能量和能流
波的能量和能流声压和声强
引起人旳听觉声强范围是 1012~1W/m2，相差较大。
声强级：
LI
10 lg
I I0
单位：分贝，dB
I 0 10 12 W/m 2
相当于 1000Hz 旳声波引起听觉最弱旳声强。
与声音响度成正比，
乐音：强度不太大，近似周期性或几种周期性旳波 合成旳声波。
噪音：强度太大，不同周期性或许多种周期性旳波 合成旳声波。
对于平面简谐波： V x y 以P表达声压，故： V x x
P K y K Asin(t x) u2 Asin(t x)
x
u
u
u
u
uAsin(t x)
u
声压旳振幅： Pm uA
3.声强
声波旳平均能流密度叫声强。
I 1 A2 2u 1 Pm2
2
2 u
单位：W/m2
4.声强级
二、能量密度
1.能量密度
单位体积内旳能量
w dE dV
dE ( dV )A 2 2 sin 2 (t x / u )
w A2 2 sin2 (t x / u)
2.平均能量密度 能量密度在一种周期内旳平均值。
w A2 2 sin2 (t x / u)
w 1
T
dt
T0
A 2 2
T
0T
1 A 2 2
2
sin 2 (t x / u )dt
伴随振动在介质中旳传播，能量也从介质旳一端传 到另一端，波动是能量传递旳一种形式。
三.能流、能流密度
1.平均能流 单位时间内垂直经过介质中某一面积旳能量。
在介质中取体积 V体
波速方向垂直于面积S 长为 u ，则能流为
P wV体 w uS
农业生态学3农业生态系统能流
同化量 A
生产量P
现存量改变 ΔB
十分之一定律 生态系统中，能量在食物链上流动，上一营养级大 约只能固定下一营养级能量的10%，这种规律称之 为十分之一定律。
3.生态系统能流
生态系统水平的 能量流动和食物 链水平的能量流 动有何区别？生 态系统的结构和 能量高效利用有 何关系？
(1)草牧食物链
从绿色植物开始，从小到大，从弱到强，弱肉 强食，存在明显的捕食关系和血淋淋的斗争，所以 又叫捕食食物链。
捕食中以活有机体为食，所以也叫活食食物链。
水稻-稻飞虱-青蛙-蛇-鹰
(2)腐食食物链
食物链成员与 死的有机体为食 ，通过腐烂分解 ，由腐生成员构 成的食物链
动物尸体-蝇-真菌-细菌
2.能量的形式及转化
太阳辐射能
热能
热能
动能
植物呼吸 动物呼吸 动物运动
势能
有机物化学能
有机物化学能 动物登高
有机物
光合
取食
动物取食 化学能
作用
动物发光
动物放电
光能
动物发声
电能
声能
生态系统中的能量形式及转换
3.生态系统的能源
太阳能
辅助能
自然辅助能 人工辅助能
生物辅助能 工业辅助能
太阳能
除太阳辐射能以外， 其它进入系统的任何形式 的能量。
农业生态学3农业生态系统能流
第三章 农业生态系统的功能—能流
一、能量流动的基本原理 二、能量流动过程 三、能流模型及能流分析 四、能流与生态系统生产力
一、 能量流动的基本原理
1.能量的概念
力学定义能量是：物体做功能力的量度。 物体对外界作了功，物体的能量要减少；反过来， 若外界对物体作了功，物体的能量就要增加。如某 些动物搬运食物，则动物对外界作了功，体内的化 学能减少。 生态系统中各组分的存在、变化及其发展，都与 能量息息相关，遵循一定的能量变化规律。
1-6公式
§6、电磁场的能量和能流Energy and Energy Flow of Electromagnetic Field 电磁场是一种物质，它具有内部运动。
电磁场的运动和其他物质运动形式相比有它的特殊性一面，但同时也有普遍性的一面。
即电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。
本节先用电磁场运动的基本规律——Maxwell’s equations和Lorentz力密度公式讨论电磁现象中能量转换和守恒定律的表现形式，从而求出电磁场能量和能流。
一、能量守恒与转化：能量：物质运动的量度。
表示物体做功的物理量。
机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
守恒与转化：能量可以相互转化，但总量保持不变。
电磁能：电磁场作为一种物质，具有能量和动量，电磁场弥散于全空间，电磁能也应弥散于全空间。
认识一种新物质的能量从能量转化入手。
热能：从机械能转化认识到热能的存在以及怎样量度。
电磁能：从电磁场中带电体系做功入手。
我们讨论电磁场能量问题，是以功和能的关系、能量守恒原理和代表电磁现象普遍规律的Maxwell’s equations和Lorentz力密度公式为依据的。
二、机械功与场能的变化关系：求电磁场的能量，是通过电磁场和带电物体相互作用过程中，电磁场的能量和带电物体运动的机械能相互转化来进行的。
为此，我们研究运动的带电物体受电磁场的作用而引起的总机械能量的变化。
1、电磁场对运动带电体系所作的功设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为ρ，运动速度为v J dtr d v ρ==， △ 带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）()B ⨯+E =B ⨯+E = v J f ρρ △ 在dt 间隔内，对体元dV 所做元功：dr fdV dr v dt()⋅=()f vdVdt v v v dVdt JdVdt ρE ρB E ⎡⎤⋅=⋅+⨯⋅=⋅⎣⎦△ 对整个带电体单位时间所做功：V dA JdV dt E =⋅⎰ （功率），电磁场对物体（即带电体）所做功转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦耳热）2、功与场量的关系： 由tD H J t D J H ∂∂-⨯∇=∂∂+=⨯∇ , 得()D F J H tE E ∂⋅=⋅∇⋅-⋅∂利用 ()()()H H E H t E E B E ⎧∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯⎪⎨∂⎪∇⨯=-∂⎩ ()()()()()()V V H H E H H E H t D B f v E J H E H t t D B JdV H dV E H d t t ∑B E E E E E ∑∂⋅∇⨯=⋅∇⨯-∇⋅⨯=-⋅-∇⋅⨯∂∂∂⋅=⋅=-⋅-⋅-∇⋅⨯∂∂⎡⎤∂∂⋅=-⋅+⋅-⨯⋅⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰＊ dV w W V⎰= 三、能量密度与能流密度矢量1、能量密度()0V S d H d ∑∑∑E ∑→∞⋅=⋅⋅→⎰⎰ ，（原因：运动电荷产生的电磁场一般由两部分组成： ⑴向外传播的电磁波（他在无穷远处为零）； ⑵与场源有关的场？） 在此种情况下dA dW dW dt dt dt'=-= 假定介质无热损耗（介质极化要产生热能，导体电流流动要产生焦耳热），全空间只有运动带电体系和电磁场。
电磁驻波中的能量与能流分布探讨
电磁驻波是电磁学中一个重要的研究课题。
它不仅可以提供精确的电磁场数据，而且可以用来探索电磁场中的能量和能量流分布。
首先，讨论电磁驻波中的能量分布。
电磁驻波中的能量主要来自电场和磁场，即电磁能量。
电场和磁场的能量密度分布可以用电磁能量密度的概念来解释。
它表明，电磁驻波中的能量密度分布是电磁功率的功率密度的函数。
电磁功率的功率密度可以用电功率和磁功率的功率密度的概念来解释。
其次，讨论电磁驻波中的能量流分布。
电磁驻波中的能量流是由电场和磁场的能量流决定的，它是一种电磁能流密度的概念。
电磁能流密度可以用电功率和磁功率的功率密度的概念来解释，电磁功率的功率密度是电磁能量的功率密度的函数。
因此，电磁驻波中的能量流分布与电磁能量的分布相关。
综上所述，电磁驻波中的能量主要来自电场和磁场，而电磁驻波中的能量流分布与电磁能量的分布相关。
电磁能量的功率密度可用电功率和磁功率的功率密度的概念来解释，而电磁能流密度可以用电磁功率的功率密度来解释。
因此，电磁驻波中的能量和能量流分布是电磁功率的功率密度的函数，可以反映电磁场的状态。
能量守恒定律2能量密度和能流密度带电体受电磁场的洛伦兹力
场对电荷所作的功为：
dW f d r
W f d rdV
场对电荷单位时间所作的功为(功率)：
dr dP f f v dt
S d
S
P f vdV
V内场的能量增加率为：
dW dt
S V
, J
d wdV dt V
d wdV V dt
J f t
D f
D J 0 t
D J 0 t
D (J ) 0 t
（２）
J E
2 rLE 1
E
0 f
f L
2 r
f f 1 f J E 2 r t 2 r t f
I2 l 2 2 P Sr 2 al 2 3 2 al I I R 2 2 a a
14. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷 电为 ，极间填充电导率为 的非磁性物质．
f
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消， 因此内部无磁场。 （2）求 f 随时间的衰减规律． （3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度 （4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于 这段的静电能减少率 解：（1）
B E H H E E H H E H t D B f v E J H E H t t
通过界面S流入V内的能量为：
S d
S
能量守恒定律
S d
S
V
d f vdV wdV dt V
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
能量和能流
为电荷的动能，或者变为焦耳热。场对介质中束
缚电荷所作的功转化为极化能和磁化能而储存在 介质中，也可能有一部分转化为分子热运动（介 质损耗）。当外场变化时，极化能和磁化能亦发 生变化，如果不计及介质损耗，则这种变化是可
逆的。
介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定， 一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化 状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一 起考虑，成为介质中的总电磁能量。 S和w就是这 种总电磁能量的能流密度和能量密度。 介质中场能量的改变量为:
2. 真空中 在真空中，相互作用的物质是电磁场和自由电 荷，能量在两者之间转移。 在真空中 H 因此
1
0
B
D 0E
S
1
0
EB
1 1 2 2 w ( 0 E B ) 2 0
3. 介质中 在介质中，相互作用的系统包括三个方面：电磁
场、自由电荷、介质。 场对自由电荷作功的功率密度为J · E，它或者变
第六节 电磁场的能量和能流
一、场和电荷系统的能量守恒定律
电磁场是一种物质，它具有内部运动，其能量按一定方
式分布于场内。而且由于场的运动，场的能量并不是固
定地分布于空间中，而是随着场的运动在空间中传播。 因此，各处的场，能量可能变化，我们需要引人两个物
理量来描述。
1. 场的能量密度 （用w表示）
它是场在单位体积内的能量。是坐标和时间的函数，记 作w(x,t)。
D B H 将 f v J E ( E H ) E t t
代入
w S f v t
w D B S (E H ) E H t t t
得
所以，定义：
S EH
7.3波的能量和能流密度
x
dx
y
y dy
x x
7.3 波的能量和能流密度
[补充：物体弹性形变的势能(以棒伸长为例) 棒在外力F 的作 F F 用下伸长,外力对棒 作了功,此功转变成 棒的势能,当棒伸 长 x 时 ,有
x F YS L
所以,当棒伸长 L ,力 F 所作的功为
7.3 波的能量和能流密度
YS A Fdx xdx 0 0 L 1 YS 1 L 2 2 (L) YSL( ) 2 L 2 L
平均能流
P w vS
2 能流密度(波的强度) I ： 通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流
P I wv S
1 2 2 I A v 记住 2
1 2 2 或 I A v 2
7.3 波的能量和能流密度
三 平面波和球面波的振幅(略) 1 平面波的振幅 理想的弹性介质在波的传播过程中不 吸收能量,各处的振幅相等 2 球面波的振幅 介质中任意一点的振幅和该点到波源的 距离成反比
记住73波的能量和能流密度二波的能流和能流密度波的能流单位时间内通过介质中与波传播方向垂直的某一横截面的能量73波的能量和能流密度平均能流通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流73波的能量和能流密度三平面波和球面波的振幅略平面波的振幅理想的弹性介质在波的传播过程中不吸收能量各处的振幅相等球面波的振幅介质中任意一点的振幅和该点到波源的距离成反比证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比并求球面简谐波的波函数
y A x sin (t ) x v v 1 y 2 dE p Y ( ) dV 2 x 1 2 A2 x 2 Y sin (t )dV 2 2 v v
7.3 波的能量和能流密度
3波的能量与能流、声压与声强
dengyonghe1@
I∝A
2
2 1 2 2
（1）对于平面波： ）对于平面波：
s1 = s2
∴ A1 = A2 ; I1 = I 2
I1 r2 A1 r2 ∴ = ; = I 2 r1 A2 r1 A1 r2 I1 r ∴ = ; = A2 r1 I 2 r
2 2 2 1
dengyonghe1@
P = wuS
1 2 2 = ρA ω uS 2
2.平均能流密度----波强I 平均能流密度----波强I ----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积 上的平均能量。 上的平均能量。
1 P 2 2 I= = wu = ρA ω u 2 S
单位：J•s−1•m−2 ， W •m−2 单位：
= ρuωA sin(ωt −
声压的振幅： 声压的振幅：
ω
u
x)
Pm = ρuωA
3.声强
声波的平均能流密度叫声强。 声波的平均能流密度叫声强。
1 2 2 1P I = ρA ω u = 2 2 ρu
2 m
单位： 单位：W/m2
dengyonghe1@
4.声强级
相差较大。 引起人的听觉声强范围是 10−12~1W/m2，相差较大。 声强级： 声强级：
∂y ω ω = A sin(ωt − x) 质元的形变： 质元的形变： ∂x u u 2 1 ∂y 1 2 ω2 x 2 dE p = E dV = EA 2 sin ω (t − )dV 2 ∂x 2 u u 1 2 2 2 ∴ dEP = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 dengyonghe1@
§1.6-电磁场的能量及能流解读
则： w S E D ( E H ) E H t t
D B E H (E H ) t t
对比上式的左右对应关系，显然有：
由微分算子公式： (E H ) E H E H
②在线性介质中： D E, B H 1 2 1 2 w E H 有： 2 2 S E H
电动力学
电动力学
3、电磁场能量的传输
由前面的讨论： S EH
显然，电场、磁场与电磁场的传播方向构成右手系。 例：对于内外半径为a、b的同轴导线，其中通有电流I， (1) 若导线为理想导体 (2) 若导线的电导率为 分别求能流密度。 解:(1) 若为理想导体，导体内为等势体，电场为0，若同轴 线间的电压为U,若同轴线间的电场强度为E，导线的
w D B E H t t t S E H Poynting矢量
电动力学
电动力学
讨论：
①在真空中：D 0 E, B 0 H
w 1 2 2 E H 0 0 则： t 2 t S E H 1 1 2 2 w E H 0 0 显然有： 2 2 S E H
线电荷密度为，则: 2 rlE l
所以： E er 2 r
电动力学
电动力学
显然： a 2 r dr U 2U 则： b log a U 1 由此得： E er br log a
b
H 若导线通有电流I，则：
所以： S
I 2 r
e
UI
ez er e b 2 r b r2 r log 2 log a a b ez UI 单位时间输运的能量为： S dA 2 rdr UI 2 a b A 2 log r a 电动力学 U I
5.5时变电磁场的能量与能流5.7 波动方程
S dS
s
s (er
I2 2 2b3
) erdS
I2 2 2b3
2bl
I 2l b2
I2R
由上式可知，从导线表面流入的电磁能量转化为导体内部的热损 耗。坡印廷定理得以验证。
5.7 波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程组限定形式为
w
(r,t)
we
(r,t)
wm
(r,t)
1 2
D(r , t )
E(r,t)
1 2
B(r, t )
H (r, t)
可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，空间各点能量密
度的改变引起电磁场能量的流动，即电磁能量在空间传输形成电磁能
流。
2. 坡印廷定理
设如下图所示的区域 V 中，媒质是线性且各向同性的，则此区域
因此，坡印廷定理从场的观点，描述了时变电磁场中能量的守恒 和转换关系。
3. 坡印廷矢量（能流密度矢量）
为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入坡印廷矢量 S ，定义 为：
S EH
（W/m2）
S的方向：由式可知，S 与 E 及 H 垂直，又知 E H ，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 和 H 与 S 构成右旋关系，如 图示。
H J E
t
E H
t
两边取旋度 E H
t
H 0
E
将矢量恒等式 E E 2E
得 E 2E H
t
电磁场的能量和能流
t
而当V→∞时，通过无限远界面的能量为零，有：
v f
vvdV
d dt
wdV
表明场对电荷所作的总功率等于场的总能量减小率
4
2、电磁场能量密度和能流密度的表达式
由Lorentz力公式：fv
v E
v J
v B
v E
vv
v B
v f
vv
w
v S
ห้องสมุดไป่ตู้
0
t
根据能量守恒定律表达式有：
w
v S
v f
vv
v E
vv
量，方向为电磁场能量流动的方向。描述能量在场内的传播
v S
W
t
evn
(2) 能量守恒
单位时间通过界面S流入V内的能量可以用
能流密度表示为：
W
v
ÑS S
dv
dv
evn
v
S
S
2
由于在V内存在电荷和电流分布，因而流入的电磁场会对电荷做
功，使得系统的机械能增加，单位时间内电磁场对电荷所作的功
为：
Wm
V
v B
vv
vv E J
t
v
v
v H
v J
v D
t
v E
v
v H
D t
v E
D
t
v E
v H
E B t
v E
D
v (E
v H)
v H
Ev
t
v E
v H
v E
v D
v H
v B
v (E
v H)
v H
Ev
v E
v H
电磁场的能量和能流
i j
i
j i j n n
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若 i）区域 V 内给定自由电荷分布 r f ( x ) ； ii）区域 V 的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
V Vi
i
我们假设每个小区域都是各向同性的介质，每个小区 域 Vi 的自由电荷体分布为 r f ( x ) ，电容率为 i 。 在上述基本条件下，有： ① 电势在每个小区域满足泊松方程：
Ñ2fi ( x ) = -
r f ( x) ei
（2.1）
(有几个区域就有几个对应的泊松方程) ② 在相邻区域 Vi 与 V j 的分界面上， 电势还必须满足如 下的边值关系（分界面上无自由电面分布） ：
有导体存在时静电势的边界条件：
边界 常数
e2
¶f2 = -s f ¶n21
静电场总能量：
W= = 1 E × DdV (general) 2 ò¥
1 fr f dV ( only holds for electrostatic field ) 2 ò¥
§2.2 静电场的唯一性定理 上一节内容中， 我们利用静电场的特点 （无旋特性） ， 引入了静电标势， 并给出了其满足的微分方程； 因此， 关于静电学的基本问题就变成求解电势在所有边界 上满足边值关系或者给定边界条件的泊松方程的解。 然而，我们知道，对于同一个静电场，所求的电势解 如果不是唯一，那它们至多相差一个常数。 本节将回答这样一个问题：电势要满足哪几个条件， 就能唯一确定（求解）静电场。 我们将从以下两个方面讨论唯一性定理： 一般形式的唯一性定理（一般形式，这是指分界面 上无自由电荷面分布的情况） 有导体存在时的唯一性定理（这是指分界面上存在 自由电荷面分布的情况） 1、一般形式的唯一性定理 1）问题的提出： 假设所研究的区域 V 可以分为若 干个均匀的小区域 Vi ，
电磁场能量密度与能流密度的计算及物理意义
电磁场能量密度与能流密度的计算及物理意义电磁场在物质世界中无处不在，它们对我们的日常生活和现代科技发展起着至关重要的作用。
电磁场中能量密度和能流密度是描述电磁场特性的重要参数，对于探究电磁场的性质和认识电磁作用具有重要的意义。
本文将从电磁场能量密度和能流密度的计算方法、物理意义以及在现实生活中的应用等方面展开讨论。
电磁场能量密度的计算及物理意义能量密度的定义在电磁场中，能量密度表示单位体积内所含有的电磁场能量。
电磁场的能量密度可以通过电场和磁场的能量计算而得。
对于电场能量密度u e，可以通过以下公式计算：$$ u_{e} = \\frac{1}{2}\\varepsilon_0 E^2 $$其中，$\\varepsilon_0$为真空中电容率，E为电场强度。
对于磁场能量密度u m，可以通过以下公式计算：$$ u_{m} = \\frac{1}{2\\mu_0}B^2 $$其中，$\\mu_0$为真空中磁导率，B为磁感应强度。
能量密度的物理意义能量密度是电磁场能量在空间分布的描述，其数值大小代表了单位体积内所蕴含的电磁场能量。
能量密度的概念有助于我们理解电磁场的存储能量和传递能量特性。
能量密度的计算根据上述公式，我们可以通过实际电场和磁场的强度数值计算出电磁场的能量密度。
在具体问题中，可以根据实际情况选择适当的电场和磁场计算公式进行计算。
电磁场能流密度的计算及物理意义能流密度的定义能流密度表示单位时间内通过单位面积的能量流量。
在电磁场中，能流密度是描述电磁能量传输和传播的重要参数。
电磁场的能流密度可以通过电场和磁场的关系计算。
能流密度的物理意义能流密度描述了电磁场中能量的传输方向和速率，它说明了电磁场中能量传递的方式和路径，对于理解电磁波在空间中的传播具有重要意义。
能流密度的计算电磁场的能流密度根据Poynting矢量定义，可以表示为：$$ \\mathbf{S} = \\mathbf{E} \\times \\mathbf{H} $$其中$\\mathbf{S}$为能流密度矢量，$\\mathbf{E}$为电场强度矢量，$\\mathbf{H}$为磁场强度矢量。
波的能量能流密度
1.波动的动能
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
波函数
x
dx
x
y dy
y
x
x y x y A cos ( t ) v A si n ( t ) t u u
•质元的动能
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2
1 x 2 2 2 dWk dVA si n ( t ) 2 u
① 任一时刻介质元的动能等于势能，且相位相同，与振动系 统的动能与势能总有π/2相位差不同。 ② 振动系统的机械能守恒，而波动过程中，能量不守恒。波 动过程中，沿波的传播方向，介质元不断地通过振动由后面的 质元获得能量，又不断地把能量传播给前面的质元，波是能量 传递的一种形式。 ③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在最大振幅处动 能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸收能量，离开 时放出能量。
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA si n ( t ) 2 u 表明：质元的总能量随时间作周期性变 3.波动的能量 化，时而达到最大值，时而为零 x dW dWk dWp dVA2 2 si n2 ( t ) u 4.结论 意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播
2.波动的势能
弹性势能 O
1 2 dWP k dy 2
F l E S l
F
弹性模量
x
dx
O
y y dy
u E
x x
ES l l
1 1 dy 2 2 dWP k dy ESdx( ) 2 2 dx
SE k dx
1 dy 2 y A si n ( t x ) 2 u dV ( ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA si n ( t ) 2 u
六、波的能量、能流
六、波的能量、能流当弹性波在介质中传播时，介质中的质元在平衡位置附近振动，因而具有动能，同时该处的介质也将产生形变，因而也具有势能。
波动传播时，介质由近及远地开始振动，能量也源源不绝地向外传播出去。
波在传播中携带着能量，能量随同波一起传播，这是波动的重要特征。
在本知识点中，我们以平面简谐纵波在棒中传播的特殊情况为例，对能量的传播作简单说明。
在棒中任取长度为Δx，截面为S，体积为=SΔx的体积元。
体积元的质量为，r为棒的质量体密度)，在不引起混淆的时候，我们也常把它简称为质元。
当波动传播到这个质元时，这质元将具有动能和弹性势能，设棒中平面简谐波的表式为质元的动能是由于质元的振动速度为代入上式即得对质元的势能的分析要复杂一些，可以证明（过程可以参考相关书籍），质元的动能和势能相等，即有：)而质元的总机械能W即波能为波能表现出特殊的规律，即它的任何一个质元的动能和势能相等，它们同时达到最大，同时为零，是一种同相的关系。
其必然结论是波传播时的体积元的变形质元的机械能不守恒。
在简谐振动中，谐振子的动能最大时势能最小，势能最大时动能最小，二者相位相反因而机械能守恒。
在简谐波中每一个质元都在进行简谐振动，为什么它的动能和势能会始终相等，机械能不守恒呢？首先，波动中的质元的模型和谐振子的模型不同。
以弹簧振子为例，弹簧振子的动能集中在没有弹性的小球上，而势能却集中在没有质量的弹簧上，而波动中的质元却既有质量又有弹性，动能和势能都集中在它的身上。
如果把质元当作小球，把旁边的其它质元当作弹簧，则模型本身就有误了。
其次是它们运动的外在条件不同。
我们前面讨论的谐振子是孤立系统，没有外力对它作功，因而它的机械能守恒。
而波动中的任何一个质元都不是孤立的，在波传播的过程中，质元的前后两个截面上都有外力做功，而且两个外力还有相位差，即功率不相同。
当输入大于输出时，质元的机械能增加，当输出大于输入时，质元的机械能减少。
由于波动的周期性，这种增加和减少也呈周期性的规律，因而质元的机械能也呈周期性的变化，不是一个守恒量。
机械波的能量与能流密度
一、波场中质元的动能和势能
dEk
dEP
1 2
(dV )A2 2
sin2 (t
x) u
1、对给定（x 一定）质元，在波的传播过程中，其动能与
势能随 t 同步周期性变化，且在任何时刻两者相等。
u
x = x0
dEk
dEp
T
O
t
y
振动曲线
dEk 、dEp在平衡位置处最大; 在最大位移处为零。
一、波场中质元的动能和势能
二、波场中的能量密度和能流密度
讨论 (2) 球面波的振幅
若介质不吸收能量
通过两个球面的平均能流相等
设S1与S2的波振幅分别为A1、A2
1 2
2 A12u4πr12
1 2
2 A22u4πr22
r2
p1 p2
O r1 S1
波源
得
A1 r2 A2 r1
A(r) A A等于离开波源单位
r
距离处波的振幅。
球面简谐波的波函数
y A cos(t r )
r
u
三、波的吸收
对吸收媒质，实验表明：
dA A( x)dx
——介质吸收系数
A( x) A0ex
I ( x) I0e 2x
I0
I
O
x
A A-dA
O
dx
I I0
O
x
随堂练习
1．图示为一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线。若此时 A点处媒质质元的振动动能在增大，则：
(1) 能量高、定向性好； (2) 对导体、液体（水）有较强的穿透力。
例 100kHz : 8.5105 / m
声强减少到 1 倍，水：5.9km；空气：5.8m。 e
波的能量密度和能流密度
波的能量密度和能流密度在我们日常生活中，波无处不在。
没错，想想那些轻柔的海浪，或者是电台里传来的音乐，甚至是我们耳边嗡嗡作响的声音。
波动不仅仅是个抽象的概念，它们携带着能量，像个小孩儿抓着气球，随时准备飞向天空。
那么，今天咱们就来聊聊波的能量密度和能流密度这两位神秘的朋友，看看它们到底是干嘛的。
1. 什么是波的能量密度？首先，让我们打开“波的能量密度”这本书。
简单来说，能量密度就像一个魔法箱，里面装着波动的能量。
你可以想象一下，能量密度就是每单位体积中藏着的能量。
有时候，它就像你的书包，虽然小，但能装下不少东西。
比如，海洋里的波浪，能量密度越高，翻腾的波浪就越激烈，就像大海的脾气，随时可能爆发。
1.1 能量密度的公式让我们看看公式，别担心，不会让你变成数学天才。
通常情况下，能量密度可以用一个简单的公式来表示，比如 ( U = frac{1{2 k A^2 )。
在这里，( U ) 是能量密度，( k ) 是波的刚度，( A ) 则是波的振幅。
换句话说，振幅越大，能量密度就越高，就像吃饭时多加几勺菜一样，肚子里的“能量”自然也多了。
1.2 生活中的例子我们生活中处处可见波的能量密度。
想象一下，当你在沙滩上拍照，海浪拍打岸边的声音，那种声音的大小其实跟能量密度有关。
再比如，电台里播放的音乐，音量调高了，能量密度也随之提升，让你忍不住跟着摇摆。
2. 能流密度的魅力接下来，我们要说的就是能流密度了。
听起来好像有点复杂，但其实它就像你在商场购物时，算着每一分钱的流动。
能流密度是指单位时间内流过单位面积的能量。
你可以想象一下，能流密度就像小溪中的水流，水流越急，能量流动得越快。
2.1 能流密度的公式别担心，咱们不会被公式淹没。
能流密度通常用 ( S = U cdot v ) 来表示，其中 ( S ) 是能流密度，( U ) 是能量密度，( v ) 是波速。
这就意味着，如果你能让波动的速度加快，流过的能量也会跟着增加，像是把赛车加速到极限，风驰电掣。
第六节能量和能流
场能
极化能
磁化能
3）一般情况：
S EH
w E DH B t t t
三、电磁能量的传输： 以导线、电源、用电器回路为例说明。 问题： 1 电键合上后，负载是靠电流传输能量的 2 认为电荷排着队传递能量。
回答： 1 电磁能量究竟是怎样传输的？ 2 导线在电磁能量传输中的作用？
S I 4 2r 2 et
2）用电器电阻很大 0 ，因为 0 ，传 输能量 0 ，损耗为：
S Ij 2r er
高为 l 的柱体内消耗的能量
柱表面
S损 d Fra bibliotek侧面 S损 d
S 2lr
Ij
2r I l I r 2
2
2lr
I RP
结论：电磁能量在稳恒电路中依靠电磁 场传输，传输方向从电源沿导线正、负 极指向负载。
R
导线的作用： 1）荷载电容性电荷——产生 E 分布。
2）荷载电流——产生 H 分布。
导线并不传输能量，只起使传输能量定向 的作用。
能量在场中传播，容易理解 对恒流或低频交流电，仅解电路方程，并没有专门讨论电磁能量。如 何理解低频时电磁能量的传播。先看电子运动的动能： 导线内的电流密度为
讨论方法——选取导线中的一小段，放大
1）电容性带电——电源接通后，在导线 皮上存在的电荷稳定分布。
R
2）导线附近的场：
I (e e ) Ij (e e ) t S E H 4 2r 2 r 2r I Ij e er 2 2 t 4 r 2r 其中沿 er 能流不能进入负载，为热损耗。
高二物理竞赛课件：能流、能流密度和能量密度
1
2 A2u
2
例1. 证明球面波的振幅与离
开其波源的距离成反比，并 求球面简谐波的波函数.
s2
证：介质无吸收，通过两个 球面的平均能流相等.
s1 r2
r1
I1S1 I2S2
即
1 2
2 A12u4πr12
1 2
2 A22u4πr22
A1 r2 A2 r1
y
A0r0 r
cos[(t
r u
)
0
能流、能流密度和能量密度
可见，对于任意小质元， dEP dEk
dEk
dEp
1 2
dV2 A2
sin2[(t
x u
)
0
]
➢ 小质元的总机械能
dE
dEk
dEp
dV2 A2
sin2[(t
x) u
0 ]
dE ( x, t )
讨论：
1）在波动传播的介质中，任一小质元的动能、 势
能、总机械能均随 (x,t) 作周期性变化，且变化是同
E wut S
能流 P E wu S
uS2
t A2
s
in
2[
(t
x u
)
0
]
单位：焦耳/秒(J•s-1)，瓦(W)
ut S
能流也是随时间周期性变化的，测量的应是其平均值.
平均能流：在一个周期内能流的平均值，它等于单位时
间内垂直通过某一截面的平均能量,
P 1
T
Pdt u S w
T0
平均能流密度：单位时间内垂直通过某一单位截面的平
均能量，通常称为能流密度或波的强度。
I P wu 1 2 A2u
S
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② 导线内电荷定向移动的速度很小，相应的动能也很小。 1mm2的导线通过1A的电流，由电子携带的能量，每秒 钟只有2×10 -20J。而在恒定的情况下，整个回路上， 电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给 负载上消耗的能量。
③ 如果电磁能是靠电流传输，功率P与U成正比无法得到 解释。
④ 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。
由上式可见，J 应是自由电流，用场量表示出来，得到：
J H D
t
所以 J E E ( H ) E D
(E
H
)
t H (
E)
E
D
t
(E H ) E D H B
t
t
将 f v J E (E H ) E D H B
所以:
w 1 (E D H B) 2
三、电磁能量的传输
在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输 电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能 量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电 磁能传输的实质。
1. 电磁能的传输不是靠电流！
① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。导线内电荷定向移动的速度为 V ~ 6×10 -5m/s，电能的传输速度为c= 3×10 8m/s。
t
Байду номын сангаас
t
代入
S w f v
t
得 S w (E H ) E D H B
t
t
t
所以，定义： S E H
w E D H B
t
t
t
2. 真空中
在真空中，相互作用的物质是电磁场和自由电 荷，能量在两者之间转移。
例：同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b， 两导线间为均匀绝缘介质(如图)。导线载有电流 I，两导线间的电压为U。 (1) 忽略导线的电阻,计算介质中的能流S和传输 功率; (2)计及内导线的有限电 导率,计算通过内导线表 面进入导线内的能流,证 明它等于导线的损耗功 率.
解：(1)以距对称轴为r的半径作 一圆周(a<r<b),应用安培
第六节 电磁场的能量和能流
一、场和电荷系统的能量守恒定律
电磁场是一种物质，它具有内部运动，其能量按一定方 式分布于场内。而且由于场的运动，场的能量并不是固 定地分布于空间中，而是随着场的运动在空间中传播。 因此，各处的场，能量可能变化，我们需要引人两个物 理量来描述。
1. 场的能量密度 （用w表示）
环路定律,由对称性得
2rH I
因而
H
I
2r
导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的
电荷(电荷线密度)为τ， 应用高斯定理由对称性，
可得
2rEr
，因而
Er 2r
能流密度为
S
E
H
Er H eˆz
I 4 2r 2
eˆz
式中ez为沿导线轴向单位矢量。
两导线间的电压为:
2. 电磁能的传输靠的是电场和磁场
电磁能的传输必须有能量流动，即S≠0，所以E×H≠0
① 直流电：必须将正负极与用电器连通，采用双线制。 ② 交流电：存在多种输电线路，最简单的是双线制。 ③ 随着频率的升高，平行双线演化为同轴电缆。 ④ 频率继续提高，同轴电缆演化为波导。 ⑤ 频率再提高，金属波导管演化为光缆。
介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定， 一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化 状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一 起考虑，成为介质中的总电磁能量。S和w就是这 种总电磁能量的能流密度和能量密度。
介质中场能量的改变量为:
w E D H B
对于简单介质 D E B H
如果V包括整个空间，则 S d 0
f
vdV
d dt
wdV
结论: 场对电荷作功的总功率等于场的总能量减小
率，因此场和电荷的总能量守恒。
二. 电磁场能量密度和能流密度矢量的表达式
1. 一般表达式
由洛伦兹力公式得:
f v (E v B) v E v J E
b
a
U a Erdr 2 ln b
因而
S
r
2
UI ln( a
/
b)
eˆz
把S对两导线间圆环状截面积积分得：
b
P 2rSdr
它是场在单位体积内的能量。是坐标和时间的函数，记 作w(x,t)。
2. 场的能流密度矢量 （用S 表示）
S描述能量在场内的传播，在数值上等于单位时间垂直 流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。
3. 场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式
能量既不能凭空产生，也不能无缘无故地消失，它只能 从一种形式转化为另一种形式，或从一个地方转移到另 一个地方。
对于电磁场和电荷组成的系统，能量的转化和转移都是 可能的。能量的转化由作功来描述，能量的转移由能流 密度来描述。
考虑某区域V，其表面为Σ ，能量守恒定律要求单位时 间内通过界面流入V内的能量等于场对V内电荷作功的 功率与V内电磁场能量增加率之和
考虑某区域，其表面为Σ ， 区域内有电荷分布和电流分布 电磁场对电荷所做功率为
V f vdV
其中，f 为Lorentz力密度。 在单位时间内，
区域内电磁（场）能量增加
d dt
V
dV
能量守恒的积分形式:
S
↙
d
f vdV
↓
d dt
wdV
↘
通过界面Σ 流 场对电荷系统 入V内的能量 作功的功率
V内场的能量 的增加率
相应的微分形式:
S w f v t
在真空中 H 1 B
0
D 0E
因此
S 1 EB
0
w
1 2
( 0E 2
1
0
B2)
3. 介质中 在介质中，相互作用的系统包括三个方面：电磁 场、自由电荷、介质。
场对自由电荷作功的功率密度为J ·E，它或者变 为电荷的动能，或者变为焦耳热。场对介质中束 缚电荷所作的功转化为极化能和磁化能而储存在 介质中，也可能有一部分转化为分子热运动（介 质损耗）。当外场变化时，极化能和磁化能亦发 生变化，如果不计及介质损耗，则这种变化是可 逆的。