高二下册数学(沪教版)知识点归纳

合集下载

高中数学(沪教版)知识点归纳

高中数学（沪教版）知识点归纳第一章集合与命题1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。

四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。

2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。

理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。

难点是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。

4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B，那么A是B的子集，记作AB.(2)相等的集合:如果AB,且BA，那么A=B.(3).真子集：AB且B中至少有一个元素不属于A，记作AB.5.集合的运算：(1)交集：AB{某某A且某B}.(2)并集:AB{某某A或某B}.（3）补集：CUA{某某U且某A}.6.充分条件、必要条件、充要条件如果PQ,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

如果PQ,那么P是Q的充要条件。

也就是说，命题P与命题Q是等价命题。

有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。

2.数集有：自然数集N，整数集Z，有理数集Q,实数集R。

3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。

7充分条件与必要条件。

注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。

2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。

沪教版高中数学高二下册第十二章12.5 双曲线的标准方程教案

双曲线及其标准方程(1)一、设计思路：《双曲线及其标准方程》是解析几何教材中，继《椭圆及其标准方程》后的一节概念课。

本节课的设计尝试对双曲线这一节的内容进行综合化处理，教学方法上坚持引导学生将双曲线与已经学过的椭圆反复进行类比，按照问题解决的想法进行重新设计，把适合学生探究的素材还给学生，帮助学生从双曲线的生成过程，有步骤、有层次地建构双曲线的意义，从中体会双曲线与自然及人类社会的密切联系，了解双曲线的价值，增强学生“数学来源于现实生活”的意识，激发其学习兴趣，落实三维一体的教学目标。

二、教学目标：1.掌握双曲线的定义，能恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程。

2.模仿椭圆标准方程的建立，经历双曲线的标准方程的建构过程，发现椭圆与双曲线之间的“情侣关系”，掌握用待定系数法求双曲线标准方程的方法,体验用类比的方法探索新知的过程。

3 .感知双曲线来自于现实世界，让学生具有一定的数学视野，领悟双曲线的科学价值、美学价值。

三、教学重点：双曲线定义的形成及应用。

教学难点：怎样从椭圆的定义探究双曲线的定义；双曲线的“双”的含义及应用，利用基本量a,b,c 直接写出双曲线的标准方程。

四、教学过程：板块一：双曲线的形成过程教师：同学们，请先回忆我们昨天课后作业：P ，Q 为椭圆15422=+y x 上两个动点，且轴x PQ ⊥，A （2，0），B （－2，0），求直线BP 与QA 交点的轨迹方程。

大家想过这个方程的美丽曲线是什么吗？直线是刚，曲线是柔。

曲线是流动、是变化、是生动。

心中有数：[问题1]：已知曲线方程15422=-y x ，已知曲线上P 点的横坐标为x, )0,3(),0,3(21-F F , （1）求x 的范围；（2）不求P 点的纵坐标，你能求出21,PF PF 吗？它们之间有什么关系？与椭圆类比，设法构造x 的不等式（组）;设法画出方程曲线的示意图；三角换元法，抓住这一机会，培养学生代数推理能力。

沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程教案

12.3椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1、理解椭圆定义,经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法；2、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；3、在求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。

二、教学重点及难点：（1）重点：椭圆定义及其标准方程；（2）难点：椭圆标准方程的推导；解决难点的关键在于抓住“如何建系”与“如何化简方程”两个环节。

三、教学辅助工具：PPT 课件、几何画板、每人一个自制的椭圆教具。

四、教学过程：（一）创设情境，引入课题 1、创设情境多媒体展示“嫦娥二号”运行轨道视频和图片，欣赏生活中丰富多彩的椭圆。

2、引入课题既然椭圆可以认为由圆演变而来，那么数学中是怎么定义椭圆的呢？教师活动：引导学生回忆有关圆的相关知识,引导学生猜想：如何画出椭圆？设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。

通过学过的圆的相关知识，引导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。

（二）实验探究、形成概念1、实验探究动手实验：取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于21,F F 两点的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

通过实验，思考如下问题：(1)在作图的过程中哪些量是变的？ 12MF MF +的和是否变化？ (2) 12MF MF +与12F F 的大小关系是？M2F1F(3)若绳长与两定点12F F 、的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点12F F 、之间的距离吗？设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲； (2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。

2、形成概念教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。

第4章数列高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)

≥2，
3 考点突破考点2、等差（等比)数列的判定
∴当n≥2时，
T
1
n＝a11＋a12＋a13＋…＋a1n
＝1＋1×3 42
1－
1 3
n－1
1－1
＝12－4×13n－1，
当 n＝1 时 T1＝14也符合上式，
3
综上，Tn＝12－4×13n－1.
3 考点突破考点2、等差（等比)数列的判定
2.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an} 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立 ①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn}是等差数列；③a2＝3a1.
当
q≠1
时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqn
q .
2 知识梳理
(4)等比中项：若 a，A，b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项. 值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为± ab. 如已知两个正数 a，b(a≠b)的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为 A＞B.
一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Sn＝na1＋n（n2－1）d＝d2n2＋ a1－d2 n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. (2)若公差 d＞0，则为递增等差数列；若公差 d＜0，则为递减等差数列；若公差 d ＝0，则为常数列.
(3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列.
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝_33_2_×__1_－___14_n_.

高二下册数学(沪教版)知识点归纳

高二数学下册知识点梳理第11章坐标平面上的直线1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。

点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。

2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。

熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。

根据两个独立条件求出直线方程。

熟练运用待定系数法。

（1）图形与方程图形方程直线laxbyc(,a b 不同时为零) ①（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征几何特征代数特征点A 在直线上点A 的坐标（x,y ）是方程①的解。

直线l 的方向法向量(,)n a b 直线l 平行的向量方向向量d（u,v ）倾斜角斜率k=a b（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式直线的已知条件所选择直线方程的形式已知直线l 经过点),(00y x A 且与向量d =（u,v ）平行点方向式方程vy y ux x 0已知直线l 经过点),(00y x A 且与向量n =（a,b ）垂直点法向式方程0)()(00y yb x xa 已知直线l 经过点),(11y x A 和点),(22y x B 一般式方程0c by ax已知直线l 的斜率为k,且经过点),(00y x A 点斜式方程)(00x xk y y（4）两直线的位置关系：).2,1(:i b x k yl i i i 位置关系系数关系21l l 与相交21k k 21l l 与平行21k k 且21b b 21l l 与重合21k k 且21b b 21l l 与垂直121k k （5）点到直线的距离公式22bacby ax d（6）两直线的夹角公式222221212121cosb a b a b b a a （7）直线的倾斜角的范围是0<,当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为.2第12章圆锥曲线1、内容要目：直角坐标系中，曲线C 是方程F （x,y ）=0的曲线及方程F （x,y ）=0是曲线C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。

沪教版高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质——焦点弦的常用结论教案

( BF = B' F' A' AF '= B' BF' )
AF A' F'
结论 5、抛物线中过焦点的弦的端点作抛物线的切线，交点在准线上.且交点与焦点弦的
中点的连线被抛物线平分.
结论 6、 A', B',C 分别为 A, B, M 在准线上的投影， M 为 AB 的中点.则 ABC , A' B' F 均为 Rt .(抛物线中以过焦点的弦为直径的圆必与准线相切)， AOB 必为钝角三角形。
正确答案： 2 2
分析：
SAOB
=
p2 2sin
=
2
4 sin
3
=2
2.
4
8、（2004 上海春季 4）抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交抛物线于 A,B 两点，则以 F 为圆
心，AB 为直径的圆的方程是_________________.
正确答案：（x −1）2 + y2 = 4
k
2
k
+
2
1
2
p
，特别的有
x1
x2
y1 y2
= =
p2 4 − p2
(其中
x1, x2, y1, y2 分别是 A, B 的横纵坐标。)
3、将问题改为：已知过抛物线 y2 = 2 px 的焦点，倾斜角为的直线与抛物线交于 A, B 两点，求弦 AB 的
长. 给学生自己思考.
结论 3、抛物线的焦点弦长：| AB |= 2 p .(只要在结论 2 中 k 用 tan 代，给以化
y
−12
=
0
；③得出韦达定理：

2023-2024年上海沪教版高二第二学期期末数学--核心考点11 概率初步(续)(解析版)

核心考点11概率初步（续）目录一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共6小题）二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题）三．条件概率与独立事件（共4小题）四．全概率公式（共2小题）五．离散型随机变量及其分布列（共2小题）六．离散型随机变量的期望与方差（共7小题）七．超几何分布（共1小题）八．二项分布与n次独立重复试验的模型（共4小题）九．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共7小题）考点考向一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…A n）＝P（A1）•P（A2）…P（A n）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）＝（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．三．条件概率与独立事件【知识点的知识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝四．全概率公式【全概率公式】一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P（A i）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝．五．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．六．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．七．超几何分布【知识点的知识】一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝K）＝，k＝m，m+1，m+2，...，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．八．二项分布与n次独立重复试验的模型【知识点的知识】1、二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝p k（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记p k（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝p k（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的．（4）独立重复试验概率公式的特点：P n（k）＝p k（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．九．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．考点精讲一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共6小题）1．（2022春•闵行区校级期末）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.87．【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可．【解答】解：从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.7×0.9+0.3×0.8＝0.87．故答案为：0.87．【点评】本题考查相互独立事件乘法公式的运用，是基础题．2．（2022春•闵行区校级期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可解．【解答】解：记实验甲、乙、丙成功分别为事件A，B，C，且它们相互独立，故实验甲、乙、丙各进行一次，至少有一次成功的概率为：P＝（1﹣）＝1﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，对立事件概率公式，属于基础题．3．（2022春•宝山区校级期末）已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数给出下列命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】【解答】解：由题意：P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝＝，因为事件AB：从甲袋中取出的球的编号是偶数，乙袋中取出的球的编号是奇数，所以P（AB）＝＝，因为事件BC：甲乙两袋中取出的球的编号都是奇数，所以P（BC）＝＝，因为事件AC：甲乙两袋中取出的球的编号都是偶数，P（AC）＝＝，则P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（A）P（C），所以A，B相互独立，B，C相互独立，A，C相互独立，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，是基础题．4．（2022春•黄浦区校级期中）甲、乙两人进行投篮比赛，且两人每次投篮是否命中互不影响．已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为0.8和0.6．（1）甲、乙各投一次篮，则甲命中且乙未命中的概率为0.32；（2）甲、乙各投两次篮，则甲比乙多命中一次的概率为0.3584．【分析】（1）根据对立事件性质，独立事件乘法公式求解；（2）分情况讨论：甲命中2次，乙命中1次；甲命中1次，乙命中0次，仍利用根据对立事件性质，独立事件的乘法公式计算．【解答】解：设甲和乙投篮命中分别为事件A，B，依题意P（A）＝0.8，P（B）＝0.6，根据对立事件性质，独立事件乘法公式，甲、乙各投一次篮，则甲命中且乙未命中的概率为：P（A）＝P（A）P（）＝P（A）（1﹣P（B））＝0.8×0.4＝0.32，甲、乙各投两次篮，则甲比乙多命中一次，意味着甲命中2次，乙命中1次；甲命中1次，乙命中0次，概率为：P＝×0.4×0.4＝0.3584．故答案为：0.32，0.3584．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2022春•徐汇区校级期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电．（1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；（2）若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的次品率分别为4%、2%、5%，．现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少？【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解；（2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可．【解答】解：（1）第3次才抽到合格品的概率；（2）设B＝“从一批产品中检查出1个次品”，A1＝“零件为甲车间加工”，A2＝“零件为乙车间加工”，A3＝“零件为丙车间加工”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题意可知，P（A1）＝0.45，P（A2）＝0.35，P（A3）＝0.2，P（B|A1）＝0.04，P（B|A2）＝0.02，P（B|A3）＝0.05，由全概率公式可得，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05＝0.035，则该次品来自甲车间的概率＝＝，该次品来自乙车间的概率，该次品来自丙车间的概率．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．6．（2022春•闵行区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．【分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率．（3）设A为甲输，B为乙输，C求出丙最终获胜的概率．【解答】解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝（）4＝．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，丙上场后连胜三场的概率为，∴需要进行第五场比赛的概率为：P＝1﹣＝．（3）设事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACCB、BCACB、BCABC、BCBAC，则甲赢终的概率为：P＝（）4+（）5×7＝；由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙获胜的概率为P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题）7．（2021春•长宁区校级期末）设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8【分析】利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式直接求解．【解答】解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，∴该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p＝1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.8．故答案为：0.8．【点评】查运算求解能力，是基础题．8．（2022秋•徐汇区校级期末）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．【分析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件A i，则P（A i）＝，她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．【解答】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，记俞女士每次投篮命中为事件A i，i＝1，2，3，4，则P（A i）＝，∵只要连续两次命中就结束投篮练习，∴投篮2次结束的概率为P＝P（A1A2）＝＝，投篮3次结束的概率为P＝P（）＝＝，投篮4次结束的概率为P＝P（）+P（）＝＝，∴她至多四次投篮就能结束的概率P＝．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2021春•徐汇区校级月考）已知10件产品中有2件次品．（1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率；（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？【分析】（1）基本事件总数n＝＝210，其中恰有1件次品包含的基本事件个数m＝＝112，由此能求出其中恰有1件次品的概率；（2）设应抽取x件产品作检验，则，由此能求出至少应抽取8件产品作检验．【解答】解：（1）10件产品中有2件次品，任意取出4件产品检验，基本事件总数n＝＝210，其中恰有1件次品包含的基本事件个数m＝＝112，∴其中恰有1件次品的概率为P＝＝＝；（2）设应抽取x件产品作检验，则，得x2﹣x﹣54＞0，解得x≥8，所以至少应抽取8件产品作检验．【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．10．（2022秋•嘉定区校级期中）已知甲同学在玩“电子抽卡游戏”，假设每次抽取1张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为0.6%，那么该同学在50次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为0.74．（结果精确到1%）【分析】由题意，利用n次独立重复实验中签好发生k次的概率计算公式，结合二项式定理，得出结论．【解答】解：每次抽取1张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为（1﹣0.6%）50，那么该同学在50次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为×（0.6%）0（1﹣0.6%）50＝（1﹣0.006）50＝﹣×0.006+×0.0062+•••+×0.00650≈﹣×0.006+×0.0062＝1﹣0.3+0.044≈0.74，故答案为：0.74．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中签好发生k次的概率，二项式定理的应用，属于中档题．三．条件概率与独立事件（共4小题）11．（2022春•杨浦区校级期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9．从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则P（B|A）＝．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：由题意可得，P（A）＝，P（AB）＝，故P（B|A）＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．12．（2022春•徐汇区校级期末）设某种宠物小狗活到18岁的概率是0.6，活到25岁的概率是0.2．现有一只18岁的该种宠物小狗，问它活到25岁的概率是．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：设某种宠物小狗活到18岁的事件为A，活到25岁的事件为B，由题意可知，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.2，故P（B|A）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．13．（2022春•闵行区校级期末）设随机事件A，B，已知P（A）＝0.4，P（B|A）＝0.3，P（B|）＝0.2，则P（AB）＝0.12，P（B）＝0.24．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：∵P（A）＝0.4，P（B|A）＝0.3，∴P（AB）＝P（A）P（B|A）＝0.4×0.3＝0.12，∵P（A）＝0.4，∴，∴，∴P（B）＝P（AB）+＝0.12+0.12＝0.24．故答案为：0.12；0.24．【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．14．（2022春•浦东新区校级期末）假设某种动物生存到1岁的概率为0.3，生存到10岁的概率为，则一只恰好1岁的该动物生存到10岁的概率为．【分析】根据条件概率公式计算即可．【解答】解：某种动物生存到1岁为事件A，生存到10岁为事件AB，某种动物生存到1岁的概率为0.3，生存到10岁的概率为，恰好1岁的该动物生存到10岁的概率为P（B|A）＝＝＝．故答案为：．【点评】四．全概率公式（共2小题）15．（2023•宝山区校级模拟）设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是0.92，0.95，0.94，若这三个供应商的供货比例为3：2：1，那么这个部件的总体良品率是（用分数作答）．【分析】部件的总体良品率是，计算得到答案．【解答】解：部件的总体良品率是：．故答案为：．【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．16．（2022春•闵行区校级期末）袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则P（B|A）＝．【分析】利用条件概率公式能求出结果．【解答】解：P（B|A）＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查全概率公式及条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五．离散型随机变量及其分布列（共2小题）17．（2022秋•嘉定区月考）某路口在最近一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布：，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为1.2（精确到小数点后一位）．【分析】根据离散型随机变量的期望公式计算即可．【解答】解：由题意得，E（X）＝0×0.301+1×0.362+2×0.216+3×0.087+4×0.026+5×0.006+6×0.002≈1.2．故答案为：1.2．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的计算，是基础题．18．（2023•嘉定区模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）＝，P（X≤19）＝．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）＝．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n＝19时，费用的期望和当n＝20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X＝16）＝（）2＝，P（X＝17）＝，P（X＝18）＝（）2+2（）2＝，P（X＝19）＝＝，P（X＝20）＝＝＝，P（X＝21）＝＝，P（X＝22）＝，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）＝＝．P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）＝+＝．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）＝+＝．买19个所需费用期望：EX1＝200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×＝4040，买20个所需费用期望：EX2＝+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×＝4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．六．离散型随机变量的期望与方差（共7小题）19．（2022秋•虹口区校级期末）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列如图，则当p在（0，1）内增大时，（）ξ012PA．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性．【解答】解：∵，∴，∵，∴D（ξ）先增后减．故选：D．【点评】本题主要考查数学期望、方差的公式，属于基础题．20．（2022秋•徐汇区校级期末）已知随机变量ξ～B（2n，p），n∈N*，n≥2，0＜p＜1，记f（t）＝P（ξ＝t），其中t∈N，t≤2n，现有如下命题：①；②若np＝6，则f（t）≤f（12），下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】根据已知得出．取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断f（t）的增减性．讨论（2n+1）p②真假．【解答】解：由已知可得，．对于命题①，当时，．因为＝，＝，所以．所以，所以，所以①为假命题；对于命题②，若ξ～B（2n，p）.＝＝＝．当t+1＜（2n+1）p时，f（t+1）＞f（t），f（t）随着t的增加而增加；当t+1＞（2n+1）p时，f（t+1）＜f （t），f（t）随着t的增加而减小．当（2n+1）p为整数时，t＝（2n+1）p或t＝（2n+1）p﹣1时，f（t）有最大值；当（2n+1）p不为整数时，t为（2n+1）p的整数部分时，f（t）有最大值．因为（2n+1）p＝12+p，0＜p＜1，所以当t＝12时，f（t）最大，所以有f（t）≤f（12），所以②为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断以及离散型随机变量和二项式定理的运用，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．21．（2022秋•宝山区校级期末）已知，随机变量ξ、η相互独立，随机变量ξ的分布为，η的分布为，则当p在内增大时（）A．E（ξ+η）减小，D（ξ+η）增大B．E（ξ+η）减小，D（ξ+ηC．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）增大D．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）减小【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解．【解答】解：由题意可得：，E（η）＝（﹣1）×（1﹣p）+1×p＝2p﹣1，所以，所以当p在（0，）内增大时，E（ξ+η）增大，；D（η）＝（﹣2p）2×（1﹣p）+（2﹣2p）2×p＝4p﹣4p2，所以，所以当p在（0，）内增大时，D（ξ+η）增大．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．22．（2022秋•宝山区校级期末）设0＜a≤b，随机变量X的分布是，则E（X）的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据概率之和为1找到a，b之间的关系，用a，b表示出E（X），结合不等关系求出E（X）的范围．【解答】解：根据分布列的性质可知：，结合题干条件0＜a≤b可解得：，而E（X）＝1•a+2•b+4•（a+b）＝5a+6b＝，于是，故选：B．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，属于中档题．23．（2022秋•金山区校级期中）中国共产党第二十次代表大会报告指出：教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑，某项人才选拔的测试，共有25道选择题构成，每道题均有4个选项，其中只有1个是正确的．该测试满分为150分，每题答对得6分，未作答得2分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为T1、T2、T3、T4、T5）均没有把握答对．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在4个选项中随机地选择1个．已知甲只能排除T1、T2、T3中各1个错误选项，故甲决定只作答这三题，放弃T4、T5．（1）求甲的总分不低于130分的概率；（2）求甲的总分的概率分布；（3）已知乙能排除T1、T2、T3中各2个错误选项，能排除T4中1个错误选项，但无法排除T5中的任一错误选项．试问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的期望最大，并说明理由．【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；（2）设甲的总分为随机变量X，依题意可得X的可能值为124，130，136，求出所对应的概率，即可求出。

上海沪教版教材高中数学知识点总结

目录一、集合与常用逻辑二、不等式三、函数概念与性质四、基本初等函数五、函数图像与方程六、三角函数七、数列 \八、平面向量九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计【一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系空集A ⊆φ?子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题否命题⇔逆命题5．充分必要条件 }p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定】M, p(x ）否定为: M, )(X p ⌝ M, p(x ）否定为: M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα—注：若0<a ，转化为0>a 情况2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式?①ab b a 222≥+②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性|f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)…或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反、3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=￥奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0；四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n na a 1=- m nm na a =2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =na ab b n log log =ab log 1=》注：性质01log =a 1log =a a Na Na =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x 与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性注：y=a x 与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x y%αx y =在第一象限图象如下：?五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”》)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y=f(x)cb aoyxy=|f(x)|cb aoyx,→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边y=f(x)cb aoyxy=f(|x|)cb aoyx3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点（条件：在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根α>101<<αα<0②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f?则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f,2+2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy =αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”）5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α6π4π 3π ！2π π23π sin α21 22 23 { 1 0 1- cos α 123 2221 |1-0 tg α33 13[/0 /7．基本公式同角1cos sin22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±y=sinxy=cosx y=tanx图象`&sinx cosx tanx 值域[-1，1][-1，1] 无奇偶 !奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴-2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk*倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增~注：Zk ∈9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=、余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C= B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数列1、等差数列、定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差）性质：若q p n m +=+，则qp n m a a a a +=+2、等比数列定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n qa a？求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法·八、平面向量1．向量加减三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2．向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：=⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线--基底）<平行：⇔//λ=⇔1221y x y x =（0≠b ）垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x模：a ＝22y x +=+=+2)(夹角：=θcos ||||b a 注：①0∥a ②()()⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立$九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等共轭：bi a z -= 模：22b a z +=2z z z =⋅|复平面：复数z 对应的点),(b a2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)= 乘法：（a+bi ）（c+di ）= 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊 (归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因 |分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……，这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立, (2)假设当n=k(k N* ，k1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立￥由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--，截距式1=+bya x位置关系相切相交'相离几何特征d r =d r <d r >代数特征0=△0>△"<△一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x =!②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =\5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长…AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹》二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点对称轴焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0)顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a x a,-b y b双曲线|x| a ，y R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长、离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a b y ±= 方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点）对称轴（x 轴）开口（向右）范围x 0 离心率e=1!焦点)0,2(p F准线2px -=十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量 |2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句 “IF —THEN ”语句程序框名称功能。

上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程

沪教版数学高二下春季班第二讲课题复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章学科数学年级十一学习目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析．难点实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求．教学安排版块时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--．可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-；（3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．图1图2三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-；（2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=；（3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）；（4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭．例题解析【注意】（1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅在实数集上有效；（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；（3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求）（4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效；如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+．【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ．（2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+；（3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ．【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为．【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值．【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ．【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=．令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值；（2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值．【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=；（2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值．【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=；（3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根．【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值．【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值．【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略）当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ，则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值．【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=，这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。

沪教版高二数学知识点

沪教版高二数学知识点数学是一门理论科学，也是一门实践科学。

在高中数学的学习中，掌握重要的数学知识点是非常关键的。

下面将介绍一些沪教版高二数学的知识点。

1. 二次函数与一次函数二次函数是高中数学中的重点内容之一。

它的一般形式为：y=ax^2+bx+c。

其中，a、b和c是常数，且a不等于0。

通过对二次函数的图像、性质和求解问题的应用，可以深入理解函数的概念和性质。

一次函数是二次函数的特殊情况，其图像是一条直线，表达形式为：y=kx+b。

其中，k和b也是常数。

2. 函数的导数与导数的应用函数的导数是研究函数变化率的重要工具。

对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为dy/dx或f'(x)。

导数的计算方法包括基本导数公式、常用导数公式和导数的四则运算法则等。

导数的应用非常广泛，如求函数的极值、导数与函数图像的关系、速度与加速度的衡量等。

3. 不等式与不等式组在高中数学中，不等式是一个重要的研究对象。

通过不等式的性质和解法，可以解决实际问题中的大小关系和范围限制。

不等式组是由若干个不等式组成的方程组，它的解是满足所有不等式的解的交集。

通过不等式组的解法，可以对多个变量之间的大小关系进行讨论和求解。

4. 三角函数与三角方程三角函数是一个以角度作为自变量的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们在几何、物理和工程等领域中有广泛的应用。

三角方程是含有三角函数的方程，通过解三角方程可以求解实际问题中的角度或长度等。

5. 空间几何与向量空间几何是研究三维空间中点、直线和平面等几何要素的学科。

通过对空间几何的学习，可以发展空间思维和几何直观。

向量是空间几何中的重要工具，它可以表示有大小和方向的物理量。

通过对向量的运算和性质的学习，可以解决空间几何中的问题。

以上只是沪教版高二数学知识点的一个简要介绍。

在实际学习中，同学们需要根据教材的内容来学习和掌握这些知识点。

同时，要注重数学的实际应用，将数学知识与实际问题相结合，培养数学思维和解决问题的能力。

沪教版(上海)数学高二下册-11.4 《点到直线的距离公式》教案

《点到直线的距离公式》案例摘要:本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。

对本节的研究，既是两点间距离公式的继续,又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。

本文通过一个“求点到直线的距离”的问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究、亲自尝试接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，提高学生利用以学知识去主动获取知识的能力。

组织学生参与“提出问题——探索解决——实践练习——拓展升华——总结转新”的学习活动过程，利用多媒体演示、变式练习等激发学生的学习兴趣和求知欲望，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识能力。

关键词：点到直线的距离自学预习实践能力多媒体变式训练一、案例1.做好铺垫，知识准备，提出问题，诱发思考复习向量的数量积与直线的法向量之后师：同学们好，今天我们来学习《点到直线的距离》。

我们初中已经学过有关“点到直线的距离”的定义，哪位同学回答一下？生：“点到直线的距离”的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点，线段PQ 的长度叫做点P 到直线l 的距离．师：非常好，回答的很准确，请坐。

那么，如图，我们该如何求如何求点)1,2(0P 到直线10x y -+=的距离？同学们相互讨论一下，你将打算怎么办？（学生进入热烈的讨论中，几分钟后）2. 探索解决，分组探究。

师：大家有思路了么？哪位同学回答一下?生：过P 作l PQ ⊥于Q 点，根据点斜式写出直线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 点坐标，然后利用两点距离公式求得．①直线AB 的法向量（1，-1），带入点P ，求出直线PQ 的方程x+y-3=0②联立方程组求交点Q 的坐标（1，2）③最后计算PQ 的长：PQ=22(12)(21)-+- = 2。

沪教版高中数学高二下册第十二章12.4 椭圆的性质-椭圆光学几何性质课件(共12张PPT)

椭圆
光学几何性质
1. 引入——刁尼秀斯之耳
古希腊时期有一个岩洞结构的监狱，犯人小声讨论如何越狱，可是他们原先制定好的计划很快就被看守掌握了，提前采取了措施，使犯人原计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为有叛徒，但不管怎么查找，也找不到告密者原来，这是一位叫刁尼秀斯的人专门设计的，岩洞监狱采用了椭圆形的结构，使得犯人小声议论的声音，通过反射后清楚地传到了看守的耳朵里。
y P
F1
O Q F2
x
2. 新课证明过程
定理：从椭圆的一个焦点
y P
F1
O Q F2
x
3. 例题解析
3. 例题解析
4. 巩固练习
5. 课堂小结
• 当一束光线从椭圆一个焦点出发，经椭圆反射后，射向另一焦点，即椭圆上任一点处的法线正好是的角平分线
1. 引入——刁尼秀斯之耳
刁尼秀斯之耳的原理就是椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆壁反射后，必经过椭圆的另一个焦点。
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置。例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热。
光线反射，路径过焦.gsp
2. 新课
• 学习椭圆应该关注椭圆常见的几何性质，比如圆与椭圆之间的仿射变换，采用椭圆离心角表达的椭圆的参数方程及意义等
6. 课后作业
感谢大家的支持
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的潜力，只要立志发挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路，但大多数人因为不知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾工作过，我的幽默和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己，也振奋他人，不达成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮，时时校准自己前进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败能否无怨什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不需要什么特别的才能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间的人赶到他们的前面去。敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。没有方法能使时钟为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就的土壤。时间给空想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也是偏私，给任何人都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人，没有工夫抱怨时间不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人，不会有明天；而昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以在任何他怀无限热忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。性格决定命运，气度决定格局，细节决定成败，态度决定一切，思路决定出路，高度决定深度。未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。只要有信心，人永远不会挫败。欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！路再长也会有终点，夜再长也会有尽头，不管雨下得有多大，总会有停止的时候。乌云永远遮不住微笑的太阳！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选择决定命运，环境造就人生！懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！得之物而失之本，此乃大失！失败也是我需要的，他和成功对我一样有价值。我的那些最重要的发现是受到失败的启发而获得的。不会从失败中找寻教训的人，他们的成功之路是遥远的。没有多次失败，难得一次成功。5、这世界除了心理上的失败，实际上并不存在什么失败，只要不是一败涂地，你一定会取得胜利的。明智的人决不坐下来为失败而哀号，他们一定乐观地寻找办法来加以挽救。谬误有多种多样，而正确却只有一种，这就是为什么失败容易成功难脱靶容易中靶难缘故。什么叫做失败，失败是到达较佳境地的第一步。一个人失败的最大原因，就是对于自己的能力永远不敢充分的信任；甚至自己认为必将失败无疑败莫败于不自知失败是成功之母，高不过脚底板。凡百事之成也在敬之，其败也必在慢之。成功者找方法，失败找借口。因为害怕失败而不敢放手一搏，永远不会成功。为伟大的事业捐躯，从来就不能算做失败。错误经不起失败，但是真理却不怕失败。一个志在有大成就的人，它必须如歌德所说，知道限制自己。之，什么事都想做的人，其实什么事都不能做，而终归于失败。许多赛跑的人失败，都是失败在最后几步无数人的失败，都是失败于做事情不彻底，往往做到离成功只差一步就停下来。一经打击就灰心泄气的人，永远是个失败者。人的聪明和自己的明智及道路的选择，往往在失败以后一个人的希望越大，他的遭遇失败的机会也许就越多，就跟一个人走

(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第3讲组合(考点定位精讲讲练)(学生版)

第3讲组合考点定位精讲讲练1、组合数：从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符合mn C 表示.组合数公式为!(1)(2)(1)(,*,)!()!!m m n nm m P n n n n n m C m n N m n P m n m m ---+===∈≤-,规定01n n n C C ==.2、组合数的性质：性质一：C m n =C m n n- ①等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标. ②此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化. 例如20152016C ＝201520162016-C ＝12016C =2016.③y n xn C C =y x =⇒或n y x =+．性质二、1m n C +=m n C +1m nC - ①等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．②此性质作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． ③证明过程：1!!!()!(1)![(1)]!mm n nn n C C m n m m n m -+=+----!(1)!!(1)!n n m n m m n m -++=-+(1)!!(1)!n m m n m n m -++=+-1(1)!![(1)]!mn n C m n m ++==+-.3、组合问题常见解题方法：（1）注意“至少”、“最多”、“含”等词；（2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法=取法/!m（3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. （4）分排问题直排处理；（5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理；（6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.考点一：组合数及其运算性质【例1】解方程（1）333222101+-+-+=+x x x x x P CC （2）8771n n n C C C =-+【例2】计算下列各式的值：（1）554535251505C C C C C C +++++；（2）572625242322C C C C C C +++++；（3）12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+【例3】已知16m n mn m n C C P +++=，求n 、m 的值．【例4】已知xx C C 64<的解集是．【例5】（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n ．【巩固训练】1．组合数591nn n n C C --++= ．2．计算n n nn C C 321383+-+的值．3．下列等式中正确的是( )(1)11--=k n k n nC kC ；(2)111111+++=+k n k n C n C k ；(3)kn k n C k k n C 11+-=+； (4)kn k n C n k C 1111++=++． A ．(1)(2) B ．(1)(2)(3) C ．(1)(3)D ．(2)(3)(4)4．组合数rn C （1≥>r n ，n 、Z r ∈）恒等于( ) A ．1111--++r n C n rB ．()()1111--++r n C r nC ．11--r n nrCD ．11--r n C rn 考点二：常见组合问题解题策略1、组合的一般应用【例1】3个一样的白色小球和4个一样的黑色小球排成一排，有多少种不同的排法？【例2】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．【例3】马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．【例4】在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法．2、分组及分堆问题【例1】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分为三份，每份2本；（2）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（3）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（4）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例2】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．3、至多至少、含与不含、直接间接问题【例1】从集合{}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母0123456789P Q R S，，，与{}和数字均不能重复）．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_____．（用数字作答）【例2】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A． 540 B． 300 C． 180 D． 150【例3】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？4、涂色问题【例1】如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（用数字作答）【例2】用六种不同颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有____种不同涂法．5、挡板法【例1】把12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，问每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种？【例2】不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有组，非负整数解有组．6、几何计数【例1】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（） A ．70种 B ．64种 C ．58种 D ．52种【例2】四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有【例3】四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．【巩固训练】1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，则一共有种不同的方法（用数字作答）.2.将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种．3.把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有___ 种．4.如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有个5.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为． 6.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．7.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．一、单选题1．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（）A ．1921910202C C C B ．1921810202C C C C ．192181020C C CD ．192191020C C C2．（2021·上海交大附中高二期末）9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（）种. A ．333963C C C B ．3339633C C C C ．3339636C C C D ．3339636C C C3．（2021·上海师大附中高一期末）从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的送派方法有（）种． A ．5557105C A AB ．5557105A C AC ．55107C CD ．55710C A4．（2021·上海·曹杨二中高二期末）将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种 A ．10B ．16C ．22D ．285．（2021·上海市第三女子中学高二期末）两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（） A ．6种B ．12种C ．20种D ．30种6．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）下列四个组合数公式：对,n k ∈N ，约定0!1n C ==，有（1）!k k n nP C k =（0k n ≤≤）；（2）k n k n n C C -=（0k n ≤≤）；（3）11k k n n k C C n--=（1k n ≤≤）；（4）111k k k n n n C C C ---=+（0k n ≤≤）；其中正确公式的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·上海市大同中学高二期末）6人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（） A ．30B ．40C ．50D ．608．（2021·上海师大附中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A ．4284612C C CB ．3384612C C CC ．612612C PD ．2284612P P P9．（2021·上海市金山中学高二期末）用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A．840种B．1200种C．1800种D．1920种二、填空题10．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动，则周六､周日都有同学参加公益活动的概率是___________. 11．（2021·上海崇明·一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______种.12．（2021·上海闵行·一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共___________种.天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）14．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________15．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）将写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为____________16．（2020·上海市中国中学高三期中）四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________17．（2021·上海浦东新·一模）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为___________.（用数字作答）18．（2021·上海杨浦·一模）某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答）三、解答题19．（2020·上海市大同中学高二期中）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数．（1）女生人数少于男生人数；（2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表．20．（2021·上海市延安中学高二期末）一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率．（1）取出的三个球均为黑球；（2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球．21．（2021·上海市大同中学高二期末）（1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率．22．（2021·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形的排法：（1）甲乙二人必须站在一起；（2）甲乙二人不能站在一起；（3）男女必须间隔而站；（4）甲乙二人中间恰有1人.23．（2021·上海·高二专题练习）我们称()*n n ∈N 元有序实数组()12,,,n x x x 为n 维向量，12n x x x +++为该向量的范数，已知n 维向量()12,,,n a x x x =，其中{}1,0,1i x ∈-，1,2,i n =，记范数为奇数的n 维向量a 的个数为n A ，这n A 个向量的范数之和为n B .（1）求2A 和2B 的值；（2）求2020A 的值；（3）当n 为奇数时，证明：()131n n B n -=⋅+.24．（2021·上海交大附中高二期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，已知C 地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段DE不通），一邮电员从该地东北角的邮A局出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一邮递员该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？。

沪教版高二下数学知识点

沪教版高二下数学知识点高二下学期是数学学科中的重点年级，学生需要巩固和拓展高一上、高一下学期所学的数学知识点。

本文将详细介绍沪教版高二下数学的知识点，帮助学生更好地理解和掌握相关内容。

一、函数与导数1. 函数的概念及性质- 函数的定义：函数是一种特殊的对应关系，每一个自变量对应唯一的因变量。

- 函数的分类：常见的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

- 函数的性质：奇偶性、单调性、最值等。

2. 导数及导数的应用- 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率。

- 导数的计算方法：基本导数公式、导数四则运算法则、链式法则等。

- 导数的应用：切线和法线、函数的单调性与极值等。

二、三角函数与向量1. 三角函数的基本概念- 弧度与角度的转换：弧度制和角度制的转换公式。

- 三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

- 三角函数的周期性：三角函数的周期和变化规律。

2. 三角函数的图像与性质- 三角函数的图像：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点。

- 三角函数的性质：奇偶性、单调性、最值等。

3. 向量的基本概念与运算- 向量的定义：向量表示有大小和方向的量。

- 向量的运算：加法、减法、数量乘法等。

- 向量的模与方向角：向量的长度和向量与坐标轴的夹角。

三、数列与数项1. 等差数列与等差数列的前n项和- 等差数列的概念：等差数列是指一个数列中的每一项与其前一项的差都相等。

- 等差数列的通项公式与前n项和公式。

2. 等比数列与等比数列的前n项和- 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项的比值都相等。

- 等比数列的通项公式与前n项和公式。

3. 递推数列与通项公式- 递推数列的概念：递推数列是指每一项都由前一项经过一定规则推得的数列。

- 递推数列的通项公式：根据递推关系求解数列中的每一项。

四、平面向量与解析几何1. 平面向量的坐标表示与运算- 平面向量的坐标表示：平面向量的坐标与坐标轴的表示方式。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式教案

直线的方程——点方向式教学目标：理解直线的方向向量d 的概念，知道(,0)d R λλλ∈≠也是直线的方向向量；能根据直线上的一个点和它的一个方向向量，或两个不同的点求出直线的点方向式方程；理解直线方程的解的集合与直线上点的集合之间的关系；通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量来推导过程，并明确向量的几何意义。

重点难点：重点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。

难点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。

教学过程：引入：初中平面几何里，我们定性地研究了直线的平行、垂直或直线相交所成角是否相等。

现在，我们将进一步用定量的方法来研究直线。

一次函数y kx b =+可以写成0kx y b −+=，我们将看到直线与一般的二元一次方程的对应关系。

由于方程的解是可以计算的，所以，我们能用定量的方法来研究直线了。

新课：一、直线的方程的推导已知平面上一条直线l ，过已知点P ，且与已知的非零向量d （0d ≠）平行。

易知，这样的直线l 是唯一确定的。

问题：直线l 上的点的坐标之间有什么关系。

★直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行或重合（垂直）。

直线l 平行于向量d ，所以，对直线上的任意点Q ，都有//PQ d 。

在直角坐标系中，设00(,)P x y ， (,)d u v =，()Q x y ，，可得：00()PQ x x y y =−−，//PQ d ∴ ⇔00()()v x x u y y −=−……①（000x x y y uv−−⇔=）反之，如果111()Q x y ，是方程①的任意一组解，即1010()()v x x u y y −=−，那么以00()P x y ，为起点，111()Q x y ，为终点的向量1PQ 与向量d 平行，即点1Q 在直线l 上。

★于是：直线l 上的点的集合 A=方程①的解的集合 B “在的都是”“是的都在”定义：我们把方程①叫做直线l 的方程，直线叫作方程①的直线。

高中数学目录(沪教版)

高一上第一章集合与命题一集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5 充分条件、必要条件1.6 子集与推出关系第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明第三章函数的基本性质3.1 函数的概念高中数学教材（沪教版）目录3.2 函数关系的建立3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1 幂函数的性质与图像二指数函数4.2 指数函数的性质与图像*4.3 借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4 对数的概念及其运算四反函数4.5 反函数的概念五对数函数4.6 对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比二三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的正弦、余弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2 正切函数的图像与性质6.3 函数 y A sin x的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6.5 最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1 数列7.2 等差数列7.3 等比数列二数学归纳法7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳—猜想—证明三数列的极限7.7 数列的极限7.8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算8.2 向量的数量积8.3 平面向量的分解定理8.4 向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算二行列式9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式第十章算法初步13.3 复数的加法和减法10.1 算法的概念13.4 复数的乘法和除法10.2 程序框图13.5 复数的平方根和立方根*10.3 计算机语句和算法程序13.6 实系数的一元二次方程高二下高三上第十一章坐标平面上的直线第十四章空间直线与平面11.1 直线的方程14.1 平面及其基本性质11.2 直线的倾斜角和斜率14.2 空间直线与直线的位置关系11.3 两条直线的位置关系14.3 空间直线与平面的位置关系11.4 点到直线的距离14.4 空间平面与平面的位置关系第十二章圆锥曲线第十五章简单集合体12.1 曲线和方程一多面体12.2 圆的方程15.1 多面体的概念12.3 椭圆的标准方程15.2 多面体的直观图12.4 椭圆的性质二旋转体12.5 双曲线的标准方程15.3 旋转体的概念12.6 双曲线的性质三几何体的表面积、体积和球面距离12.7 抛物线的标准方程15.4 几何体的表面积12.8 抛物线的性质15.5 几何体的体积15.6 球面距离第十三章复数13.1 复试的概念第十六章排列组合与二项式定理13.2 复数的坐标表示16.1 计数原理Ⅰ——乘法原理16.2 排列16.3 计数原理Ⅱ——加法原理16.4 组合16.5 二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1 古典概型17.2 频率与概率第十八章基本统计方法18.1 总体和样本18.2 抽样技术18.3 统计估计18.4 实例分析*18.5 概率统计实验。

沪教版高中数学高二下册：11.4点到直线的距离-点到直线距离公式教学设计

经典永恒、只为初见[1]——“点到直线距离公式"教学设计与思考一、课标分析1、2017版课标明确指出:通过学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；提高“四能”（从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力）；发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值[2].初中学段，我们知道：一次函数)0(≠y的图像是一条直线，但一条直线是否bkx+=k对应一次函数，答案显然.故而，需要从另一角度（方程）去研究直线.“点到直线的距离公式”是上海数学教材高二年级第一学期第11章《坐标平面上的直线》的最后一节，放在第10章《平面向量》后，一方面巩固平面向量基础知识，另一方面体现向量在解决解析几何问题时的优越性.（新课标案例16 用向量方法研究距离问题.通过几何图形建立直观，通过代数公式表达规律[3]，探索并掌握点到直线的距离公式[4]，，强调“探索”二字）经过两点BA,可以确定一条直线，而向量可成为该直线的一个方向向量，基于此，第1节，学习直线的点方向式方程、点法向式方程、一般式方程；第2节，从刻画直线的倾斜角、斜率出发，研究直线的点斜式方程、一般式方程.（斜截式方程是点斜式方程的特殊情况、两点式方程是点方向式方程的特例、截距式方程又是两点式方程的特例，并与初中所说的一次函数by+=回应），而这四种形式中，点法向式方程、一般式方程没有任何限kx制条件，其余形式或多或少有限制条件.第3节，借助直线方程，研究两直线的位置关系，相交、平行、重合.相交求交点、求夹角，平行求距离.为了求平行线间的距离，第4节安排了点到直线的距离公式. [6]2、点到直线距离公式，放在两直线夹角公式探求之后，承前方法研究，得出公式，全不费功夫，因而根据新课标，创设情境，数学抽象，形成概念，数学建模，依托教材，设计实验，让学生去发现、验证、应用、拓展，据此思路，我设计了本堂课.这既是一堂新课，也是一堂习题课，一堂实验探究课，一堂科学方法体验课.学生既积累了基本活动经验，学习了新知识，体验了一般化思维策略，设而不求的解题策略，也强化了向量作为工具的意识，在学习过程中，力图发展其核心素养，会用数学眼光去观察实验数据，用数学思维去思考实验结论，用数学语言去表达规律.[5]3、点到直线的距离公式是解决理论和实际数学问题的重要数学工具之一，通过公式的秒算，学生对点与直线的位置关系的认识由定性的认识上升到了定量的认识.它既是直线这一章的终点，又是研究二次曲线的开始.通过向量法研究点到直线的距离，借助几何画板强大的计算、作图功能，为二元一次不等式表示的区域及线性规划的学习带来直观感受.点到直线距离公式的掌握，有助于学生后续研究一些常见的几何问题，如求两平行线间的距离，过一点求圆的切线方程，圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系，抛物线的标准方程推导等.二、学情分析1、新授课对象是一所区级重点中学，学生数学学习潜力不错，对向量知识掌握的很好.并且已经初步习惯用向量的方法解决问题.在《坐标平面上的直线》这一章里，学生已经学习过直线的点方向式方程，点法向式方程，一般式、点斜式方程的多种形式以及两直线的位置关系.在教学过程中，通过创设情景、数学抽象、形成概念、数学建模、设计实验、层层铺垫、搭建平台、让学生拾级而上，大部分学生都能完成公式的的发现与推导.2、根据学生已有的生活经验，创设情境，搭建平台，设置问题.片段一：数学抽象，形成概念，数学建模，一气呵成.片段二：将课本[6]例题1改造升级，点由)3,2(P改为)3-,2(-（有利于学生从形上发现所要研究的问题与点到直线的距离有关），制作成表格，发放给学生，让他们亲历实验，探索猜想，通过观察、比较、分析、归纳，从中发现规律，师生之间、生生之间相互合作参与，交流分享，由特殊——一般，猜想总结出点到直线的距离公式、数学运算、逻辑推理、水到渠成.同时，感悟数学研究的方法和数学思想，强化其科学精神，认识其科学价值.片段三：应用公式，掌握公式，在解决问题的过程中，享受学习的快乐、成功的喜悦，课后拓展，请学生研究资料，整理并写作数学小论文《例说探求点到直线的距离》，提升学生研究性学习能力，让每一个学生都得到最大限度的发展，愿景达成.三、教学目标1、创设情境，数学抽象，形成概念，数学建模，理解点到直线的距离公式的推导，会用公式求点到直线的距离，并能解决简单数学问题.2、经历向量法推导点到直线的距离公式过程，体验“特殊—一般—特殊”的思考策略，感悟数形结合、等价化归等数学思想方法.3、参与观察、比较、分析、归纳的数学实验研究，激发勇于发现、勇于探索的精神.同伴交流讨论，从中发现规律、获取知识、享受学习的快乐，感悟数学研究的方法和数学思想，强化科学精神.四、教学重点与难点重点：点到直线的距离概念的形成，探索公式的过程以及蕴含其中的科学研究方法. 难点：点到直线的距离公式的发现与推导．五、教学过程片段一：创设情景，引出课题师：请班级体育班委来立定跳远，大家思考一下，如何测量他立定跳远成绩?生1：测量脚后跟与起跳点的连线段的长度.生2：不对，脚后跟与起跳点的连线段的长度是两点间的距离，应该是脚后跟与踏板所在直线间的距离.生3：不准确，应该是脚后跟与踏板所在直线间的最小距离.师：对，测量的应该是脚后跟（点）与踏板所在直线间（直线）的最小距离.最小距离怎么测量？生4：可以先过点（脚后跟）作直线（踏板）的垂线，找到垂足，测量两点间的距离. 师：数学上，可以抽象为平面上有一点，有一条直线，过点作直线的垂线，找到垂足，这两点间的距离就是点到直线的距离（几何定义）.（数学抽象，形成概念）师：测量有误差，小学四年级教材里我们已测量过.随着年龄的增长，知识的增多，我们如何精确地知道点到直线的距离？（建立直角坐标系，点可用一对有序数对表示，直线可用二元一次方程表示，借助几何画板，数学建模转化为如下问题）求平面上一点(2,3)P --到直线:51230l x y +-=的距离.生5：先求出过点(2,3)P --且直线:51230l x y +-=垂直的直线方程09512:'=+-y x l ，然后联立两直线方程求交点，交点即为垂足，利用两点间的距离公式计算.师：思路很通畅，但计算需要一点时间，我们能否寻找一个公式型的规律，直接秒算出此类问题呢？这就是今天我们要实验探究的问题.片段二：实验探究，发现规律师：向量是近代数学中重要的概念之一，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的应用，尤其是数量积的应用.上一节我们利用直线的法向量数量积研究了两直线的夹角，今天我们继续利用直线的法向量数量积来研究该问题.已知点P 坐标为(2,3)P --，直线方程为:51230l x y +-=.（1）请写出直线l 的一个法向量n =r (5,12) ；计算n =r 13 ；（学生齐答）（2）请你在直线l 任取一系列的点123,,,Q Q Q L ，计算向量123,,,PQ PQ PQ u u u u r u u u u r u u u u rL ，再计算数量积123,,,n PQ n PQ n PQ ⋅⋅⋅u u r u u u u r u u r u u u u r u u r u u r L ，填入表格；（学生运算，教师巡视）点i Q i PQ u u u u ri n PQ ⋅u u r u u u u r （35，0）（135，3） 49（0，14）（2，134） 49（3，-1）（5，2）49 （3）写出你发现或猜想的规律，并加以说明；生1：当)12,5(=n 时，我猜想在直线l 上任取一点i Q ，数量积49i n PQ ⋅=u u r u u u u r 恒成立.师:你怎么取点？计算了多少次？(填表略).老师利用几何画板，移动点i Q ，相当计算了无数次，表格中的数量积永远不变，为49，老师也得出了同样的结论（多媒体辅助教学，功能强大，直观明了）.师:科学研究必须对实验产生的现象或结果进行分析，比如说这个结果49i n PQ ⋅=u u r u u u u r ，我们应该就以下几方面进行探讨.其一，造成数量积为定值的原因是什么？其二，数量积是49，而不是其它的数，为什么？其三，定值49又与什么有关？(学生就这三点进行分组讨论交流)生2: 从几何图形上看，造成数量积为定值的原因是点P 到直线的距离.从数量积的定义上看，cos i i n PQ n PQ θ⋅=⋅⋅r u u u u r r u u u u r (θ是两向量n 与i PQ 的夹角)，而n r 是定值，cos i PQ θ⋅u u u u r 表示的是动向量i PQ 在法向量n 上的投影长度，在几何图形中，即点P 到直线l 的距离，这也是定值，从而造成数量积是定值.即： ||cos ||n PQ d ii =⋅=θ （引导学生观察几何画板，可知：向量n 与i PQ 的夹角)2,0[πθ∈，从而0>d ）师：向量可用坐标表示，大家能否从向量坐标上进行分析.生3:因为(,)i i i Q x y 是直线:51230l x y +-=上任意点，则51230i i x y +-=，即3125=+i i y x ，又(2,3)P --，(2,3)i i i PQ x y =++u u u u r5(2)12(3)(512)4634649i i i i i n PQ x y x y ⇒⋅=+++=++=+=r u u u u r .师：请大家求出点P 到直线l 的距离.点P 到直线l 的距离4913d =(全班同学齐答) 师:分母是法向量)12,5(=n 的模，分子49与哪些因素有关? 生4:与点)3,2(--P 坐标，直线方程03125:=-+y x l 有关.将点P 的坐标)3,2(--代入直线方程的左边计算可得：493)3(12)2(5-=--⨯+-⨯，距离为1349-. 师：距离为非负数，怎么回事？再次引导学生观察，几何画板强大的计算功能，给定一条直线，其法向量有无穷多个，若当法向量为()12,5--=n ，计算发现：在直线l 上任取一点i Q ，都有49-=⋅i PQ n （在几何画板里拖动点i Q ，数量积i PQ n ⋅恒为定值-49）.事实上，向量n 与i PQ 的夹角],2(ππθ∈，从而0cos <θ，所以||cos ||n PQ n PQ d ii -=⋅-=θ.随后，控制法向量n ，在直线l 上任取一点i Q 都有i PQ n ⋅恒为定值，该定值与法向量n 有关，但点到直线的距离d 永远不变（图形可见）.所以，134913|49|||=-==n PQ n d i . 继续追问，能否将点一般化为00(,)P x y ,直线一般化为0ax by c ++=，猜想并写出点P 到直线l 的距离d 的形式吗?（至于，点P 在直线上000ax by c ⇔++=；点P 在直线法向量),(b a n =指向的同侧000ax by c ⇔++>；点P 在直线法向量),(b a n =指向的异侧 000ax by c ⇔++<.留待下堂课继续讨论）.生5: 猜想点P 到直线l 的距离应该为0022ax by cd a b++=+.师:请全班同学证明这一结论.证明：Q 直线l 的法向量(,)n a b =r ，设(,)i i i Q x y 是直线l 上的任一点，则0=++c by ax i i ，又00(,)i i i PQ x x y y =--u u u u r ，所以i n PQ d n ⋅==r u u u u rr == 2200||b a c by ax +++=即：d =学生6的书写过程用实物投影展示分享)至此，点到直线的距离公式水到渠成.注:(1)解析几何的本质是用代数的方法来解决几何问题，向量既有形，又有数，是解决解析几何问题的有力工具；(2)“设点坐标而不求点坐标”、“整体代换”常常是减少解析几何运算量的有效途径，体现了数学的内在美；(3)点到直线的距离公式的推导方法很多，百度百科给出了七种方法，数学类杂志刊物上关于点到直线的距离公式推导及相关论文很多，个人认为：2017版新课标案例16归纳总结了三种方法：综合几何方法，解析几何方法，向量方法[3]，最为全面，分类更为合理.课后请同学们去阅读.同时，参考课外拓展资料，自己尝试学写数学小论文《例说探求点到直线的距离公式》.片段三：运用公式，解决问题例1 求下列点P 到直线l 的距离，并填入下表：注：这是基础例题，正用公式，巩固点到直线的距离公式.(尽可能多地反映各种情况，其中第（4）、（5）小题是两种特殊情况，当直线0:=+c ax l ，||0a c x d +=；当直线0:=+c by l ，||0bc yd +=) 例2 已知两直线方程分别为1:51230l x y +-=和2:512100l x y ++=(1)判断两直线的位置关系;(2)能否求两直线间的距离,若能,请求出来.注：转化为点到直线的距离.引导学生先计算出两平行线间的距离1d =.然后再一般化, 导出，两条平行线1122:0,:0l ax by c l ax by c ++=++=之间的距离公式：d =.并请一同学上黑板书写证明过程，感悟转化化归思想、设而不求、整体代换策略. 例3 （1）直线4340x y -+=与直线860x y a -+=的距离为2，则实数a = 28或-12 .（2）点(4,)P a 到直线4310x y --=的距离不大于3，则实数a 的取值范围为 . （3）若点(,)P x y 是直线20x y +-=注：学生练习，教师巡视，随时进行个别辅导，并及时评价.在学生掌握了例1、例2后，出示例3，利用公式进行探究，感悟方程思想、化归思想，数形结合思想、不等式在数学解题中的应用，多角度使用公式，及时评判学生在学习过程中的表现、目标达成度，夯实基础知识、基本技能、获得基本思想、基本活动经验，指引学生向新的目标进发.六、愿景与反思1、本课重点在于点到直线的距离概念的形成，从测量立定跳远成绩中，经历数学抽象，形成数学概念，通过数学建模，获得基本活动经验，在探索公式的过程中，借助几何画板的强大计算功能、图形功能，先控制变量)12,5(=，得出49=⋅i PQ n （变化中的不变）；几何说明，代数演绎，计算发现493)3(12)2(5-=--⨯+-⨯，出现数据符号差异，进而分析数据，寻找数据产生的原因，通过控制变量法研究，较好地感悟科学研究的基本方法，基本思想，认识数学的科学价值，本堂课相较其它各种推导方法，更有利于学生了解科学探究的流程及方法.2、点到直线的距离公式的推导方法很多.学生很容易转化为点——点距离，通过计算求交点，再用两点间距离公式，思路顺畅，然计算很繁.因此只需要学生说出思路即可.此时，教师快速提出，能否得出一个公式型的规律，秒算其答案.因此将课本例题设计成向量探究题，在探究过程中，从形、数两方面，特殊到一般发现并证明点到直线的距离公式，充分体现教师的主导作用，同时，公式2200||b a c by ax d +++=的形式和谐、简洁、对称，无疑是一种010a ≤≤美.对学生而言，只要知道点的坐标，直线的方程，秒算距离，公式的应用价值不言自明，多棒！利用向量方法推导出公式，设而不求，整体代换，几步完成，方法何其美妙！哪里有数，哪里就有美.[7]3、课堂是一种独特的情境.教师因其特殊地位成为了核心人物，作为一名教师，自己的课堂更值得仔细研究，只有这样你才能对自己的教学选择明智有效的策略[7].本课堂力求营造民主、宽松、和谐的氛围，让学生或显性（讨论、答问、交流、展示）或隐性（聆听，苦思）地参与教学过程，给学生以思考时空，让学生自己发现问题，导出公式，自己尝试解决问题，初步尝试到科学探索的乐趣，激发其积极性，培育其创造性，感悟到科学方法的训练.同时，本课堂设置了不少例题，例题选取力图内容浅显、方法多样、知识面广，前后联系紧密，设置的目的在于落实基础知识，基本技能，数学思想方法的渗透，期望发展数学运算、数据分析等核心素养.例题多，容量大，促使学生积极思考，增进师生、生生交流，规范数学语言表述，提升课堂教学效率，重视过程，及时反馈、及时评价，引导不同学生向更高一层迈进，让全体学生都感受到成功.课后尽量减少重复性、机械性的作业与练习，让学生远离题海，保留学习兴趣.通过发放拓展资料，让学生自主选择，自主学习，人人都能获得良好的教育，不同的人在数学得到不同的发展[5].4、多媒体辅助教学，几何画板中的计算功能、图形显示，动画显示，增大了课堂容量，增强了课堂直观，提高了教学效率，关注学习进程，设置科学训练，及时反馈评价，重视数学表达，都为教学目标达成提供了良好的支撑.5、数学素养最直接的体现：会用数学眼光观察（看）世界；会用数学思维思考（想）世界；会用数学语言表达（说）世界.[5]数学的价值，不仅在于能够给人以数学知识、数学技能和数学方法的实用价值，更重要的在于它的文化价值.南京大学教授郑毓信老师在其专著《数学文化学》中说：“数学文化价值主要是指数学学习对于人们思维方式、价值观念乃至世界观等方面的影响，尽管这种影响是潜移默化的，但确实存在.”“数学文化价值的充分发挥不能依赖于空洞的说教，而必须通过实际的数学活动，特别是数学教学才能真正得以实现”[9]“点到直线的距离公式”是高中数学教材中，能够设计此类数学活动难得的载体，经典！永恒！通过这一载体，设计适切的活动方案，同学生一起，经历数学抽象、概念形成、数学建模、实验探究、数据分析、数学运算、规律猜想、逻辑推理、拓展应用、过程评价等一系列探究过程，感悟科学研究方法，从而认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值，力图实现中华人民共和国教育部为我们广大一线教师制定的课程目标，甚感欣慰.。

高二下册数学(沪教版)知识点归纳

高中数学(沪教版)知识点归纳

沪教版高中数学高二下册第十二章12.5 双曲线的标准方程教案

沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程 教案

第4章 数列 高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)

高二下册数学(沪教版)知识点归纳

沪教版高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质——焦点弦的常用结论 教案

2023-2024年上海沪教版高二第二学期期末数学--核心考点11 概率初步(续)(解析版)

上海沪教版教材高中数学知识点总结

上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程

沪教版高二数学知识点

沪教版(上海)数学高二下册-11.4 《点到直线的距离公式》 教案

沪教版高中数学高二下册第十二章12.4 椭圆的性质-椭圆 光学几何性质课件(共12张PPT)

(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第3讲 组合(考点定位精讲讲练)(学生版)

沪教版高二下数学知识点

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式 教案

高中数学目录(沪教版)

沪教版高中数学高二下册：11.4点到直线的距离-点到直线距离公式教学设计

沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程教案

第4章数列高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)

沪教版高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质——焦点弦的常用结论教案

沪教版(上海)数学高二下册-11.4 《点到直线的距离公式》教案

沪教版高中数学高二下册第十二章12.4 椭圆的性质-椭圆光学几何性质课件(共12张PPT)

(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第3讲组合(考点定位精讲讲练)(学生版)

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式教案