线y=2x －x 2，y=2x 2－4x 所围成图形的面积.（10分）【试题答案】一、填空题1.25-解析：f（x）=dxbxaxx)1(2++⎰=xxbxaxxbxax++=++232323|)23(，由f（x）为奇函数知：b=0，又由f（1）－f（－1）=2531-=⇒a.2.332解析：3,132212=-=⇒⎩⎨⎧=+=xxxyxy332)32(31312=-+=∴⎰⎰--dxxdxxS.3. 2250N 解析：设x表示弹簧伸长的长度，则F（x）=kx，当F=100N时，x=5，故k=20，所以F=20xNxxdxW2250|102015215===⎰4.2ln23-解析：由已知：舍去）或(11111⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==yxyxxyxy以y轴为积分变量可得面积2ln23|)ln21()1(21221-=-=-=⎰yydyyyS二、计算题5.解：由已知：f（－1）=2得：a－b+c=2 (1))0(2)(''=⇒=+=bfbaxxf，由 (2)2c b 21a 31|)cx bx 21ax 31(dx )c bx ax (dx )x (f 102310210-=++=++=++=∴⎰⎰…（3） 由（1）（2）（3）解得：a=6，b=0，c=－4. 46)(2-=∴x x f6. 解：当10≤≤t 时，v （t ）0≥，当21≤≤t 时，v （t ）<0， 故前2秒内走过的路程是：⎰⎰⎰⎰=---=-1212210212)1()1()()(dt t dt t dt t v dt t v ，2秒末所在的位置是：31)1(1)(22201=-+=+=⎰⎰dt t dt t v x x ， 即它在2秒内走过的路程是2，2秒末的位置是31 7. 解：取电荷移动的射线方向为x 轴正方向，那么电场力k (xqk F 2⋅=为常数），这是一个变力，在]x x x [∆++上，显然x xqk w ∆⋅⋅=2， )11(|2ba kq x kq dx x kq wb ab a -=-==∴⎰ 8. 解：由2,04222122==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x x xx y xx y由图知：所求的面积⎰⎰-+-=202022|)42(|)2(dx x x dx x x S ＝⎰⎰---20222)42()2(dx x x dx x x ＝4.。
定积分应用
(3)、 (3)、引力
由物理学知道， 由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的 为引力系数，
连线方向． 连线方向．
练习：P68 A3，A5，B4 作业题：P68 A4，A6，B3
F (x) = k q r2
（ k 是常数） 是常数） ，
当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴 处时， 移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的 功．
o
r
解:
由题意,所求功为 由题意 所求功为
b
+q
• o
⋅• •• • a r
b
+1
• •• ⋅
b
r
kq = kq − 1 = kq 1 − 1 . w = ∫a 2dr r a a b r
4 A1 = ∫ [ x − ( − x )]dx = 0 3
1
第二块的面积： 9 x −3 28 A2 = ∫ [ x − ( )]d x = 1 2 3 32 则 总 面 积 ： A = A1 + A 2 = 3
分析 2 ： 若把围成的平面 区域看成y - 型区域：则 左曲线为： = y 2 , 右曲 x 线为： x = 2y + 3, 下直线 y = -1, 上直线为： y = 3 直接由 y 型区域面积的 计算公式得面积 2 A = ∫ ( 2y + 3 ) - y dy =10 . 3 -1
2 3
练 ： 习 1、 = sin x， = cos x在 2π]上 围 的 积 y y [0， 所 成 面 。
定积分的简单应用
a
0
bx
y f1( x)
b
b
b
A4 a f2(x)dx a f1(x)dx a [ f2(x) f1(x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
的过程，求出了一些曲边梯形(由函数 y f ( x)
( f (x)≥0 )的图象和直线 x a , x b , x 轴围成的 平面图形)的面积.
并把它们浓缩成了一个结果:定积分( b f ( x)dx ) a
(1) 2 sin2 x cos xdx 0
(2)0 sin mxdx
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
v t 30 (10≤ t ≤40)
-1.5t 90(40≤ t ≤60)
∴汽车在这 1 min 行
驶的路程是:
10
40
60
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
2.变力:物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动，并且物体沿
着与
F
(
x)
相同的方向从
b
x
a
移动到
x
b(a
b)
，那么变力
F ( x)所作的功 W= F ( x)dx a
F
y F( x)
Wi F( xi ) x
n
定积分的简单应用
定积分的简单应用【知识要点】1.利用定积分求平面图形的面积：若()()f x g x ≥，那么由(),()y f x y g x ==的图像，直线,x a x b ==围成的平面图形的面积是[()()]baf xg x dx -⎰（其中a b <）2.利用定积分来求变速直线运动的路程：设变速直线运动的速度()v v t = (()0)v t ≥，那么从时刻a 到时刻b 的路程()baS v t dt =⎰3.利用定积分求变力所做的功：如果物体在变力F 的作用下做直线运动，那么从位移a 到b 的所做的功为()baW F x dx =⎰【典型例题】例1如图所示，已知曲线21:C y x =与曲线22:2(1)C y x ax a =-+>交于点O A 、，直线(01)x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别交于点D B 、，连接OD DA AB 、、.（1）写出曲边四边形．．．．．ABOD 的面积S 与t 的函数关系式()S f t =；（2）求函数()S f t =在区间(0,1]上的最大值.例2某物体在直线上从时刻0()t s =开始以243()v t t m s =-+运动，求： （1）该物体到时刻4()t s =时的位移； （2）该物体到时刻4()t s =时的路程.例3计算曲线2y x =与24y x =-所围成图形的面积S .例4物体按24x t = ()m 作直线运动，它受到的阻力与速度成正比，且速度等于10m s 时，阻力为2N ，求物体从0x =到4x =阻力所做的功.例5列车以108km h 的速度行驶，制动时列车获得加速度21a m s =-，问列车应在进站前多长时间，一级离车站多远处开始制动？【课堂练习】1.如右图所示，阴影部分面积是（ ）. A. 23 B. 23- C.323 D. 3532. 求直线23y x =+与抛物线2y x =围成图形的面积.3. 已知点(,)n n n P a b ，在曲线2xy =上，1P 是曲线2xy =的图像与x 轴的交点，数列{}n a 是公差1d =的等差数列，n C 是直线1n n P P +与曲线2x y =围成图形的面积，求数列{}n a 、{}n b 、{}n C 的通项公式.4.物体以速度2()v t t =（单位：m s）（010t ≤≤）作直线运动，在运动过程中受到的阻力f 与物体离初始位置的距离成正比，已知在1t =时，1f N =，则从物体开始运动(0)t =到物体停止运动(10)t =的整个过程中，阻力f 所做的功可表示为（ ）.A.1000xdx ⎰B. 1020t dt ⎰ C. 102t dx ⎰ D. 10003013xdx ⎰5.求120[1(1)]x x ---⎰的值.【课后作业】1.曲线cos y x =，轴，轴，直线所围成的图形的面积是（ ）.A. 2B. 4C. 2πD. 4π2.由直线2y x =，0x =，2y =所围成的三角形面积表示成定积分是（ ）.A.12xdx ⎰B. 2ydy ⎰ C. 212ydy ⎰D. 202xy dy ⎰3.直线y kx =分抛物线2y x x =-与轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.4.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的油耗量y （升）关于行驶速度x （km h ）的函数解析式可以表示为：2138(0120)12800080y x x x =-+≤≤.已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40km h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？最少为多少升？。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
高二数学定积分的简单应用3
y＝2x－1
y
y＝x2
l A
O CB x
例2 设动抛物线y＝ax2＋bx(a＜0， b＞0)与x轴所围成图形的面积为S，若该 抛物线与直线x＋y＝4相切，当a，b变化 时，求S的最大值.
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彩的眼睛喷出浓绿色的飘飘阴气……特像两排闸门一样的牙齿透出浓黑色的点点神香……最后旋起圆圆的的脖子一扭，猛然从里面射出一道玉光，她抓住玉光绝妙地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的 咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发出“吱吱”的异音……！猛然间壮扭公主疯妖般地念起咿咿呀呀的宇宙语，只见她圆润光滑的下巴中，飘然射出五十团 摇舞着¤巨力碎天指→的火花状的漏斗，随着壮扭公主的甩动，火花状的漏斗像怪藤一样在双肩上残暴地设计出飘飘光环……紧接着壮扭公主又连续使出三十六式七鹰谷穗钻，只见她明朗奔放极 像菊黄色连体降落伞一样的胸罩中，狂傲地流出四十串摆舞着¤巨力碎天指→的磁盘状的牙齿，随着壮扭公主的摆动，磁盘状的牙齿像驴球一样念动咒语：“原野哄哩喂，肥妹哄哩喂，原野肥妹 哄哩喂……¤雨光牧童谣→！老母！老母！老母！”只见壮扭公主的身影射出一片青古磁色幽光，这时西南方向突然出现了五片厉声尖叫的紫罗兰色光蟒，似银光一样直奔湖青色粼光而去。，朝 着女伤兵罗雯依琦妖女深白色火球一般的牙齿乱晃过去。紧跟着壮扭公主也狂耍着咒符像缰绳般的怪影一样向女伤兵罗雯依琦妖女乱晃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道金橙 色的闪光，地面变成了土黄色、景物变成了海蓝色、天空变成了春绿色、四周发出了深邃的巨响！壮扭公主齐整严密的牙齿受到震颤，但精神感觉很爽！再看女伤兵罗雯依琦妖女细长的暗黑色娃 娃一样的胸部，此时正惨碎成海马样的暗白色飞丝，快速射向远方，女伤兵罗雯依琦妖女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将细长的暗黑色娃娃一样的胸部复原，但元气已损失不少神圣壮扭公主： “老魔头，太垃圾！你的魔术水平好像很有创新性哦……女伤兵罗雯依琦妖女：“我再让你领会领会什么是威猛派！什么是怪异流！什么是暴力怪异风格！”壮扭公主：“您要是没什么新本事， 我可不想哄你玩喽！”女伤兵罗雯依琦妖女：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『红丝秋神灯笼剑』的风采！”女伤兵罗雯依琦妖女超然威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆 一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。接着把轻盈的手指甩了甩，只见七道闪烁的活似镊子般的彩烟，突然从轻灵的紫玫瑰色鳄鱼模样的鼻子中飞出 ，随着一声低沉古怪的轰响，亮紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的明静彩光味在强悍的空气中飞舞……紧接着扭动粗俗的脖子一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动肥壮的屁股，像鹅黄 色的银眼荒原鸽般
定积分的概念及简单应用
x 2 , x [0,1], e (2)设 f(x)= 1 (其中 e 为自然对数的底数),则 f(x)dx 等于( 0 , x 1,e x 4 5 6 7 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 6
解析:(1)
2
2
(2+sin x)dx=(-cos x+2x)
(3) (A)
π 2 π 6
cos2
x dx 等于( 2
)
3 π 3 2
3π - 3 4
3 π 6 8
2x x
(B)
π 1 + 6 4
(C)
(D) .
(4)f(x)=
(t-1)dt,则 f′(x)等于
π 2 π 6
π 2 π 6
2
解析:(3)
1 = sin x 2
π π π x 1 cos x 1 1 cos dx= π2 dx= π2 cos xdx+ π2 dx 2 2 2 6 6 6 2
1
1
1 x dx+
2
2
1
(x2-1)dx,令 y= 1 x 2 ,
得 x2+y2=1(y≥0),知:曲线 y= 1 x 2 是以坐标原点为圆心,1 为半径的圆 在 x 轴上方部分的半圆,由定积分的几何意义知
1 1 π×12= π, 2 2
2 1
1
1
1 x2 dx=
2
又
1
1 (x2-1)dx=( x3-x) 3
.
解析:画出草图如图所示.根据对称性,只计算出 y 轴右侧的阴影部分的面积,
x2 y x , y , 再乘以 2 即可.解方程组 和 4 y 1 y 1
高二数学定积分的简单应用3
每次唱到这儿，我就停下来，你立刻脆生生地接上：另一个是我！我就大声唱：另一个就是刘舜泽诶！你的大名叫刘舜泽。我们俩就笑成一团。
我给你玩魔术：把一颗黄豆藏起来，让你猜在哪只手。你也拿了一只大大的毛毛熊，把毛毛熊放在背后，然后打两只手让我猜：有没有？有没有？还等不到我张口，你又把手背到身后去：有没有？ 有没有？
后来你又把这个魔术带到麦当劳，给小朋友们玩，再带给妈妈，带给爷爷奶奶。
我抱着你在厨房找东西吃，其实你的小肚肚已经圆滚滚的了，也许就是想让我抱着你。天底下除了我，还有谁最愿花费功夫研究你的心事呢？我就老老实实地抱着你。然后你就看着我，笑嘻嘻的。 然后忽然就亲了我一下。小嘴唇凉凉的，还带着奶香。我也轻轻地亲你一下，然后你就高兴得唱起来。
岳母跟我说说，现在进腊月了，让家政公司把落地窗擦一遍。小新新就到我们那儿住上一晚，打扫完了卫生再回来，免得让小新新着凉。
是我把你送到姥姥家的，我刚走出岳母的家门，就听见你撕心裂肺地喊爸爸。后来岳母说，你一晚上至少哭了五次，就是要找爸爸。而到了第二天，你说啥也不待下去，刚到中午就回来了。我是十 二月十五日到的家，这是我在家的时候，咱们爷儿俩分开时间最长的一次。
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顷刻间，狍子早已无影无踪，逃之夭夭了。
黑熊用力抖了抖脑袋上的水珠，也只好踉踉跄跄离开水塘，悻悻而去。
松鼠是森林里的精灵。
它那漂亮的尾巴飘飘然，轻巧灵活，光亮闪闪，妩媚动人。一会儿在身后，如同拖着一朵云，在林间蹿来蹿去，活力无限；一会儿在身上，尾巴紧紧贴着后背，直立而坐，用前足当手，把食物送到 嘴里；一会儿纵立伸直，停在树梢上，警觉地观察四周的动静；一会儿又优雅地卷起，翘过头顶，脑袋在尾巴的遮蔽之下，闭目养神。
它脚爪尖细，行动迅疾，身影转瞬即逝。从一棵树到另一棵树，从一根倒木到另一根倒木，从一个树洞到另一个树洞。它生性胆小，机警敏捷，时刻小心翼翼。它是爬树的能手，脚爪歘歘歘，像带 着电一样，上上下下，时而跳跃，时而采摘，时而抓挠，总之，它一刻也停不下来，挖着、啃着、咬着、嚼着，总是在折腾。它是快乐幸福的。秋天，它将橡子果、松果、榛子果收集起来，藏在洞穴里， 藏在倒木底下，藏在崖壁罅隙间，藏着藏着，自己也忘记藏在哪里了。无奈，冬天饥肠辘辘时，只得用前爪挖开积雪寻找食物。将积雪下挖出的坚果，一颗一颗带到树桩上，然后咬开，一点一点抠出里 面的果仁。很快，树桩下，满是它扔掉的果壳苞片。几只喜鹊飞来，欢天喜地。喳喳喳！喳喳喳！喜鹊看见了果壳苞片里有东西在蠕动。