地下水动力学

b）隔水边界条件 与主含水层相邻顶板
s2 (r,m2 ,t) s(r,t)
与越流含水层相邻底板
s2
0
z z 0
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3
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
3）抽水（主）含水层（仅有水平运动）
T
2 r
s
2
源自文库
1 r
s r
K1
s1 z
K2
s2 z
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）基本假设
1）抽水含水层与弱透水含水层均质，各向同性且等厚（K1、K、K2， μ*1、μ*、μ*2，m1，M，m2）。
2）含水层产状水平，无限分布；天然水力坡度为零。 3）单井定流量抽水。 4）抽水含水层抽水时能得到弱透水含水层弹性释水的补给；在弱透 水层中水流垂直运动，抽水含水层水流水平运动。 5）与弱透水层相邻条件：
a）定水头边界条件 与越流含水层相邻顶板
与主含水层相邻底板
s1(r,m2 M m1,t) 0 s1(r,m2 M,t) s(r,t)
b）隔水边界条件 与越流含水层相邻顶板
s1
0
z z m 2 M m1
与主含水层相邻底板 s1(r,m2 M,t) s(r,t)
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1）当μ*1、μ*2增大（1/u减小）时，S将减小； 2）随着r增大（1/u减小），S会减小； 3）B减小（β增大），S将减小。
u2
r 2(μ*
μ1* 4Tt
2* )
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地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
c）上相邻含水层为定水头含水层，下相邻层为隔水层
当 t 5 m1 μ1* 和 t 10 m2 μ*2
K1
K2
住含水层的降深近似公式
s(r,t)
Q 4πT
erfc(x)
2 π
e x 2
x
dx
1
erf(x)
误差函数（概率积分）
erf (x)
2 π
u
e
x
2
dx
0
计算系数 u r 2 μ* 4Tt
r
4B1
μ1* μ*
r 4B2
μ*2 μ*
越流因素：
B1
Tm1 K1
B2
Tm2 K2
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erfc（0）=1； 主含水层降深公式简化为Theis公式
s(r,t) Q W (u) 4πT
（2）对第一、三情况（定水头）下，当K2=0， μ*1=μ*2=0，此 时即为不考虑弱透水层弹性释水的情况。
（3）由图4-17，H(u,β)~1/u曲线，反映了S与t（1/u）和β的 关系，总的来看，s随β的增大而减小，当β=0时，曲线即为Theis曲 线；可以得出：
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5
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
2、数学模型的解
（1）三层结构，相邻含水层为定水头情况的解
考虑弱含水层弹性释水时的简化近似解
1）抽水初期
当 t m1 μ1* 和 t m2 μ*2
10 K1
10 K 2
三种情况有相同的近似解，主抽水层的降深公式为：
W
(u3 ,
r) B1
式中：
W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
u3
r 2(μ*
μ1* / 4Tt
3
2* )
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3、公式讨论 （1）当B1=B2→∞，或μ*1=μ*2=0时，有β=0，即：
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2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
2）下弱透水含水层（仅有垂向运动）
T2
2 s2 z 2
μ*2
s2 t
初始条件： s2(r,z,0 ) 0
a）定水头边界条件 与主含水层相邻顶板 与越流含水层相邻底板
s2 (r,m2 ,t) s(r,t) s2 (r,0,t) 0
s(r,t) Q H (u,β) 4πT
式中考虑弱透水层弹性释水的越流井函数
H (u,β)
ey
u
y
erfc
β y(y
u
u)
dy
可查表4-8，p. 119，曲线见图-17。
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余误差函数
a) 定水头含水层； b) 隔水含水层； c) 定水头含水层与各水含水层。
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（3）数学模型
1）上弱透水含水层（仅有垂向运动）
T1
2 s1 z 2
μ1*
s1 t
初始条件： s1(r,z,0 ) 0
4Tt
1 3
* 2
)
αr
1 B12
1 B22
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b）两相邻层为隔水层
当 t 10 m1 μ1* 和 t 10 m2 μ*2
K1
K2
降深公式可近似表示为
s(r,t)
Q 4πT
W
(u2
)
式中：W(u2)为无越流含水层的井函数；
详细求解过程可参考： 张蔚榛：地下水非稳定流计算和地下水资源评价，pp. 81-109； Hantush, M. S. , Modification of the theory of leaky
aquifiers; J. Geophy Research, Vol. 65, No. 11
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地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
2）抽水时间较久时的近似解
a）相邻含水层为定水头情况下
当 t 5 m1 μ1* 和 t 5 m2 μ*2
K1
K2
降深公式可近似表示为
s(r,t)
Q 4πT
W
(u1, )
式中
W(u1,α)为不计弱透水层弹性释水的越流系统井函数。
u1
r 2(μ*
1 3
μ1*
μ*
s t
式中“正负”号表示上下弱透水层向主抽水层补给弹性释水和 越流补给。
初始条件： s(r,0 ) 0
边界条件
lim s(r,t) 0
r
lim r s Q
r 0 r
2πT
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地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（二）数学模型的求解 1、求解思路 上述数学模型为偏微分方程组，求解思路：第一步进行Laplace变 换，化为常微分方程组；第二步进行Hankel变换，求解Bessel方程； 第三步进行Hankel逆变换；第四步进行Laplace逆变换。可求出s(r,t), s1(r,z,t), s2(r,z,t)。