(完整版)函数导数任意存在”-型问题归纳总结,推荐文档

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导数性质知识点总结

导数性质知识点总结导数性质知识点总结「篇一」导数的定义：当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。

函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的.法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。

如果在(a，b)内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。

如果在(a，b)内，f'(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。

所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。

导数公式：① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx;(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)导数的应用：1.函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。

高中数学导数题中的“任意”与“存在”

导数题中的“任意”与“存在”常见这样一类导数问题:对区间内任意自变量，不等式成立，求参数取值范围;或在区间内存在一个自变量，不等式成立，求参数取值范围等等.由于这类问题本身的抽象性及隐蔽性，同学们在解决这类问题时，感到束手无策.为使这类问题解决有章可循，有法可依，本文拟对常见的该类问题进行分类并说明其求解策略，以供参考.例已知两个函数2()728f x x x c =--，32()2440g x x x x =+-. （1）若对任意的[2,3]x ?，都有()2f x >成立，求实数c 的取值范围；（2）若对任意的[2,3]x ?，都有()()f x g x >成立，求实数c 的取值范围；（3）若对任意的1[2,3]x ?，2[3,3]x ?，都有12()()f x g x >成立，求实数c 的取值范围；（4）若存在0[2,3]x ?，使0()2f x >成立，求实数c 的取值范围；（5）若存在0[2,3]x ?，使00()()f x g x >成立，求实数c 的取值范围；（6）若存在1[2,3]x ?，2[3,3]x ?，使12()()f x g x >成立，求实数c 的取值范围；（7）若存在1[2,3]x ?，2[3,3]x ?，使12()()f x g x =成立，求实数c 的取值范围；（8）若对任意的1[2,3]x ?，总存在2[3,3]x ?，使12()()f x g x >成立，求实数c 的取值范围；（9）若对任意的1[2,3]x ?，总存在2[3,3]x ?，使12()()f x g x =成立，求实数c 的取值范围；（10）若对任意的1[2,3]x ?，总存在2[3,3]x ?，使12()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围.为解决上述问题方便，我们先求()f x 在[2,3]-上的最大值和最小值，()g x 在[3,3]-上的最大值和最小值.2()728f x x x c =--，对称轴2x =，当[2,3]x ?时，()f x 在区间(1,2)-上递减，在区间(2,3)上递增.max ()(2)84f x f c =-=-，min ()(2)28f x f c ==--. 32()2440g x x x x =+-,22()68402(3420)2(310)(2)g x x x x x x x ¢=+-=+-=+-,令()0g x ¢=,解得103x =-或2x =，当[3,3]x ?时，()g x 在区间(3,2)-上递减，在区间(2,3)上递增.(3)102g -=，(3)30g =-，max ()102g x =，min ()(2)48g x g ==-.上述问题可分为下面三类：一、对区间内任意自变量，不等式成立型（1）～（3）属于此类型.（1）解：min ()2f x >，282c -->，30c <-.评注：若对任意[,]x a b Î，不等式()f x m >（或()f x m >）恒成立，则需要函数在该区间上的最小值大于m （或最大值小于m ）.（2）解：设32()()()2312h x f x g x x x x c =-=-++-，2()66126(2)(1)h x x x x x ¢=-++=--+.()h x 在区间(2,1)--，(2,3)上递减，在区间(1,2)-上递增. (1)7h c -=--，(3)9h c =-，min ()7h x c =--. min ()0h x >，7c <-.评注：对任意的[,]x a b Î，都有()()f x g x >成立，是不同函数对同一变量下的恒成立问题，如图1，()y f x =的图象恒在()y g x =的图象上方，设()()()h x f x g x =-，则可转化为求()h x 的最小值大于0即可.本题易错误认为min max ()()f x g x >.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上恒为正值，此类问题也可以设()()()f x h xg x =，让()h x 的最小值大于1即可.图1（3）解：min max ()()f x g x >,28102c -->,130c <-.评注：本题12,x x 是两个无关的变量1()f x 和2()g x 的取得互不影响，所以只需使()f x 的最小值大于()g x 的最大值.我们用图2表示()f x 在[2,3]-上的值域，用图2表示()g x 在[3,3]-上的值域. 固定图2，使图3竖直上下移动，只有如图4所示时才能符合题意.f (x )maxg (x )ma f (x )ming (x )mig (x )max g (x )ming (x )minf (x )ming (x )max f (x )max图2 图3 图4 二、区间内存在自变量，使不等式（等式）成立型（4）～（7）属于此类型.（4）解：max ()2f x >，842c ->,82c <.评注：存在0[,]x a b Î，使0()f x m > （或0()f x m <）成立, 只需函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值max ()f x m >（或min ()f x m <）.本题易错误认为min ()f x m >.（5）解：设()()()h x f x g x =-，存在0[2,3]x ?，使0()0h x >，转化为（4）类型，只需max ()0h x >.(2)4h c -=-，(2)20h c =-，max ()20h x c =-.200c ->，20c <.评注：存在0[,]x a b Î，使00()()f x g x >（或00()()f x g x <）成立，此类问题强调的是不同函数在同一变量下的函数值大小的问题，应设()()()h x f x g x =-，可转化为让函数()h x 的最大值大于O （或()h x 的最小值小于O ）即可.本题容易与恒成立问题混淆，从而错误的去让函数()h x 的最小值大于0. 若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上恒为正值，此类问题也可以设()()()f x h xg x =. （6）解：max min ()()f x g x >,8448c ->-,132c <.评注：存在1[,]x a b Î，2[,]x c d Î，使12()()f x g x >成立,满足max min ()()f x g x >，如图5.g (x )minf (x )ming (x )max f (x )max图5（7）解：max min min max.()(),()()f x g x f x g x ì³ïïíï£ïî8448,28102.c c ì-?ïïíï--?ïî130132c -＃. 评注：若存在1[,]x a b Î，2[,]x cd Î，使12()()f x g x =成立，要求()f x 的值域和()g x 的值域交集不为空，即max min ()()f x g x ³，如图6，且min max ()()f x g x £，如图7.f (x )maxg (x )max f (x )ming (x )minf (x )maxg (x )max f (x )ming (x )min图6 图7 三、任意、存在同时出现，使不等式（等式）成立型（8）～（9）属于此类型.（8）解：min min ()()f x g x >,2848c -->-,20c <评注：对任意的1[,]x a b Î，总存在2[,]x c d Î，使12()()f x g x >成立，就是说1x 取区间[,]a b 上的任意一个值，总存在2[,]x c d Î，使得21()()g x f x <，就要求min min ()()f x g x >，如图8.g (x )minf (x )ming (x )maxf (x )max图8（9）解：max max min min.()(),()()g x f x g x f x ì³ïïíï£ïî10284,4828.c c ì?ïïíï-?-ïî1820c -＃.评注：对任意的1[,]x a b Î，总存在2[,]x c d Î，使12()()f x g x =成立，就是说1x 取区间[,]a b 上的任意一个值，总存在2[,]x c d Î，使得21()()g x f x =，就要求函数()g x 的值域包含函数()f x 的值城，如图9.f (x )max f (x )ming (x )maxg (x )min图9（10）解：max max ()()f x g x <,84102c -<,18c >-.评注：对任意的1[,]x a b Î，总存在2[,]x c d Î，使12()()f x g x <成立，就是说1x 取区间[,]a b 上的任意一个值，总存在2[,]x c d Î，使得21()()g x f x >，就要求max max ()()f x g x <，如图10.g(x)max f(x)maxg(x)min f(x)min图10。

函数导数任意存在”-型问题归纳总结

令 g(x)x 2 2x x ln xx [1,e] ，又 g (x)(x 1)(x 2 2ln x)(x ln x)2函数导数任意性和存在性问题探究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术” ，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略，”因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目 .常用战略思想如下：题型分类解析一．单一函数单一“任意”型f(x)上限战略思想一： “ x A ， a ( )f ( x)恒成立”等价于“当x A 时， a ( ) f (x)max ；”f(x)下限“ x A ， a ( ) f (x) 恒成立”等价于“当x A 时， a ( )f ( x) min ”.例 1 ：已知二次函数 f (x) ax 2 x ，若 x [0,1] 时，恒有 | f (x)| 1，求实数 a 的取值范围解： | f (x)| 1 ，∴ 1 ax 2 x 1；即 1 x ax 2 1 x ；当 x 0 时，不等式显然成立，∴ a ∈R.21 1 1 1 当 0 x 1 时，由 1 x ax 21 x 得：2 a 2 ， x x x x11 又∵(2 )max2 ，∴a 2, 2 a 0 ，xx综上得 a 的范围是 a [ 2,0] . ．单一函数单一“存在”型x A ，使得 a ( ) f ( x)成立”等价于“当x A 时， a ( )f ( x) max取值范围解析：f (x) (a 2)x a(x ln x) x 2 2x . ∵x [1,e] ，∴ln x 1 x 且等号不能同时取，所以 ln x x ，即 x ln x 0 ， x 2 2x因而 a x [1,e] ，x ln x ，而(x 12 1x )min 0，∴a 0.xx战略思想x A ，使得 a ( ) f (x) 成立”等价于“当x A 时，a ( ) f(x)min ”；f ( x)上限f ( x)下限例 2. 已知函数 f (x) aln x x 2(a R )，若存在 x [1,e] ，使得f (x) (a 2)x 成立，求实数 a 的当x [1, e]时，x 1 0,ln x 1，x 2 2ln x 0，从而g (x) 0 (仅当x=1 时取等号)，所以g(x)在[1, e]上为增函数，故g(x) 的最小值为g(1) 1，所以 a 的取值范围是[ 1, ) ．三．单一函数双“任意”型战略思想三：x R，都有" f(x1) f (x) f(x2)" f(x1), f (x2) 分别是f (x) 的最小值和最大值，|x1 x2 | min 是同时出现最大值和最小值的最短区间.例 3. 已知函数f (x) 2sin( x ) ，若对x R，都有" f (x1) f (x) f (x2)" 成立，则| x1 x2 |25的最小值为 __ .解∵对任意x∈R ，不等式f (x1) f (x) f (x2) 恒成立，∴f (x1), f (x2)分别是f (x) 的最小值和最大值对于函数y sin x ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期x又函数f (x) 2sin( 2 5 )的周期为4，∴| x1 x2 |的最小值为 2.战略思想四：x1,x2 A, " f (x1 x2)f (x1) f (x2)"成立22f (x) 在 A 上是上凸函数 f ''(x) 02例 4. 在y 2x,y log2 2x,y x ,y cosx 这四个函数中，当0 x1 x2 1时，使" f (x1 x2)f(x1) f ( x2 )"恒成立的函数的个数是( )22A.0B.1C.2D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件" f(x1 x2)f (x1) f (x2)" 的函数，应是凸函22数的性质，画草图即知y log2 2x 符合题意；战略思想五：x1,x2 A,"f (x1) f (x2)0"成立f(x)在 A 上是增函数x1 x2例 5 已知函数f (x) 定义域为[ 1,1]，f (1) 1，若m,n [ 1,1]，m n 0时，都有f(m) f(n) 0" ，若f(x) t2 2at 1对所有x [ 1,1]，a [ 1,1]恒成立，求实数t取值范围. mn解：任取1 x1 x2 1，则f (x1) f (x2) f (x1) f (x2) (x1 x2)，x1 x2由已知 f (x1) f (x2) 0，又x1 x2 0，∴f (x1) f (x2) 0，x1 x2即f (x) 在[ 1,1]上为增函数.∵f (1) 1，∴x [ 1,1]，恒有f (x) 1；2∴要使f (x) t2 2at 1对所有x [ 1,1]，a [ 1,1]恒成立，即要t2 2at 1 1恒成立，故t2 2at 0 恒成立，2令g(a) 2at t2，只须g( 1) 0且g(1) 0，解得t 2或t 0或t 2.战略思想六：x1,x2 A,| f (x1) f (x2)| t ( t为常数)成立t= f (x)max f (x)min4 3 1例 6. 已知函数f (x) x4 2x3，则对任意t1,t2 [ ,2](t1 t2)都有| f(t1) f (t2)| 恒2成立，当且仅当t1 = __ ，t2 = ___ 时取等号.解：因为| f (x1) f (x2)| |[ f ( x)] max [ f ( x)] min |恒成立，4 3 1由f(x) x4 2x3,x [ ,2] ，23 27 1 5易求得[ f (x)]max f (3) 27，[ f (x)]min f ( 1) 5，2 16 2 16∴| f (x1) f (x2)| 2.战略思想七：x1,x2 A,| f (x1) f (x2)| t |x1 x2 ||f(x1) f(x2)| t | f '(x)| t(t 0)例7. 已知函数y f (x)满足：(1)定义域为[ 1,1] ；(2)方程f (x) 0 至少有两个实根1和1；(3)过f (x) 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.(1)证明:| f(0) | 1；(2)证明：对任意x1,x2 [ 1,1]，都有| f (x1) f (x2)| 1.证明(1) 略；(2)由条件(2)知f( 1) f (1) 0，不妨设 1 x 1 x 2 1，由(3)知| f (x 1) f (x 2)| |x 1 x 2 | x 2 x 1，又∵| f(x 1) f(x 2)| |f(x 1)| | f(x 2)| | f(x 1) f( 1)| |f(x 2) f(1)|x 1 1 1 x 2 2 (x 2 x 1) 2 | f(x 1) f(x 2)|；∴|f(x 1) f(x 2)| 133 例 8. 已知函数 f(x)x 3 ax b ，对于 x 1,x 2(0, )(x 1 x 2 )时总有 | f (x 1) f (x 2)| |x 1 x 2 |成3立，求实数 a 的范围 .3 ' 2解由 f (x) x 3 ax b ，得 f '(x) 3x 2 a ，评注由导数的几何意义知道，函数 y f (x)图像上任意两点 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2) 连线的斜率k y2 y1 (x 1 x 2 )的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话 )的范围，利用这个结论，可x 2 x1以解决形如 |f(x 1) f(x 2)| m|x 1 x 2||或| f(x 1) f(x 2)| m|x 1 x 2 | (m >0)型的不等式恒成立问题四．双函数“任意”+“存在”型： x 1A,x 2 B ，使得 f (x 1) g (x 2)成立 f (x)min g(x)min ；x 1 A, x 2B ，使得 f (x 1)g(x 2)成立f (x)maxg(x)max .总有 f (x 1) g( x 2 )成立，求实数 m 的取值范围 .解析：题意等价于 f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于 g ( x)在[1,2] 上的最大值 2 2x 2 5x 2 1 f (x) 2 ，由 f '(x) 0得， x 或 x 2，x211 当 x (0, ) 时， f (x) 0，当 x ( ,1)时 f (x) 0 ， 221 所以在( 0，1)上， f ( x)max f (1) 3 5ln2 .2当 x (0, 33)时，a f (x) 1 a ，∵| f(x 1) f(x 2)| |x 1 x 2 |，∴| f(x 1) f(x 2) | 1x 1 x 2a1 1a11a0战略思想八：例 9 ．已知函数2 f (x) 2xx 25ln x ， g(x) xmx 4 ，若存在 x 1 (0,1) ，对任意 x 2 [1,2] ，又g(x)在[1,2]上的最大值为 max{g(1),g(2)} ，所以有所以实数 m 的取值范围是 m 8 5ln 2.战略思想九： “ x 1 A ， x 2 B ，使得 f (x 1) g(x 2)成立”“f (x) 的值域包含于．g( x ) 的值域”.例 10．设函数 f (x)1x 3 1 x 2 5x 4．333(1)求 f (x) 的单调区间．32(2)设 a ≥1，函数 g(x) x 3 3a 2x 2a ．若对于任意 x 1 [0,1] ，总存在 x 0 [0,1] ，使得 f (x 1) g( x 0 )成立，求 a 的取值范围．' 22 5 ' 2 2 5 5解析：( 1 ) f '(x) x 2x ，令 f '(x)≥0，即 x 2 x ≤ 0 ，解得： ≤ x ≤1，3 3 3 3 355f(x) 的单增区间为 [ ,1] ；单调减区间为 ( , ]和[1, ) .33(2)由(1)可知当 x [0,1]时， f ( x)单调递增， ∴当 x [0,1]时， f(x) [f (0), f (1)] ，即 f(x) [ 4, 3] ；又g '(x) 3x 2 3a 2，且 a ≥1，∴当x [0,1]时， g '( x) ≤ 0 ， g( x)单调递减， ∴当 x [0,1] 时， g(x) [ g (1),g (0)] ，即 g(x) [ 3a 2 2a 1, 2a] ，又对于任意 x 1 [0,1] ，总存在 x 0 [0,1] ，使得 f (x 1) g(x 0)成立 [ 4, 3] [ 3a 2 2a 1, 2a] ，1a例 11 ．已知函数 f(x) ln x ax 1(a R) ; x1(1) 当 a 时，讨论 f (x) 的单调性；222)设 g(x) x 2 2bx 4 ，1当 a 时，若对 x 1 (0, 2) ， x 2 [1,2] ,使 f(x 1) g(x 2) ，求实数4f(21) g(1) f(21) g(2)3 5ln 2 5 m 3 5ln 2 8 2mm 8 5ln 21m (11 5ln 2)2m 8 5ln 2 ，f(x)上限f(x)下限即3a 2 2a 1 ≤ 3 ≤ 2a4，解得：≤a ≤3g(x)上限b 的取值范围；解：(1)(解答过程略去，只给出结论)当 a ≤0 时，函数 f(x)在( 0,1 )上单调递减，在( 1，+∞)上单调递增；1 当 a= 时，函数 f(x) 在( 0， +∞)上单调递减；2 11当 0<a< 时，函数 f (x) 在(0,1 )上单调递减，在 (1, 1)上单调递增，在 2'21, ) 上单调递减； a2 )函数的定义域为( 0 ， +∞)，f (x )=1－a+ a21xxax 2 x 1 aa= 1 时，由 f4x )=0 可得 x 1=1,x 2=3.因为a= 1∈(0, 1 )，x 2=3 (0,2),结合( 1)可知 42函数 f(x)在( 0,1 )上单调递减，在( 1,2 )上单调递增，所以f(x) 在( 0,2 )上的最小值为 f(1)= － 12由于对 x 1∈(0,2)， x 2∈[1,2], 使 f(x 1) ≥g(x 2) ”等价于 “g(x)在[1,2]上的最小值不大于 f(x) 在( 0,2)上的最小值 f(1)= 1”2”※)又 g(x)=(x －b)2+4－b 2, x ∈[1,2], 所以当 b<1 时，因为 [g(x)] min =g(1)=5 － 2b>0, 此时与(※)矛盾；当 b ∈[1,2]时, 因为 [g(x)] min =4 －b 2≥0，同样与(※)矛盾；当 b ∈(2，+∞)时，因为 [g(x)] min =g(2)=8 －4b.1 17 解不等式 8－ 4b ≤－，可得b ≥ .2817 综上， b 的取值范围是[ ,+ ∞).8五．双函数“任意”+“任意”型战略思想十： x 1 A, x 2 B ，使得 f(x 1) g(x 2)成立 f (x)min g(x)max例 12. 已知函数 f(x) 1x 3 x 2 3x 4,g(x)3 3 29x c，若对任x 1,x 2 [ 2,2] ，都有 f (x 1) g(x 2)，求 c 的范围 .解：因为对任意的 x 1,x 2 [ 2,2] ，都有 f(x 1) g(x 2)成立，∴[ f ( x)] max [g(x)]min ，∵f '(x) x2 2x 3，令f '(x) 0得x 3,x 1x>3 或x<-1；f '(x) 0得1 x 3；∴f(x)在[ 2, 1]为增函数，在[ 1,2]为减函数.18 c∵f( 1) 3, f (2) 6，∴[ f (x)]max 3,.∴3 ，∴c 24.22 3 2例13．已知两个函数f(x) 8x2 16x k,g(x) 2x3 5x2 4x,x [ 3,3], k R;(1) 若对x [ 3,3] ,都有f (x) g(x)成立，求实数k 的取值范围；(2) 若x [ 3,3] ,使得f (x) g(x) 成立，求实数k的取值范围；(3) 若对x1,x2 [ 3,3] ,都有f (x1) g(x2)成立，求实数k的取值范围；解：(1)设h(x) g(x) f (x) 2x3 3x2 12x k ,(1)中的问题可转化为：x [ 3,3] 时，h(x) 0 恒成立，即[ h( x)] min 0.'2h'(x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1)；当x 变化时，h(x),h'(x) 的变化情况列表如下：因为h( 1) k 7, h(2) k 20 ,所以，由上表可知[ h( x)] min k 45，故k-45 ≥0，得k≥45,即k∈[45,+ ∞).小结：①对于闭区间I，不等式f(x)<k 对x∈I 时恒成立[f(x)] max <k, x ∈I;不等式f(x)>k 对x∈I 时恒成立[f(x)] min>k, x ∈I.②此题常见的错误解法：由[f(x)] max ≤[g(x)] min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“ [f(x)] max ≤[g(x)] min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.( 2)根据题意可知， ( 2)中的问题等价于h(x)= g(x) －f(x) ≥0 在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)] max≥0.由( 1)可知[h(x)] max = k+7 ，因此k+7 ≥0，即k∈[7,+ ∞).(3)根据题意可知， (3)中的问题等价于 [f(x)] max ≤[g(x)] min ，x ∈[-3,3].由二次函数的图像和性质可得 , x ∈[-3,3]时, [f(x)] max =120 －k. 仿照( 1)，利用导数的方法可求得 x ∈[-3,3]时, [g(x)] min =－21. 由 120 － k ≥－21 得 k ≥141,即 k ∈[141,+ ∞). 说明：这里的 x 1,x 2 是两个互不影响的独立变量从上面三个问题的解答过程可以看出 ,对于一个不等式一定要看清是对“ x ”恒成立，还是“ x ”使之成还是两个独立的变量 ,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件 ,千万不要稀里糊涂的去猜六．双函数“存在”+“存在”型战略思想十一： x 1 A, x 2 B ，使得 f(x 1) g(x 2)成立f (x)min g(x)max ；x 1 A, x 2 B ，使得 f(x 1) g(x 2)成立f(x)max g(x)min .x 3 2例 14．已知函数 f (x) ln x 1， g(x) x 2 2bx 4.若存在 x 1 (0,2) ， x 2 1,2 ，使4 4xf (x 1) g(x 2) ，求实数 b 取值范围1 f (x)在(0,1)上单调递增，在 (1,2)上单调递减，f(x)min f (1) .2依题意有 f ( x) min g(x)max ，所以 g(x)max12.又g(x) (x b)2 b 2 4，g(1) 1 从而g(2) 212,解得b 187.战略思想十二： “ x 1 A, x 2 B ，使得 f (x 1) g(x 2) 成立”等价于f (x) 的值域与 g(x) 的值域相交非空”3 219 1例 15 ．已知函数 f(x) x 3 (1 a)x 2 a(a 2)x(a R) ， g(x) x .是否存在实数 a ，存63在 x 11,1 ， x 2 0,2 ，使得 f '(x 1) 2ax 1 g(x 2)成立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，解析： f (x) 1 1 32x 4 4x 2(x 1)(x 3)4x 219 1 1解析：在0,2 上g x x 是增函数，故对于x 0,2 ，g x ,66 3 32设h x f x 2ax 3x22x a a 2 ，当x 1,1 时，h(x) [-a2 2a 13,-a2 2a 5].3要存在x1 [ 1,1] ，x2 [0,2] 使得h x1 g x2 成立，只要[-a2 2a 13,-a2 2a 5] [ 13,6]33考虑反面，[-a2 2a 31,-a2 2a 5] [ 13,6]1 2 2 1 57 57则5 a 2a 或6< -a 2a 1，解得a 1 或a 1 ，3 3 3 357 57从而所求为1 a 1 .33。

高中数学导数题型归纳总结

高中数学导数题型归纳总结高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。

在考试中，导数题型往往是必考的内容。

为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。

1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。

常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。

例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。

3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。

链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。

4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。

常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。

5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。

6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。

反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。

7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。

例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。

除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。

这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。

总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。

通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。

(完整版)高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。

函数导数知识点总结

函数导数知识点总结导数是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来描述函数在某一点上的变化率。

函数导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪共同发现，它是微积分学的基础，对于理解函数的性质和求解实际问题中的最优解都有非常重要的作用。

本文将对函数导数的定义、性质、常用求导法则、高阶导数以及一些实际应用进行总结，希望能够对读者有所帮助。

一、导数的定义和基本概念1.导数的定义设函数y=f(x)，在点x0处的函数值为f(x0)，如果极限lim┬(Δx→0)⁡(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx存在，那么这个极限就是函数在点x0处的导数，记为f'(x0)或者dy/dx|x=x0。

在几何意义上，函数在点x0处的导数就是函数曲线在该点处的切线的斜率。

换言之，导数就是函数在某一点上的变化率。

2. 导数的图形性质（1）当函数y=f(x)在点x0处可导时，函数曲线在该点处的切线与x轴的交点就是点(x0, f(x0))。

（2）函数在某一点的导数可以为零，正数，负数或者不存在。

对应着函数在该点处的增减性和凹凸性质。

3. 导数的意义导数可以用来描述函数在某一点上的变化率，这个概念可以应用到很多实际生活和工程问题中，比如经济学中的边际成本、物理学中的速度和加速度、和工程中的最优化问题等。

二、常用的求导法则1. 常数函数的导数对于常数函数y=k，它的导数就是零，即y'=0。

2. 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，它的导数为y'=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数对于指数函数y=a^x（a>0且不等于1），它的导数为y'=a^xln(a)。

4. 对数函数的导数对于对数函数y=log_a(x)（a>0且不等于1），它的导数为y'=1/(xlna)。

5. 三角函数的导数对于三角函数，常用的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x；cotx的导数为-csc^2x；secx的导数为secxtanx；cscx的导数为-cscxcotx。

函数的导数知识点及例题解析

函数的导数知识点及例题解析函数的导数是微积分中的重要概念之一。

本文将介绍基本的导数定义和求导法则，并通过例题解析加深理解。

导数的定义函数的导数描述的是函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，其导数可以通过以下定义进行求解：导数 = lim（h→0）[f(x+h) - f(x)] / h求导法则求导法则是一些计算导数的常用规则，以下为几个基本的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即 dy/dx = 02. 幂法则：对于函数y = x^n，其中n为常数，则导数为 dy/dx = nx^(n-1)3. 和差法则：对于两个函数u(x)和v(x)，则导数的和差为(d(u+v)/dx = du/dx + dv/dx4. 乘积法则：对于两个函数u(x)和v(x)，导数的乘积为d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx例题解析例题1：求函数y = 2x^3的导数。

求函数y = 2x^3的导数。

根据幂法则，导数为 dy/dx = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2例题2：求函数y = 3x^2 + 2x的导数。

求函数y = 3x^2 + 2x 的导数。

根据和差法则，导数为 dy/dx = d(3x^2)/dx + d(2x)/dx = 6x + 2例题3：求函数y = (x^2 + 3x)(2x + 1)的导数。

求函数y =(x^2 + 3x)(2x + 1)的导数。

根据乘积法则，导数为 dy/dx = (x^2 + 3x) * d(2x + 1)/dx + (2x + 1) * d(x^2 + 3x)/dx= (x^2 + 3x) * 2 + (2x + 1) * (2x + 3)= 2x^2 + 6x + 4x^2 + 6x + 2化简后，导数为 dy/dx = 6x^2 + 12x + 2通过以上例题解析，可以看到导数的计算方法和不同函数的求导规则。

掌握了这些知识点，可以更好地理解函数的变化率和斜率，从而应用到实际问题中。

导数题中“任意、存在”型的归纳辨析

导数题中“任意、存在”型的归纳辨析导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。

导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。

这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。

“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。

下面对此作一归纳。

一．单一函数单一“任意”型例1．已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >。

(1)求a 的值；(2)若对任意的[0,)x ∈+∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值。

解析：(1)1()x a f x x a+-'=+，()f x ∴在(,1)a a --单调递减，在(1,)a -+∞单调递增，所min ()f x (1)01f a a =-=⇒=。

（2）设2()ln()g x kx x x a =-++，则问题等价于()0g x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立，即min ()0g x ≥。

因为当0k ≤时，x →+∞时，()f x →-∞，所以0k >。

由22(21)()1kx k x g x x +-'=+，若2104k k-->，则当21(0,)4k x k -∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，矛盾。

从而2104k k--≤，解得12k ≥。

即实数k 的最小值是12。

点评：“任意”的意思是不管x 取给定集合中的哪一个值，得到的函数值都要满足给定的不等式，它有两种形式：“对任意的x A ∈，()()a f x >≥恒成立”等价于“当x A ∈时，max ()()a f x >≥”；“对任意的x A ∈，()()a f x <≤恒成立”等价于“当x A ∈时，min ()()a f x <≤”。

二．单一函数单一“存在”型例 2. 已知函数2()ln f x a x x =+(a R ∈)，若存在[1,]x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围。

导数知识点总结及其分类

导数知识点总结及其分类导数的定义在数学上，函数在一点处的导数定义为该点处的函数值的变化量与自变量的变化量的比值，在极限的意义下表述为：\[f'(x) = \lim_{\delta x\to 0} \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x}\]其中，$f'(x)$表示函数$f(x)$在点$x$处的导数。

导数的性质1. 导数存在性：导数存在的条件是函数在该点处可导，即函数在该点处存在切线。

若函数在某一点可导，则该点上的导数存在。

2. 导数的连续性：若函数在某一点处可导，则函数在该点连续。

3. 导数的代数运算：导数具有代数运算的性质，即导数的和、差、积、商的运算规则。

4. 导数的复合函数：复合函数的导数可以通过链式法则进行求解。

5. 隐函数的导数：对于隐函数，可以利用导数求解其导数。

导数的计算方法1. 利用导数的定义进行求导：即利用导数的定义式进行求导数。

2. 利用基本导数法则：如常数法则、幂法则、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。

3. 利用导数的运算法则：对于复合函数的导数、和差积商的法则。

4. 利用隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式进行求导数。

5. 利用参数方程求导：对于参数方程，可以通过求导数来解决相关问题。

导数的应用1. 函数的极值问题：通过导数可以求解函数的极大值和极小值。

2. 切线和法线问题：导数可以用来求曲线上某一点处的切线和法线的斜率。

3. 曲率问题：曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要概念，利用导数可以求解曲线的曲率。

4. 函数的图像问题：通过导数可以确定函数的增减性、凹凸性，从而画出函数的图像。

5. 物理问题：在物理学中，导数可以用来描述时间、速度、加速度等物理量的关系。

导数的分类1. 基本函数的导数：即通过基本导数法则对基本函数进行求导，包括幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。

2. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则进行求解，包括外函数和内函数的导数运算。

常见函数的导数表与归纳

常见函数的导数表与归纳在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。

对于常见的函数，它们的导数可以通过一些基本规则和公式进行求导。

本文将介绍常见函数的导数表，并对其中的规律进行归纳总结。

一、常数函数的导数常数函数表示为f(x) = C，其中C为常数。

对于常数函数，它的导数始终为0，即f'(x) = 0。

这是因为常数函数的斜率恒为0，没有变化。

二、幂函数的导数2.1 常数幂函数常数幂函数表示为f(x) = x^n，其中n为正整数。

对于常数幂函数的导数，可以通过幂函数的导数公式进行求导：f'(x) = n * x^(n-1)通过这个公式，我们可以推导出常见常数幂函数的导数：2.1.1 正整数幂数函数当n为正整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，它的导数为f'(x) = 2x。

类似地，对于f(x) =x^3，它的导数为f'(x) = 3x^2。

2.1.2 负整数幂数函数当n为负整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)但由于负整数的倒数是无限大，因此导数在定义域上并不连续。

例如，对于f(x) = x^(-1)，它的导数f'(x) = -x^(-2)，在x = 0处未定义。

2.2 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。

对于指数函数的导数，我们需要使用自然对数e以及指数函数的链式法则进行计算。

f'(x) = ln(a) * a^x例如，对于f(x) = 2^x，它的导数f'(x) = ln(2) * 2^x。

三、对数函数的导数对数函数可以分为自然对数函数和常用对数函数两种。

3.1 自然对数函数自然对数函数表示为f(x) = ln(x)，其中x>0。

对于自然对数函数的导数，可以直接使用导数的定义进行计算：f'(x) = 1/x例如，对于f(x) = ln(x)，它的导数f'(x) = 1/x。

导数归纳总结

导数归纳总结导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

在学习导数的过程中，我们需要了解导数的定义和性质，并学会应用导数解决实际问题。

本文将对导数的相关知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用导数。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h为一个无限接近于0的数。

这个定义告诉我们，导数可以通过函数的极限来计算。

二、导数的计算规则了解导数的计算规则对于求解导数是非常重要的。

以下是常见的导数计算规则：1. 常数规则：如果f(x) = C，其中C为常数，那么f'(x) = 0。

2. 幂函数规则：对于任意自然数n，如果f(x) = x^n，那么f'(x) = nx^(n-1)。

3. 和差规则：如果f(x) = u(x) ± v(x)，那么f'(x) = u'(x) ± v'(x)。

4. 乘积规则：如果f(x) = u(x) · v(x)，那么f'(x) = u'(x) · v(x) +u(x) · v'(x)。

5. 商法则：如果f(x) = u(x) / v(x)，那么f'(x) = [u'(x) · v(x) -u(x) · v'(x)] / v(x)^2。

这些规则是求导数时常用的基本技巧，掌握它们可以简化导数的计算过程。

三、导数的性质导数具有一些重要的性质，了解这些性质有助于我们更深入地理解导数的含义。

以下是导数的一些主要性质：1. 导数的代数性质：导数满足线性运算和乘法运算的规律，例如对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有：(af(x) ± bg(x))' = af'(x) ± bg'(x)(af(x) · g(x))' = af'(x) · g(x) + af(x) · g'(x)2. 导数与函数的关系：如果一个函数在某一点处可导，则它在该点处连续。

导数任意以及存在的分析解析

x3
x2
3
．
（1）如果存在 x1, x2 [0,2]，使得 g(x1) g(x2 ) M 成
立，求满足上述条件的最大整数 M ；
（2）如果对任意的 s,t [1 ,2]，都有 f (s) g(t) 成 2
立，求实数 a 的取值范围。
学为人师行为世范
解析：（1）存在 x1, x2 [0, 2]，使得 g(x1) g(x2 ) M 成立
，即函
数
h(x)
x
x2
ln
x
在区间[
1 2
,1)
上递增，在区间(1,2]上递减，
所以 h(x)max h(1) 1，所以 a 1 。
点评：x1 A,x2 B ，使得 f (x1) g(x2) 成立 f (x)min g(x)max
七、双函数“存在”+“存在”型
例
9．已知函数
f
(x)
3a2 2a 1≤ 4
即 3 ≤ 2a
，
解得：1
≤
a
≤
3 2
• 点评：
“ 对任意 x1 A ，存在 x2 B ，使得 f (x1) g(x2)成立”等价于“ f (x) 的值域包含于 g(x) 的值域”。
六、双函数“任意”+“任意”型
例
8．设
f
(x)
a x
x ln
x
，
g(x)
存在，说明理由.
学为人师行为世范
解析：
在 0,2 上 g x 19 x 1 是增函数，故对于 x 0, 2 ， 63
. g
x
1 3
,
6
设 h x f x 2ax 3x2 2x a a 2 ，当 x 1,1 时，

完整版)高中数学导数知识点归纳总结

完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。

函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。

但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。

导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。

因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。

导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。

函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。

函数的最值可以通过求导数来确定。

注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。

对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。

函数、导数任意、存在型问题归纳

函数导数随意性和存在性问题研究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，先期所学利用导数解决函数图像切线、函数单一性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这种问题的“战术”，若要更有效地完全解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数联合全称命题和特称命题形成的综合性题目. 常用战略思想以下：题型分类分析一．单一函数单一“随意”型战略思想一：“x A ，a ( ) f ( x) 恒建立” 等价于“当x A 时，a ( ) f (x)max”；f(x)上限“x A，a ( ) f (x) 恒建立”等价于“当x A时，a ( ) f (x)min”. f(x)下限a例 1 ：已知二次函数 f (x) ax2 x ，若x [0,1] 时，恒有 | f (x) | 1，务实数a的取值范围.解：| f ( x) | 1 ，∴ 1 ax2 x 1；即 1 x ax2 1 x ；当 x 0 时，不等式明显建立，∴a∈ R.当 0 x 1 时，由 1 x ax2 1 x 得： 1 1 a 1 1 ，x2 x x2 x而 1 10 ，∴a 0. 又∵(1 12，∴a 2, 2 a 0，(x2 x ) min x2 x) max 综上得 a 的范围是a [ 2,0] .二．单一函数单一“存在”型战略思想二：“x A ，使得a ( ) f ( x) 建立” 等价于“当x A 时，a ( ) f ( x)min”；“x A，使得a ( ) f ( x) 建立”等价于“当x A 时，a ( ) f ( x) max”. f ( x)上限a f ( x)下限例 2.已知函数 f ( x) a ln x x2(a R )，若存在x[1,e] ，使得 f ( x) (a 2) x 建立，务实数 a 的取值范围 .分析： f (x) (a 2) x a( x ln x) x 2 2x .∵ x [1,e] ，∴ln x 1 x 且等号不可以同时取，所以ln x x ，即 x ln x 0 ，因此 a x2 2xx [1,e]，x ln x ，令 g( x) x 2 2x x [1, e] ，又 g ( x) ( x 1)( x 2 2 ln x) ，x ln x ( x ln x) 2当 x [1, e] 时， x 1 0,ln x 1 ， x 2 2 ln x 0 ，进而 g (x) 0 （仅当x=1时取等号），所以 g (x) 在 [1, e] 上为增函数，故 g(x) 的最小值为g(1) 1，所以a的取值范围是 [ 1, ) ．三．单一函数双“随意”型战略思想三：x R ，都有 " f ( x 1 ) f (x) f ( x 2 )"f ( x 1 ), f (x 2 ) 分别是yx 2x 1xf ( x) 的最小值和最大值， | x 1 x 2 | min 是同时出现最大值和最小值的最短区间.例 3. 已知函数的最小值为 ____.f (x) 2sin(x )，若对x R ，都有 " f (x 1 )f ( x) f (x 2 )" 建立，则 | x 1 x 2 |25解 ∵对随意 x ∈ R ，不等式 f (x 1)f (x) f (x 2 ) 恒建立，∴ f ( x 1 ), f (x 2 ) 分别是 f ( x) 的最小值和最大值 .关于函数 y sin x ，获得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期 . 又函数 f (x)x ) 的周期为 4，∴ | x 1 x 2 | 的最小值为 2. 2sin(25yf (x 2)战略思想四：x 1, x 2 A, " f (x 1x2)f ( x 1)f ( x 2)" 建立22f (x) 在 A 上是上凸函数 f ' ' (x) 0例 4. 在 y2x, y log 2 2x, y x 2 , y cos x 这四个函数中，当 " f (x 1 x2)f ( x 1 )f ( x 2 )" 恒建立的函数的个数是 ()22A.0B.1C.2D.3解：本题实质就是观察函数的凸凹性，即知足条件 " f (x 1 x2)2数的性质，画草图即知 ylog 2 2x 切合题意；f (x 1)O x 1 x 2 x0 x 1 x 2 1 时，使f ( x 1 )f ( x2) " 的函数，应是凸函2战略思想五：x 1, x 2A, "f ( x 1 ) f ( x 2 )f ( x) 在 A 上是增函数x 1 x 20" 建立例 5 已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1]， f (1) 1 ，若 m, n [ 1,1]， m n 0 时，都有" f (m)f ( n) 0" ，若 f ( x) t 2 2at 1 对全部 x [ 1,1]， a [1,1] 恒建立，务实数 t 取值范围 .m n解：任取 1 x 1 x 2 1，则 f (x 1)f (x 2 ) f ( x 1 )f ( x 2 )(x 1x 2 ) ，x 1 x 2由已知f (x 1)f (x 2 ) 0 ，又 x 1 x 2 0 ，∴ f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，x 1x 2即 f ( x) 在 [ 1,1]上为增函数 .∵ f (1) 1，∴ x [ 1,1]，恒有 f (x) 1；∴要使 f ( x) t 2 2at 1 对全部 x[ 1,1]， a [ 1,1]恒建立，即要 t 2 2at 1 1恒建立，故 t 2 2at 0 恒建立，令 g (a) 2at t 2 ，只须 g( 1) 0 且 g (1) 0 ，解得 t2 或 t 0 或 t 2 .战略思想六：x 1, x 2 A, | f (x 1) f (x 2 ) | t （ t 为常数）建立 t= f (x) max f ( x) min例 6. 已知函数 f (x)x 4 2x 3 ，则对随意 t 1, t 2[ 1 , 2] （ t 1 t 2 ）都有 | f (t 1) f (t 2 ) |恒2建立，当且仅当 t 1 =____ ， t 2 =____ 时取等号 .解：因为 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | |[ f ( x)] max [ f ( x)] min | 恒建立，由 f ( x)x 4 2 x 3 , x [1,2] ，2易求得 [ f (x)]maxf ( 3) 27 ， [ f ( x)] minf ( 1)5 ，2 16216∴ | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | 2 .战略思想七：x 1 , x 2 A, | f (x 1 ) f (x 2 ) | t | x 1 x 2 ||f ( x 1) f ( x 2 )| t| f ' (x) | t(t 0)x 1 x 2例 7. 已知函数 yf (x) 知足： (1) 定义域为 [1,1]；(2) 方程 f (x) 0 起码有两个实根和；11(3) 过 f ( x) 图像上随意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1) 证明 : | f (0) | 1 ； (2) 证明：对随意 x 1 , x 2 [ 1,1]，都有 | f (x 1)f ( x 2 ) | 1 .证明 (1)略；(2) 由条件 (2)知 f ( 1) f (1) 0 ，不如设 1 x 1 x 2 1，由 (3)知 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | | x 1 x 2 | x 2 x 1 ，又∵ | f (x 1)f (x 2 ) | | f ( x 1 ) | | f ( x 2 ) | | f ( x 1 ) f ( 1) | | f ( x 2 ) f (1) |x 1 1 1 x 22 (x 2 x 1 ) 2 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | ；∴ | f ( x 1 ) f (x 2 ) | 1例 8. 已知函数 f (x)x 3 ax b ，关于 x 1, x 2(0,3)( x 1x 2 ) 时总有 | f (x 1) f (x 2 ) | | x 1 x 2 |成3立，务实数 a 的范围 .解由f (x)x 3 ax b ，得 f ' ( x) 3x 2 a ，当 x(0,3) 时， a f ' (x) 1 a ，∵ | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | | x 1 x 2 |，3∴ | f (x 1)f (x 2 ) | 1，∴a 11 a 0x 1 x 21 a 1评注由导数的几何意义知道，函数y f (x) 图像上随意两点 P(x 1, y 1 ), Q( x 2 , y 2 ) 连线的斜率ky 2y 1(x 1 x 2 ) 的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率 (假如有的话 )的范围，利用这个结论，可x 2 x 1以解决形如 | f (x 1)f ( x 2 ) | m | x 1 x 2 | |或 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | m | x 1 x 2 | (m ＞0) 型的不等式恒建立问题 .四．双函数“随意” +“存在”型：战略思想八：x 1 A, x 2 B ，使得 f ( x 1 ) g( x 2 ) 建立 f ( x)min g(x)min ；x 1 A, x 2 B ，使得 f (x 1 ) g ( x 2 ) 建立f ( x) maxg(x)max .例 9．已知函数 f (x)2x25ln x ， g( x)x 2 mx 4 ，若存在 x 1 (0,1) ，对随意 x 2 [1,2] ，x总有 f ( x 1 ) g( x 2 ) 建立，务实数 m 的取值范围 .分析：题意等价于 f (x) 在 (0,1) 上的最大值大于或等于 g ( x) 在 [1,2] 上的最大值 .f ( x)2x 25x 2'( x)1 或 x2 ，x 2，由 f 0 得， x2当 x(0, 1) 时， f ( x)0 ，当 x ( 1,1) 时 f ( x)0 ，22所以在（ 0，1）上，f ( x) maxf ( 1)3 5ln 2 .2又 g(x) 在 [1,2] 上的最大值为 max{ g(1),g(2)} ，所以有f ( 1 ) g(1) 3 5ln 2 5 m m 8 5ln 221m8 5ln 2 ，f ( 1) g(2)3 5ln 28 2mm (115ln 2)22所以实数 m 的取值范围是 m8 5ln 2 .g(x)上限战略思想九： “x 1 A ， x 2 B ，使得 f ( x 1 ) g( x 2 ) 建立”“ f (x) 的值域包括于． g( x) 的值域” .f (x)上限f (x)下限g(x)下限例 10．设函数 f (x)1 x 3 1 x2 5 x 4 ．3 33（ 1）求 f ( x) 的单一区间．（ 2 ）设 a ≥ 1 ，函数 g( x) x 3 3a 2 x 2a ．若对于任意 x 1 [0,1] ，总存在 x 0 [0,1] ，使得f ( x 1 ) g( x 0 ) 建立，求 a 的取值范围．分析：（ 1） f ' (x)x 22 x 5 ，令 f ' ( x) ≥ 0 ，即 x 2 2 x 5≤ 0 ，解得：5 ≤ x ≤ 1 ，3 3 3 33∴ f ( x) 的单增区间为 [5,1] ；单一减区间为 ( ,5] 和 [1, ) .3 3（ 2）由（ 1）可知当 x [0,1] 时， f ( x) 单一递加， ∴ 当 x [0,1] 时， f ( x) [ f (0), f (1)] ，即 f ( x)[ 4, 3] ；又 g ' ( x) 3x 2 3a 2 ，且 a ≥ 1， ∴当 x [0,1] 时， g ' ( x) ≤ 0 ， g( x) 单一递减，∴当 x [0,1] 时， g ( x) [ g (1),g (0)] ，即 g( x) [ 3a 2 2a 1, 2a] ，又关于随意 x 1[0,1] ，总存在 x 0 [0,1] ，使得 f ( x 1 ) g( x 0 ) 建立[ 4, 3] [ 3a 2 2a 1,2a] ，3a 22a 1≤43即2a，解得： 1≤ a≤23≤例 11．已知函数 f ( x) ln x ax1 a1(a R) ;x1 (1) 当 a时，议论 f ( x) 的单一性；2）设 g (x)x 22bx 4 ，当 a 1时，若对 x 1 (0, 2) ， x 2 [1,2] ,使 f ( x 1 ) g( x 2 ) ，务实数 4b 的取值范围；解：（ 1）（解答过程略去，只给出结论）当 a ≤0 时，函数 f(x) 在（ 0,1）上单一递减，在（ 1，+∞）上单一递加；当 a= 1时，函数 f(x) 在（ 0，+∞）上单一递减；2当 0<a< 1时，函数 f (x) 在（ 0,1）上单一递减，在 2（ 2）函数的定义域为（ 0， +∞），1 1 (1,1) 上单一递加，在 (1, ) 上单一递减；aaf （ x ） = 1 － a+a 1 =－ ax 2 x 1 a， a= 1时，由 f （ x ）=0 可得 x 1=1,x 2 =3.x x 2 x 2 4因为 a= 1 ∈（ 0, 1），x 2=3（ 0,2）,联合（ 1）可知42函数 f(x) 在（ 0,1）上单一递减，在（ 1,2）上单一递加，所以 f(x) 在（ 0,2）上的最小值为f(1)= －1.2因为“对x 1∈（ 0,2）， x 2∈ [1,2], 使 f(x 1) ≥g(x 2)”等价于“ g(x) 在 [1,2] 上的最小值不大于f(x) 在（ 0,2）上的最小值 f(1)= － 1”. （※）2又 g(x)=(x － b)2+4 － b 2, x ∈[1,2], 所以 ①当 b<1 时，因为 [g(x)] min =g(1)=5 － 2b>0,此时与（※）矛盾；② 当 b ∈ [1,2] 时 , 因为 [g(x)] min =4－ b 2≥ 0，相同与（※）矛盾；③ 当 b ∈（ 2， +∞）时，因为 [g(x)] min =g(2)=8 － 4b.解不等式 8－ 4b ≤－ 1 ，可得 b ≥17.28综上， b 的取值范围是 [17,+∞ ).8五．双函数“随意” +“随意”型战略思想十：x 1 A, x 2 B ，使得 f ( x 1 ) g( x 2 ) 建立f (x)ming (x)max例12. 已知函数 f ( x) 1 x 33x 1 , x 2 [ 2,2] ，都有 f (x 1)g (x 2 ) ，求x23x4, g (x)9x c，若对任意32c 的范围 .解：因为对随意的 x 1 , x 2[ 2, 2] ，都有 f ( x 1 )g( x 2 ) 建立，∴ [ f ( x)] max [ g( x)]min ，∵ f ' (x) x 2 2 x 3 ，令 f ' ( x) 0 得 x 3, x1x ＞ 3 或 x ＜-1； f ' ( x)0 得 1 x3 ；∴ f ( x) 在 [ 2, 1] 为增函数，在 [ 1,2] 为减函数 .∵ f ( 1)3, f (2)6 ，∴ [ f ( x)] max 3,.∴ 318 c ，∴ c24 .2例 13．已知两个函数 f ( x) 8x 216xk, g( x)2x 3 5x 24x, x [ 3,3], k R ;(1) 若对 x [ 3,3] ,都有 f (x) g ( x) 建立，务实数 k 的取值范围；(2) 若 x[ 3,3] ,使得 f ( x)g (x) 建立，务实数 k 的取值范围；(3)若对 x 1 , x 2 [ 3,3] ,都有 f (x 1)g (x 2 ) 建立，务实数 k 的取值范围；解：（ 1）设 h(x)g( x) f ( x) 2x 3 3x 2 12x k ,（ 1）中的问题可转变为：x [ 3,3] 时， h( x) 0 恒建立，即 [ h( x)] min 0 .h ' ( x) 6x 2 6x 12 6( x 2)( x 1) ；当 x 变化时， h(x), h' (x) 的变化状况列表以下：x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3h (x) + 0 －0 +h(x) k-45 增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为 h( 1) k 7, h(2) k 20 ,所以，由上表可知 [ h( x)] min k 45 ，故k-45 ≥0，得 k≥45,即 k∈[45,+ ∞ ).小结：①关于闭区间I，不等式f(x)<k 对 x∈I 时恒建立[f(x)] max<k, x ∈I; 不等式 f(x)>k 对 x∈ I 时恒建立[f(x)] min>k, x ∈I.②本题常有的错误会法：由[f(x)] max≤ [g(x)] min解出 k 的取值范围 .这种解法的错误在于条件“[f(x)] max ≤ [g(x)] min”不过原题的充分不用要条件，不是充要条件，即不等价.（2）依据题意可知，（ 2）中的问题等价于 h(x)= g(x) － f(x) ≥ 0 在 x∈ [-3,3] 时有解 ,故[h(x)] max≥ 0.由（ 1）可知 [h(x)] max= k+7 ，所以 k+7 ≥ 0，即 k∈ [7,+∞ ).(3)依据题意可知，（ 3）中的问题等价于[f(x)] max≤ [g(x)] min， x∈ [-3,3].由二次函数的图像和性质可得 , x∈ [-3,3] 时 , [f(x)] max=120 － k. y模仿（ 1），利用导数的方法可求得x∈ [-3,3] 时 , [g(x)] min=－ 21.g(x) 由 120－ k≥－ 21 得 k≥ 141,即 k∈[141,+ ∞ ). f(x) 说明：这里的 x1,x2是两个互不影响的独立变量 . O a xb x图1 从上边三个问题的解答过程能够看出,关于一个不等式必定要yg(x)f( x)O a x bx图2看清是对“x”恒建立，仍是“x”使之建立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，仍是两个独立的变量 ,而后再依据不一样的状况采纳不一样的等价条件,千万不要莫名其妙的去猜 ..六．双函数“存在”+“存在”型战略思想十一：x1 A, x2 B ，使得 f ( x1 ) g (x2 ) 建立 f (x)min g ( x) max；x1 A, x2 B ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) 建立 f ( x)max g (x)min.例 14 ．已知函数 f ( x ) l nx x 3 ，1 g( x) x2 2bx 4 . 若存在4 4 xx1 ( 0 , 2，) x2 1,2 ，使 f ( x1) g(x2 ) ，务实数 b 取值范围.分析： f ( x) 1 1 3 (x 1)(x 3) ，x 4 4x2 4x2f (x) 在 (0,1) (1,2) f ( x)min f (1) 1上单一递加，在上单一递减，.2依题意有 f ( x) min g( x)max，所以g( x)max 1 . 又g ( x) (x b)2 b2 4 ，2g(1) 117 .2, 解得 b进而g(2)1 82战略思想十二： “ x 1 A, x 2B ，使得 f (x 1) g( x 2 ) 建立”等价于“ f (x) 的值域与 g(x) 的值域订交非空” .例 15．已知函数 f ( x)x 3(1 a) x 2 a(a2) x(a R) ， g ( x) 19x 1. 能否存在实数 a ，存6 3 在x 11,1 ， x 20,2 ，使得 f '( x 1 ) 2ax 1 g( x 2 ) 建立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明原因 .分析：在0,2 上 g x19 x 1 是增函数，故关于 x0,2 ， g x1,6 .6 33设h xf x2ax 3x 2 2x a a2 ，当 x1,1 时， h( x) [ - a22a1, - a 2 2a5 ].3要存在 x 1 [ 1,1] ， x 2 [ 0,2] 使得 h x 1 g x 2 建立，只需 [21212a 3 , - a2a5 ] [ 3 ,6]- a考虑反面， [ - a 2 2a 1 , - a 22a 5 ] [ 1 ,6]3312 2157 57则5 a2a 或 6< - a2a 3 ，解得 a1 3 或 a13 ，3进而所求为1 57a 1 573.3。

高中数学例谈和导数有关的“任意”与“存在”问题

例谈和导数有关的“任意”与“存在”问题考点一单一任意与存在问题(1)∀x ，使得f (x )＞g (x )，只需h (x )min ＝[f (x )－g (x )]min ＞0.如图①.(2)∃x ，使得f (x )＞g (x )，只需h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max ＞0.如图②.[典例]设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝af ′(x )，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若对于任意x ≥0，总有f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围；(2)若存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围．[解析](1)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－a 1＋x(x ≥0)，则h ′(x )＝11＋x ＋a (1＋x )2＝x ＋1＋a (1＋x )2.当a ≥－1时，h ′(x )≥0，h (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴h (x )≥h (0)＝－a ，则－a ≥0，a ≤0，∴a ∈[－1,0]．当a ＜－1时，ln(1＋x )≥0，－a 1＋x＞0，所以h (x )≥0恒成立．综上可知，实数a 的取值范围为[－∞，0]．(2)由(1)可知，当a ≥－1时，存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，当a ＜－1时，f (x )≥g (x )恒成立．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，＋∞)．[关键点拨](1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x 0≥0时，总有f (x 0)≥g (x 0)，即f (x 0)－g (x 0)≥0(注意不是f (x )min ≥g (x )max )，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )≥0恒成立问题．(2)存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，即至少有一个x 0≥0，满足f (x 0)－g (x 0)不是负数，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )的函数值至少有一个是非负数．考点二双任意与存在相等问题“若∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使得f (x 1)＝g (x 2)”与“∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使得f (x 1)＝g (x 2)”的辨析(1)∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使得f (x 1)＝g (x 2)等价于函数f (x )在D 1上的值域A 与g (x )在D 2上的值域B 的交集不是空集，即A ∩B ≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使得f (x 1)＝g (x 2)等价于函数f (x )在D 1上的值域A 是g (x )在D 2上的值域B 的子集，即A ⊆B ，如图④.其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的值域都在函数y ＝g (x )的值域之中．说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影．[典例]已知函数f (x )＝x 2－23ax 3，a ＞0，x ∈R ，g (x )＝1x 2(1－x ).(1)若∃x 1∈(－∞，－1]，∃x 2f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝32时，求证：对任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)．[解析](1)∵f (x )＝x 2－23ax 3，∴f ′(x )＝2x －2ax 2＝2x (1－ax )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1a.∵a ＞0，∴1a ＞0，∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，－1]上单调递减，f (x )≥f (－1)＝1＋2a 3，故f (x )在(－∞，－1]上的值域为1＋2a 3，＋∵g (x )＝1x 2(1－x )，∴g ′(x )＝3x 2－2x x 4(1－x )2＝3x －2x 3(1－x )2.当x ＜－12时，g ′(x )＞0，∴g (x )∞g (x )＜＝83，故g (x )∞∞若∃x 1∈(－∞，－1]，∃x 2∞f (x 1)＝g (x 2)，则1＋2a 3＜83，解得0＜a ＜52，故实数a(2)证明：当a＝32时，f(x)＝x2－x3，∴f′(x)＝2x－3x2＝3当x＞2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－4，∴f(x)在(2，＋∞)上的值域为(－∞，－4)．则g(x)＝1x2(1－x)＝1f(x)(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＝1x2(1－x)在(1，＋∞)上的值域为(－∞，0)．∵(－∞，－4) (－∞，0)，∴对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)．[关键点拨]本题第(1)问等价转化的基本思想是：两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分；第(2)问等价转化的基本思想是：函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一函数值相等，即f(x)的值域都在g(x)的值域中．考点三双任意与双存在不等问题f(x)，g(x)是闭区间D上的连续函数，“∀x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)”与“∃x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)”的辨析(1)f(x)，g(x)是在闭区间D上的连续函数且∀x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等价于f(x)min＞g(x)max.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值均大于函数y＝g(x)的任意一个函数值．如图⑤.(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等价于f(x)max＞g(x)min.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的某一个函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值．如图⑥.[典例]已知f(x)＝x＋a2x(a＞0)，g(x)＝x＋ln x.(1)若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围；(2)若存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．[解析](1)对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，等价于x ∈[1，e]时，f (x )min ≥g (x )max .当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1＋1x＞0，所以g (x )在[1，e]上单调递增，所以g (x )max ＝g (e)＝e ＋1.只需证f (x )≥e ＋1，即x ＋a 2x≥e ＋1⇔a 2≥(e ＋1)x －x 2在[1，e]上恒成立即可．令h (x )＝(e ＋1)x －x 2，当x ∈[1，e]时，h (x )＝(e ＋1)x －x 2的最大值为.所以a 2，即a ≥e ＋12(舍去负值)．故实数a 的取值范围是e ＋12，＋(2)存在x 1，x 2∈[1，e]，使得f (x 1)＜g (x 2)，等价于x ∈[1，e]时，f (x )min ＜g (x )max .当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1＋1x＞0，所以g (x )在[1，e]上单调递增，所以g (x )max ＝g (e)＝e ＋1.又f ′(x )＝1－a 2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，故f (x )＝x ＋a 2x(a ＞0)在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1＋a 2＜e ＋1，符合题意；当1≤a ≤e 时，f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，e]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a ，此时，2a ＜e ＋1，解得1≤a ＜e ＋12；当a ＞e 时，f (x )在[1，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e ，此时，e ＋a 2e ＜e ＋1，即a ＜e ，与a ＞e 矛盾，不符合题意．综上可知，实数a [关键点拨](1)本题第(1)问从数的角度看，问题的本质就是f (x )min ≥g (x )max .从形的角度看，问题的本质就是函数f (x )图象的最低点不低于g (x )图象的最高点．(2)本题第(2)问从数的角度看，问题的本质就是f (x )min ＜g (x )max .从形的角度看，问题的本质就是函数f (x )图象的最低点低于g (x )图象的最高点．考点四存在与任意嵌套不等问题(1)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)＞g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值，即f (x )min ＞g (x )min (这里假设f (x )min ，g (x )min 存在)．其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值大于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑦.(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)＜g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于g (x )在D 2上的最大值，即f (x )max ＜g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值小于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑧.[典例]已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意的x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．[解析]依题意知f (x )在(0,2)上的最小值不小于g (x )在[1,2]上的最小值，即f (x )min ≥g (x )min .因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2，则当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当1＜x ＜2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ∈(0,2)时，f (x )min ＝f (1)＝－12.又g (x )＝x 2－2bx ＋4，①当b ＜1时，可求得g (x )min ＝g (1)＝5－2b .由5－2b ≤－12，解得b ≥114，这与b ＜1矛盾，不符合题意；②当1≤b ≤2时，可求得g (x )min ＝g (b )＝4－b 2.由4－b 2≤－12，得b 2≥92，这与1≤b ≤2矛盾，不符合题意；③当b ＞2时，可求得g (x )min ＝g (2)＝8－4b .由8－4b ≤－12，得b ≥178.综合①②③得，实数b 的取值范围是178，＋[关键点拨]“对任意x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“f (x )在(0,2)上的最小值大于或等于g (x )在[1,2]上的最小值”．。