三角形的分割一-

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怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD ，我们再分三种情形讨论：(1)若ADBDDC ,则有BBAD ,CDAC ，又180BBADDACCBBACC，2（BAD+DAC ）=180．90BAC．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷）(2)若AD BD ,ACDC ,则有B BAD ,DACADC ，3BACBADDACBADADCBADBBADB ．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ,显然B BAD ,C ADC ,2CADCBBADB ．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系；2．若AB AD ,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC ，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系；(２)若ADAC ，显然∠Ｂ＝∠ADB ，CADC ，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC 不成立；(３)若AC DC ，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC 不成立．３．若AB BD ,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC ，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(２)若ADAC 类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC 不成立；(３)若AC DC ,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC 不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ，AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α．再分三种情况讨论：①∠BAC ＞α；βCABD图2C A BD22图3CABD图4在BC上取一点D，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB，AD=AC，即△ABD与△ADC均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．B C BAC，180BAC．2180又∵∠BAC＞α，2180．45．290．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴4α=180°．∴2α=90°．此时△ABC为直角三角形，从锐角顶点A出发不能把△ABC分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C，仍能把△ABC分成二个等腰三角形．③∠BAC＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴α+α+2α＞180°．∴4α＞180°，∴2α＞90°，∴∠C=2α＞90°．此时△ABC为钝角三角形, 从最小角顶点A出发不能把△ABC截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC，或∠B=2∠BAC，或∠C=3∠BAC时分别从顶点B、顶点C、顶点C出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数．应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)，(,,2),,)3,,((,3,3)，(,2,2)，中的一种．根据三角形内角和等于180。

分割三角形个数的公式

分割三角形个数的公式在我们的数学世界里，三角形那可是个相当重要的角色。

今天咱们就来好好聊聊怎么通过一个神奇的公式来搞清楚能从一个大三角形里分割出多少个小三角形。

记得有一次，我带着学生们在课堂上做一个有趣的小实验。

我在黑板上画了一个大大的三角形，然后让同学们开动脑筋，想想怎么把它分割成更多的小三角形。

有的同学拿起尺子，认真地比划着；有的同学皱着眉头，苦思冥想；还有的同学已经迫不及待地开始在本子上画了起来。

这场景，真像一群小探险家在努力寻找宝藏的秘密通道。

咱们先来说说最简单的情况。

如果是把一个三角形平分成两个，那太简单啦，就是从一个顶点向对边引一条线段就行。

可要是想分得更多呢？这就需要咱们的公式出马啦。

对于一个三角形，如果我们从一个顶点向对边引 n 条线段，那么这些线段和对边的交点会把对边分成 n + 1 段。

而每一段和顶点相连，就会形成一个新的三角形。

所以，通过这样的分割，总共能得到的三角形个数就是1 + 2 + 3 + … + (n + 1) 个。

比如说，从一个顶点向对边引 3 条线段，那对边就被分成了 4 段。

按照公式，能得到的三角形个数就是 1 + 2 + 3 + 4 = 10 个。

再举个例子，假如我们要把一个三角形分割得特别细，从一个顶点引了 5 条线段到对边，那么对边就被分成了 6 段。

这时候能得到的三角形个数就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 个。

这个公式看起来好像有点复杂，但只要多做几道题，多画几次图，就能轻松掌握啦。

回到最开始我们在课堂上的小实验，有个聪明的同学一下子就想到了这个公式，然后兴奋地举手给大家讲解。

其他同学听了之后，恍然大悟，纷纷感叹数学的神奇。

在我们的日常生活中，其实也能发现这个公式的影子呢。

就像我们切蛋糕，如果把一个三角形的蛋糕切成很多小块，其实也能用这个公式来算算一共能切出多少块。

总之，这个分割三角形个数的公式虽然看似简单，却有着大大的用处。

关于一个三角形分割成两个等腰三角形的讨论

关于一个三角形分割成两个等腰三角形的讨论
三角形分割为两个等腰三角形的问题，一直以来都是一个有争议的话题。

尽管它的算法是可以理解的，但仍然存在一些争议。

有些人认为，这是一个非常简单的过程，只需要在原始三角形的边上加入一条线就可以将其分割成两个等腰三角形，而另一些人则认为这是一个复杂的过程，必须结合几何图形原理才能完成。

首先，我们可以使用一些图形算法来分割一个三角形为两个等腰三角形。

首先，我们将原始三角形的三个边分别标记为A，B和C，然后在A边上寻找一个点P，使得PA=PC，这个点就是分割线的位置，分割后就可以得到两个等腰三角形了。

此外，还有一种更简单的办法来分割一个三角形为两个等腰三角形。

首先，我们可以在三角形的任意一条边上，找到两个点，使得它们之间的距离等于原始三角形的其他两条边的距离之和，这样就可以在这两个点之间构建一条分割线，而这条分割线将三角形分割成两个等腰三角形。

不管哪种方法来分割一个三角形为两个等腰三角形，最终所得到的结果都是一样的，都可以将三角形分割成两个等腰三角形。

但我们使用哪种方法来进行分割，这取决于我们的实际需求，如果我们只需要快速分割，那么可以使用第二种方法，如果要精确分割，那么可以使用第一种方法。

总之，三角形分割成两个等腰三角形的问题，一直以来都是一个有争议的话题。

尽管它的算法是可以理解的，但仍然存在一些争议。

不管哪种方法来分割一个三角形为两个等腰三角形，最终所得到的结果都是一样的，而我们使用哪一种方法，取决于我们的实际需求。

三角形边的三等分线分割面积问题证明探究

三角形边的三等分线分割面积问题证明探究在几何学里，三角形是一个有趣的主题。

它象征着鼓励我们去探索和挑战自己，也可以唤起读者对数学知识的好奇心和兴趣。

那么，如何在三角形中寻找三条等分线，用它们以半分的形式将三角形的面积分割？今天，我们就来探究一下如何证明这一特定问题。

一、问题背景1.三角形面积分割问题1.三角形面积分割问题：给定一个三角形ABC，假设将它的边AB的一个点D等分成两等分（即DB：BD=1：1），将CD以D分割成两等分（即DC：CD=1：1），求三角形ABC面积的分割比例。

此问题一般称为三角形面积分割问题，可以通过以下步骤来求解：（1）连结CD，于AB上作AE，与CD平行，得到三角形ADE。

（2）将三角形ADE分割成两个子三角形ABC，ADC，设这两个三角形的面积分别为S1，S2。

（3）由三角形三条边的分割比计算出两个三角形的面积比为r：r＝（AD：AE）＊（DC：CD）＝2：3（4）可知S1：S2＝r：（1－r）＝2：1，也就是说三角形ABC的面积比为2：1。

2.三角形边的三等分线三角形边的三等分线是指，在三角形中，从某边的一点引出一条直线，将该边分割成三等份，其中每两个等份之间的点称为三角形边的三等分点。

由此可见，它是一条连接三角形的三个顶点的虚线。

因此，三角形中的三等分线可以将三角形分成四个小三角形，小三角形的各边与原大三角形的边成比例。

另外，三角形的三等分线经常被用来构建一系列的三角形，如等腰三角形、直角三角形等。

比如，用三角形的三等分线将一个正三角形分成三个等腰三角形；将一个等腰三角形分割成一个钝角三角形和两个直角三角形等。

二、最优解决方案1.三角形边的三等分线能给面积分割带来最优解决方案三角形边的三等分线可以把整个三角形分割成三个小三角形，而每一个小三角形的面积比原来的大三角形的面积都小。

这样，在分割三角形的面积时，利用三等分线分割可以得到更优的解决方案。

以普通三角形AB，AC，BC为例，假设其面积为S，其中AB的中点为D，AC的中点为E，BC的中点为F，则三等分线DF，AE，BF可以把三角形分割成三个小三角形ADF，AEF，BDF，它们的面积分别为S1，S2，S3，且有S = S1 + S2 + S3，即原三角形面积等于三个小三角形面积之和，这样，S1，S2，S3的和比S小，因此三等分线可以给三角形的面积分割提供最优解决方案。

17五年级图形的分割练习题

17五年级图形的分割练习题图形分割是数学中的一个重要概念，在五年级的学习中也占有一定的比重。

通过图形分割的练习，可以提高孩子们对几何图形的理解和应用能力。

下面我将为大家提供一些有趣的练习题，帮助五年级的学生们巩固和提高他们的图形分割能力。

练习题1：三角形的分割问题：将下面的等边三角形分割为4块相等的三角形。

（插入等边三角形的图示）解答：（插入三角形分割答案图示）练习题2：矩形的分割问题：将下面的矩形分割为4块相等的矩形。

（插入矩形图示）解答：（插入矩形分割答案图示）练习题3：正方形的分割问题：将下面的正方形分割为8块相等的小正方形。

（插入正方形图示）解答：（插入正方形分割答案图示）练习题4：圆形的分割问题：将下面的圆形分割为6块相等的扇形。

（插入圆形图示）解答：（插入圆形分割答案图示）通过以上练习题，我们可以看到图形分割有很多种不同的方式。

要想准确进行图形的分割，需要掌握一些基本的原则。

首先，分割后的图形块应当保持相等。

这意味着我们需要仔细计算每个图形块的边长或角度。

其次，分割线应当与图形的边界相切或穿过顶点。

这样才能确保分割后的图形块是连续的。

最后，我们还可以尝试不同的分割方式，发展出自己独特的解题思路。

不同的方法可以激发创造力，增强解决问题的能力。

通过反复练习图形的分割练习题，五年级的学生们将逐渐熟悉各种图形的特点，掌握图形分割的技巧，为更高级别的几何学习打下坚实的基础。

总结：图形分割是五年级数学学习中的重要内容之一。

通过分割图形的练习题，学生们可以提高对各种几何图形的理解和分析能力。

掌握图形分割的技巧，能够激发学生们的创造力和解决问题的能力。

希望以上的练习题对学生们的学习有所帮助，提升他们的图形分割能力。

三角形切割算法

三角形切割算法
三角形切割算法主要用于处理三角形，对其进行分割。

主要有以下两种情况：
1.一种情况是在正负各生成一个三角形；另一个情况是在一侧有一个三角形，
另一侧有两个三角形。

无论哪种情况，关键算法流程都是：顺序访问原三角形的边，设边的第一个顶点是v0，第二个顶点是v1。

如果这个边的两个顶点均在平面一侧，则两个顶点算入平面相应一侧的新多边形。

如果有一个点在平面上，则这个点如果是这个边的第一个顶点，应该在平面两侧的新多边形中都要放。

如果是第二个顶点，则需要判断第一个顶点在平面的哪一侧，并由此将v0、vip、v1按照相应顺序组合，分别放到两侧的多边形中（在这过程中，vip会两侧都放）。

2.另一种算法是基于平面切割三角形的算法。

具体步骤如下：首先确定切割
平面，然后根据切割平面的位置和三角形的顶点顺序，计算切割后三角形的顶点和法向量。

最后根据切割后三角形的法向量和切割平面的法向量，判断切割后三角形的面片方向。

五年级图形分割练习题

五年级图形分割练习题五年级的学生在学习图形分割时，主要是掌握如何将复杂的图形分解成简单的基本图形，比如三角形、矩形、圆形等。

以下是一些练习题，帮助学生加强这方面的能力：1. 三角形分割：- 将一个等边三角形分割成三个等腰三角形。

- 将一个直角三角形分割成两个直角三角形和一个矩形。

2. 矩形分割：- 将一个矩形分割成两个或三个相等的矩形。

- 将一个矩形分割成两个或三个不同大小的矩形。

3. 圆形分割：- 将一个圆形分割成扇形，注意扇形的圆心角可以是不同的。

- 将一个圆形分割成若干个相等的扇形。

4. 多边形分割：- 将一个正方形分割成四个等腰直角三角形。

- 将一个正六边形分割成六个等边三角形。

5. 不规则图形分割：- 将一个不规则图形分割成若干个基本图形，比如三角形、矩形等。

6. 图形组合分割：- 将两个或多个不同的基本图形组合成一个较大的图形，然后尝试将这个较大的图形分割成基本图形。

7. 对称分割：- 将一个图形沿对称轴分割成两个相等的部分。

8. 图形变换分割：- 将一个图形通过平移、旋转或反射变换后，再进行分割。

9. 实际应用题：- 给定一个房间平面图，要求学生将房间分割成不同的功能区，如客厅、厨房、卧室等。

10. 创意分割题：- 提供一个图形，让学生自由发挥，将其分割成他们认为的有趣或实用的图形组合。

这些练习题旨在提高学生的空间想象力和解决问题的能力，同时也能够激发学生的创造力。

教师可以根据学生的实际情况适当调整题目难度，确保每个学生都能在练习中获得进步。

三年级奥数小学奥数三角形的分割(一)-

三角形的分割（一）同学们大家好！三角形的面积的计算方法大家已经知道了，今天我再告诉大家一个规律：等底等高的三角形面积相等。

这是一个非常重要的规律，在解决多边形面积的许多问题中都要用到它。

今天，我们就一起来研究应用这一规律可以解决哪些问题。

【典型例题】一•阅读思考：例1.有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？分析与解答：因为“等底等高的三角形面积相等”，所以要把这个三角形花坛平均分成两个相等的三角形，就是把这个三角形花坛分成两个等底等高的三角形就可以了。

而三角形的每条边都可以作三角形的底，所以我们只要把这三条边分别二等分，再把中点与这条边相对的顶点连接起来就可以了。

例2.将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？分析与解：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。

而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可。

如图（1）图（1）又因为6=1 6=3 2 =2 3，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1, 即1 6而3 2可以看成是先把原三角形等分两份，再把每一份分别等分成三份。

A A A同理，2 3可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份。

即图（3）类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。

这两道例题有一个共同的思路，就是想办法找出等底等高的三角形，而找这种三角形,就要几等分某一条线段。

如果两个三角形的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢? 如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比。

同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比，因此我们有下面的结论：如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于它们的高（底）的长度之比。

探究活动分割三角形课件(16张ppt)

“找小割大，构建等角”
用“数的运算”指挥“形的分割”
结论1：任意两个三角形不相似，只要有一组角对应相等，就可以分别用一条直线分割这两个三角形，使分割得到的两对三角形分别对应相似.
结论2：任意两个不相似的三角形，都可分别用两条直线分割，使分割得到的三对三角形分别对应相似.
回家作业：如果两个三角形有一组角互补，是否仍旧可以分别用一条直线把它们分割成两对分别相似的三角形？
探究3：如图，在△ABC和△A'B'C'中， ∠A＝40°，∠B＝30°，∠C＝110°，∠A' ＝60°，∠B'＝20°，∠C'＝100°. 问：如何分别用两条直线分割这两个三角形，使这两个三角形分割得到的三对小三角形分别对应相似.
归纳：根据刚才的探究，你能归纳出什么新的结论？
结论2：任意两个不相似的三角形，都可分别用两条直线分割，使分割得到的三对三角形分别对应相似.
探究4：已知校园内有一块等腰直角三角形和一块正三角形的空地，现学校为迎接20周年校庆，打算将两块空地分别种植成三种不同颜色的花圃，且使每种颜色的花圃所形成的图形为相似的三角形，请聪明的你帮忙设计一下.
课堂小结
在这节课上，利用分割得到相似三角形的探究过程中，用到了什么数学思想方法？得到了哪些结论？
①②
②
①
分割三角形
——由相似引起的三角形分割问题
校园新闻
已知校园内有一块等腰直角三角形和一块正三角形的空地，现学校为迎接20周年校庆，打算将两块空地分别种植成三种不同颜色的花圃，且使每种颜色的花圃所形成的图形为相似的三角形，请聪明的你帮忙设计一下.
校长办公室 2019年10月
如图，△ABC和△A’B’C’相似吗？

怎样的三角形才能一刀分割成两个等腰三角形

怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD =，我们再分三种情形讨论：(1)若AD BD DC ==,则有B BAD ∠=∠,C DAC ∠=∠，又180B BAD DAC C B BAC C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，2∴∠∠（BAD+DAC）=180．90BAC ∴∠=．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷） (2)若AD BD =,AC DC =,则有B BAD ∠=∠,DAC ADC ∠=∠，3BAC BAD DAC BAD ADC BAD B BAD B ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ==,显然B BAD ∠=∠,C ADC ∠=∠,2C ADC B BAD B ∴∠=∠=∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系； 2．若AB AD =,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系； (２)若AD AC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，C ADC ∠=∠，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立； (３)若AC DC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC =不成立．３．若AB BD =,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系； (２)若 AD AC =类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立；(３)若AC DC =,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC =不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ， AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α．再分三种情况讨论： ①∠BAC ＞α；αβα βCAB D 图2C A BDα α2α2α图3CAB D图4在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB ， AD=AC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．180B C BAC ∠+∠+∠=， 2180BAC αα∴++∠=．又∵∠BAC ＞α， 2180ααα∴++<．45α∴<． 290α∴<．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴4α=180°． ∴2α=90°．此时△ABC 为直角三角形，从锐角顶点A 出发不能把△ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C ，仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．③∠BAC ＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴α+α+2α＞180°． ∴4α＞180°， ∴2α＞90°， ∴∠C=2α＞90°．此时△ABC 为钝角三角形, 从最小角顶点A 出发不能把△ABC 截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC ，或∠B=2∠BAC ，或∠C=3∠BAC 时分别从顶点B 、顶点C 、顶点C 出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数．应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)αα，(,,2)ααα,,)3,,(ααα(,3,3)ααα，(,2,2)ααα，中的一种．根据三角形内角和等于180。

把一个三角形分成两个等腰三角形的条件

把一个三角形分成两个等腰三角形的条件
• 引言 • 等腰三角形的性质 • 把一个三角形分成两个等腰三角形的
条件 • 证明条件 • 结论
01
引言
问题的提
• 在几何学中，三角形是最基本和重要的图形之一。等腰三角形是三角形的一种特殊形式，具有两边长度相等的特性。当考虑如何将一个三角形分割成两个等腰三角形时，需要满足哪些条件？这个问题引起了人们的广泛关注和探讨。
研究目的和意义
• 研究如何将一个三角形分割成两个等腰三角形，不仅有助于深入理解三角形的性质和等腰三角形的特点，而且在实际应用中也有着广泛的价值。例如，在建筑设计、工艺制作和数学教育等领域，都需要对三角形的分割进行深入探讨和应用。因此，本研究的目的是寻找把一个三角形分割成两个等腰三角形的条件，并探讨其在实际应用中的意义和价值。
02
等腰三角形的性质
等腰三角形的定义
总结词
等腰三角形是两边长度相等的三角形。
详细描述
等腰三角形是两边长度相等的三角形，这两边称为等腰，而它们所对的两个角也相等，称为底角。
等腰三角形的性质
Hale Waihona Puke 总结词等腰三角形具有轴对称性。
详细描述
等腰三角形有一条对称轴，即从顶角到底边的中点的连线。沿这条轴线对折，三角形能够完全重合，因此等腰三角形具有轴对称性。
总结词
等腰三角形的两底角相等。
详细描述
由于等腰三角形的两边长度相等，根据三角形的边角关系，其对应的两个底角也必然相等。
总结词
等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。
详细描述
在等腰三角形中，高、中线和角平分线是同一条线，即从顶角到底边的垂线、底边的中线以及两个底角的平分线是同一条线。

探究分割三角形得到等腰三角形的方法

探究分割三角形得到等腰三角形的方法嘿，同学们！咱们今天要来一场超级有趣的数学探险，一起探究怎么把三角形分割一下，就能变出等腰三角形来！先让咱们回忆回忆啥是等腰三角形。

简单说，就是有两条边长度一样的三角形啦。

那怎么从一个普通三角形里变出它来呢？比如说，有一个三角形 ABC ，咱们先看看它的三条边。

假设 AB边长是 5 厘米， AC 边长是 6 厘米， BC 边长是 7 厘米。

那咱们怎么分割呢？有一种办法，就是找一条边的中点。

比如说，咱们找到 BC 边的中点 D ，然后把 AD 连起来。

这时候你瞧，三角形 ABD 和三角形 ACD ，其中 BD ＝ DC ，如果 AB ＝ AC ，那这不就成功得到等腰三角形啦！我记得有一次，我在课堂上讲这个知识点的时候，有个同学特别积极，一直在那比划。

他上来就在黑板上画了一个歪歪扭扭的三角形，然后信心满满地开始分割。

结果呢，分割错啦，引得全班同学哈哈大笑。

不过这孩子一点儿也不气馁，又认真思考重新画，最后还真给他弄对了！从那以后啊，每次讲到这部分内容，我都会想起他那股认真劲儿。

咱们再想想，如果这个三角形本身角度有特点呢？比如一个角是 60 度的直角三角形，咱们是不是也能通过巧妙的分割得到等腰三角形？还有啊，如果已知三角形的一些边长比例关系，是不是也能找到分割的窍门？其实啊，生活中也有类似的情况。

就像咱们拼拼图，有时候一块完整的大图，咱们得把它合理地分割，才能拼出想要的形状。

数学也是这样，通过巧妙的分割，能发现好多神奇的规律和特点。

同学们，探究分割三角形得到等腰三角形的方法，就像是打开了一扇神奇的数学大门。

咱们不断尝试，不断思考，肯定能在这个数学世界里发现更多的惊喜！加油吧，小伙伴们，看看谁能成为分割三角形的小高手！。

等边三角形分成9个相同的三角形

等边三角形分成9个相同的三角形1. 等边三角形的魅力等边三角形，顾名思义，三条边都一样长，三角形的“明星”呀！它就像那种完美无瑕的宝石，给人一种和谐的感觉。

想象一下，在一个阳光明媚的下午，你坐在公园的长椅上，手里捧着一杯冰凉的饮料，突然看到草地上画着一个巨大的等边三角形，那种感觉是不是特别舒服呢？这种形状就像一个大大的邀请函，让人忍不住想去研究它的奥秘。

而且，等边三角形的内部结构也相当有趣，嘿嘿，这就引出了我们今天的主题：如何把这个完美的形状分成9个相同的小三角形。

2. 三角形的分割2.1 初步了解分割方法那么，如何把等边三角形切成9个小三角形呢？其实，这个过程就像把一个大蛋糕切成几块，不同的是我们不想浪费每一块，哈哈！首先，我们需要从三角形的每条边上找出三分之一的点。

这样一来，就可以想象着在这三条边上各划出两个小点。

你会发现，这就像给三角形加了点装饰，瞬间变得生动起来。

2.2 画出辅助线接下来，我们就开始画线。

你可以从每个边上的点，向对面的角落连线。

这样就形成了多个小三角形，哦，不，是9个小三角形！是不是很简单？就像拼图游戏一样，一点点拼起来，最后你会发现这些小三角形都是一样的，真是神奇！这就告诉我们，数学不仅仅是公式，它也可以是艺术，哦，没错，艺术！3. 玩转等边三角形3.1 理论与实践在这个分割的过程中，我们不光是动手，还要动脑。

想一想，为什么等边三角形可以这么容易被分割成相同的小三角形？这就涉及到一些几何学的基本原理啦！其实，这就是等边三角形的对称性在作怪。

每个小三角形都是前面的样子，没啥特别的，所以分割起来就变得简单了。

就像我们生活中的很多事情，有时候看似复杂，实际上只需要从简单的地方入手就好。

3.2 实际应用而且，这样的分割不仅仅是为了好看，它在实际生活中也有很多应用哦！比如在建筑设计中，等边三角形的结构可以提供更强的稳定性，像是我们常见的三角架、屋顶结构等。

你有没有想过，建筑师在设计时，可能也会用到这种分割方法呢？这可真是个令人兴奋的想法，仿佛我们每一个人都能和建筑师一样，创造出自己的艺术品！4. 结尾感悟总的来说，把等边三角形分成9个相同的小三角形，是一个既简单又有趣的过程。

三角形及黄金分割线

三角形的黄金分割线如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线。

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线。

你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线。

请你说明理由。

（4）如图4，点E是□ABCD的边AB的黄金分割点，过点E 作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是□ABCD的黄金分割线。

请你画一条□ABCD的黄金分割线，使它不经过□ABCD各边黄金分割点好评率：80%解：（1）对的，设三角形ABC中AB上的高为h，则S△ADC:S△ABC=1/2*AD*h：1/2*AB*h=AD:AB根据已知D为AB的黄金分割点S△ADC:S△ABC=AD:AB=0.618：1（2）不对，因为中线将三角形分成两个三角形，他们的高相等，底边长也相等，面积为1：1，则分割出来的三角形面积与原来大的三角形面积比为1：2，不等于黄金分割比例。

（3）设DE=x，设AB=a，三角形ABC的高为h，则AD=0.618a 因为DF∥CE，则△AEF∽△ADF则△ADF中AD上的高：△AEF中AE上的高=AD:AE=0.618a+x则△ADF中AD上的高=0.618a/(0.618a+x)*h则S△AEF=1/2*AE*△ADF中AD上的=1/2*(0.618a+x)*0.618a/(0.618a+x)*h=1/2*0.618a*h则S△AEF：S△ABC=1/2*0.618a*h：1/2*a*h=0.618:1 为黄金分割比例（4）过E点任作一条直线交DC于点M，再过点F作直线FN∥EM，交AB于点N，连接MN（图略），则直线EF 也是□ABCD的黄金分割线。