数学知识及其在西方经济学中

数学基础知识及其在西方经济学中的使用西方经济学是一门综合性较高的课程，有一定的难度，需要一定的数学知识基础。

这里我们给大家整理了一些必需的数学基础知识，帮助大家学好西方经济学这门课程。

一、经济模型中运用的图形经济模型是对经济或企业与家庭这类经济组成部分进行的简化的描述。

它包括可以用方程式或图形中曲线表示的经济行为的表述。

经济学家利用模型来揭示不同政策或其他因素对经济的影响，在方法上与采用模型飞机测定风洞和气候模式有类似之处。

在经济模型中你将遇到许多不同的图形，一旦你学会认识这些类型，你就会很快了解图形的含义。

在图形中看到的类型有如下四种情况：1、同方向变动的变量同方向变动的两种变量之间的关系称为正相关或者同方向相关。

图1-1表示正相关图形的三种情况。

图a表示一种两个变量同时增加的正相关，图形沿着越来越陡峭的曲线移动；图b表示一种正相关线性关系，图形是一条直线；图c表示一种两个变量同时增加的正相关，图形沿着越来越平坦的曲线移动。

图1-2中的所有线——无论它是直线还是曲线——都称为曲线。

x图1-2：正相关图形的三种情况2、反方向变动的变量反方向变动的两种变量之间的关系称为反相关或者反方向相关。

图1-3表示反相关图形的三种情况。

图a表示一种一个变量增加、另一个变量减少的负相关，图形沿着越来越陡峭的曲线移动；图b表示一种负相关线性关系，图形是一条直线；图c表示一种图形沿着越来越平坦的曲线移动的负相关。

x图1-3：负相关图形的三种情况3、有最大值或最小值的变量xx(a) (b)图1-4：有最大值与最小值的图形图（a ）表示有一个最大值点A 的曲线，点A 的左边产量递增，右边产量递减，在点A 处达到产量最大；图（b ）表示有一个最小值点B 的曲线，点B 的左边成本递减，右边成本递增，在点B 处成本最小。

4、无关的变量xx(a) (b)图1-5：无关变量的图形有许多情况是无论一个变量发生什么变动，另一个变量都不变。

上图（a ）表示无论x 如何变动，y 的数值不变；图（b ）表示无论y 如何变动，x 的数值不变。

5、一种关系的斜率我们可以用关系的斜率来衡量一个变量对另一个变量的影响。

一种关系的斜率是用y 轴衡量的变量的值的变动量除以用x 轴衡量的变量的值的变动量。

我们用希腊字母Δ代表“变动量”，Δx 指x 轴衡量的变量的值的变动量，这样关系的斜率是：Δy/Δx.。

(a)正斜率 (b)负斜率图1-6：一条直线的斜率无论你计算直线上哪个地方，一条直线的斜率是相同的。

但是一条曲线的斜率是多变的，取决于我们计算线上的哪个位置。

有两种方法可以计算一条曲线的斜率：在曲线某一点上的斜率称为点斜率，而某一段弧的斜率称为弧斜率。

如图1-7所示：(a)点斜率 (b)弧斜率图1-7：一条曲线的斜率二、导数的定义与几何意义1、导数的定义定义：设函数()x f y =在点0x及其邻域内有意义，如果极限x yx ∆∆→∆0lim存在，则称函数()x f y =在点0x 处可导，并称此极限值为函数()x f y =在点0x 处的导数，记作()()()x x f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆00000limlim（1.1）导数还采用下列符号：x x y ='，或 0x x dxdy =，或 ()0x x x f dx d=因此曲线()x f y =在点0x 的切线的斜率可以表示为()0x f '。

例1、求抛物线2x y =在点1=x 处的切线的斜率。

解：()2x x f =，由式（1）得()()()22lim 11lim10220=∆+=∆-∆+='→∆→∆x xx f x x因此抛物线2x y =在点1=x 处的切线的斜率为2。

我们把计算导数的运算称为求导运算，或者微分运算。

需要指出的是，导数记号dx dy不能简单的视为除法运算，目前我们要把它看作一个整体记号。

()x f '又记作： y ' 或 dx dy 或 ()x f dx d显然，函数()x f y =在点0x 的导数正是该函数的导函数()x f '在点0x 的值，即()()00x x x f x f ='=' （1.2）在求导数时，若没指明求哪一点的导数，都是指求导函数。

例2、设3x y =，求y '，)1(y '，)2(y '解：这里()3x x f =，由导数的定义式（1）得：y '23x =所以 33)1(121=='='==x x x y y ，123)2(222=='='==x x x y y同理可得1)(='x ，344)(x x ='，并推广为对任意实数α，成立1)(-='αααx x例如：91010)(x x =' x x x x 2121)(2121=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='-例3、设()x x f 1=，求()3f '。

解：先求()x f '，有()()22111x x x x x f -=-='='⎪⎭⎫⎝⎛='-- 则()911332-=-='=x x f对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△x 是自变量x 在x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x →0时，x y∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点x 处可导或可微，才能得到f(x)在点x 处的导数。

(3)如果函数y=f(x)在点x 处可导，那么函数y=f(x)在点x 处连续(由连续函数定义可知)。

反之不一定成立。

例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导。

2、导数的几何意义函数y=f(x)在点x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程。

具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为))(('000x x x f y y -=- （1.3）特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

例4、求过曲线x y =上的点1=x 处的切线方程。

解：把1=x 代入x y =得1=y ，得曲线x y =在()1,1处的切线方程为：()()111-'=-x f y由于()()xx x f 21='='，所以()211='f ，则切线方程为：()1211-=-x y2121+=x y如果函数()x f y =在0x处可导，那么曲线()x f y =在此点处光滑连接（不间断或没有尖角），且曲线()x f y =在点()00,y x 处有不垂直于x 轴的切线。

3、导数的运算（1）和、差的导数前面我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数23)(x x x f +=的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。

x x x x x x x x x f x x f x f x x ∆+-∆++∆+=∆-∆+=→∆→∆)()()(lim)()(lim )('232300xx x x x x x x xx x x x x x x x x x 23))(323(lim )(2)()(33lim 222023220+=∆+∆+∆⋅++=∆∆+∆⋅+∆+∆+∆⋅=→∆→∆我们不难发现)'()'(23)'(23223x x x x x x +=+=+，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。

同时可以推导出：两函数差的导数等于这两函数的导数的差。

这就是两个函数的和（或差）的求导法则。

（2）积的导数两个函数的积的求导法则，只要求记住并能运用就可以。

（A ）'')'(v u uv ≠；()v u v u uv '+'='（B ）若c 为常数，则(cu) ′=cu ′。

（3）商的导数两个函数的商的求导法则，只要求记住并能运用就可以。

设)()()(x v x u x f y ==)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆因为v(x)在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是△x →0时，v(x+△x)→v(x)，从而[]20)()(')()()('limx v x v x u x v x u x y x -=∆∆→∆ 即2''''v uv v u v u y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

说明：（1）'''v u v u ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛； （2）2'''v uv v u v u -=⎪⎭⎫ ⎝⎛学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。

例5、求下列函数的导数 ()32-=x y解：()'-+-='812623x x x y()()()()'-'+'-'=812623x x x 121232+-=x x三、导数在经济分析中的使用本节介绍导数在经济分析中的使用，以展示导数使用的各个视角，供学习者在其它领域中使用导数解决实际问题提供借鉴。

1、边际分析在生产和经营活动过程中，产品成本、销售收入以及产销利润都是产量x 的函数，分别记为()x C ，()x R 和()x L 。

如果生产者按定单组织生产，那么销售量与产量相同，就有()()()x C x R x L -=显然有：()()()x C x R x L '-'='经济函数的导数称为它们各自的边际函数，（1）边际成本：成本函数()x C 对产量x 的变化率()x C '称为边际成本，记成()x MC ；（2）边际收入：收入函数()x R 对产量x 的变化率()x R '称为边际收入，记成()x MR ；（3）边际利润：利润函数()x L 对产量x 的变化率()x L '称为边际利润，记成()x ML ；以边际成本为例，说明边际函数的经济意义。

由于()()x Cx C x MC ∆∆≈'=考虑到经济物品在多数情况下是不可分割的，即当1=∆x 时，成立()x MC C ≈∆因而边际成本表示在x 的水平上再多生产一个单位产品所需增添的成本；同理，边际收入表示在x 的水平上再多生产一个单位产品所增加的收入；边际利润表示在x 的水平上再多生产一个单位产品所增加的利润。