广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学《24.1.2垂径定理》课件

D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ CD是直径 、 AD=BD 、⌒ ⌒ AC=BC 则 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AM=BM 、 AD=BD . 则
试一试
2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (
A
5 3 OO 4 P P D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。
O
A
E
F
B
P
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
温故而知新
1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的 图形,用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C O B
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
●
A E└
D
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD. ⌒
垂径定理推论百度文库
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A B A
D
O B
D
C
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
O B A
D
A
E
D
B
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最 短的弦等于 2 5cm .
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径， AB为弦，且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, AC =BC
证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
B
√
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (
√
)(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O E C A P D
A O M
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.
回顾与思考
•这节课你有什么收获？
•还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5 Cm 那么⊙O的半径为
O · E D B
⌒ ⌒ ∴ AD=BD,
⌒ ⌒ AC =BC
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C A O · B D
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AD=BD 、 AC=BC 则