广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学《24.1.2垂径定理》课件
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九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径ppt课件
股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以
AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
5、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
O.
求证：AC＝BD.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC， 弧AD＝弧BD， AE＝BE
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧 AC＝弧BD
【解析】提示作OM 垂直 B
MA
于PB ，连接OA.
P
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个 条件适当互换，情况会怎样？
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱．
AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
5、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
O.
求证：AC＝BD.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC， 弧AD＝弧BD， AE＝BE
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧 AC＝弧BD
【解析】提示作OM 垂直 B
MA
于PB ，连接OA.
P
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个 条件适当互换，情况会怎样？
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱．
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理
A C DB O
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
人教版九年级数学上册课件 24.1.-2-垂径定理%28用%29
O 的半径是3cm，那么过P点的最短
的弦等于 2 5cm .
B
O
D
P E
C
A
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm，
（1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
小结：
1、我们要掌握圆的对称性：圆既是轴对称又是中心对称图形
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
O
D
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
C
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
的弦等于 2 5cm .
B
O
D
P E
C
A
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm，
（1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
小结：
1、我们要掌握圆的对称性：圆既是轴对称又是中心对称图形
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
O
D
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
C
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
初中九年级数学上册人教版PPT课件下载-24.1.2垂径定理(17张)
解得 R≈27.3（m）.
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.
初中九年级数学上册人教版公开课-PP T课件 课件 ：24.1.2垂径定理(共17张PPT课件课 件)
初中九年级数学上册人教版公开课-PP T课件 课件 ：24.1.2垂径定理(共17张PPT课件课 件)
课堂小结
回顾本节课的学习历程， 你有哪些收获（知识、方法）？ 还有什么疑问？
信息交流，揭示规律
条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
.O
垂径定理：
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
A
E
垂直于弦的直径平分弦，
B
D
并且平分弦对的两条弧。
初中九年级数学上册人教版课件：24. 1.2垂 径定理( 共17张 ppt)
垂径定理
C
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
4．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。 A E
B
5：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
求证：AC＝BD。
O.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， A
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国 隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧 的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
1. 知道圆是轴对称图形和它的对称轴； 2. 掌握垂径定理及推论； 3. 会用垂径定理解决简单的证明和计算。 重点：垂径定理的应用
广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学《24.1.2垂直于弦的直径(1)》课件
人教版九年级上册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题: 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度( 弧所对的弦的长) 为37.4m,拱高( 弧 的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
不借助任何工具，你能找到圆形 纸片的圆心吗 ?
由此你能得到圆的什么特性？
可以发现： 圆是轴对称图形。任何 一条直径所在直线都是它的对称轴．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 ? AD2 ? OD2 ,
即R2 ? 3.62 ? (R ? 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ? ON2 ? HN 2 , 即OH ? 3.92 ? 1.52 ? 3.6.
? DH ? 3.6 ? 1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥 .
A、∠ COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE D、B⌒D=⌒BC
A
C
D
E
O·
B
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为 10cm,OE=6c则mA, B= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB ∴ AE ? OA2 ? OE 2
? 102 ? 62 ? 8cm
∴ AB=2AE=16cm
AEB O·
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB,
垂足为E. 你能发现图中有那些相等的线段
和弧? 为什么?
C
线段: AE=BE 弧: A⌒C=⌒BC, A⌒D=⌒BD
·O
AE
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
∴
AE=BE,
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题: 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度( 弧所对的弦的长) 为37.4m,拱高( 弧 的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
不借助任何工具，你能找到圆形 纸片的圆心吗 ?
由此你能得到圆的什么特性？
可以发现： 圆是轴对称图形。任何 一条直径所在直线都是它的对称轴．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 ? AD2 ? OD2 ,
即R2 ? 3.62 ? (R ? 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ? ON2 ? HN 2 , 即OH ? 3.92 ? 1.52 ? 3.6.
? DH ? 3.6 ? 1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥 .
A、∠ COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE D、B⌒D=⌒BC
A
C
D
E
O·
B
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为 10cm,OE=6c则mA, B= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB ∴ AE ? OA2 ? OE 2
? 102 ? 62 ? 8cm
∴ AB=2AE=16cm
AEB O·
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB,
垂足为E. 你能发现图中有那些相等的线段
和弧? 为什么?
C
线段: AE=BE 弧: A⌒C=⌒BC, A⌒D=⌒BD
·O
AE
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
∴
AE=BE,
人教版九级数学上册 2412垂径定理教学课件(实用资料)ppt
形ADOE是正方形． 赵州桥主桥拱的半径是多少？
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 形ADOE是正方形．
OEA EAD ODA 90
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
1 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 四边形ADOE为矩形，AE AC ①平分弧的直径必平分弧所对的弦
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
D
直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 由① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AE = BE ④A⌒C = ⌒ B⑤CA⌒D = ⌒
由①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CDB⊥DAB
⑤ ④AA⌒ ⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
·O
把圆沿着A直D径=CBDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
D
B
分别与 B、C B重合。
D
AE＝BE， AC=BC
C
AD=即B直D径CD平分弦AB，
并且平分 AB及 ACB
垂径定理：垂直于弦的直径平分
·O
弦，并且平分弦所对的两条弧．
E A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
18.7
A
R
D
B
OD = OC－CD = R－
O
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 +
即 R22+O（DR2－）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心
九年级上册24.1.2垂径定理同步课件人教版
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E DOA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂径定理
学习目标
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
• 1.了解圆的轴对称性。 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
线段：AE=BE 4、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 弧： AC=BC AD=BD 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂径定理的推论是什么？如何证明？如何用几何语言表示？
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E DOA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂径定理
学习目标
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
• 1.了解圆的轴对称性。 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
线段：AE=BE 4、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 弧： AC=BC AD=BD 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂径定理的推论是什么？如何证明？如何用几何语言表示？
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
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4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E ∴ AD=BD,
⌒ ⌒ AC =BC
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C A O · B D
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
温故而知新
1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的 图形,用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C O B
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
●
A E└
D
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD. ⌒
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径， AB为弦，且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, AC =BC
证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
A
5 3 OO 4 P P D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。
O
A
E
F
B
P
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AD=BD 、 AC=BC 则
√
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (
√
)(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O E C A P D
A O M
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.
回顾与思考
•这节课你有什么收获？
•还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5 Cm 那么⊙O的半径为
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A B A
D
O B
D
C
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
O B A
D
A
E
D
B
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最 短的弦等于 2 5cm .
D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ CD是直径 、 AD=BD 、⌒ ⌒ AC=BC 则 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AM=BM 、 AD=BD . 则
试一试
2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E ∴ AD=BD,
⌒ ⌒ AC =BC
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C A O · B D
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
温故而知新
1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的 图形,用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C O B
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
●
A E└
D
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD. ⌒
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径， AB为弦，且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, AC =BC
证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
A
5 3 OO 4 P P D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。
O
A
E
F
B
P
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AD=BD 、 AC=BC 则
√
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (
√
)(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O E C A P D
A O M
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.
回顾与思考
•这节课你有什么收获？
•还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5 Cm 那么⊙O的半径为
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A B A
D
O B
D
C
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
O B A
D
A
E
D
B
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最 短的弦等于 2 5cm .
D
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(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ CD是直径 、 AD=BD 、⌒ ⌒ AC=BC 则 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AM=BM 、 AD=BD . 则
试一试
2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (