从虚功原理推导平面三角单元刚度矩阵

平面问题的三角形单元
——从能量原理推导刚度矩阵
一、虚功原理
1.1虚功
如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，即作功的力与相应于力的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所作的功称为虚功。

这个位移称为虚位移。

1.2虚位移
虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。

所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。

对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。

1.3虚功原理
处于平衡状态的变形体发生虚位移后，全体外力在对应虚位移所作的外力虚功的等于内力在对应的虚应变上所做的内力虚功。

对于一个单元的虚功原理的数学表达式为：
{}
{}{}{}**T
T
F d εσΩ∆=Ω⎰⎰⎰ （1-1）
二、平面三角形单元相关矩阵
2.1平面三角形单元得几何和节点描述
3节点三角形单元如图5.1所示。

3个节点得编号分别为i、j、m，各自得位置坐标为（）,（），（），各自节点在x方向和y方向的位移为（）,（）,（）。

图2-1
2.2三角形单元的位移矩阵
对于图5.1所示的平面3节点三角形单元，其位移矩阵为：
(2-1)
2.3三角形单元的应变矩阵
把位移函数u,v代入几何方程，写成矩阵的形式，则单元上任一点的应变为：
（2-2）
式（2-16）表示单元节点位移与单元应变的关系。

令
（2-3）
则
（2-4）矩阵称为应变矩阵。

将其分块可写成：
（2-5）式（2-5）表示应变矩阵为常数矩阵，再次证明三节点三角形单元为常应变单元。

2.4 三角形单元的应力矩阵
由物理方程：
解得：
用矩阵表示：
（2-6）令：
（2-7）
则：
（2-8）式（2-8）称为弹性矩阵，该矩阵仅与弹性常数有关。

把代入物理方程，
得到：
（2-9）令：
（2-10）式（2-10），称为三角形单元的应力矩阵。

则有：
（2-11）式（2-11）表示应力与节点位移的关系。

显然，弹性矩阵及应变矩阵都是常量矩阵。

故应力矩阵也是一个常量矩阵。

因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。

三、运用虚功原理推导平面三角形单元的单元刚度矩阵
3.1平面三角形单元的单元刚度矩阵
建立了应力与节点位移的关系式（2-11），我们就可以用虚功原理来推导单元刚度矩阵了。

三角形单元的节点位移和节点力为： 节点位移：
()
e
（3-1）
节点力：
()e
（3-2）
给定一组虚位移：
{}
()
{}*i *j *e i i j j k
k k u v u v u v ⎧⎫∆⎪⎪∆=∆=⎨⎬⎪⎪∆⎩⎭
（3-3）
产生虚应变：
()
e
()
e （3-4）
则单元的外虚功为：
{}(){}()e *******
i
i
j
j
=T
e
xi yi xj yj xk k
yk k
F u F v F u F v F u F v F +++++∆
（3-5）
单元的内力虚功为：
(){}(){}
()
e ****x x T
e A
x y y xy y
A
tdxdy tdxdy σε
σετγεσ++=⎰⎰⎰⎰ （3-6）
由虚功原理内虚功等于外虚功可得：
{}(){}
()
{}(){}
()
e e *
*
T
T
e e A F tdxdy ε
σ∆
=⎰⎰ （3-7）
我们设法把等式右侧的应力和虚应变换成位移和虚位移表示：
{}[]{}{}[]{}
{}
()
[]{}()
e **e D B B σεεε⎧=⎪⎪
=∆⎨⎪=∆⎪⎩ （3-8） 代入虚功方程右侧：
{}(){}
()
[]{}
()
(
)
[][]{}(){}()[][][]{}()e e e e e **
*=T
e T
T
T
A A A tdxdy
B D B tdxdy B D B tdxdy
εσ∆
∆=∆∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰ {}
()e *
T
∆
及{}()
e ∆都与x,y 无关。

故有：
{}
(){}
()
{}
()[][][](){}()
e e e
*
*
T
T
T
e A F B D B tdxdy ∆
=∆∆⎰⎰ （3-9）
令：
[][][]T A B D B tdxdy ⎰⎰ （3-10）
式（3-10）为三角形单元的单元刚度矩阵。

则：
{}()[](){}()e
e
e
F K =∆ （3-11）
式（3-11）为三角形单元的单元刚度方程。

3.2单元刚度矩阵[]()e K 的意义 3.2.1单元刚度矩阵 的物理意义
把单元刚度分块，则单元刚度方程可写成：
（3-12） 展开得：
（3-13）
显然：
表示当 时在i 节点产生的节点力
表示当时在i 节点产生的节点力
3.2.2的性质
1）是的对称矩阵，即（互等定理）且主元非负，且>0
2）是奇异矩阵
3.2.3的影响因素
1）单元的几何参数：大小Ａ（平缓过渡问题），厚度ｔ，方位（节点坐标差）
2）单元的材料特性：
至此，我们已经推出了平面三角单元的单元刚度矩阵。