平面任意力系(有汇交力偶总结)

2 x y
2
tan
FRy FRx

F F
y
x
二、平面汇交力系的平衡条件
1、几何条件：
力多边形自行封闭；
2、解析条件：
F F
x y
0 0
为平面汇交力系的平衡方程
平面力偶系
一、平面力偶系的合成
由若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一个合力偶。 平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和， 即 M=mi..
Fy 0 M o ( F ) 0
y
二矩式：
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
O
x
其限制条件为： A、B矩心连线不与各力作用线平行。
3、主矢和主矩的解析表达式
F1x F2 x Fnx Fx FRx
F1 y F2 y Fny Fy FRy
所以，主矢的大小和方向可分别 由以下两式确定：
y
’ F F 34 F m m3 R F1 2 m1 O O F4’ m4 F1’ MO O F5 ’ m F 5 F3 5
力线平移定理的应用实例
厂房柱子受偏心载荷F 的作用
F’ 力的平移定理的逆定理亦成 立,即:平面内一力和一力偶可 由一力等效代替。
O
F’
O A
F
M
二、平面任意力系向已知点的简化
F2 F4 F2’ F3’ m3
O
F1
O
m2
F3 F5 m1 F1’
F R
O
m5
Fi Fi
F4’ m4 F5’
MO
此时原力系为一平衡力系。
由上可知，平面任意力系简化的最后结果有三种 可能性，即：可能为一个力、可能为一个力偶、或者 可能平衡。
综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为： ① 任选一简化中心； ② 计算力系的主矢和对简化中心的主矩； ③ 对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。
三、平面任意力系的平衡条件及平衡方程
F FR
注：当简化中心不同时，主矢的大小、方位和指向并不改 变。因此力系的主矢与简化中心的位置无关。所以主矢是 自由矢量，并不涉及作用点 。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
2、主矩
平面附加力偶系可合成为一力偶，其力偶矩等于各附加 力偶的力偶矩的代数和，即：
M O m1 m2 mn mi
m1 mO F1 m2 mO F2
……
mn mO Fn
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
M O mi mO Fi
将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简 化中心O的主矩，即：
FAy 固定支座所产生的约束 反力可用水平、铅垂两个方 向分力及一个约束反力偶共 三个约束反力构成。 MA A
FA FAx
4、简化结果分析
(1) 当主矢FR 0，主矩 M O 0时 FR’
O
由力的平移定理的逆过程 可知，原力系最后可以简化为 一个合力。
合力作用线到点O的距离d， 可由下式计算：
两矩心A、B的连线不能垂直于投影轴x。 (2) 三矩式：
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M (F ) 0 C
CLeabharlann BaiduB
F
A
x
其限制条件为： A、B、C三个矩心的连线不共线。
四、平面平行力系的平衡方程
——各力的作用线均相互平行的力系.
平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：
Fi FR
mi mO Fi
M O mi mO Fi
结论：平面任意力系向已知点简化的结果为一力和一 力偶。将该力称为主矢；该力偶称为主矩。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
1、主矢
该力等于汇交力系的矢量和，即：
O
FR’ d
A
FR
MO
MO d FR
(2) 当主矢FR 0，主矩 M O =0时 此时原力系与一力等效。这个力就是原力系的合力。该 合力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用线通过简化中 心O。 (3) 当主矢FR =0，主矩 M O 0时 此时原力系只与一个力偶等效。 只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因 为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关， 也就是说，原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不 变的力偶。 (4) 当主矢FR =0，主矩 M O = 0时
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简 化中心的主矩同时为零，即
0 FR M o 0
2 2 F F x y 0 M o ( F ) 0
而
所以
Fx 0 Fy 0 M o F 0
F2 F2’
x
2 FRy 2 ( Fx )2 ( Fy )2 FR FRx
FRy Fy arctan arctan FRx Fx
在平面力系的情况下，力系对简化中心的主矩是代数量， 可直接由下式计算：
M O mO Fi
对固定支座的分析
（3）比较二者结果，可得出何结论？
A F D C
E
30 B
思 4 ：图示一圆盘在一力偶和一力作用下处于静止， 这是否说明一个力与一个力偶可以平衡？
M
O
F
平面任意力系
——各力的作用线位于同一平面内且任意分布的力系.
工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来 处理。
一、力的平移定理
F
O
（2）力F沿x、y轴方向的分力的大小与力F在这两轴上的投
影的绝对值相等；
（3）用力多边形法则求合力时，可任意改变各力矢作图顺
序；
思3、图示支架，A、B、C处均为铰链连接。设杆的 自重不计，在AC杆上的D点作用一铅直力F。 （1）试用几何法求A、B处的反力；
（2）将力F沿作用线移至BC杆上的E点，再求A、B 处的反力； a a
内容回顾:
1、几何法：
平面汇交力系
一、平面汇交力系的合成
依据：力的平行四边形法则可合成为一过汇交点的合力。 各力矢的矢量和： FR F1 F2 Fn Fi 2、解析法： 依据：(1)力在轴上的投影； (2)合力投影定理；
2 2 FR FRx FRy
F F
A
O
F' d F ''
F F
O
M
F F F
M M O F Fd
力的平移定理：作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平 行移至刚体内任一指定点。欲不改变该力对于刚体的作用效果， 则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩 等于原力对于指定点之矩。
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球 心（球的质心），则球将移动而不旋转；但若力的作 用线与球相切——“削球”，则球将产生移动和转动。
F1 F1
所以
F1 F2 Fn F FR
F2 F2
……
Fn Fn
FR F F
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
将平面任意力系中各力的矢量和称为该力系的主矢，即
二、平面力偶系的平衡条件
m 0
三、其它
为平面力偶系的平衡方程
1、力矩及其性质； 2、力偶、力偶矩及其性质； 3、合力矩定理
思1、试分析下列平面汇交力系的力多边形中各力矢之 关系。
F3 F3 F2
F1
F2
F1
F2 F3
F2 F3
F1 F4
F1 F4
思2、试判断下列说法是否正确：
（1）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力相等；
M O mO Fi
注：一般情况下，主矩一般与简化中心的位置有关。所以， 说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩。
综上所述：
平面任意力系向作用面内任意一点简化的 结果一般可以得到一个力和一个力偶； 该力作用于简化中心，它的矢量等于原力 系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢； 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 的矩的代数和，即等于原力系对简化中心的主 矩。
为平面任意力系的平衡方程。
注：它有两个投影方程和一个力矩方程，且其相互独立， 我们称其为平面任意力系的投影式方程。
为应用方便，其平衡方程形式还有二矩式和三矩式。
(1) 二矩式：
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
B A
F
x
其限制条件为：