2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题(含答案)

下表格：
若在上述表格中任意取定 k 个数，可以唯一确定出 n 个数 a1, a2 ,an , 请求 k 的最小值.
15．设 an,bn 为实数列，证明
2020
m,n1
1
1
ambn
m n
2
2
2020 m 1
am2
2
2020 n 1
bn2
2
.
2020 年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
4
4
44
8．已知由 6 个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是 4 的倍数，十位和百位上的数字都 是 3 的倍数，且六位数的数码和为 21，则满足上述条件的六位数的个数为 ▲
9 ． 一 个 正 整 数 若 能 写 成 20a 8b 27c(a, b, c 为 非 负 整 数 ) 形 式 ， 则 称 它 为 “ 好 数 ” 。 则 集 合 {1, 2,, 200} 中好数的个数为 ▲
解答 （1）由数学归纳法证明得 an n 1 n 。
（5 分）
（2）由于 bn n 1 n ，得
Sn n 1 1,
（10 分）
由 n 2 (Sn 1) n 101 得到
7
n2 n 1
100 n 1
n 1，
上式对任意的正整数成立，则 6 ( 2
n n
2 1
)
max
(
100 n 1
1
31
3
1
解析：不妨设 r 2 t r -t 2 ，由条件 r3-r 3 0 -t 2 t 2 3 0 -t 2 t 2 3
1
r 4-r 2 3r 0 t 2-t-3t 2
1
0 t2
1
t 2-t
， r 6-r 4 3r 3
3
0 t 3-t 2-3t 2
0
3
(1 ,1) 3
。（20
分）
1
13. 已知函数 f ( x) x 1 e x a 。
（1）若 f ( x) 0 恰有三个根，求实数 a 的取值范围；
（2）在（1）的情形下，设 f ( x) 0 的三根为 x1, x2 , x3 ，且 x1 x2 x3 ，证明 x2 x1 a 。
解答：
2
5．在四面体 P-ABC 中，棱 PA，AB，AC 两两垂直，且 PA=AB=AC，E，F 分别为线段 AB，PC 的中点， 则直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为______.
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设 PA AB AC 2 ,则有：
P0,0,2 B2,0,0 C0,2,0
13．已知函数
f
x
|
1
x 1|e x
a.
(1)若 f x 0 恰有三个根，求实数 a 的取值范围
(2)在(1)的情形下，设 f x 0 的三根为 x1, x2 , x3 且 x1 x2 x3 , 证明 x2 x1 a. 14．设正整数 n 3, 已知 n 个数 a1, a2 ,, an ,记两两之和为 by ai a j i j , 得到如
r 6-r 4
3r3
3
0 t 3-t 2-3t 2
0 t 3-t 2
- 33
1 3
t 3-t
0
化简有： t3-2t 2 t-9 0 ，即方程为： x3-2x2 x-9 0
2．已 知f a min x2 2x 1 , ，则 f a 在 1,1 上的最大值为 ▲ x[ a ,a 1]
解答 （1）设椭圆的长半轴长为 a, 短半轴长为 b, 则有 a2 b2 3 , ab 1 ，解得， a 1, b 1 ，所
a
2
2
2
以椭圆 C 的方程为 x2 4 y2 1 。
（5 分）
（2）设直线 l 的方程为 x my , 设两个交点坐标为 A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) 。
n 1)min 20 ，（15 分）
即 6 20 。 2
（20 分）
12. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ，且椭圆 C 的任意三个顶点构成的三角形面 2
积为 1 。 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过 P(, 0) 的直线 l 与椭圆交于相异两点 A, B ，且 AP 2PB ，求实数 的范围。
（5 分）
（2）当 n 4 时。显然由 k C32 1 4 ，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。
当 k 4 时，如果 b21, b31, b42 , b43 这 4 个值，也无法确定出 a1, a2 , a3, a4 。
当 k 5 时，若已知 b21, b31, b32 , b41, b42 , b43 中任意五个数的值。不妨设 b21 的值未知，则由 b31, b32 , b42 , b43 可
由韦达定理得
y1
y2
2m m2 4
,
y1 y2
2 m2
1 4
，联立①得到
8
2(
2m m2 4
)
2
2 m2
1 4
0
m2
4(1 2) 92 1
………………④
（15 分）
又 1， 1 不符合题意。 3
把④代入③得到
4(1 2) 9 2 1
4( 2
1)
1 9
2
1
(1, 1 ) 3
b21
b31,
b32
………………………
bn1, bn2 , ………………… , bn,n1
若在上述表格中任意取定 k 个数，可以唯一确定出 n 个数 a1, a2,, an ，求 k 的最小值。
解答 （1）当 n 3 时，显然由 b21 a2 a1,b32 a3 a2 ,b31 a3 a1 才能唯一确定出 a1, a2, a3 ，此时 k 3 。
则 OD 2a OD-OE ED ，易求得点 E 2
2,2
2
，结合图像可知
ED
5 2
,
7 .
7． 设 z 为 复 数 ， 且 |z|=1． 当 |1 z 3z2 z3 z4 | 取 得 最 小 值 时 ， 则 此 时 复 数 z ▲ ,或
▲.
解析：设 z cos θ i sin θ 1 cos θ-i sin θ z 1 2 cos θ ，且 z 2 z2 1；
解析：有条件可知 a，a 1 -1,2，且满足每段区间长度为 1，如图，初始区间为 -1,0，此时 f amin f 0 -1，在 AB 向下滑动至终点 D 过程中，其它段的最小值点始终在 B 下方， f a在 -1,1上的最大值为 f 0 -1.
1
方法二：当 a -1,0， f a a2-2 ，当 a 0,1， f a -2 ， f amin -1.
PPCB
2,0,2 0,2,2
，
易得
一
个法
向量
为
e
1,1,1 ，
E1,0,0
F
0,1,1
EF
1,1,1
sin θ cos e，EF e EF 1 . e EF 3
6．设平
面
上不
共
线的
三
个单
位向
量
→ a，
→→ b ， c ，满
足
a
b
c
0.
若
0
t1,
则
|
2a
tb
1
t
c
|
的取值范围为 ▲
（解答题严格按照上述标准给分，分数整 5 整 10，不给其他过度分数。）
11. 已知数列{an}，且 a1
2 1， an n an1 n 1
1
1 n
(n
2, 3, )
，令 bn
1 an
，记数列{bn}的前 n
项和为 Sn 。
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若对任意的 n N * ， n 2 (Sn 1) n 101 恒成立，求实数 的取值范围。
z
z
于是： 1 z 3z2 z3 z4
1 z 3z2 z3 z4
z2
1 z2
1 z
3
z
z2
1 z 2 1 z 1 z z
4
4cos2 2cos 1 4 cos 1 2 3 3 ，此时 cos - 1 sin 15 z - 1 i 15 .
4 4 4
二、解答题 (1113题, 每题 20 分；14，15 题，每题 30 分，合计 120 分)
11.已 知 数列 {an}， 且 a1
2 1,, 令 an n an1 n 1
1
1 (n n
2, 3, ),
令 bn
1 an
,记数 列 {bn} 的 前
n
项和为 Sn .
(1)求数列{an}的通项公式;
一、填空题（每题 8 分，共 80 分） 1. x3 2x2 x 9 0 2. 1 3. 16 4 2 （每个答案给 4 分，满分 8 分）
6
3
4.
3 1
5.
3
6. [5 , 7] 2
7.
（每个答案给 4 分，满分 8 分）
Байду номын сангаас8. 126 9. 153 10. 912 二、解答题（共五题，11-13 各 20 分，14、15 各 30 分，合计 120 分）
由 AP 2PB ，得到 y1 2 y2 。………………………………①
（10 分）
x2 4y2 1
联立方程组
x
my
得到 (m2 4) y2 2my 2 1 0 ……②
显然， y1, y2 为方程②的两个相异的实根，则有
(2m)2 4( 2 1)(m2 4) 0 m2 4( 2 1) …………③
9
注意到 f x 的单调性，有 x1 x4 , x2 x5 .
（15 分）
通过解二次方程可以解得 x4
a
a2 2
4 , x5
a
a2 4
，
2
则有 x2 x1 x5 x4 a .
（20 分）
14. 设正整数 n 3， 已知 n 个数 a1, a2,, an ，记两两之和为 bij ai a j (i j) ，得到如下表格：
（1） x
1时，
f
x
x
1
e
1 x
，
f 'x 1
1 x
1 x2
e
1 x
0
x
1时，
f
x
x
1
e
1 x
，
f 'x
1
1 x
1 x2
e
1 x
0
所以函数 f x 在 , 1 , 1,0 , 0, ，
且 f (x) (x ), f (1) 0, f (0 ) , f (0 ) 0,
故a 0
3
解析：构造如图所示图形，令 OA a ， OB b ， OC c 由条件可知 O 为△ABC 的重心，且
OA OB OC ，则 O △ABC 的外心，即△ABC 为等边三角形；
设 tb 1-t c OD ，由系数和为1，可知点 D 在线段 BC 上，延长 OA 至点 E ，使得 OE 2OA ,
1，解出
x
即可.
x
4.设
x
R, 则
y
2
sin x cos
x
的最大值为
▲
解析： sin x t sin x t2- cos x t cos x sin x 2t ，t cos x sin x t 2 1 sinx φ
2- cos x
t 2 1 2t -
3 t 3
3 3
tmax
3. 3
3．某竹竿长为 24 米，一端靠在墙上，另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地 面的垂直距离都是 7 米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为 ▲ 米，或
▲ 米.
解析：设 EJ x JI 24-x
则
sin θ cos θ
7 24-x 7
7 24-x
2
7 x
2
（5 分）
（2）设 g(x) x 1 ，下证 g(x) f x在 x ,0 上恒成立.
x
即证
x2
1
1
1
x 1e x ，变形得到 e x
1 1
，在 x ,0 上，显然成立.
（10 分）
x
x
设 gx a 在 x ,0 上有两解 x4 , x5 ，且 x4 1 x5 .
可得： f x1 a gx4 f x4 ， f x2 a gx5 f x5
(2)若对任意的 n N*, n 2 S n 1 n101 恒成立，求实数λ的取值范围.
12．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ，且椭圆 C 的任意三个顶点构成的三 2
角形面积为 1 . 2
(1)求椭圆 C 的方程
5
(2)若过 P(λ,0)的直线 l 与椭圆交于相异两点 A，B，且 AP 2PB, 求实数λ的范围.
2020 年全国高中数学联赛浙江赛区[链接]初赛试题 (说明：本试卷满分 200 分，共 10 道填空题，5 道解答题。题目的答案请写在答题纸上) 一、填空题(每题 8 分共 80 分)
1．设 r 为方程 x3 x 3 0 的解，则以 r 2 为其解的首项系数为 1 的整系数一元三次方程为 ▲
10.设i1, i2,in, 是集合 {1, 2,, n} 的一个排列如果存在 k<且 ik it ，则称数对 ik ,it 为一个逆序，排
列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数。比如，排列 1432 的逆序为 43，42，32，此排列的
逆序数就是 3．则当 n=6 时，且 i3 4 的所有排列的逆序数的和为 ▲