大学物理习题答案

P

习题12

12-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x 处取电荷元x L

q

q d d =，它在P 点产生的电电场强度度为

()

x x d L L

q x d L q

E d 41

d 41

d 2

02

0-+=

-+=

πεπε

则整个带电直导线在P 点产生的电电场强度度为

()d L d q

x x d L L

q E L

+=

-+=⎰

00

2041

d 41πεπε

故()

i E d L d q

+=

04πε

12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处点O 的场强。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl ，带电量q d dq 在O 点的电场强度202

04d 4d d R

l

R Q R q

E πεππε== 从对称性分析，y 方向的电场强度相互抵消，只存在l R

Q

E E d sin 4sin d d 3

02x ⋅=⋅=θεπθ θd d R l = θεπθ

d 4sin d 2

02x R Q E =

2

020

202x x 2d 4sin d R

Q

R Q E E E επθεπθπ

====⎰

⎰ 方向沿x 轴正方向 12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位

长度上的带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E 。 [解] θd 对应的无限长直线单位长带的电量为θπ

λd d =

q 它在轴线O 产生的电场强度的大小为

R

R

q E 02

02d 2d d επθ

λπε=

=

因对称性y d E 成对抵消R

E E 02x 2d cos cos d d επθ

θλθ=

⋅=

d θ

R

R E E 02

2

02x 2d cos 2d επλ

επθθλπ

===⎰⎰ 12-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心点O 处的场强。

[解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r ，到球心距离为x ，所带电量绝对值l r q d 2d πσ=。

在O 点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度公式)

(

)

2

322

0x 4d d r

x q x E +=

πε

带电半球壳在O 点的总电场强度

()

()

⎰

⎰

⎰+=+==2

322

02

322

0x x 424d d r

x rdl

x r

x q x E E πεπσπε

由于 θcos R x =，θsin R r =，θd d R l = 所

以

()0

20020

20

x 42cos 82d 2sin 8d cos sin 2εσθεσθθεσ

θθθεσ

π

π

π

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==

⋅=

=⎰

⎰

E E 方向沿x 轴负向

12-7．如习题12-7图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E 0，两平面外侧电场强度大小都是03

E ，方向如图。求两平面A 、B 上的

面电荷密度σA 和σB 。

[解] 无限大平面产生的电场强度为0

2εσ

=

E 则 0A A 2εσ=

E 0

B B 2εσ

=E ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-322220

A 0B 0

A

0B E E εσεσεσεσ 解得 00A 32E εσ-= 00B 3

4

E εσ=

12-8．一半径为R 的带电球体，其体电荷密度分布为ρ=Ar (r ≤R )，0=ρ (r >R )，A 为常量。

试求球内、外的场强分布。

[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 应用高斯定理有0

24επq

r E =

⋅

q 为高斯球面内所包围的电量。设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d q

r Ar r r q d 4d 4d 32ππρ=⋅=

r ≤R 时 40

3d 4Ar r Ar q r

ππ==⎰

解得 024εAr E = (r ≤R ) (或2

04Ar ε=r E e )

r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量Q

40

30

d 4d AR r Ar q Q R

R

ππ===⎰⎰

应用高斯定理0

24επQ

r E =

⋅

2044r AR E ε= (r >R ) (或r E 2

04

4r

AR ε=) 当A >0时，电场强度方向均径向向外；当A <0时，电场强度方向均指向球

心。

12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R 1和R 2，体电荷密度r A =ρ，在球心处有一点电荷Q ，求当A 取什么值时，球壳区域内(R 1

[解] 以同心球面为高斯面，电通量为

2

4d επ∑⎰⎰==⋅q E r S

S E

()

Q R r A Q dr r q r R +-=+=⎰⎰⎰∑21220

20

2d sin d 1

πθθϕπ

π

()

2

021242r

Q

R r A E πεπ+-=

当2

12R Q A π=

时 0

2εA

E = 与r 无关。因此得证。 12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离OO d '=，如习题12-10图所示。求：(1)在球形空腔内，球心O '处的电场强度O '

E ；(2)在球体内点P 处的电场强度E 。设O '、O 、

P 三点在同一直径上，且OP =d 。

[解] 在空腔内分别填上密度为ρ+的电荷和密度为

ρ-的电荷。

习题12-10图

ρ

P