2015年高考数学(文)一轮课件：3-6对数与对数函数

通关训练1
1 1 (1)若2 ＝5 ＝10，则 ＋ 的值为_________． a b
a b
－
(2)若xlog34＝1，则4x＋4 x的值为__________．
解析：(1)由已知a＝log210，b＝log510， 1 1 则a＋b＝lg2＋lg5＝lg10＝1. (2)由已知x＝log43， 则4 ＋4
答案：B
4．函数f(x)＝ 1－2log6x的定义域为__________．
1 解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤2⇒0＜x≤ 6，故所求定 义域为(0， 6 ]．
答案：(0， 6 ]
5．已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，a＞0，b＞0，则f(a2)＋ f(b2)＝__________.
(3)对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 13 __________________； ①loga(MN)＝□ M 14 ____________________； ②loga N ＝□ 15 __________________(n∈R)； ③logaMn＝□ 16 ________________________. ④logamMn＝□
答案：(1)D (2)C
点评： 作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一 个基本函数的图像变换过来，一般是先作出基本函数的图像，通 过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像．
通关训练2
若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立，则
实数a的取值范围是__________．
解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不 等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在 f2(x)＝logax图像的下方即可． 当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
1 x,0<x<1}，则A∩B 2
D．(0,2)
1 解析：∵A＝{y|y>0}，B＝{y| <y<1}， 2 1 ∴A∩B＝{y| <y<1}． 2
答案：C
2．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图像经过定点A，则A点 坐标是( )
2 B.3，0
2 A.0，3
用其单调性比较大小． (2)若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线x＝1右侧 “底大图低”的特点比较大小． (3)若底数、真数均不同，则经常借助中间量“0”、“ “1”比较大小． 1 ”或 2
1．设A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝ 为( )
1 A.0，2 1 C.2，1 1 B.2，＋∞
解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝ 2(lga＋lgb)＝2lg(ab)＝2lg10＝2.
答案：2
核心考点
引领通关
考点研析 变式通关
考点一
对数式的化简与求值
【例1】 A. 10 C．20
1 1 (1)设2 ＝5 ＝m，且a＋b＝2，则m等于(
a b
●三个关键点 画对数函数的图像应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，
1 ，－1. a
●两个防范 (1)对数式中，真数必须大于0，解决与对数有关的问题时， 务必先研究函数的定义域． (2) 类讨论． 对数的单调性与a有关，解题时要按0<a<1和a>1进行分
●三种方法 (1) 若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利
2 (－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时， f(x)＝ 3 log2x在(0，＋∞)上 单调递增，又函数是偶函数，所以函数图像关于y轴对称，因此 选D项．
(2)设a<b<c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由 函数的图像可知10<c<12，且|lga|＝|lgb|，因为a≠b，所以lga＝－ lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10,12)，故选C项．
要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的图像下 方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1， ∴1<a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．
答案：(1,2]
考点三
对数函数的性质及应用
【例3】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－ ∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log a，b，c的大小关系是( A．c<a<b C．b<c<a )
)
B．10 D．100
(2)计算(lg2)2＋lg2· lg50＋lg25的结果为__________． x (3)若lgx＋lgy＝2lg (2x－3y)，则log3 的值为__________． 2 y
思维启迪：(1)指数式化为对数式进行求值；(2)应用lg2＋lg5 ＝1求值；(3)利用对数式的恒等变形求值．
C．(1,0)
D．(0,1)
解析：当x＝1时y＝0. 答案：C
3．函数y＝lg|x|(
)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：y＝lg|x|是偶函数，由图像知在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增．
x x 2 整理得：4y －13y＋9＝0，
x x 9 解得 ＝1或 ＝ . y y 4 x 9 3x ∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴y＝4，∴log2y＝2.
答案：(1)A (2)2 (3)2
点评：有关指数式、对数式的化简求值问题，首先要熟练掌 握指数式与对数式之间的互化．要特别注意的是对数的运算性质 以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成 立．
第三章 函数与基本初等函数Ⅰ
第六节
对数与对数函数
Hale Waihona Puke 教材回归 自主学习核心考点 引领通关
考题调研 成功体验
开卷速查 规范特训
【考点分析】
(1)考查对数函数的图像、性质；(2)考查对
数方程或不等式的求解；(3)考查和对数函数有关的复合函数问 题． 【复习指导】 (1)注意函数定义域的限制以及底数和1的大
x
－x
1 10 －log 3 log43 4 ＝4 ＋4 ＝3＋ ＝ . 3 3
10 答案：(1)1 (2) 3
考点二
对数函数的图像及应用
【例2】
(1)函数f(x)＝log2x 的图像的大致形状是(
2 3
)
A
B
C
D |lgx|，0<x≤10， (2)已知函数f(x)＝ 1 － x＋6，x>10. 2 且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( A．(1,10) C．(10,12) B．(5,6) D．(20,24) 若a、b、c互不相等， )
小关系对函数性质的影响；(2)熟练掌握对数函数的图像、性质， 搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．
教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
1．对数的概念 (1)对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数， 1 ____________，其中 □ 2 __________叫做对数的底数， 记作 □ 3 ________叫做真数． □
(2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a＞0，且a≠1) 5 ____________ 底数为 □ 7 ____________ 底数为□ 记法 4 __________ □ 6 __________ □ 8 __________ □
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 9 ______；②logaaN＝□ 10 ______(a＞0，且a≠1)． ①alogaN＝□ (2)对数的重要公式 11 ______(a，b均大于零，且不等于1)； ①换底公式：□ 1 12 ____________. ②logab＝log a，推广logab· logbc· logcd＝□ b
通关训练3 A. x<y<z C. z<y<x
已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e B. z<x<y D. y<z<x
－
1 2
，则(
)
解析：∵x＝lnπ>1，y＝log52<log5 z ＝e
－ 1 2
1 5＝ ， 2
1 1 1 1 － ＝ > ＝ ，且e 2 <e0＝1，∴y<z<x. e 4 2
解析：(1)由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10， 1 1 ∵a＋b＝2，∴logm10＝2， ∴m2＝10，∴m＝ 10，故选A项． (2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg4＋lg25＝2. (3)依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2， 即xy＝4x2－12xy＋9y2，
(2)t(x)＝3－ax， ∵a>0，∴函数t(x)为减函数， ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数， ∴y＝logat为增函数， ∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝ loga(3－a)， 3 a<2， 3－2a>0， ∴ 即 loga3－a＝1， a＝3， 2
3．对数函数的图像与性质 a＞1 图 像 0＜a＜1
4.y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系 28 __________互为反函数，它们 指数函数y＝ax与对数函数 □ 29 ______对称． 的图像关于直线□
1 x＝logaN 答案： □ lgN 7 e □ 8 lnN □
2 a □ 3 N □ 4 logaN □ 5 10 □ 6 □ 10 N □ 11 logbN＝ □ logaN logab 12 logad □
思维启迪：第(1)题先化简函数解析式，再根据解析式研究 函数性质进行判断． 第(2)题求abc的取值范围，由于题设中已知f(a)＝f(b)＝f(c)， 因此解题方法上应从去绝对值符号入手，知道对数值的和，才能 出现真数的乘积．
解析：(1)由于f(x)＝log2x
2 3
2 ＝ 3 log2|x|，所以函数的定义域是
解析：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减 函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]，f(x)恒有意 义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． 3 ∴3－2a>0.∴a<2.
3 又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪1，2.
－0.6
1－ ＝5
3 5
＝ 125> 32 ＝2>log49，又f(x)
5
5
是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]是增函数，故 f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2 即c<b<a.
答案：B
－0.6
)<f(log
1 2
3)<f(log47)，
点评：函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函 数值的大小，解不等式等．
1 2
3)，c＝f(0.2－0.6)，则
B．c<b<a D．a<b<c
思维启迪：比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值； 利用函数图像可以直观地得到各自变量的大小关系．
解析：log 1 3＝－log23＝－log49，b＝f(log 1 3)＝f(－log49)＝
2 2
f(log49)，log47<log49,0.2
答案：D
考点四
对数函数的综合应用 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
【例4】
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函 数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请 说明理由． 思维启迪：f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a是否存在，可从单调性入手．
9 N □
n 13 logaM＋logaN □ 14 logaM－logaN □ 15 nlogaM □ 16 logaM □ m 17 (0，＋∞) □ 18 R □ 19 (1,0) □ 20 1 □ 21 0 □ 22 y＞0 □ 23 y＜0 □ 24 y＜0 □ 25 y＞0 □ 26 增函数 □ 27 减函数 □ 28 y＝logax □ 29 y □ ＝x