椭圆的几何性质(二)

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椭圆几何性质2

∵||PPFF11||＝＋3|P|PFF2|2＝| 4
∴||PPFF12||＝＝31
∴P 到左准线距离 d＝|PeF1|＝6.
• 【答案】 6
练习．设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率 e＝ 22，点 F2 到右准线 l 的距离为 2.求 a、 b 的值；
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点F
的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l M
H
F
第二定义
动画
新知探究
a2
直线 x c 叫做椭圆相应于焦
点F2(c，0)的准线，相应于焦点
F1(－c，0)的准线方程是 x a2
y
c
a2 x
c
F1 O F2
x a2 c
y
P
30°
2c
F1 (-c,0) o2c
F2
(c,0)
c
2c=3a/2
x
x=3a/2
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆
长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角
三角形，求椭圆的离心率.
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的离心率。
e c a
a2=b2+c2 (a b 0)
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

椭圆的几何性质2(第二定义)-PPT

2
2
x
y
＋＝1上的点,P
100 36
2.已知P是椭圆
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
的距离为_________.
x 2 y2
3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到
两准线的距离.
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴
端点与最近的焦点相距为1、与相近的一
x
∵ |MF2| =e
|MB|
∴ |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0
a2
x
c
注:所用焦点要与准线同侧,
焦点在y轴的同理可得.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
椭圆中的特殊三角形及通径
y
D (0, b)
A
(a, 0)
b a
Oc F
在Rt⊿OFD中，
常数e是椭圆的离心率.
y
x2 y2
对于椭圆 2 2 1(a b 0)
M
a b
(, 0)
相应与焦点 2
的准线方程是
x
2
2 =
a
c
0

(0
2
< a

<x1)
=
c
“三定”：
定点是焦点；
定直线是准线；
定值是离心率。
2
2
x 由椭圆的对称性,相应与焦点
2
=
′ (−, 0)
椭圆的几何性质2(第二定义)
标准方程
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b

2.1.2椭圆的几何性质2

c e a
a2=b2+c2
思考 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过直线 3 x 4 y 12 0 和两坐标轴的交点;
6 ⑵经过(3，0)点且离心率等于 ; 3
14 ). ⑶经过两点 (2, 2 ) 与 (1, 2
25 例 2 : 点M( x, y )与定点F(4,0)的距离和它到直线l : x = 4 4 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹. 5
（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹
（2）给椭圆下一个新的定义
平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e c (0 e 1) 的点的轨迹.
a
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
x 2 y 1 上的点的思考: 焦点 F(1，0)到椭圆 2 1 . 2 最大距离是 2 2
x y 2 1 上的任一点, 则解:设 P ( x0 , y0 ) 椭圆 2 2 2 2 x ∵ PF ( x0 1) y0 ( x0 1)2 1 0 2 x0 2 x02 4 x0 4 x0 2 = = 2 x0 2 = 2 2 2
∵ 2 ≤ x0 ≤ 2 ∴当 x0 2 时, PF 取得最大值为 1 2
(4)求经过点A(3 , 3 ),B(2,3)的椭圆的标准方程。
椭圆的几何性质 (二)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
----坐标法求轨迹方程 2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时
当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:

椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案

3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。

§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)

>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根，因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，，所以方程（则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线已知直线， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理的位置关系。的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？变式：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？变式：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5

椭圆的几何性质(二)PPT教学课件

(1).若椭圆
k
x
2
8
+
y
2
=1的离心率为
0.5，则：k=___54 _或_4
9
(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=_____5_____
2020/12/10
6
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/10
7
e
c a
的代换，通过方程思想求e
3、在椭圆中涉及焦点三角形的问题的时候，要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理和相似全等三角形等知识
例2、设M点是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠F1MF2=900，求此椭圆的离心率的
Y
范围
M
问题的关键是寻找a、c的不等关系
椭圆的几何性质（二） -------离心率
例题讲解
例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， PF2∥AB，求此椭圆的Y离心率；
PB
A
F1
F2
X
感悟：
1、在求离心率时，一般寻找a、c 的等量关系；
2、除了用b2=a2-c2外还可用
F1 O F2
X
1、从等式中找不等式：先找a、c的等量关系，再利用基本不等式（放缩）或椭圆的x、y的范围找到a、c的不等式。
2、直接找a、c的不等关系，包括与b的不等关系。
反馈练习Biblioteka 1、设椭圆x2y2 a2 b2
1ab0上有点P使

椭圆的简单几何性质(第二课时)

2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
知识回顾上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值，有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点，例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5，求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究判断直线与椭圆的位置关系的方法.

椭圆的简单几何性质(第二课时)

学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质（第二课时）【自学导引】动点M与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x ＝的距离的比是常数(a>c>0)，则动点M的轨迹是椭圆，定直线l叫做椭圆的准线．准线与长轴所在的直线所夹的角为90°．【思考导学】已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是椭圆．【典例剖析】［例1］已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．证明：椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点F1(－c，0)、F2(c，0)，相应的准线方程分别是x ＝－和x ＝．∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率．∴＝e ，＝e．化简得：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0．点评：｜PF1｜、｜PF2｜都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径．｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点．［例2］已知点A(1，2)在椭圆＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2．∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为．设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|．∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d．由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|P A|＋d最小．把y＝2代入＝1得x＝(负舍之)，即P(，2)为所求．点评：由＝得d＝2|PF|是求P点的关键．［例3］在椭圆＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．解：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．∵椭圆的准线方程为x＝±，∴，∵｜PF1｜＝2｜PF2｜，∴，∴x＝．把x＝代入方程＝1得y＝±．因此，P点的坐标为(，±)．点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离(焦半径)问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式．如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式．【随堂训练】1．椭圆＝1(a＞b＞0)的准线方程是( )A．y＝±Ｂ．y＝±Ｃ．y＝±Ｄ．x＝±解析：∵椭圆焦点在y轴上，且c＝∴椭圆的准线方程为y＝±．答案：Ｂ2．椭圆＝1的焦点到准线的距离是( )A．和B．和C．和D．解析：∵a2＝9，b2＝4，∴c＝，∴椭圆的焦点坐标为(±，0)，椭圆的准线方程为x＝±．∴椭圆的焦点到准线的距离为＝和＝答案：C3．已知椭圆＝1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为( )A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解析：由＝，＝，得a2＝16，＝4．答案：D4．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝0．8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是( )A．＝1或＝1B．＝1或＝1C．＋＝1D．＝1解：设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．由题意，得解这个方程组，得．∴所求椭圆的方程为：＝1或＝1．答案：A5．已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆的方程为( )A．＋y2＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由－(－c)＝，＝得a2＝4，b2＝1．答案：A6．椭圆＝的离心率为( )A．B．C．D．无法确定解析：由＝知e＝．答案：B【强化训练】1．椭圆＝1和＝k(k＞0)具有( )A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴解析：把方程＝k写成标准形式＝1．且当a＞b＞0时，两椭圆的离心率分别为和，两椭圆的离心率相等．当b＞a＞0时，两椭圆的离心率分别为，两椭圆的离心率相等．答案：A2．椭圆＝1上点P到右焦点的最值为( )A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1解析：e＝，设两焦点分别为、由焦半径公式得|PF2|＝5－x0，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时|PF2|min＝1，当x0＝－5时，|PF2|max＝9．答案：D3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A．B．C．D．解析：∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形．∴a＝2c，＝．答案：D4．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：椭圆的两准线之间的距离为－(－)＝．∴由题意，得＝4³2c，∴＝．答案：D5．椭圆＝1的准线平行于x轴，则m的取值范围是( )A．m＞0B．0＜m＜1C．m＞1D．m＞0且m≠1解析：∵椭圆的准线平行于x轴，∴，即．∴答案：C6．椭圆＝1上的点P到左准线的距离是2．5，则P到右焦点的距离是________．解析：∵P到左准线的距离为2．5，∴＝e，而e＝，∴｜PF1｜＝2．5³＝2，∴｜PF2｜＝2³5－2＝8．即P到右焦点的距离为8．答案：87．椭圆的长轴长是______．解析：把椭圆的方程可写成，（4x－3y－33≠0）∴①一个焦点是(－1，1)，相对应的准线方程是4x－3y－33＝0，∴②由①、②得a＝，∴2a＝．答案：8．AB是过椭圆＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长．解法一：不妨取F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝(x－1)代入椭圆方程并整理得：19x2－30x－5＝0设A(x1，y1)，Ｂ(x2，y2)，则∴｜AＢ｜＝｜x1－x2｜＝解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，F为右焦点．∵∠AFx＝，∴x1－c＝｜FA｜cos，x2－c＝｜FB｜cos(＋π)，∴｜FA｜＝a－x1＝．｜FB｜＝a－x2＝∴弦AB的长为：｜FA｜＋｜FＢ｜＝9．已知椭圆的一个焦点是F(1，1)，与它相对应的准线是x＋y－4＝0，离心率为，求椭圆的方程．解：设P(x，y)为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F(1，1)与它相对应的准线是x ＋y－4＝0，离心率为，∴，∴4(x－1)2＋4(y－1)2＝(x＋y－4)2．即3x2＋3y2－2xy－8＝0为所求．10．已知点P在椭圆＝1上(a＞b＞0)，F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|²|PF2|的取值范围．解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y＝±，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则∴|PF1|＝y0＋a，|PF2|＝a－y0，∴|PF1|²|PF2|＝(a＋y0)(a－y0)＝a2－y02∵－a≤y0≤a∴当y0＝0时，|PF1|²|PF2|最大，最大值为a2．当y0＝±a时，|PF1|²|PF2|最小，最小值为a2－c2＝b2．因此，|PF1|²|PF2|的取值范围是［b2，a2］．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±，但必须注意这是椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。

(第5课时)椭圆的简单几何性质(2)

课题：8．2椭圆的简单几何性质（二）教学目的：1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性； 3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程教学难点：椭圆第二定义授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：12222=+by ax ，12222=+bx ay （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by ax (0>>b a )(1)范围: ax a ≤≤-,by b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+b y a x 的顶点椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by ax 的顶点因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ac e =⇒e =10<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4. 回顾一下焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：22)(y c x +-＋22)(y c x ++＝a 2 ⑴⇒)()(222x caa c x a ca yc x -=-=+-，即ac cax y c x =-+-222)( ⑵同时还有 ac cax y c x =--++)()(222(3)观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义二、讲解新课：1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2．椭圆的准线方程对于12222=+by ax ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线cax l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线cax l 22:=对于12222=+bx ay ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线cay l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ay l 22:=准线的位置关系：caa x 2<≤焦点到准线的距离cbcc a c cap 2222=-=-=（焦参数）其上任意点),(y x P 到准线的距离：（分情况讨论）点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称三、讲解范例：例1 求下列椭圆的准线方程：（1）4422=+y x (2)1811622=+yx解：⑴方程4422=+y x 可化为1422=+yx，是焦点在x 轴上且1,2==b a ，3=c 的椭圆所以此椭圆的准线方程为 334±=±=x⑵方程1811622=+yx是焦点在y 轴上且4,9==b a ，65=c 的椭圆所以此椭圆的准线方程为 65816581±=±=y例2 椭圆13610022=+yx上有一点P ，它到椭圆的左准线距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离解：椭圆13610022=+yx的离心率为54=e ，根据椭圆的第二定义得，点P 到椭圆的左焦点距离为 810=e 再根据椭圆的第一定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12四、课堂练习：1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程（1）13610022=+yx（2）8222=+y x答案：⑴焦点坐标)0,8(),0,8(21F F -；准线方程8100±=±=x ⑵焦点坐标)2,0(),2,0(21F F -；准线方程428±=±=x 2．已知椭圆的两条准线方程为9±=y ，离心率为31，求此椭圆的标准方程答案：19822=+yx五、小结：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来上面)()(222x ca a c ya x -=+-（2）即ex a x ca a c ya x -=-=+-)()(222 同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益。

椭圆的几何性质第二定义课件

椭圆的几何性质证明
01
02
03
04
椭圆的性质证明
通过椭圆的定义和标准方程，可以推导出椭圆的性质，如范
围、对称性、顶点等。
椭圆的范围
由椭圆的标准方程可知，椭圆位于x轴和y轴之间，其边界
是x=±a和y=±b。
椭圆的对称性
椭圆关于坐标轴和原点对称。
椭圆பைடு நூலகம்顶点
椭圆的顶点是x轴与椭圆的交点，即A1(-a,0)和A2(a,0)。
以参数t为变量，将椭圆的一般方程化为参数方程的表达式。
参数t的几何意义
参数t表示椭圆上任意一点P(x,y)在椭圆上的运动时间。
椭圆的参数方程的特点
椭圆的参数方程将椭圆的几何性质转化为函数关系，便于研究椭圆的性质。
椭圆的参数方程推导
从椭圆的一般方程出发，通过三角代换，得到椭圆的参数方程。
三角代换的原理：利用三角函数的性质，将一般方程中的x和 y用参数t表示。
连。
位置
焦点到椭圆中心的距离等于半长轴的长度。
与椭圆的关系
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数（即半长轴的长度）。
椭圆的离心率
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定义
椭圆的离心率是椭圆中心与焦点的距离与半长轴的比值。
公式
离心率 = 焦点到椭圆中心的距离 / 半长轴的长度。
与椭圆形状的关系
离心率越大，椭圆的形状越扁平；离心率越小，椭圆的形状越接近于圆形。
椭圆的几何性质第二定义课件
目录
• 椭圆的基本性质 • 椭圆的焦点和离心率 • 椭圆的切线性质 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的几何性质总结
01
椭圆的基本性质

椭圆的简单几何性质(二)精品教案

2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考点与椭圆有几种位置关系？答案三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外. 设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.知识点二直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有哪几种位置关系？答案三种位置关系：相离、相切、相交.思考2 我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？答案不能.思考3 用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？答案代数法——判断直线与椭圆公共点个数来确定. 直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程.知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？答案弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； (2)|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率).其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到.类型一直线与椭圆的位置关系例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定答案 A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交. (2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围.解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点. (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点. (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案 (1)C (2)C解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点.(2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.类型二直线与椭圆的相交弦问题例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程. 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310. (2)方法一设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系. 跟踪训练2已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，a 2＝b2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，可得|m |＜52，(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－4m 25＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，化为x 2－mx ＋m 2－3＝0，可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3， ∴|AB |＝ ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得 4－m 25－4m2＝1，解得m ＝±33满足(*). 因此直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.类型三椭圆中的最值(范围)问题例3 已知焦点在x 轴上的椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值. 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2，1PF Q S ∆＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2.1PF Q S ∆＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴1PF Q S ∆＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴1PF Q S ∆∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时1PF Q S ∆最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则1PF Q S ∆＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值.(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. 跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段|AB |长度的最小值.解 (1)椭圆C ：x 2＋2y 2＝4化为标准方程为x 24＋y 22＝1，∴a ＝2，b ＝2，c ＝2， ∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设A (t,2)，B (x 0，y 0)，x 0≠0，∵OA ⊥OB ， ∴OA →·OB →＝0，∴tx 0＋2y 0＝0，∴t ＝－2y 0x 0，又∵x 20＋2y 20＝4，∴0＜x 20≤4.∴|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝x 202＋8x 20＋4≥4＋4＝8，当且仅当x 202＝8x 20，即x 20＝4时等号成立， ∴线段|AB |长度的最小值为2 2.1.点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A.－2＜a ＜ 2B.a ＜－2或a ＞ 2C.－2＜a ＜2D.－1＜a ＜1答案 A解析由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.2.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交答案 C解析把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离. 3.椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C.1 D.3 答案 B解析椭圆的右焦点为F (1,0)，由点到直线的距离公式得d ＝33＋1＝32.选B. 4.椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A.3B.11C.2 2D.10解析设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0. Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m 24－4＝0，即－m 2＋32＝0， ∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|－2－42|5＝10. 5.若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |＝__________.答案423解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，解得A ，B 两个不同的点的坐标分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－43，－13，故|AB |＝169＋169＝423. 6.经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为__________.答案 2b 2a解析 ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 4a 2， ∴|y |＝b 2a ，故弦长为2b 2a.解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1.已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( ) A.b 2 B.ab C.ac D.bc答案 D解析当直线AB 为y 轴时面积最大，|AB |＝2b ，△AFB 的高为c ，∴此时S △AFB ＝12·2b ·c ＝bc .2.已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A.k <－22或k >22 B.－22<k <22 C.k ≤－22或k ≥22 D.－22≤k ≤22答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点. ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 3.直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( )A.2x －3y －1＝0B.3x －2y －4＝0C.2x ＋3y －7＝0D.3x ＋2y －8＝0答案 D解析根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为y －1＝－32(x －2)，∴化简得3x ＋2y －8＝0.4.若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个答案 A解析若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，即m 2＋n 24<1.∴m 29＋n 24<1， ∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点.5.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2.由题意知椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P (x ，y )，则|OP |min ＝b ， ∴c <b ，即c 2<a 2－c 2.解得e ＝c a <22.∵0<e <1，∴0<e <22. 6.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76 答案 B解析椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1，∴F (－2，0).又∵直线AB 的斜率为3， ∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由⎩⎨⎧y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4，得7x 2＋122x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87，∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝167.二、填空题7.已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.答案 27解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.8.以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________.答案 2－1或22解析当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m (1＋2)m ＝2－1. 9.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________.答案 53解析直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积). 三、解答题10.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程.解由题意得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12， ∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. 11.已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围.解 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)>0，即m 2<7，解得－7<m <7.即m 的取值范围是(－7，7).12.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程. 解由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1. 13.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程.解由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a . ∴椭圆C 的方程为x 2a 2＋9y 25a2＝1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝⎛⎭⎫x －23a ，与①联立得 32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0，解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8. 由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2|a 4－7a 8|＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5. ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

教案2：椭圆的简单几何性质(2课时)

椭圆的简单几何性质（一）教学目标：知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。

情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。

重点难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。

难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

教学过程（一）复习与引入过程：引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④探究椭圆的扁平程度量----椭圆的离心率．〖板书〗椭圆的简单几何性质．（二）新课探析（1）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（2）椭圆的简单几何性质：①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ．（3）例题讲解与引申、扩展例1、求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=．例2、如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-．（三）课堂练习：（四）反思小结：（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的c b a ,,。

《椭圆的几何性质》2

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y
5.

1.
100 64
x2 y 2
3.
1.
34 25
x2 y 2
x2 y 2
6.
1或
1.
25 16
16 25
3
复习练习
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴都对称的是( D ）
y
就是椭圆的焦半径公式.
y
M
F1 O
2
椭圆 2

2
+ 2

M
F2
|MF1|＝a＋ex0 |MF2|＝a－ex0
讲
课
人
：
邢
启
强
O
F1
x
= 1 > > 0 的焦半径公式是
F2
2
椭圆 2

2
+ 2

x
= 1 > > 0 的焦半径公式是
|MF1|＝a+ey0
|MF2|＝a-ey0
17
5、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心
1
率为
。
1
2
6、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率为
3。
7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同
的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，

椭圆的几何性质2

三、简单最值问题
1.P是椭圆
x
2

y
2
4
3
1 上点,F1、F2是两焦点,则
|PF1|· 2|的最大值与最小值的差是_______ |PF 2.已知 O 和 F 是椭圆
x
2
P y 1 的中心和左焦点，
2
2 为椭圆上任一点，求 O P
2
PF
2
的最小值
四、直线与椭圆弦长公式 | P P | 1 2
1 k 1 k
2
2
| x1 x 2 |

1
| y1 y 2 |
已知椭圆 m x n y 1, 直线 y x 1与该椭圆交与 P , Q 两点
2 2
且 OP OQ , PQ =
10 2
，求椭圆方程
一、基本量的计算
2 2 1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为_____
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心
1
率为_____ 2
1
3 3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为__ 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=___ 3
5
2
性
顶点坐标
c
c
a , 0 , 0, b
e c a ( 0 e 1)
b, 0 , 0, a
e c a (0 e 1)
质
离心率焦半径
P F1 a ex 0
P F 2 a ex 0
PF1 a ey0
PF2 a ey0
二、求椭圆方程

人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。

作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。

因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

重点：椭圆的方程及其性质的应用难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。

高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。

二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。

本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。

这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。

本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。

三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。

情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。

2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。

四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。

难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。

五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。

2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。

椭圆的几何性质(第二课时)

圆的性质 • 椭圆的焦点与准线 • 椭圆的切线性质 • 椭圆的面积与周长
01
椭圆的定义与标准方程
椭圆的定义
01
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1F_2$）的点的轨迹。
02
这两个定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴长。
周长与面积的关联性
虽然椭圆周长和面积的计算公式不同，但它们之间存在一定的关联性。具体来说，当长半轴长度增加时，椭圆的周长和面积都会增加；而当短半轴长度增加时，椭圆的周长会增加，但面积会减小。
几何关系
通过几何关系可以发现，当长半轴长度增加时，短半轴长度会相应地减小，因此导致椭圆形状变得更扁。这种变化趋势会影响到椭圆的周长和面积。
分别相交。
性质
准线的位置与椭圆的形状和方向无关，但与椭圆的长轴和短轴长度有关。
计算
对于给定的椭圆，可以通过长轴和短轴的长度计算出准线的位置。
椭圆的焦距
定义
椭圆的焦距是指两个焦点之间的距离，也称为焦距。
性质
焦距的大小与椭圆的长轴和短轴长度有关，可以通过长轴和短轴的长度计算出焦距。
计算
对于给定的椭圆，可以通过长轴和短轴的长度计算出焦距的大小。
椭圆的焦点与准线
椭圆的焦点
01
02
03
定义
椭圆的焦点是两个点，位于椭圆之外，与椭圆上的任意一点P的距离之和等于椭圆的长轴长。
性质
焦点的位置与椭圆的形状和方向无关，但与椭圆的长轴和短轴长度有关。
计算
对于给定的椭圆，可以通过长轴和短轴的长度计算出焦点的位置。
椭圆的准线
定义
椭圆的准线是两条与椭圆相切的平行线，它们与椭圆的两个焦点