高数下册总复习知识点归纳(1)
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高三数学下册重点知识点
高三数学下册重点知识点一、数列与数列的极限1. 等差数列和等差数列的通项公式2. 等比数列和等比数列的通项公式3. 数列的极限概念及相关性质4. 无穷数列的极限和收敛性判定5. 数列极限的唯一性和保号性6. 数列极限的四则运算性质二、函数与导数1. 函数的概念与性质2. 基本初等函数及其性质3. 一次函数、二次函数的图像与性质4. 反函数与复合函数5. 导数的概念与计算方法6. 函数的单调性、增减性及极值点7. 函数的凹凸性与拐点8. 用导数研究函数的性质与应用三、导数的运算与应用1. 导数的四则运算法则2. 高阶导数与高阶导数的计算3. 隐函数求导4. 参数方程求导5. 反函数求导6. 导数应用于切线、法线问题7. 导数应用于函数的近似与极值问题四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本积分表及其应用3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的概念与性质5. 定积分的计算方法6. 定积分的几何应用7. 定积分的物理应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念与常微分方程的解2. 可分离变量方程的解法3. 一阶线性微分方程的解法4. 高阶线性微分方程的解法5. 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解法6. 常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法六、空间解析几何1. 空间直线及其位置关系2. 空间平面及其位置关系3. 空间曲线的参数方程与一般方程4. 空间曲面的方程及其性质5. 球面坐标系与柱面坐标系6. 二次曲面的方程与性质以上是高三数学下册的重点知识点，通过深入学习这些知识点，同学们可以对相关概念、公式和计算方法有更深刻的理解，为高考取得优异成绩打下扎实的基础。
希望同学们能够认真复习，并在实践中灵活运用这些知识点，提高数学解题的能力。
衷心祝愿大家都能取得理想的成绩！。
高等数学下册复习资料
高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。
学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。
因此，复习高等数学下册是非常必要的。
一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。
在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。
2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。
3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。
这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。
二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。
学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。
2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。
学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。
同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。
3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。
通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。
4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。
在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。
三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。
通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
高三数学下学期知识点梳理
高三数学下学期知识点梳理一、函数与方程1. 一元二次函数- 平方函数的基本概念- 一元二次方程的解法- 抛物线的性质和图像2. 四则运算与函数的复合- 函数的四则运算规则- 复合函数的定义和性质- 复合函数的求导3. 反函数与函数的逆运算- 反函数的定义和性质- 求反函数的方法- 反函数与原函数的关系二、极限与导数1. 极限的概念与性质- 数列极限的基本概念- 函数极限的定义和性质- 极限的运算法则2. 导数与导数的应用- 导数的概念和计算方法- 函数的单调性和凹凸性- 切线与法线方程的求解3. 一元函数的求导法则- 基本初等函数的导数计算 - 导数的四则运算法则- 高阶导数和导数的应用三、微分与积分1. 微分的概念与计算- 微分的定义和性质- 微分的几何意义和物理意义 - 微分的计算方法2. 积分的概念与计算- 不定积分和定积分的基本概念 - 积分的性质和运算法则- 定积分的计算方法与应用3. 微分与积分的基本关系- 牛顿—莱布尼茨公式的推导- 微分中值定理和积分中值定理 - 积分应用中的面积与体积计算四、统计与概率1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念和运算- 事件的概率与概率的运算法则 - 条件概率和事件的独立性2. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念和分类- 离散型随机变量的分布律和期望- 连续型随机变量的概率密度和期望3. 统计与抽样- 总体概念与样本概念- 抽样分布与抽样分布的统计量- 参数估计与假设检验的基本方法五、几何与三角1. 平面解析几何- 平面直角坐标系和点、线、圆的方程 - 平面曲线的解析式和性质- 相交问题与相关证明2. 空间几何问题与向量- 点、直线、平面的位置关系- 空间向量的运算法则和几何应用- 线性相关与线性无关的判断方法3. 三角函数与三角恒等式- 基本三角函数的定义和性质- 三角函数的图像和变换规律- 三角函数的恒等式与解三角方程通过对高三数学下学期的知识点整理，我们可以全面回顾和梳理每个知识点的要点和关键思想。
高等数学下册知识点归纳
高等数学下册知识点归纳
高等数学下册的知识点主要包括以下内容：
1. 向量的模、方向角、投影：向量的模是表示向量大小的度量，方向角和方向余弦是描述向量方向的量，投影则是描述向量在另一个向量上的投影。
2. 两向量的数量积、向量积：数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。
3. 平面及其方程：平面的一般方程、点法式方程等都是描述平面的重要方式。
4. 空间直线及其方程：空间直线的方程包括对称式方程、参数方程等。
5. 空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线方程和法平面方程是描述空间曲线的重要方式。
6. 曲面的切平面与法线：曲面的切平面和法线是描述曲面在某一点的切线和方向的重要方式。
7. 全微分：全微分是函数在某一点的变化率的度量，包括一阶偏导数和高阶偏导数。
8. 偏导计算：偏导数是函数在某个变量上的变化率，对于多元函数来说，偏导数是重要的概念。
9. 二元函数的极限：二元函数的极限是描述函数在某个点附近的性质的重要方式，包括极限的求解和证明。
10. 二重积分：二重积分是计算二维区域上的积分的重要方式，包括定积分和反常积分。
以上是高等数学下册的一些主要知识点，掌握这些知识点有助于理解和应用高等数学的基本概念和方法。
期末高数下册知识总结
期末高数下册知识总结本文将对高等数学下册的知识进行总结，主要分为以下几个部分：空间解析几何、多元函数与偏导数、重积分、无穷级数与幂级数、常微分方程五个部分。
一、空间解析几何（平面与直线、空间曲线与曲面、空间直角坐标系下的曲线与曲面）空间解析几何是指在空间情形下分析和研究几何形体、几何运动、数学方程和几何方程之间的联系的一门数学学科。
学习空间解析几何可以帮助我们理解空间形体之间的关系以及其运动规律。
1.平面与直线- 平面方程：点法式、一般式、截距式、两平面交线、平面与平面垂直、平行关系- 直线方程：点向式、两点式、一般式、向量叉乘、直线与直线垂直、平行、斜率、角度的概念与求解2.空间曲线与曲面- 空间曲线的方程：参数方程、一般方程- 空间曲面的方程：二次曲面、旋转曲面、柱面、锥面的方程3.空间直角坐标系下的曲线与曲面- 参数方程下的曲线计算：弧长、速度、加速度、切线、法平面、法线- 参数化的曲面计算：一类曲面的面积、体积、切平面、切向量二、多元函数与偏导数多元函数是指具有多个自变量的函数，偏导数是研究多元函数对其中一个自变量求导数的方法。
学习多元函数与偏导数可以帮助我们更加深入地了解多元函数的性质和变化规律。
1.多元函数的极限- 多元函数极限的定义与性质- 极限存在的条件与计算- 多元函数极限与连续函数2.多元函数的偏导数- 偏导数的定义与性质- 高阶偏导数的计算与应用- 隐函数的偏导数3.多元函数的微分与全微分- 多元函数的微分定义与性质- 链式法则与全微分的计算4.多元函数的方向导数与梯度- 方向导数的概念与计算- 梯度的概念与计算- 梯度的几何意义5.多元函数的极值与最值- 多元函数的极值的判定与求解- 条件极值的求解- 二次型的矩阵表示与规范形三、重积分重积分是对多元函数在给定区域上的积分，通过重积分可以计算出在多元函数定义的区域上的一些量的总和。
1.二重积分- 二重积分的概念与性质- 直角坐标系下的二重积分的计算- 极坐标系下的二重积分的计算2.三重积分- 三重积分的概念与性质- 柱坐标系下的三重积分的计算- 球坐标系下的三重积分的计算3.坐标变换与积分- 坐标变换的概念与方法- 二重积分与三重积分的坐标变换4.重积分的应用- 质量、重心、质心的计算- 总质量与平均密度的计算- 转动惯量与转动半径的计算四、无穷级数与幂级数无穷级数是指所含项的个数为无穷多个的数列之和，幂级数是指形如∑\(a_n(x-a)^n\)的形式的级数。
高等数学(下)知识点总结[汇编]
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高等数学(下)知识点总结[汇编]
1.常微分方程：常微分方程是涉及未知函数在某个函数域内的导数与该未知函数自身
的关系的方程。
在常微分方程的解法中，可以使用分离变量法、齐次法等方法求解。
同时，也需要掌握一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、高阶线性微分方程等方程的解法。
3.多元函数微积分学：多元函数微积分学是研究多元函数的微积分理论及其应用的学科。
在多元函数微积分学的知识点中，需要掌握多元函数的极限、连续性、偏导数、方向
导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的积分等内容。
4.向量代数与空间解析几何：向量代数与空间解析几何是研究向量相关理论及其在空
间解析几何中的应用的学科。
在向量代数与空间解析几何的知识点中，需要掌握向量的基
本运算、向量的数量积与向量积、直线及平面的方程、空间曲面方程等内容。
6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是利用数值方法求解常微分方程的
近似解。
其中，欧拉法、龙格-库塔法等是常用的数值解法。
掌握常微分方程的数值解法
有利于在实际问题中应用数学知识进行求解。
以上就是高等数学下学期的知识点总结。
对于学习这门学科的学生来说，掌握以上知
识点是非常重要的，可以帮助他们更好地应对考试和实际问题的求解。
高数下知识点复习
高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。
(2) 导函数的值表示函数的斜率。
(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。
(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。
3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。
微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。
数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。
2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。
函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。
3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。
高数下册复习知识
下册（一）：多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数最典型的是二元函数极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续，则求导次序可交换微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。
只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在，且连续，则微分一定存在极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。
对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。
级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。
若通项趋于零，看是否正项级数。
若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。
高等数学(下)知识点总结
高等数学(下)知识点总结1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，；4、点到平面的距离：（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、两直线的夹角：，，；4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，；第九章多元函数微分法及其应用1、连续：2、偏导数：；3、方向导数：其中为的方向角。
4、梯度：，则。
5、全微分：设，则（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1）复合函数求导：链式法则若，则，（二）应用1）求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，① 若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；② 若，函数没有极值；③ 若，不定。
2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标，，2）极坐标，（二）三重积分1、定义：2、计算：1）直角坐标-----------“先一后二”-----------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，、向量形式：2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则、（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：—“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”，为下侧取“级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。
高数(下册)复习资料完整
高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高等数学下知识点总结
高等数学下知识点总结高等数学是大学阶段的一门重要课程，它是数学的一个重要分支，也是理工科学生必修的一门课程。
高等数学下学期的内容相对较为复杂，包括微分方程、多元函数微积分、无穷级数等知识点。
下面我们将对高等数学下知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
1. 微分方程。
微分方程是研究函数的微分和积分的关系的数学分支，它在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类，常微分方程是指未知函数的自变量只有一个自变量的微分方程，而偏微分方程是指未知函数的自变量有两个或两个以上的微分方程。
在学习微分方程时，需要掌握常微分方程的解法、一阶线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等内容。
2. 多元函数微积分。
多元函数微积分是高等数学下的重要内容，它是对多元函数的微分和积分进行研究。
在学习多元函数微积分时，需要了解多元函数的极限、偏导数、全微分、多元函数的微分法、多元函数的积分计算等知识点。
同时，还需要掌握多元函数的梯度、散度、旋度等概念，这些知识对于理解物理、工程等领域的问题具有重要意义。
3. 无穷级数。
无穷级数是指由无穷多项式组成的级数，它在数学分析、实变函数等领域有着重要的应用。
在学习无穷级数时，需要了解级数的收敛性、级数的性质、级数的审敛法等内容。
同时，还需要掌握级数的收敛域、幂级数、傅立叶级数等知识点，这些知识对于理解物理、信号处理等领域的问题具有重要意义。
4. 空间解析几何。
空间解析几何是高等数学下的一门重要课程，它是对空间中点、直线、平面等几何对象进行研究的数学分支。
在学习空间解析几何时，需要了解空间中直线和平面的方程、空间曲线的参数方程、空间曲面的方程等知识点。
同时，还需要掌握空间中直线和平面的位置关系、空间曲线的切线、法平面等内容，这些知识对于理解三维空间中的几何关系具有重要意义。
总之，高等数学下的知识点涉及到微分方程、多元函数微积分、无穷级数、空间解析几何等内容，这些知识对于理解和应用数学具有重要意义。
高数下知识点总结
高数下知识点总结一、微积分1. 函数和极限函数是自然界和社会现象中的一般规律性联系的数学抽象。
以实数域为定义域和值域的实函数是微积分的主要研究对象。
极限是微积分的基本概念，它是描述函数在某点附近的性质的数学工具。
在微积分中，我们讨论函数在某一点的极限，以及函数在无穷远处的极限和无穷大的极限等各种情况。
2. 导数和微分导数是函数在某一点的变化率的极限，用来描述函数的局部性质。
微分是导数的几何意义，它是关于函数的线性逼近的一种数学方法。
在微积分中，我们讨论导数的定义、求导法则、高阶导数、微分和微分中值定理等内容。
3. 积分和微积分基本定理积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间内的总体变化量。
微积分基本定理是微积分中的核心定理，它建立了积分和导数之间的联系。
在微积分中，我们讨论不定积分、定积分、变限积分、积分中值定理等内容。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它是描述自然和社会现象中变化规律的数学模型。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类，涵盖了许多重要的理论和方法。
在微积分中，我们讨论微分方程的基本概念、解的存在唯一性、解的性质、微分方程的分类和常见的解法等内容。
二、矩阵论1. 矩阵和行列式矩阵是线性代数的基本工具，它是一个按照矩形排列的数的集合。
行列式是矩阵的一个重要性质，它是由矩阵的元素按照一定规则组合而成的一个数。
在矩阵论中，我们讨论矩阵的基本操作、矩阵的性质、矩阵的代数运算、矩阵的逆、行列式的性质和展开等内容。
2. 线性方程组线性方程组是矩阵论的一个重要应用领域，它是由线性方程组成的一种数学模型。
线性方程组的解是矩阵的一个重要性质，它描述了线性方程组的解空间和解的个数。
在矩阵论中，我们讨论线性方程组的标准形、增广矩阵、线性方程组的解的性质、线性方程组的解的分类和解的存在唯一性等内容。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵的变换规律和对称性质。
高等数学下知识点总结
高等数学下知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念极限是描述函数趋于某个特定值的概念。
对于实数函数f(x)，当自变量x无限接近某个实数a时，如果函数值f(x)无限接近某个实数L，则称L为函数f(x)在x趋于a时的极限，记作$\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L$。
2. 极限的性质•唯一性：一个函数在某一点的极限唯一。
•有界性：函数在某一点的极限存在，则函数在该点的附近有界。
•局部有界性：函数在无穷远处的极限存在，则函数在某一点的局部有界。
•夹逼定理：若函数在某一点的两边夹逼住一个数，则该数为函数在该点的极限。
3. 连续的概念若函数f(x)在某一点a的极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点a处连续。
4. 连续函数的性质•若两个函数均在某一点连续，则它们的和、差、积、商（除分母为0外）也在该点连续。
•若两个函数均在某一点连续，则它们的复合函数也在该点连续。
•若函数在闭区间[a,b]上连续，则它在该闭区间上有界。
二、导数与微分1. 导数的概念函数f(x)在点x=a处的导数，表示函数曲线在该点处的切线的斜率，记作f′(a)或$\\frac{{dy}}{{dx}}|_{x=a}$。
2. 导数的性质•可导性：若函数在某一点导数存在，则该点可导。
•右导数和左导数：对于单侧不连续点，可以讨论右导数和左导数。
•导函数：若函数在某一区间上处处可导，则该区间上存在一函数，称为原函数的导函数，记作f′(x)。
3. 常见函数的导数公式•常数函数导数为0：$f(x) = c, \\quad f'(x) = 0$。
•幂函数导数：1.$f(x) = x^n, \\quad f'(x) = nx^{n-1}, (n \ eq 0)$。
2.$f(x) = \\frac{1}{x^n}, \\quad f'(x) = -\\frac{n}{x^{n+1}}, (n \eq 0)$。
高数下知识点总结大全（通用8篇）
高数下知识点总结大全（通用8篇）高数下知识点总结大全篇11.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的`特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
高数下册总复习知识点
d z z d u z dv dt u dt v dt
z
u v
t
公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.
5、全微分形式不变性 无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z dz du dv u v
6、隐函数的求导法则
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 y x x 0 y x x 0
y y0 y y0
2、全微分公式
z z dz dx dy . x y
用定义证明可微与不可微的方法 可微 不可微
z [ f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y] z [ f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y] 0 ( 0)
这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 x o y 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 2 a b
高等数学下知识点总结6篇
高等数学下知识点总结6篇高等数学下知识点总结6篇借鉴经验和教训，对自己的工作和生活进行反思和总结，从而不断进步。
深入学习，专攻某一领域有利于个人成长和职业发展。
下面就让小编给大家带来高等数学下知识点总结，希望大家喜欢!高等数学下知识点总结1第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
高二数学重点知识点下册
高二数学重点知识点下册第一章分析函数1.1 导数与微分在高中数学学习中，导数与微分是分析函数的重要概念。
导数描述了函数在某一点处的变化率，可以用来研究函数图像的特性和求解最值问题。
微分用于近似计算，将函数在某一点处的变化用线性函数逼近，从而进行简化计算。
1.2 高阶导数与泰勒展开高阶导数扩展了导数的概念，描述了函数变化的更多细节。
泰勒展开是利用高阶导数将函数在某一点附近的值展开成幂级数的形式，可以用于近似计算、函数图像的分析和函数性质的研究。
1.3 极值与最值问题极值与最值问题是分析函数中经常遇到的问题。
通过导数的求解和对函数图像的观察，可以判断函数的极值点和最值点的存在和位置，并进行最值问题的求解。
第二章三角函数与解三角形2.1 三角函数基本概念三角函数是研究三角形与圆的重要工具，在数学中占据重要地位。
正弦函数、余弦函数、正切函数等是最基本的三角函数，它们与角度的关系及其性质是学习的重点。
2.2 三角函数的图像与性质三角函数的图像和性质对于理解三角函数及其应用至关重要。
通过掌握三角函数的图像变化规律和周期性质，可以解决相关的函数方程和不等式。
2.3 解三角形解三角形是指根据给定的一些条件，确定三角形的各边长和角度的问题。
利用三角函数的性质和三角形的几何关系，可以解决各种类型的解三角形问题。
第三章概率与统计3.1 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
通过了解概率的基本概念、计算方法以及与事件的关系，可以对各种概率问题进行分析和求解。
3.2 条件概率与独立性条件概率描述了在已知一定条件下发生某一事件的概率，独立性描述了两个事件之间的相互影响关系。
掌握条件概率和独立性的概念和计算方法，可以解决与概率相关的更复杂问题。
3.3 统计与抽样统计学是研究数据的收集、整理、分析和解释的科学。
抽样是统计学中常用的数据收集方法，通过抽取一部分样本数据进行统计分析，可以对总体进行推断和估计。
第四章三角恒等变换与向量4.1 三角恒等变换三角恒等变换是指将一个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式的过程。
高等数学下册知识点归纳
高等数学下册知识点归纳高等数学下册知识点归纳高等数学是数学各个分支中最重要的一门学科之一，包括微积分、线性代数、概率论、常微分方程等多个分支。
本文主要对高等数学下册中的主要知识点进行归纳概括，以方便学生复习和总结。
1. 多元函数微积分多元函数微积分是高等数学的重点内容之一，包括多元函数的极限、连续、可微、偏导数、全微分及其应用、重积分等知识。
其中，偏导数和全微分是多元函数微积分的基础，重积分则是其最具实际意义的应用之一。
2. 常微分方程常微分方程是一种描述自然现象和工程问题的重要数学模型，包括一阶和二阶常微分方程及其组合形式。
常微分方程的解法有解析法和数值法两种，解析法主要包括分离变量法、同解叠加法、常系数线性齐次方程组等方法。
数值法则包括欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
3. 线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支，是数学领域中最重要的基础学科之一。
线性代数主要包括向量、矩阵及其运算、线性变换及其矩阵表示、特征值、特征向量以及相似矩阵等内容。
4. 概率论概率论是研究随机现象的概率和统计规律的一门学科，具有广泛的应用背景，包括生命科学、物理学、金融学等领域。
概率论主要包括概率空间、随机变量及其分布、多维随机变量及其联合分布、独立性、条件概率、贝叶斯公式、随机过程以及极限定理等内容。
5. 复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，是一种比实函数更为复杂的函数。
复变函数包括全纯函数及其导数、几何意义、级数展开、奇点、留数、调和函数以及边值问题等内容。
6. 傅里叶级数与变换傅里叶级数与变换是一种将非周期函数表示成一系列正弦和余弦函数或复指数函数的方法。
傅里叶级数是周期函数的展开，傅里叶变换是非周期函数的展开。
傅里叶级数和变换在信号处理、图像处理、量子力学等众多领域中有着广泛应用。
7. 向量场与曲线积分向量场与曲线积分是研究向量场在平面和空间中的性质以及曲线上的曲面积分的一门学科。
向量场主要研究向量函数在区域内的变化规律，曲线积分是将向量场沿着曲线的积分。
大一高数下知识点笔记
大一高数下知识点笔记（一）导数与微分1. 定义：导数表示函数在某一点的变化率，用于描述函数的局部性质。
2. 导数的计算方法：常用的方法有极限定义法、基本初等函数的导数法则、导数的四则运算法则等。
3. 微分的概念：微分是导数的一种应用形式，它表示函数值的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
（二）函数的极限1. 极限的定义：函数的极限表示自变量无限接近某一点时，函数值的变化趋势。
2. 极限的性质：极限存在唯一性、局部有界性、保号性等。
3. 常见的极限计算方法：夹逼定理、无穷小代换法、洛必达法则等。
（三）连续与间断1. 连续函数的定义：函数在某一点连续，表示函数在该点的极限存在且等于函数值。
2. 连续函数的性质：连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
3. 间断点的分类：可去间断、跳跃间断、无穷间断等。
（四）微分中值定理1. 雅可比定理：若函数在闭区间上连续，且在开区间内可导，则在闭区间上至少存在一个点，使得导数在该点处等于函数的平均变化率。
2. 拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，且在开区间内可导，则在闭区间上至少存在一个点，使得导数在该点处等于函数在区间两端点连线上的斜率。
3. 柯西中值定理：若两个函数在闭区间上连续且可导，其中一个函数在开区间内不恒为零，则在闭区间上至少存在一个点，使得两个函数的导数之比等于两个函数在区间两端点连线上的斜率。
（五）不定积分1. 不定积分的定义：不定积分是函数的反导数，即求导的逆运算。
2. 基本积分公式：常见的基本积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。
3. 替换法则与分部积分法：替换法则用于处理复合函数的积分，分部积分法用于处理乘积的积分。
（六）定积分与定积分的应用1. 定积分的定义：定积分是对函数在一定区间上的区域面积的近似求和。
2. 定积分的计算方法：分割求和法、换元法、分部积分法等。
3. 定积分的应用：用定积分求曲线下的面积、求物体的体积、计算平均值等。
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第八、九章向量代数与空间解析几何总结
或
n (f x(X o,y。
)，f y(x°,y°),
1) 法“线“方程：
x x g y y g z z g f x(X°,y°) f y (x g, y g) 1
第十章总结
重积分
积分类型计算方法典型例题
重积分利用直角坐标系
b 2(X)
X —型f (x, y)dxdy dx
1 (x)
D
a
Y—型f(x, y)dxdy d 2( y)
dy
1( y)
D
c
f(x,y)dy
f(x,y)dx
P141—例1、例3
I f x,yd
D
平面薄片的质
量
质量=面密度面
积使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),为实数)
P147—例5 f( cos , sin ) d d
f ( cos , sin ) d
(1)
(2)利用极坐标系
4
D
2()
0 2 0
(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，(关于x 轴对称时，有类似结论)
f (x, y)对于x 是奇函数,
即口 x,y) f (x,y)
I 2 f(x,y)dxdy f(x, y)对于 x 是偶函数，
D 1
即f( x, y) f(x,y)。
1是。
的右半部分
P141—例 2 应用该性质更方便
计算步骤及注意事项
画出积分区域 选择坐标系 3. 4. 确定积分限
确定积分次序
标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关
于坐标变量易分离
原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
第十一章总结
变力沿曲线所做的功
o Pdx Qdy Rdz
结论：R Q p
(———)dydz (—- y z Z
宀中满足条件直接应用
应用：
不是封闭曲线，添加辅助线
R
)dzdx (
x
Q
x
—)dxdy y
第一类曲面积分投影法
I f(x,y,Zdv :z z(x, y)投影至U xoy面
j2~
I f(x,y,z)dv f(x,y,z(x,y)) 1 z x
z y dxdy
曲面溥片的质量V
D xy
P217-例 1、例 2 质量-面密度类似的还有投影到
yoz面和zox面的公式
面积
(1)投影法
①Pdydz
p(x(y,z),y,z)dyd
yz
:z z(x, y), 为的法向量与x轴的夹角
前侧取“ +”，cos 0 ;后侧取“'，cos 0
◎Qdzdx p(x, y(x,
D yz P226-例 2
第二类曲面积分:y y(x, z), 为的法向量与y轴的夹角
右侧取“ +”，cos 0 ;左侧取“”，cos 0
③Qdxdy Q(x, y, z(x,
y))dxdy yz
:x x(y, z), 为的法向量与x轴的夹角
I Pdydz Qdz( 仪甲侧取“ +”，cos 0 ;下侧取“，cos 0
(2 )高斯公式右手法则取定的侧
条件：① 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧
流体流向曲面一②P，Q R具有一阶连续偏导数
侧的流量
P Q R P231-例 1、例 2 结论：o Pdydz Qdzdz Rdxdy ( )
x y z
宀中满足条件直接应用
Kv田・
应用:
不是封闭曲面，添加辅助面
(3)两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdx(y (Pcos Qcos Rcos )dS
P228-例 3
转换投影法：dydz ( _z)dxdy dzdx ( z )dxdy
x y
所有类型的积分：
①定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限；
(2D性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
③对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章总结
用收敛定义，lim s n存在
n
O若级数收敛，各项同乘同一常数仍收敛
㊁两个收敛级数的和差仍收敛
般
项
级
数
常数项级数的基本性质
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散
◎去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性
@若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级
数仍收敛，且其和不变。
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数
也发散注：收敛级数去括号后未必收敛
常
数
项
级
数
交错-级
数'—
莱布尼茨判别法
比较判别法
常数项级数的基本性质
◎（必要条件）一如果级数收敛则Iim u n—O
n 0
若U n U n 1且lim U n 0，则(1)八口n收敛
n
n 1
U n和V n都是正项级数，且U n v n.若V n收敛，则
U n也收敛；若U n发散，则V n也发散•
正
项
级
数
比较判别法
的极限形式
比值判别法
根值判别法
U n和V n都是正项级数，且lim U n n V n
,U n与V n同敛或同散；◎若l
也收敛；©如果I
v n发散,
l ,则◎若
0 , v n收
u n也发散。
U n是正项级数，
n U n
j ■
，lim n U n
n i
，则1时收
1( 1时可能收敛也可能发散.
）时发散;
敛;
展
成
幕
级
数
直接展开：泰勒级数间接展开：六个常用展开式
x n( 1 x 1) e x
n 1
+ x n (
n 1 n!。