影响重力的几种因素

影响重力的几种因素

物理与电子信息学院物理学专业06级 李涛 指导老师：刘自祥

摘 要: 讨论了地球自转及太阳、月球的引力对物体重力的影响。 物体的重力主要由地球的引力所致,其他因素对重力的影响非常小,一般不易被察觉,但不能忽略，当地球和月球、地球和太阳处在一条直线上时,物体的重力变化比较明显。关键词: 重力; 自转; 纬度; 地质结构

Discussion the factors of gravity affection

Li Tao

Grade 2006 School of Physics and Electronic Information,

China West Normal University, Nanchong Sichuan. 637002.

Instructor: Liu Zixiang

Abstract : Discussion the Earth's rotation with the sun, the moon's influence , other factors on the effect of gravity is very small, usually not so noticeable, but can not be ignored, when the earth and the moon, the Earth and the Sun in a straight line, the object of the gravity change obviously.

Key words : gravity; rotation; latitude; the geological structure

0 引 言

地球上的物体受到地球的吸引力,因此每个物体都有各自的重力. 物体在地球表面某一位置时,地球对它的引力为:

2GMm F R

式中G 为万有引力常数, M 为地球质量, m 为物体质量, R 为地球半径.由于上式中各量在地球的某个特定点是定值,故F 在该点亦为定值. 但是, 由于地球自转及太阳、月球对物体的引力等因素,使物体的重力会因时、因地而异. 本文讨论地球自转及太阳、月球的引力对物体重力的影响.

1 地球的自转及纬度对物体重力的影响

为了突出地球自转引起物体重力变化这个主题, 设地球是个质量均匀分布的球体, 其质量为M ,平均半径为R , 地心在O 点, 绕地轴转动的角速度2T πω=, T 为地球自转周期。若质量为m 的物体处在地球北半球纬度为Φ的A 位置, 如图1 所示。它受到地球的万有引力F 和地球表面的支持力N 两个力的作用。由牛顿万有引力定律得F 的大小为:

图1 图2

2

GMm F R = (1) 方向沿地球半径R 由A 指向地心O , 即与赤道面夹角为Φ。另外考虑地球自效应, 物体也绕地轴上'O 以角速度X 作半径为cos R Φ 的匀速圆周运动,所需的向心力为f, 由向心力公式得f 的大小为:

2cos f m R ω=Φ (2)

方向由A 指向圆心'O , 即平均于赤道面。若将引力F 分解为A 'O 方向上的向心力f 和另一等效力P, 其矢量关系为:

F f P =+ (3) 其中等效力P 是支持力N 的平衡力, 即为物体的重力。由(1)、(2)、(3) 式可知

P 与ω 有关, 且随Φ变化, 即自转可引起物体重力随纬度变化.

1. 1 重力大小与纬度角的关系

单独画出引力F 的矢量分解图, 如图2 所示,在△ABC 中,AC= F 、BC= f 、AB= P, 由余弦定理求出:

2222cos P F f Ff =+-Φ

将(1)、(2) 式及参数M = 245.9810kg ⨯,11220 6.6710/G N m kg -=⨯∙, R

=86.3710m ⨯,522 3.147.2710/243600

rad s T πω-⨯=

==⨯⨯等带入上式并化简得: 9.83P =

(4)

对(4) 式求导数得:

2dP d -=Φ 当0°≤Φ ≤90°时0dP d >Φ

说明P (Φ) 是增函数,即重力大小随纬度增大而增大, 且当Φ= 0°时, 即物体在赤道上重力最小, 最小值为:

2min 2(0)(0)(0)9.80GMm P P F f M R m R

ω==-=-= 当Φ= 90°时, 即物体在北极时重力最大, 最大值为:

(max)2(90)(90)9.83GMm P P F m R

==== 说明物体重力只有在北极时才等于地球吸引力。

1. 2 重力的方向与纬度角的关系

(1) θ与Φ 的关系

重力方向可由P 与f 的夹角θ确定, θ角是纬度角5 的函数。在图2 中, 四边形ABCD 为平行四边

形, ∠BAD = θ, 则∠ABC = 180°- θ, 在△ABC 中,由正弦定理得:

sin sin(180)

P F θ=Φ- 将(1)、(4) 两式代入上式并化简得:

θ= (5)

对(5) 式求导并化简得: d d θ=Φ 当0°≤Φ≤90°时, 0d d θ>Φ

; 说明()θΦ也是增函数; 当Φ = 0°时, 即物体在赤道处是H 最小, 最小值为: min 0θ=; 当Φ= 90°时, 即物体在北极时, θ最大,最大值为: (max)90θ=

(2) α与Φ 关系

重力的方向也可由P 与F 的夹角α来研究。由图2 知, θ= Φ+ α。由(5) 式得

θ≈Φ, 所以α非常小,但其值也是随纬度角Φ而变化的。

在图2△ABC 中, 过点B 作AC 的垂线交AC 于E, 则在△ABE 中, 可求出:

sin cos BE BE f tg AE AC CE F f αΦ===--Φ

将(1)、(2) 两式代入上式并化简得:

2sin 22cos arctg

A αΦ=-Φ (6) (6) 式中33

2GM A R ω=,将G 、M 、ω、R 值代入A 中得到A = 584。 下面仍用求导数办法判定A 的极值及增减性。先求α对Φ 的一阶导数并化简得:

222(1)cos 224(1)cos d A d A A α-Φ-=Φ--Φ 令0d d α=Φ，求驻点011arccos 21

A Φ=-。将A=584代入上式, 考虑0°≤Φ ≤90°, 得驻点0Φ= 45°。再求α对Φ 的二阶导数并化简得:

222222

4(1)sin 2(2)[4(1)cos ]d A A A d A A α-Φ-=Φ--Φ 将045Φ=、A = 584 代入上式得: