23.1.2 第2课时 互余两角的三角函数值
互余两角的三角函数关系
互余两角的三角函数关系
在三角函数中，存在一个重要的关系：互余两角。
所谓互余两角，指的是两个角的和为90度（或π/2弧度）。
根据这个关系，我们可以推导出一系列三角函数的关系式，下面将对它们进行详细的介绍。
1. 正弦函数
正弦函数的互余关系式是：sin(90°-α)=cosα。
也就是说，若角α的补角为β，则有sinα=cosβ。
此外，还有
sinα=sin(π-α)。
2. 余弦函数
余弦函数的互余关系式是：cos(90°-α)=sinα。
也就是说，若角α的补角为β，则有cosα=sinβ。
此外，还有cosα=-cos(π-α)。
3. 正切函数
正切函数的互余关系式是：tan(90°-α)=cotα。
也就是说，若角α的补角为β，则有tanα=cotβ。
此外，还有tanα=-tan(π-α)。
4. 余切函数
余切函数的互余关系式是：cot(90°-α)=tanα。
也就是说，若角α的补角为β，则有cotα=tanβ。
此外，还有cotα=-cot(π-α)。
以上就是互余两角的三角函数关系的详细介绍。
可以看出，这些关系式是非常重要的，因为它们可以把一个角的三角函数值转化为和它互余的角的三角函数值，从而方便我们在求解三角函数相关问题时的计算。
23.1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 第2课时锐角三角函数的关系
A.α=β B.α+β=90° C.α-β=90° D.β-α=90°
随堂练习
2.若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ D ）
A.sinα随α的增大而增大 B.cosα随α的增大而减小 C.tanα随α的增大而增大 D.sinα+cosα有可能为1
随堂练习
3.(1)若α为锐角，则sin(90°-α)=__c_o_s_α__，cos(90°β)=__s_i_n_β__; (2)若90°-5α为锐角，且sin（90°-5α）=cos(60°-α)，则 锐角α的度数为__1_0_°___.
课程讲授
1 探究锐角三角函数的关系
练一练：若α为锐角，且sinα=cos42°，则α为（ B ）
A.42° B.48° C.56° D.无法确定
课程讲授
1 探究锐角三角函数的关系
问题1：通过科学计算器计算 ，比较下列各对数的大小， 并提出你的猜想：
（2） tan23°__<__tan67°； tan33°__<__tan57°； tan46°__<__tan44°；
tanB=
2 5
tanC=
3 5
tanD=
4 5
课程讲授
1 探究锐角三角函数的关系
问题1：通过科学计算器计算 ，比较下列各对数的大小， 并提出你的猜想：
（1） sin23°__=__cos67°； sin33°__=__cos57°； sin46°__=__cos44°；
sinA__=__cos（90°-A）；0<∠A<<90°
tanA_<___tan（90°-A）（A<45°）；
0<∠A<∠B<90°,tanA__<__tanB；
互余的两个角三角函数关系
互余的两个角三角函数关系
互余两角的三角函数关系为：任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值，任意锐角的正切值等于余角的余切值，任意锐角的余切值等于余角的正切值。
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
九年级数学上册 23.1.2 互余两角的三角函数值(第2课时)课件 (新版)沪科版
∴ cosB= sinA= 3 . 5
10
2.计算： t解an：33t°an3·t3a°n3·4t°an3·t4a°n3·5t°an·3t5an°55·t°an·5ta5n°56·t°an·5ta6n°57·°tan.57°
=（ tan33°·tan57°） （ tan34°·tan56°） （ tan35°·tan55°） =1
tan A a ,tan B b ,
b
a
tan A 1 . tan B
结论：
B
c
a
┌
A
b
C
互余两个锐角的正切值互为倒数.
9
当堂练习
1.在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3 ，sinA= 3 ,求tanB，
4
5
cosB.
解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3 ， 4
∴ tanB= 4 . 3
4
讲授新课
一 互余两角的正弦、余弦值的关系
问题引导
问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学
的知识证明你的结论吗？
A
提示：使用三角函数的定义证明.
b
c
CaB
5
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和
斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , c
cos A b , c
7
练一练 下列式子中，不成立的是（ B ） A．sin35°=cos55° B．sin30°+ sin45°= sin75° C． cos30°= sin60° D．sin260°+cos260°=1
8
二 互余两个锐角的正切值的关系
沪科版九年级数学上册教案-互余两角的三角函数值2
2.30°，45°，60°角的三角函数值第2课时互余两角的三角函数值教学思路（纠错栏）教学目标：1.知道一个锐角的正弦和余角的余弦之间的关系.2.会把互余两角的正、余弦互化.教学重点：正弦与其余角的余弦之间的关系.教学难点：正弦与其余角的余弦之间的关系.☆预习导航☆一、链接：1.在△ABC中，∠C=90°，则.______tan____,cos_____,sin===AAA2.（1）sinA =23, ∠A = ；（2）cosA = ，∠A = ______；（3）sinA =22, ∠A = ；（4）cosA =22, ∠A = ______；(5) sinA =21，∠A = ； (6)cosA =23, ∠A = ______。
二、导读：仔细观察上面的结果并完成以下问题：（1）正弦值随角度的增大而_________ ,（2）余弦值随角度的增大而_________ ,（3）正切值随角度的增大而_________ .总结：角大正弦大，角大余弦大，角大正切大。
（4）你能由 sin30°=cos =sin45°=cos =sin60°=cos = .总结：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦。
利用这个结论可以把互余两角的正、余弦互化。
☆合作探究☆1 .在Rt△ABC中，∠C = 900，sinA =53，则cosA = .2.比较sin40°、cos40°与tan40°的大小..教学思路 （纠错栏）2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，求证： （1）A A A cos sin tan = ； （2）1cos sin 22=+A A 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，求证：1tan tan =∙B A . ☆ 归纳反思 ☆ ☆ 达标检测 ☆ 1. 在Rt △ABC 中，∠C = 900，sinA =51，则cosB= . cosA = . 2. 已知a 为锐角，sina=cos400则a 等于 （ ）. A 、20° B 、30° C 、 40° D 、 50° 3.（1）已知∠A 为锐角，证明tanA ·tan （900–A ）= 1. （2）利用上面结论计算tan1°tan2°…tan88°tan89°.。
互余两角的三角函数值2
2.30°，45°，60°角的三角函数值第2课时互余两角的三角函数值教学思路（纠错栏）教学目标：1.知道一个锐角的正弦和余角的余弦之间的关系.2.会把互余两角的正、余弦互化.教学重点：正弦与其余角的余弦之间的关系.教学难点：正弦与其余角的余弦之间的关系.☆预习导航☆一、链接：1.在△ABC中，∠C=90°，则.______tan____,cos_____,sin===AAA2.（1）sinA =23, ∠A = ；（2）cosA = ，∠A = ______；（3）sinA =22, ∠A = ；（4）cosA =22, ∠A = ______；(5) sinA =21，∠A = ； (6)cosA =23, ∠A = ______。
二、导读：仔细观察上面的结果并完成以下问题：（1）正弦值随角度的增大而_________ ,（2）余弦值随角度的增大而_________ ,（3）正切值随角度的增大而_________ .总结：角大正弦大，角大余弦大，角大正切大。
（4）你能由 sin30°=cos =sin45°=cos =sin60°=cos = .总结：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦。
利用这个结论可以把互余两角的正、余弦互化。
☆合作探究☆1 .在Rt△ABC中，∠C = 900，sinA =53，则cosA = .2.比较sin40°、cos40°与tan40°的大小..教学思路 （纠错栏）2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，求证： （1）A A A cos sin tan = ； （2）1cos sin 22=+A A 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，求证：1tan tan =•B A . ☆ 归纳反思 ☆ ☆ 达标检测 ☆ 1. 在Rt △ABC 中，∠C = 900，sinA =51，则cosB= . cosA = . 2. 已知a 为锐角，sina=cos400则a 等于 （ ）. A 、20° B 、30° C 、 40° D 、 50° 3.（1）已知∠A 为锐角，证明tanA ·tan （900–A ）= 1. （2）利用上面结论计算tan1°tan2°…tan88°tan89°.。
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a b tan A ,tan B , b a 1 tan A . tan B
结论： 互余两个锐角的正切值互为倒数.
a
A b ┌ C
当堂练习
1.在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3 ，sinA= 3 ,求tanB，
cosB.
4 5
nB= 4 . 3 又∵ sinA= 3 ， 5 3 . ∴ cosB= sinA= 5
课堂小结
互余两角的三角函数： 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）
弦值.
互余两个锐角的正切值互为倒数.
课后作业
见《学练优》本课时练习
b cos A , c a cos B , c
A c
B
a
b ┌ C
∴sinA=cosB,cosA=sinB. ∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°－∠A，
即sinA=cosB=cos（90°－∠A）， cosA=sinB= sin（90°－∠A）.
sinA和cosB有什么关系? sinA=cosB 结论：
23.1 锐角的三角函数
2.30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时 互余两角的三角函数
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；
（重点） 2.会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角 变换或相应的计算.(难点)
导入新课
回顾与思考 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a
任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）
弦值.
练一练
下列式子中，不成立的是（ B ）
A．sin35°=cos55°
B．sin30°+ sin45°= sin75°
C． cos30°= sin60° D．sin260°+cos260°=1
二 互余两个锐角的正切值的关系
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边 之间的比值也随之确定. B c
3 ， 4
2.计算：
tan33°· tan34°· tan35°· tan55°· tan56°· tan57°. 解：tan33°· tan34°· tan35°· tan55°· tan56°· tan57° =（ tan33°·tan57°） （ tan34°· tan56°）
（ tan35°· tan55°） =1
30°
三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
60°
3 2
2 2
1 2
1
3
从上面的练习中我们不难发现： sin30°=cos60° sin60°=cos30° sin45°=cos45° 你还能从中发现什么规律呢？ 规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余 （正）弦值.
讲授新课
一 互余两角的正弦、余弦值的关系
问题引导 问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学 的知识证明你的结论吗？ A c
提示：使用三角函数的定义证明.
b C
a
B
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和
斜边之间的比值也随之确定.
a sin A , c b sin B , c