高考数学周周练 12

高考数学周周练 12一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩∁R B ＝( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |－1<x <0} C.{x |0<x <1}D.{x |－1<x <1}解析 B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }＝{y |0≤y <1}，∴∁R B ＝{y |y ≥1或y <0}，故A ∩∁R B ＝{x |－1<x <0}. 答案 B2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)·z ＝2i ，则下列关于复数z 结论正确的是( ) A.z ＝－1－iB.|z |＝2C.z ·z －＝2D.z 2＝2解析 由条件知z ＝2i 1－i ＝2i ·（1＋i ）2＝－1＋i ，A 错误；|z |＝2，B 错误；z ·z －＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C 正确；z 2＝(－1＋i)2＝－2i ≠2，D 错误. 答案 C3.若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，m ⊥α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当直线l ⊂α时，若l ⊥m D ⇒/l ∥α； 当l ∥α时，则在α内一定存在直线n ∥l ， 又m ⊥α，则m ⊥n ，所以m ⊥l ， 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件.答案 B4.函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，因此a >0. (1)当0<a <1时，f (a )＝f (a －1)， 则2a ＝a ，∴a ＝14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8. (2)当a ≥1时，f (a )＝f (a －1)， 则2a ＝2(a －1)不成立， 综上可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝8.答案 D5.已知向量AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，2)，则S△ABC ＝( ) A.35 B.4 C.32D.2解析 由题意，|AB→|＝5，|AC →|＝5，设向量AB→与AC →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝1×（－1）＋2×25×5＝35，所以sin θ＝45，故S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin θ＝12×(5)2×45＝2. 答案 D6.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2B.3 2C.6D.－6解析 通项T r ＋1＝C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r 3(2)3－r(－1)r x －6＋6r ， 当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6. 答案 D7.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12在C 上，且|PF |＝34，则p＝( ) A.14 B.12 C.34D.1解析 抛物线的准线方程为y ＝－p2， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12，且|PF |＝34，∴点P 到准线的距离d ＝12＋p 2＝|PF |＝34，则p ＝12. 答案 B8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 D.[)2，3 解析 ∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x －1，∴f (x )在区间[0，1]上是增函数，又函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数.∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴函数f (x )在区间(1，3)上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，∴在区间(1，3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，故选C.答案 C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.) 9.下列说法中错误的是( )A.若数列{a n }为常数列，则{a n }是等差数列但不一定是等比数列B.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0C.若两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越大，x 与y 之间的相关性越强D.事件A 或B 发生的概率为事件A 和事件B 的概率之和解析 因为a n ＝0时，数列{a n }不是等比数列，所以选项A 正确；当奇函数f (x )的定义域中没有数值0时，f (0)没有意义，所以选项B 错误；|r |越大，两个变量的相关性越强，|r |越接近0，两个变量的相关性越弱，所以选项C 错误.事件A ，B 互斥时结论才成立，故D 错误. 答案 BCD10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则下列说法正确的有( ) A.公差最大为4 B.公差最小为1 C.M ＝435D.m ＝160解析 由题意，可知公差最大时，S 15最大；公差最小时，S 15最小.可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差最大为4，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435. 当a 2＝5，a 5＝8，公差最小为1，此时a 1＝4， m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165. 答案 ABC11.如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论成立的是( )A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面PAED.平面PDE ⊥平面ABC解析 因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确. 在正四面体中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ，∴BC ⊥平面PAE ，DF ∥BC ，则DF ⊥平面PAE ，又DF ⊂平面PDF ，从而平面PDF ⊥平面PAE .因此选项B ，C 均正确. 答案 ABC12.已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式可能是( ) A.f (x )＝2 020x B.f (x )＝e x C.f (x )＝x ＋1D.f (x )＝x 2解析 A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 020x ＝x (x ≠0)恒成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 错误；B 中，因为e x >x ，所以e e x >e x >x ，所以f (f (x ))＝e e x >x 恒成立，B 正确；C 中，f (f (x ))－x ＝f (x ＋1)－x ＝(x ＋1)＋1－x ＝2，故C 正确.D 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 错误.故选B ，C. 答案 BC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则f (x )的图象在x ＝1处的切线方程是________. 解析 因为f (1)＝ln 1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)，又f ′(x )＝1x ＋4x －4， ∴在点(1，－2)处切线斜率k ＝f ′(1)＝1， 因此切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0. 答案 x －y －3＝014.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________.解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9. 答案 915.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，b ＝2，c ＝3，则A ＝________.解析 因为C ＝π3，b ＝2，c ＝3，所以c sin C ＝bsin B ， 则3sin π3＝2sin B ，所以sin B ＝22， 又b <c ，所以B <C ，所以B ＝π4，故A ＝512π. 答案 512π16.已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________，此时m 的值为________.(本题第一空3分，第二空2分)解析 由题意A (ln m ，m )，B (2e m －12，m )其中2e m －12>ln m 且m >0，∴|AB |＝2e m －12－ln m . 设y ＝2e x －12－ln x (x >0)，则y ′＝2e x －12－1x ，令y ′＝0，解得x ＝12， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，y ′<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′>0， ∴当x ＝12时，|AB |最小＝2＋ln 2，此时m ＝12. 答案 2＋ln 2 12。