正交分析法
第四章正交分析法
正交试验设计法
特点：
均衡分散性和整齐可比性
试验步骤：
(1)明确试验目的，确定考察的指标（综合平衡法）
(2)挑选因素，选水平，制定因素、水平表
(3)选择合适的正交表
(4)明确试验方案，进行试验
(5)对试验结果进行分析，确定最优方案
(6)进行验证实验，作进一步分析
正交表概念
2、正交表的性质
每一列中，代表不同水平的数字出现次数相等；
任意两列中将同一横行的数字看成有序数对时，每种数
对出现的次数相等。
正交表的使用
2、选择合适的正交表；
原则：
(1)尽量选用小型正交表：
(2)所考察的因子及交互作用的自由度总和小于所选正交
表的自由度。
3、表头设计：
(1)首先考虑有交互作用和可能有交互作用的因子，按不
可混杂的原则，将这些因子和交互作用分别在表头上排
妥；
(2)余下那些估计可以忽略交互作用的因子，任意安排在
剩下的各列上。
如：有配方因子A、B、C、D，因子各有2个水平，需
考虑的交互作用有A×B、A×C、B×C
4、结果分析
(1)直观分析法
考察交互作用有：A×B、A×C、B×C
考察指标：弯曲次数
通过直观分析法，得到最优水平组合为A2B1C2。
正交试验设计和分析方法研究
正交试验设计和分析方法研究一、本文概述正交试验设计是一种高效、系统的试验设计方法，广泛应用于科学研究、工程实践以及社会调查等领域。
通过正交表的正交性、均匀分散性和整齐可比性，正交试验设计能够在众多试验因素中快速找出关键因素，优化试验方案，提高试验效率。
本文旨在深入研究正交试验设计的理论基础，探讨其在实际应用中的优化策略，分析正交试验设计的优缺点，并展望其未来发展趋势。
本文首先介绍正交试验设计的基本原理和常用正交表，然后详细阐述正交试验设计的步骤和方法，接着通过案例分析展示正交试验设计在不同领域的应用实践，最后对正交试验设计的未来发展进行展望，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和借鉴。
二、正交试验设计基本原理正交试验设计是一种高效、系统的试验设计方法，其核心在于利用正交表来安排试验，通过对试验因素与水平进行全面、均匀的搭配，从而找出最佳的试验方案。
正交试验设计的基本原理主要包括以下几点：正交性原理：正交表具有正交性，即表中的每一行（或列）所代表的因素水平组合都是唯一的，且在整个表中均匀分布。
这种正交性保证了试验点在试验范围内均匀分布，从而能够全面反映试验因素与水平的变化情况。
代表性原理：正交表中的每一行都代表一组试验因素与水平的组合，这些组合在试验范围内具有代表性。
通过选择适当的正交表，可以在较少的试验次数下获得较为全面的试验结果。
综合可比性原理：正交表中的每一列都对应一个试验因素，不同列之间的因素是相互独立的。
这意味着每个因素在不同水平下的效果可以单独进行分析和比较，从而便于找出影响试验结果的主要因素及其最佳水平。
分析简便性原理：正交试验设计的结果分析简便易行，可以通过直观分析或方差分析等方法快速得出结论。
直观分析法可以直接从正交表中观察出各因素在不同水平下的效果，而方差分析法则可以进一步检验各因素对试验结果的影响程度。
正交试验设计通过合理利用正交表的性质，实现了试验的高效、系统和全面。
在实际应用中，只需根据试验需求选择合适的正交表，按照表中的安排进行试验，并对试验结果进行简便的分析，即可得出较为准确的结论。
正交试验设计及其结果的直观分析(单指标 双指标)
综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到 每个指标的影响因素主次顺序和最佳水平组合，然后根据理论知 识和实际经验，对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出 较优方案。
例 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根 中有效成分的提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三向 指标：提取物得率（为提取物质量与葛根质量之比）、提取物中 葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量，三个指标都是越大越好， 根据前期探索性试验，决定选取3个相对重要的因素：乙醇浓度、 液固比（乙醇溶液与葛根质量之比）和提取剂回流次数进行正交 试验，它们各有3个水平，具体数据如表6-9所示，不考虑因素间 的交互作用，是进行分析，找出较好的提取工艺条件。
综合评分法
综合评分法是根据各个指标的重要程度，对得出的实验结果进行分 析，给每一个实验评出一个分数，作为这个实验的总指标，然后根 据这个总指标（分数），利用单指标试验结果的直观分析法作进一 步的分析，确定较好的实验方案，显然，这个方法的关键是如何评 分，下面介绍几种评分方法：
1.对每好实验结果的各个指标统一权衡，综合评价，直接给出每一号 试验结果的综合分数（依靠试验者或专家的理论知识和实践经验）
度
隶属度
1
1 1 1 1 2.96 65.70
1.00
1
1.00
2
1 2 2 2 2.18 40.36
0
0
0
3
1 3 3 3 2.45 54.31
0.35
0.55 0.47
4
2 1 2 3 2.70 41,09
0.67
0.03 0.29
5
2 2 3 1 2.49 56.29
正交试验设计和分析方法研究
正交试验设计和分析方法研究正交试验设计和分析方法研究概述：正交试验设计和分析方法是一种在科学研究和工程实践中常用的实验设计方法。
该方法通过有效地组合试验因素，减少试验次数，提高实验效率，从而加快研究和发展的进程。
本文将从试验设计的原理和步骤，以及正交试验设计的特点和应用领域等方面进行研究和探讨。
一、试验设计的原理和步骤试验设计是科学研究中非常重要的一环，它决定了实验过程中试验因素的选择和组合方式。
试验设计的目的是通过最少的试验次数来获取更多的信息，从而准确地推断因果关系和进行定量分析。
试验设计的基本原理可以总结为以下几点：1. 因素选择：在试验设计中，需要选择适当的试验因素来研究和探索。
试验因素是影响试验结果的各种因素，如温度、压力、时间等。
因素选择的基本原则是尽可能包含所有可能影响试验结果的因素，并排除不重要的因素。
2. 因素水平：试验因素的水平是指对每个因素设定的各个取值，如高、中、低三个水平。
因素水平的选择应该尽可能全面，以反映实际情况中的变化范围。
3. 设计矩阵：试验设计需要建立一个设计矩阵来确定各个试验组的组合方式。
设计矩阵是试验设计的核心，它包含了各个试验因素及其水平的排列组合。
对于正交试验设计，设计矩阵要满足正交性的要求，即各个试验组之间要相互独立。
4. 试验次数：试验次数是试验设计的重要考虑因素之一。
试验次数过少可能无法准确地判断因素之间的相互作用关系，试验次数过多则会浪费资源。
通过正交试验设计，可以在有限的试验次数内充分挖掘试验因素的信息。
试验设计的步骤如下：1. 定义问题：明确研究目标，确定试验因素及其水平。
2. 构建设计矩阵：根据试验因素及其水平构建设计矩阵，确保满足正交性要求。
3. 进行试验：按照设计矩阵进行试验，记录数据。
4. 分析数据：对试验数据进行统计分析，推断因果关系。
5. 结果解释：根据统计分析结果，得出结论并解释试验结果。
二、正交试验设计的特点和应用领域正交试验设计是一种高效、可靠的实验设计方法，在质量控制、产品开发、工艺优化等领域具有广泛的应用。
正交分析法例子
正交分析法例子1：假设一个WEB站点，该站点有大量的服务器和操作系统，并且有许多具有各种插件的浏览器浏览：WEB浏览器：Netscape6.2、IE6.0、Opera4.0插件：无、RealPlayer、MediaPlayer应用服务器：IIS、Apache、Netscape Enterprise操作系统：Windows2000、Windows NT、Linux一、提取系统功能说明中的因子：1、WEB浏览器2、插件3、应用服务器4、操作系统二、分析各因子的状态1、WEB浏览器：1＝Netscape6.2、2=IE6.0、3=Opera4.02、插件: 1=None、2=RealPlayer、3=MediaPlayer3、应用服务器: 1=IIS、2=Apache、3=Netscape Enterprise4、操作系统: 1=Windows2000、2=Windows NT、3=Linux四、将因子、状态映射到上面正交表中：思考问题：1、针对第8种组合方式，IIS是无法安装在Linux操作系统上的，如何处理该测2、对于软件质量要求非常高的产品，例如军工、航空航天、核反应堆控制软件等产品，使用正交试验法设计测试用例无法满足产品的可靠性要求，那么应该采用什么方法？正交分析法例子2：假设一个WEB站点，该站点有大量的服务器和操作系统，并且有许多具有各种插件的浏览器浏览：应用服务器: IIS、ApacheWEB浏览器：Netscape6.2、IE6.0、Opera4.0操作系统: Windows2000、Windows NT一：调整因子的状态数目，便于套用相应的正教表，Web浏览器的1和2合并为1’,即1’=IE6.0 或者Opera4.01、应用服务器: 0=IIS、1=Apache2、WEB浏览器：0＝Netscape6.2、1’=IE6.0 或者 Opera4.03、操作系统: 0=Windows2000、1=Windows NT即假设一个WEB站点，该站点有大量的服务器和操作系统，并且有许多具有各种插件的浏览器浏览：WEB浏览器：Netscape6.2、IE6.0、Opera4.0插件：无、RealPlayer、MediaPlayer应用服务器：IIS、Apache、Netscape Enterprise操作系统：Windows2000、Windows NT针对上述需求，如何使用正交试验法设计测试用例？假设一个WEB站点，该站点有大量的服务器和操作系统，并且有许多具有各种插件的浏览器浏览：WEB浏览器：Netscape6.2、IE6.0、Opera4.0插件：无、RealPlayer、MediaPlayer应用服务器：IIS、Apache、Netscape Enterprise操作系统：Windows2000、Windows NT、Linux、VxWorks、WinCE、pSos、针对上述需求，如何使用正交试验法设计测试用例？针对上述需求，如何使用正交试验法设计测试用例？。
受力分析 正交分解法
F2 F 2 F12
F1
1802 2402 N 300 N
tan F 180 0.6
F2 240
= 36°
F2
F
例1：如图，重为500N的人通过滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳
与水平成60o角时，物体静止，不计滑轮与绳子的摩擦，求地面对人
yF
F1x F4x
F3 F2x x
F4
F4y
x
练习
1、已知平面内有一个大小为10 N的力作用于O点，
该力与x轴正方向之间的夹角为30°，与y轴正方向之间
的夹角为60°，现将它分解到x轴和y轴方向上，则 二
轴上分力大小各力多少？
2、把竖直向下180 N 的力分解成两个分力，使其中一个分力 的方向水平向右，大小等于 240 N，求另一个分力的大小和方向。
答案
θ =37o
正交分解
练习2:如图所示, 物体在拉力F的作用下沿水
平面作匀速直线运动, 拉力F与水平面夹角为
θ,求:(1)物体受到的摩擦力大小 (2)物体受
到的重力、摩擦力和支持力三个力的合力大
小。 (3)物体受到的摩擦力与F的合力方向如
何？(4)物体受到的重力与摩擦力的合力的方
向如何？
（1）f=Fcosθ 答案
F Fx2 Fy2
tan Fy
Fx
例：三个力F1、F2与F3共同作用在O点。如图, 该如何 正交分解？
F1x F1 cos , F1y F1 sin
F2
y
F1y F2y
F1
F2X
O F3x F1x
x
F2x F2 cos , F2 y F2 sin F3y
正交试验设计直观分析法和方差分析法
正交试验设计直观分析法和方差分析法:
自溶酵母提取物是一种多用途食品配料，为探讨外加中性蛋白酶的方法,需作啤酒酵母的最适自溶条件试验，为此安排如下试验，试验指标为自溶液中蛋白质含量（%)，取含量越高越好。
因素水平表如下：
试验结果如下，试进行直观分析和方差分析，找出使产量为最高的条件。
A B C e df df df df ====3-1=2
2A A A SS MS df =
=45.422.72=，2B B B SS MS df ==6.49
3.232=, 2C C C SS MS df =
=0.310.1552=,2e e e
SS MS df ==0.83
0.4152= 因为22
2C e MS MS <,所以因素C 的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度
因素A 高度显著,因素B 显著，因素C 不显著.本试验指标越大越好.对因素A 、B 分析，确定优水平为3A 、1B ；因素C 的水平改变对试验结果几乎无影响，从经济角度考虑，选1C 。
优水平组合为311A B C 。
即温度为58℃,pH 值为6。
5,加酶量为2。
0％.。
正交法分析再生混凝土基本力学性能
土２ ８ ｄ抗压强度和劈拉强度分别降低 ２ ． ６ ％～ ８ ． ８ ％和 Ｏ ． ６ ％～ ４ ． ７ ％， 粉煤灰掺量 ３ ０ ％的再 生混凝 土 ９ ０ ｄ抗 压强度 比 ２ ８ ｄ提高 了 ４ ９ ％； 再生混凝土的强度随着矿 渣粉掺量的增加 呈增大趋势 ， 抗压 强度增 幅为 ４ ． ９ ％～ ８ ． １ ％， 劈拉强度增幅为 Ｏ ． ４ ％～ ４ ． ６ ％。
ｒ ｅ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｄ ｃ ｏ ｎ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｄ ４． ９ ％～ ８． １ ％ ａ ｎｄ Ｏ． ４ ％～ ４ ． ６ ％ ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｏ ｆ ｓ ｌ ａ ｇ ｐ ｏ ｗｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｉ ｎ ｇ ．
关键词： 再生混凝土 ； 强度 ； 正交试验
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｕ ５ ２ ８ ； Ｘ ７ ９ ９ ． １
文 献标 识 码 ： Ａ
文章编号： １ ０ ０ １ — ７ ０ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ ０ １ — ０ ４
Ｂａ ｓ ｉ ｃ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｄ ｃ ｏ ｎ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｂ ｙ ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ ｔ ｅ ｓ ｔ
钎 建魄 粉
中 国 科 技 核 心 期 刊
正 交 法分析再 生 混 凝土 基 本力学 吐 生 链
陈爱 玖 ， 孙晓培， 杨粉， 孙嘉 伟
正交分析法
正交分析法
正交分析法又称“联立方程组法”。
这种方法是通过两个变量之间存在着某种函数关系，建立起方程后将各自所对应的解代入方程而得出另一些未知的解。
比如：函数 y= x+ bx 与方程 y+ c=0的交点即为所求。
由于用此方法可以使方程更加简洁、容易理解和便于计算，故常被用来求一元二次不等式或线性规划问题的最优解。
它的优点就在于运用此方法时必须有足够多的信息才能解决问题，也就是说，只有获取尽可能多的信息后才能用正交表进行列表。
下面我们具体了解几种基本类型的正交表的构造及其特点：
在学习数学的过程中，我认识到正交表的重要作用。
老师讲解完方法后让我们自己动手做一张正交表，然后再讲解思路及做法，遇到难点时提醒我们去查阅相关资料，以达到最佳效果，从而让我们举一反三，触类旁通。
课堂上还会遇到许多新颖的题目，但都有迹可循。
每当老师抛给我们一道新题时，往往会先把例子写在黑板上，然后让同学们讨论分析，看看他们解答的思路和结果有什么共同点。
一般情况下会发现大部分同学采用的是正交分析法，原因就在于此。
如果你熟练掌握了正交分析法并且运用灵活，那么在数学考试中拿高分就不是难事了！
- 1 -。
正交试验设计的矩阵分析方法
205
同理, 计算出第二个考察指标落下强度的权矩阵 : 0. 0421 0. 0675 0. 1149 0. 0333 X2 = 0. 0979 0. 3927 0. 0980 0. 1179 0. 0347 第三个考察指标为裂纹度, 它是越小越好, 它的权矩阵计算如下:
206 0. 2703 0. 5882 0. 5000 M3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 3333 0. 3704 0. 5882 0 0 0 0. 2703 0. 5882 0. 5000 0 X3 = M 1T 1S 1 = 0 0 0 0
0. 5882 0 0 0. 5882 0 0. 3704
1. 3 0 õ = 4. 6 0. 774 1. 3 4. 6
0 0 0. 3333 0. 0729 此正交试验考察指标的总权矩阵为三个指标值的权矩阵的平均值, 计算如下 : 0. 0463 0. 0577 0. 0522 0. 1615 0. 1196 + 0. 2511 0. 1310 0. 0848 0. 0958 0. 0421 0. 0675 0. 1149 0. 0333 0. 0979 + 0. 3927 0. 0980 0. 1179 0. 0347 0. 0865 0. 1883 0. 1600 0. 0729 0. 0810 0. 1287 0. 1287 0. 0810 0. 0729 = 0. 0583 0. 1045 0. 1090 0. 0892 0. 0995 = 0. 2575 0. 1192 0. 0956 0. 0678 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3
4
11. 0 4. 6 4
7. 0 1. 1 3
8. 0 1. 6 2
多指标正交试验分析
多指标正交试验分析在科学研究或工程实践中，我们经常需要同时考虑多个因素和指标来优化一个系统或过程。
为了更有效地进行多指标优化，正交试验设计是一种常见的方法。
本文将介绍多指标正交试验的基本概念、设计方法与数据分析，并通过实例说明其应用。
一、多指标正交试验设计正交试验设计是一种基于正交表的试验设计方法，它可以同时考虑多个因素和指标。
通过正交表，我们可以将多个因素和指标的组合安排在一个合理的试验中，以减少试验次数并提高试验效率。
在多指标正交试验中，我们需要考虑的指标可能有很多，而且不同指标之间可能存在相互作用。
为了更好地挖掘最佳方案，我们需要对这些指标进行全面分析。
二、多指标正交试验数据分析在进行多指标正交试验后，我们需要对试验结果进行分析。
常用的多指标正交试验数据分析方法包括综合评分法、权重分析法和多目标决策法等。
综合评分法是通过给每个指标设定一个权重，然后将每个方案的指标值与权重相乘后求和，得到一个综合分数。
最后，根据综合分数对方案进行排序，选择最佳方案。
权重分析法是通过分析每个指标的权重来选择最佳方案。
在权重分析中，我们需要对每个指标进行重要性评估，并给出一个合理的权重。
然后，将每个方案的指标值与权重相乘后求和，得到一个综合分数。
最后，根据综合分数对方案进行排序，选择最佳方案。
多目标决策法是通过建立多个目标函数来选择最佳方案。
在多目标决策中，我们需要对每个方案的不同指标进行分析，并将这些指标转化为一个目标函数。
然后，通过优化这些目标函数来选择最佳方案。
三、应用实例假设我们有一个生产过程，需要考虑三个因素：温度、时间和压力。
我们有两个指标需要优化：产量和产品质量。
在这种情况下，我们可以使用多指标正交试验来找到最佳的生产条件。
首先，我们需要制定一个试验计划，确定每个因素的水平数和试验次数。
然后，按照计划进行试验并记录结果。
最后，对试验结果进行分析，找出最佳方案。
通过本例，我们可以看出多指标正交试验在优化复杂系统方面具有重要作用。
正交法方差分析详解
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行正交表的作用:对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。
这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望值，而且假设计算结果是满足正态分布的。
即),(~20σE N X i 。
注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。
3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。
当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。
当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。
我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。
这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。
X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7)其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。
正交分析全过程
正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：(1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数↓L4 （23）↑↑行数水平数（2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.最多能安排的因素数↓L4(23)↑↑试验次数水平数(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.L4(23)↑↑实际试验数理论上的试验数正交表的特点：（1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L p（n m）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.例9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.解本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.2.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A3B3C2D1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析.（1）极差计算在代表因素A的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T11，求得T11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T21，求得T21=183.一般地，定义T ij为表9-21的第j列中，与水平i对应的各次试验结果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).记T为9次试验结果的总和，R j为第j列的3个T ij中最大值与最小值之差，称为极差.显然T=31ijiT =∑，j=1,2,3,4.此处T11大致反映了A1对试验结果的影响，T21大致反映了A2对试验结果的影响，T31大致反映了A3对试验结果的影响，T12，T22和T32分别反映了B1，B2，B3对试验结果的影响，T13，T23和T33分别反映了C1，C2，C3对试验结果的影响，T14，T24和T34分别反映了D1，D2，D3对试验结果的影响.R j反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小，R j越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表9-22.(2) 极差分析(Analysis of range)由极差大小顺序排出因素的主次顺序：主→次B；A、D；C这里，R j值相近的两因素间用“、”号隔开，而R j值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T31=185；即取水平A3，同理可选B3C1D3.故例9.7中较好的因素水平搭配是A3B3C1D3.例9.8某试验被考察的因素有5个：A，B，C，D，E.每个因素有两个水平.选用正交表L8(27)，现分别把A，B，C，D，E安排在表L8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.表9-23j 的大小顺序排出因素的主次顺序为主→次A、B；D；C、E最优工艺条件为A2B1C1D2E1.表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差R j应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.3.方差分析正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.设有一试验，使用正交表L p (n m ),试验的p 个结果为y 1,y 2,…,y p ,记T =1pi i y =∑, y =11p i i Ty p p ==∑，S T =21()pii y y =-∑为试验的p 个结果的总变差；S j =222111nn ij ij i i T T T r T rp r p ==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑ 为第j 列上安排因素的变差平方和，其中r =p/n .可证明S T =1mij S=∑即总变差为各列变差平方和之和，且S T 的自由度为p -1，S j 的自由度为n -1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的S j 之和就是误差的变差平方和S e ，这时S e 的自由度f e 也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取S j 中的最小值作为误差的变差平方和S e .从以上分析知，在使用正交表L p (n m )的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：F =1jeeS S n f -.当因素作用不显著时，F ~F (n -1,f e ),其中第j 列安排的是被检因素.在实际应用时，先求出各列的S j /(n -1)及S e /f e ,若某个S j /(n -1)比S e /f e 还小时，则这第j 列就可当作误差列并入S e 中去，这样使误差S e 的自由度增大，在作F 检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的S j 全并入S e 后得新的误差变差平方和，记为S e Δ,其相应的自由度为f e Δ,这时选用统计量F =1je eS S n f - ~F (n -1,f e Δ).例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的极差值R j ，利用公式S j =2211n ij i T T r p=-∑,得表9-24.表9-24中第3，6列为空列，因此S e=S3+S6=1.250,其中f e=1+1=2,所以S e/f e=0.625,而第7列的S7=0.125，S7/f7=0.1251=0.125比S e/f e小，故将它并入误差.S eΔ=S e+S7=1.375,f eΔ=3.整理成方差分析表9-25.表9-25ee由于F0.05(1,3)=10.13, F0.01(1,3)=34.12,故因素A，B作用高度显著，因素C作用不显著，因素D作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F检验法要求选取S e，且希望f e要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A和B的交互作用A×B.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.。
正交试验的分类
均出现一次，即任意两列的数码“1”，“2”搭配是均衡的。 共需做4次实验。
8
2.正交实验的建立
2.1试验方案设计:
(1)明确试验目的
定量指标:强度、硬度、 产量、 出品率、成本
i
i
iA
s
iA
s－因素A的每个水平的实验次数
KiA－第j列上水平好为i的给试验结果之和
17
（2）自由度分解：
fT f因素 f空列（ 误列 )
因素的自由度 f j＝m 1 ，m为因素水平个数
因子无交
自
互作用
总和的自由度 fT＝m •n 1 ，m、n为因素水平个数
由
度
因素的自由度 f j＝m 1 ，m为因素水平个数
试验结果 yi
6.25 4.97 4.54 7.53 5.54 5.5 11.4 10.9 8.95
优水平
A
B
C
3
1
1
主次顺序：
A﹥B﹥C
最优组合：A B C
29
处理号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j K3j K1j2 K2j2 K3j2
表 4-3 方差分析表
A
B
C
1（50） 1（6.5） 1（2.0）
Kjm，kjm
Rj
因素主次
2. 判断 优水平
计算简便，直 观，简单易懂
优组合
16
i
（二）方差分析 基本思想是将数据的总变异分解成因素
引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作 F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果统计分析方法
Se (80) (84 84)2 (86 84)2 (82 84)2 8
Se Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80) 50
我们发现有：
ST SA Se
20
（二）自由度
p_ _
1.
SA r (xi x)2
i 1
p个成分都是对总平均值的差，而全部差相加为领，所以p个
方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性
A
SA=303.6
4
75.9
3.5 15.18 **
e
Se=50.0
10
5.0
6.0
总和
26
（五）小结
r
令 Ki xij j 1
pr
K= xij i 1 j 1
通常：
（1）对a=0.05,F0.01 FA F0.05 ,则说明因素A显著，记为* （2）对a=0.01,FA F0.01,则说明因素A高度显著，记为** （3）F0.05 FA F0.1,则说明因素A有一定影响，记为 （4）F0.10 FA ,则说明因素A无显著性影响
25
以例2－1为例，检验其中因素A的显著性
1 p
p i 1
i
ai i
i 1, 2,......, p
(2 1 2)
1
称为一般平均。ai是i对于的偏移，为Ai的水平效应或主效应。
所以把i理解为： （一般平均）＋（Ai平均效应）
Xij ai ij
i 1, 2,......, p
(2 1 3)
即：Xij （一般平均）＋（Ai平均效应）＋（误差）
15
(4) {εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1), 所以多个试验误差的平均值近似等于零。
正交分析方法概述
9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强
的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
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1.3 正交表及其基本性质
1.3.1 正交表
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正
交表，因此，我们先对正交表作一介绍。
表10-2是一张正交表，记号为L8(27)，其中“L”
定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。 A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因 素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度， 设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各
因素的水平之间全部可能组合有27种 。
全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可 选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多， 工作量大 ，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则 可利用
2.1 试验方案设计
（1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要 对本试验而言，试验目的是为了提高山楂原料 解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡 的利用率。所以可以以液化率{液化率=[(果肉重量 量，即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标， -液化后残渣重量)/果肉重量]×100%}为试验指 如强度、硬度、产量、出品率、成本等；也可为定性 标，来评价液化工艺条件的好坏。液化率越高，山 指标如颜色、口感、光泽等。一般为了便于试验结果 的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处 楂原料利用率就越高。 理进行数量化，将定性指标定量化。
代表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行 ，用这张 正交表安排试验包含8个处理(水平组合) ；括号内的底 数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示 有7列 ，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。
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因子与误差的差率
来源 平方和 S 自由度 纯偏差 平方和 2 710.8 2 2843.4 2 213.8 2 58.1 贡献率 (%)
17.06 因子A 1421.6 72.80 因子B 5686.9 4.07 因子C 427.6 6.07 误差e 116.2 T 7652.2 8 结论： 因子B最重要，由B引起的波动占72.80% 其次是因子A 因子C的贡献率还不及误差的贡献率大，所以 因子C可以认为不重要。
R
S
30.7
1421.6
57
5686.9
16.7
427.6 116.2
五 进行试验，记录试验结果。 六数据分析 ( 一) 急差分析 直观分析：Y=236最大 好的试验条件 A2B2C3 理论分析：RB>RA>RC 因素重要性 B→A → C 最好的条件 A2B2C3 (二)数据的方差分析 假定试验指标服从 正态分布 ⑴平方和分解 用总偏差平方和ST描述数据的总波动
七、试验验证 补：正交表的选择： 1、考察因素的个数 2、 一批允许做试验的次数 3、有无重点考察的因素 4、所考察的因子与交互作用自 由度之和≤n1 5、有无交互作用
望目值
单指标
颜色的深浅 多指标 定性指标 味道对定性指标可以用加权 的的方法量化为不同等 级。
4、完全因素位级组合：指参与实验的全 部因素与全部位级相互之间的全部组 合次数，即全部的实验次数。 例：有3个因素(A,B,C), 每个因素有两 个位级(A1 A2，B1 B2 ，C1 C2)，则完 全因素位级组合数为：= C21 C21 C21=2³ =8次 5、部分因素位级组合： ⑴ 单因素转换法 ⑵正交试验法
表达设计 列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T1 T2 T3 T1 T2 T3
A (充磁量) 1 1(900) 1 1 2(1100) 2 2 3(1300) 3 3 555 594 502 185 198 167.3
B(定位角度) 2 1(10) 2(11) 3(12) 1 2 3 1 2 1 485 656 510 161.7 218.7 170
二、正交表
1、正交表的符号： 正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名 的基础上构造的一种规格化的表格。 符号：Ln(ji) 其中： L—正交表的符号 n—正交表的行数(试验次数，试验方案数 ) j—正交表中的数码( 因素的位级数) i—正交表 的 列数(试验因素的个数) N=ji—全部试验次数(完全因素位级组合 数)
第一节 基础知识
一、名词术语 1、试验因素：影响考核指标取值 的量称为试验因素(因子)。 一般记为：A，B，C， 等 定量的因素 可控因素 定性的因素 不可控因素 2、因素的位级(水平)：指试验因素 所处的状态。
3、考核指标：根据试验目的而选定的用来 衡量试验效果的量值(指标)。
望大值 定量指标 望小值
第二节
无交互作用单一指标的正交 设计与数据分析
一 试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩 二 试验指标：输出力矩(越大越好) 三 因子与水平： A：充磁量(10-4特) A1=900 A2=1100 A3=1300 B：定位高度(度) B1=10 B2=11 B3=12 C ：定子线圈匝数(匝) C1=70 C2=80 C3=90 四 选正交表，进行表头设计，列出实验 计划 选L9(34)
C(定子线 圈匝数) 3 1(70) 2(80) 3(90) 2 3 1 3 1 2 555 523 573 185 174.3 191 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
Y 输出力矩
160 215 180 168 236 190 157 205 140 yi=T=1651 yi² =310519 ST=7652.2
方差分析表
来源 因子A 因子B 因子C 误差e T 平方和S 1421.6 5686.9 427.6 116.2 自由度 2 2 2 2 均方和V 710.8 2843.4 213.8 58.1 F比 12.23 48.94 3.68
7652.2
8
F0.902,2=9.0 F0.952,2=19. 0
2、正交表的结构 L8(27) L9(34) L8(4124) L18(2¹ 37) 3 、正交表的正交性 (1)整齐可比性：每个字码出现的机会 是完全相等的。 (2)均衡分散性：任意两列间横向组合 的数字对搭配是均衡的。
4、应用程序 1 )明确实验目的，确定考核指标。 2 )挑因素，选位级，确定因素位级表。 3 )选择适宜的正交表。 4 )因素位级上正交表，确定试验方案， 并按实验方案进行试验。 5 )试验结果分析。
ST =(yiy)² =yi² — i=1 n 其中:y=y/n 用SA表示除随机原因外(A因子偏差平方 和)由于A因子的水平不同所引起的数据 波动的变量.
n
(yi)²
SA=3(Ti-y)² 通式为:S= — —
i=1 i=1 n/q
3
q
Ti² T
Байду номын сангаас
n
∵A至于第一列，∴SA=S1
注：ƒT=n1 ƒA+ƒB+ ƒc+ƒe=ƒT 由于FA大于F0.902,2=9.0 F0.952,2=19.0 因此因子A与B分别在显著性水平0.10与0.05上是显著 的，因子C不显著。
⑶最佳条件的选择A2B2 因子C水平可 任意选取 ⑷因子的贡献率 当试验指标不服从正态分布时，进行 方差分析的依据就不够充分，此时可 以用率 来衡量因子作用的大小 。 由于S因中除了因子的效应外，还包括 误差，从而称S因—因。为因子的纯偏 差平方和，称因子的纯偏差平方和与 的比为因子的贡献率 。
B、C分别至于第二、三列， ∴SB=S2 SC=S3 第4列为空白列仅反应误差造成的数 据波动称为误差的偏差平方和。 ∴Se=S4 可以证明：ST=S1+ S2+ S3+ S4 对一般正交表： ST=S1+ S2+ …+ Sp
⑵ F比 若F因=V因/Ve>F1因, e则认为在显 著性水平上因子是显著的。 其中： V因—因子的均方和(偏差平方和与自 由度的比) 因—因子的自由度(水平数(q)1) Ve—误差的均方和 e—误差的自由度