(完整版)函数导数任意存在”-型问题归纳总结,推荐文档

战略思想三： x R ，都有" f (x1) f (x) f (x2 )" f (x1), f (x2 ) 分别是 f (x) 的最小值和最大值， | x1 x2 | min 是同时出现最大值和最小值的最短区间.
y x1
x2 x
例 3.
已知函数
f
(x) 2sin( x 2
) ，若对 5
即 f (x) 在[1,1]上为增函数.
∵ f (1) 1，∴ x [1,1] ，恒有 f (x) 1； ∴要使 f (x) t2 2at 1 对所有 x [1,1] ， a [1,1] 恒成立，
即要 t2 2at 1 1恒成立，故 t2 2at 0 恒成立，
令 g(a) 2at t2 ，只须 g(1) 0 且 g(1) 0 ，
导学语
资料
函数导数任意性和存在性问题探究
函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、 函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须 研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：
解得 t 2 或 t 0 或 t 2 .
战略思想六： x1, x2 A, | f (x1) f (x2 ) | t （ t 为常数）成立 t= f (x)max f (x)min
例 6.
已知函数
f来自百度文库
(x) x4
2
x
3
，则对任意
t1
,
t2
[
1 2
,
2]
（
t1
t2 ）都有|
f
题型分类解析
一．单一函数单一“任意”型 a
战略思想一：“ x A ， a () f (x) 恒成立”等价于“当 x A 时， a () f (x)max ”； f(x)上 上
f(x)上 上
“ x A ， a () f (x) 恒成立”等价于“当 x A 时， a () f (x)min ”.
x R ，都有"
f
(x1)
f (x)
f
(x2 )" 成立，则
| x1 x2 | 的最小值为____.
解 ∵对任意 x∈R，不等式 f (x1) f (x) f (x2 ) 恒成立，
∴ f (x1), f (x2 ) 分别是 f (x) 的最小值和最大值.
对于函数 y sin x ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 π，即半个周期.
战略思想五：
x1,
x2
A,
"
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
0"
成立
f (x) 在 A 上是增函数
例 5 已知函数 f (x) 定义域为[1,1]， f (1) 1，若 m, n [1,1] ， m n 0 时，都有
"
f
(m) m
f n
(n)
0" ，若
f
(x)
t2
2at
1 对所有
解析： f (x) (a 2)x a(x ln x) x 2 2x .
∵ x [1, e] ，∴ ln x 1 x 且等号不能同时取，所以 ln x x ，即 x ln x 0 ，
因而 a
x2 2x x ln x ，
x [1, e] ，
令 g(x)
x2 2x x ln x
" f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) "恒成立的函数的个数是( )
2
2
A.0 B.1 C.2 D.3
解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件" f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) "的函数，应是凸函
2
2
数的性质，画草图即知 y log2 2x 符合题意；
又函数
f
(x)
2sin( x 2
) 的周期为
5
4，∴ |
x1
x2
| 的最小值为
2.
战略思想四：
x1,
x2
A,
"
f
(
x1
2
x2
)
f (x1) f (x2 ) "成立 2
f (x) 在 A 上是上凸函数 f ''(x) 0
y
f(x2)
f(x1)
O x1
x2 x
例 4. 在 y 2x, y log2 2x, y x2 , y cos x 这四个函数中，当 0 x1 x2 1 时，使
x
ax2
1
x
得：
1 x2
1 x
a
1 x2
1 x
，
1 而( x2
1 x )min
0 ，∴ a
0 . 又∵ (
1 x2
1 x )max
2 ，∴ a
2, 2
a
0，
综上得 a 的范围是 a [2, 0] .
二．单一函数单一“存在”型
战略思想二：“ x A ，使得 a () f (x) 成立”等价于“当 x A 时， a () f (x)min ”； f(x)上 上
x
[1,
e]
，又
g
( x)
(x
1)(x 2 2 (x ln x)2
ln
x)
，
.
资料
当 x [1, e]时， x 1 0, ln x 1 ， x 2 2 ln x 0 ， 从而 g (x) 0 （仅当 x=1 时取等号），所以 g(x) 在[1, e] 上为增函数， 故 g(x) 的最小值为 g(1) 1，所以 a 的取值范围是[1,) ． 三．单一函数双“任意”型
例 1 ：已知二次函数 f (x) ax2 x ，若 x [0,1] 时，恒有| f (x) | 1 ，求实数 a 的取值范围.
解： | f (x) | 1 ，∴ 1 ax2 x 1；即 1 x ax2 1 x ；
当 x 0 时，不等式显然成立，∴a∈R.
当0
x
1时，由 1
“ x A ，使得 a () f (x) 成立”等价于“当 x A 时， a () f (x)max ”.
f(x)上 上
a
例 2. 已知函数 f (x) a ln x x2 ( a R )，若存在 x [1, e] ，使得 f (x) (a 2)x 成立，求实数 a 的
取值范围.
x [1,1] ， a [1,1] 恒成立，求实数 t
取值范围.
.
资料
解：任取 1 x1 x2
1，则
f (x1)
f (x2 )
f
(
x1 ) x1
f( x2
x2
)
(
x1
x2
)
，
由已知
f (x1) f (x2 ) x1 x2
0 ，又 x1 x2
0 ，∴
f (x1)
f (x2 ) 0 ，