专题:一次函数的图象与面积
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题:一次函数与几何图形面积探究(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题:一次函数与几何图形面积探究考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】❖ 求三角形面积时,三角形有边在水平或者竖直边上,常以这条边为底,再由底所对顶点的坐标确定高; 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤:①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标,从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长; ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】1.已知一次函数图象经过A (﹣4,﹣10)和B (3,4)两点,与x 轴的交于点C ,与y 轴的交于点D . (1)求该一次函数解析式;(2)点C 坐标为 ,点D 坐标为 ;(3)画出该一次函数图象,并求该直线和坐标轴围成的图形面积.【分析】(1)用待定系数法求直线AB 的解析式; (2)令y =0求得点C 的坐标,令x =0求得点D 的坐标;(3)利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象,然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度,最后求得直线和坐标轴围成的图形面积.【解答】解:(1)设一次函数的解析式为y =kx +b (k ≠0),则,解得:,∴一次函数的解析式为y =2x ﹣2.(2)当x =0时,y =﹣2,当y =0时,x =1, ∴C (1,0),D (0,﹣2). 故答案为:(1,0),(0,﹣2).(3)由点A和点B,可以画出一次函数的图象,如下如所示,∵C(1,0),D(0,﹣2),∴OC=1,OD=2,∴S△OCD==1,∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1.2.在平面直角坐标系中,一条直线经过A(﹣1,5),与B(3,﹣3)两点.(1)求这条直线与坐标轴围成的图形的面积.(2)若这条直线与y=﹣x+1交于点C,求点C的坐标.【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式,进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(2)联立方程,解方程即可.【解答】(1)解:设直线解析式为y=kx+b(k≠0),将A(﹣1,5),与B(3,﹣3)两点代入得,解得,∴直线解析式为y=﹣2x+3,将x=0代入得y=3,∴与y轴交于点(0,3),将y=0代入得x=,∴与x轴交于点(,0),∴S=×3×=.(2)解得,∴点C的坐标是(2,﹣1).变式.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(2,0),且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则这个一次函数的解析式是.【分析】先根据一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(2,0)可知b=﹣2k,用k表示出函数图象与y轴的交点,再利用三角形的面积公式得到关于k的方程,解方程即可求出k的值.【解答】解:∵一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(2,0),∴2k+b=0,b=﹣2k,∴y=kx﹣2k,令x=0,则y=﹣2k,∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1,∴×2×|﹣2k|=1,即|2k|=1,解得:k=±,则函数的解析式是y=x﹣1或y=﹣x+1.故答案为y=x﹣1或y=﹣x+1.类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积解题标准:在平面直角坐标系内求三角形的面积,通常以坐标轴上的边为底,高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1.如图,若直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4交于点B(﹣1,m),且两条直线与y轴分别交于点C、点A;那么△ABC 的面积为.【分析】根据B点在直线y=﹣2x+1上,且横坐标为﹣1,求出B点的坐标,再根据直线y=kx+4过B点,将(﹣1,3)代入直线y=kx+4解析式,即可求出答案,根据已知得出B点的坐标,再根据直线y=﹣2x+1和直线y=x+4求得与y轴交点A和C点的坐标,再根据三角形的面积公式得出S△ABC.【解答】解:∵B点在直线y=﹣2x+1上,且横坐标为﹣1,∴y=﹣2×(﹣1)+1=3,即B点的坐标为(﹣1,3)又直线y=kx+4过B点,将(﹣1,3)代入直线y=kx+4得:3=﹣k+4,解得k=1;∴直线AB的解析式为y=x+4,∴直线AB与y轴交点A的坐标为(0,4),∵直线y=﹣2x+1与y轴交点C的坐标为(0,1),∴AC=4﹣1=3,∴S△ABC=AC•|x B|=×3×1=.故答案为.2.如图,直线l1:y=﹣2x+b与直线l2:y=kx﹣2相交于点P(1,﹣1),直线l1交y轴于点A,直线交y轴于点B,则△PAB的面积为.【分析】利用一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)可得直线l1与直线l2:与y轴交点,然后可求出△PAB 的面积.【解答】解:∵直线l1:y=﹣2x+b与直线l2:y=kx﹣2相交于点P(1,﹣1),∴﹣1=﹣2×1+b,解得:b=1,∴A点坐标为(0,1),∵直线l2:y=kx﹣2交y轴于B,∴B(0,﹣2),∴AB=3,∴△PAB的面积为:3×1=,故答案为:.变式.已知直线y=kx﹣4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线的解析式为()A.y=﹣x﹣4 B.y=﹣2x﹣4 C.y=﹣3x+4 D.y=﹣3x﹣4【分析】首先求出直线y=kx﹣4(k<0)与两坐标轴的交点坐标,然后根据三角形面积等于4,得到一个关于k 的方程,求出此方程的解,即可得到直线的解析式.【解答】解:直线y=kx﹣4(k<0)与两坐标轴的交点坐标为(0,﹣4)(,0),∵直线y=kx﹣4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,∴4×(﹣)×0.5=4,解得k=﹣2,则直线的解析式为y=﹣2x﹣4.故选:B.类型三三条直线围成的三角形面积解题标准:在平面直角坐标系内求三角形的面积,通常以坐标轴上的边为底,高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1.如图,已知点A(2,4),B(﹣2,2),C(4,0),求△ABC的面积.【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式,再确定直线AB与x轴的交点D的坐标,然后根据三角形面积公式和以S△ABC=S△ACD﹣S△BDC进行计算.【解答】解:设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(2,4)、B(﹣2,2)代入得,解得.所以直线AB的解析式为y=x+3,当y=0时,y=x+3=0,解得x=﹣6,则D点坐标为(﹣6,0),所以S△ABC=S△ACD﹣S△BDC=×(4+6)×4﹣×(4+6)×2=10.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D(0,﹣6)在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处,直线CD交AB于点E.(1)求点A、B、C的坐标;(2)求△ADE的面积;(3)y轴上是否存在一点P,使得S△PAD=S△ADE,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ,B 的坐标,在Rt △AOB 中,利用勾股定理可求出AB 的长度,由折叠的性质可得出AC =AB ,结合OC =OA +AC 可得出OC 的长度,进而可得出点C 的坐标;(2)根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点,联立两直线解析式可求出点E 坐标,再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ,得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积,即可求出△ADE 的面积;(3)假设存在,设点P 的坐标为(0,m ),则DP =|m +6|,利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出结论. 【解答】解:(1)当x =0时,y =﹣x +4=4, ∴点B 的坐标为(0,4); 当y =0时,﹣x +4=0, 解得:x =3,∴点A 的坐标为(3,0). 在Rt △AOB 中,OA =3,OB =4, ∴AB ==5.由折叠的性质,可知:∠BDA =∠CDA ,∠D =∠C ,AC =AB =5, ∴OC =OA +AC =8, ∴点C 的坐标为(8,0). (2)∵C (8,0),D (0,﹣6), ∴直线CD 的解析式为:y=43x-6, ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524,, ∴S △ADE =S △BDE ﹣S △ABD =BD •|x E |﹣BD •|x A |=9(3)假设存在,设点P 的坐标为(0,m ),则DP =|m +6|. ∵S △PAD =S △ADE ,即DP •OA =×OD •OA ,∴|m+6|=3,解得:m=﹣3或m=﹣9,∴假设成立,即y轴上存在一点P(0,﹣3)或(0,﹣9),使得S△PAD=S△ADE.3.如图,已知:直线AB:分别与x轴、y轴交于点A、B,直线CD:y=x+b分别与x轴、y轴交于点C、D,直线AB与CD相交于点P,S△ABD=2.求:(1)b的值和点P的坐标;(2)求△ADP的面积.【分析】(1)首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标,然后根据S△ABD=2可求得D点坐标,代入直线CD:y=x+b可求得b,直线AB与CD相交于点P,联立两方程可求得P点坐标.(2)可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP,而S△BDP=|x P|,即可求得.【解答】解:(1)∵直线AB:分别与x轴、y轴交于点A、B,令y=0则x=﹣2,A(﹣2,0),令x=0则y=1∴B(0,1),又∵S△ABD=2∴|BD|•|OA|=2而|OA|=2∴|BD|=2,又B(0,1),∴D(0,﹣1)∴b=﹣1;∵直线AB与CD相交于点P,联立两方程得:,解得x=4,y=3,∴P(4,3);(2)由图象坐标可知:S△ADP=S△ABD+S△BDP=2+|x P|=6或S△ADP=S△PAC+S△DAC=|y P|)=×3×(1+3)=6.4.已知直线m经过两点(1,6)、(﹣3,﹣2),它和x轴、y轴的交点式B、A,直线n过点(2,﹣2),且与y轴交点的纵坐标是﹣3,它和x轴、y轴的交点是D、C;(1)分别写出两条直线解析式,并画草图;(2)计算四边形ABCD的面积;(3)若直线AB与DC交于点E,求△BCE的面积.【分析】(1)利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y=2x+4;直线CD的解析式为y=x﹣3;然后利用两点确定一直线画函数图象;(2)利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为(0,4)=B点坐标为(﹣2,0)、D点坐标为(6,0),然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积=S△ABD+S△CBD进行计算;(3)根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标,然后利用△BCE的面积=S△EBD﹣S△CBD进行计算.【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把(1,6)、(﹣3,﹣2)代入得,解得.所以直线AB的解析式为y=2x+4;设直线CD的解析式为y=mx+n,把(2,﹣2)、(0,﹣3)代入得,解得,所以直线CD的解析式为y=x﹣3;如图所示;(2)把x=0代入y=2x+4得y=4,则A点坐标为(0,4);把y=0代入y=2x+4得2x+4=0,解得x=﹣2,则B点坐标为(﹣2,0);把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0,解得x=6,则D点坐标为(6,0),所以四边形ABCD的面积=S△ABD+S△CBD=×(6+2)×4+×(6+2)×3=28;(3)解方程组得,所以E点坐标为(﹣,﹣),所以△BCE的面积=S△EBD﹣S△CBD=×(6+2)×﹣×(6+2)×3=.变式.已知点A(2,4),B(﹣2,2),C(x,2),若△ABC的面积为10,求x的值.【分析】审题知B、C纵坐标相等,所以BC是一条平行于x轴的直线,所以A到BC的距离为2,而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示,即x+2的绝对值.已知三角形的面积为10,依此列出方程求解即可.【解答】解:由B、C纵坐标相等,所以BC是一条平行于x轴的直线,所以A到BC的距离为4﹣2=2,BC=|x ﹣(﹣2)|=|x+2|,因为△ABC的面积为10,所以×2×|x+2|=10,|x+2|=10,x+2=10,或x+2=﹣10,解得:x=8,或x=﹣12.考点二一次函数图象与几何图形动点面积【知识点睛】❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析,对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息❖对函数图象的分析重点抓住以下两点:①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点❖动点所在几何图形如果是特殊图形,如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形,注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数面积专题附答案
一次函数面积专题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,5),B (-3,-3)和C (7,2),求△ABC 的面积.【答案】30 【解析】 【分析】解法1:延长AC 交x 轴于点D ,先求出直线AC 的解析式,从而得出点D 的坐标,再利用=+-ABCAEDBEFCFDSSSS即可.解法2:分别过点A ,B ,C 向坐标轴作垂线,得到矩形BEFG ,然后利用矩形=---ABCBEACFACBGBEFG SS SSS就可得到所求三角形的面积.解法3:分别过点A ,B ,C 向坐标轴作垂线,得到矩形BEFG ,据勾股定理求得45AB =同理可得35AC =55BC =由勾股定理逆定理和三角形的面积公式即可得出答案. 解法4:作AM//y 轴交BC 于M ,先得出直线BC 解析式为1322y x =-,然后得出点M (1,-1),从而确定水平宽a =10,铅垂高h =6,再利用=+ABCABMACMS SS即可;【详解】解法1:如图2,延长AC 交x 轴于点D . 因为A (1,5),C (7,2),所以直线AC 的解析式为11122y x =-+,所以点D 的坐标为D (11,0).同理,可以求出点E 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭,点F (3,0),所以DE =252,EF =92,DF =8,所以1252783044ABCAEDBEFCFDSSSS=+-=+-=.解法2:如图3,分别过点A ,B ,C 向坐标轴作垂线,得到矩形BEFG . 因为A (1,5),B (-3,-3),C (7,2), 所以E (-3,5),F (7,5),G (7,-3),所以BE =8,BG =10,AE =4,AF =6,CF =3,CG =5, 所以801692530ABCBEACFACBGBEFG SS SSS=---=---=矩形.解法3:如图4,在Rt △ABE 中,因为A (1,5),B (-3,-3),E (-3,5), 所以根据勾股定理求得45AB = 同理可得35AC =55BC = 因为2224580125AC AB BC +=+==, 所以由勾股定理逆定理得90BAC ∠=︒. 所以1145353022ABCSAB AC =⋅=⨯=.解法4:如图5,由B (-3,-3),C (7,2)容易得到水平宽a =10, 所以直线BC 解析式为1322y x =-. 作AM//y 轴交BC 于M , 令x =1,代入1322y x =-得y =-1,则M (1,-1). 此时,可以得到铅垂高h =5+1=6. 所以1211130222ABCABMACMSSSAM h AM h a h =+=⋅+⋅=⋅=.2.如图,已知直线AB 经过A (2,0),B (0,1)两点,点P 的坐标为(-2,a ),且0<a <2.若△ABP 的面积是1,求a 的值.【答案】1 【解析】 【分析】方法1:先根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+,再过点P 作QN x⊥轴,交直线AB 于点Q ,交x 轴于点N ,利用割补法建立关于a 的方程,求解即可;方法2:设直线BP 交x 轴于点Q ,利用P 、B 两点坐标求出直线PB 的解析式为112a y x -=+,进而求出Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭,利用割补法建立关于a 的方程,求解即可; 方法3:过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ,根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+,由直线OP 与直线AB 平行,且过原点,得到直线OP 的解析式即可求解. 【详解】 方法1:如答图所示,过点P 作QN x ⊥轴,交直线AB 于点Q ,交x 轴于点N . 设直线AB 的解析式为y kx b =+.将A (2,0),B (0,1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩,解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. 则直线AB 的解析式为112y x =-+,令x =-2得y =2,则Q (-2,2). 由42(2)1ABPAQNPNAPQBSSSSa a =--=---=,解得a =1.方法2:设直线BP 交x 轴于点Q ,直线PB 的解析式为y kx b =+.将P (-2,a),B (0,1)两点坐标代入可得21k b ab -+=⎧⎨=⎩,解得121a k b -⎧=⎪⎨⎪=⎩. 则直线PB 的解析式为112ay x -=+.a =1时,显然成立; 1a ≠时,令y =0得x =2a 1-,则Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭.如图所示,121212212121ABPABQPQASSSa a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 解得a =1,又1a ≠,故此时a 不存在.综上得a =1.方法3:如答图所示,过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ,连接AP ,BP . 因为“平行线间的距离处处相等”,所以△ABP 与△AOB 同底等高,面积都是1. 设直线AB 的解析式为y kx b =+.将A (2,0),B (0,1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩,解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,则直线AB 的解析式为112y x =-+. 因为直线OP 与直线AB 平行,且过原点,所以直线OP 的解析式为12y x =-.令x =-2得a =1.3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y x b =-+的图象与正比例函数y kx =的图象都经过点()3,1B .(1)求一次函数和正比例函数的解析式;(2)若点(),P x y 是线段AB 上一点,且在第一象限内,连接OP ,设APO ∆的面积为S ,求面积S 关于x 的函数解析式. 【答案】(1)y =﹣x +4,13y x =;(2)S =2x (0<x ≤3). 【解析】 【分析】(1)把B (3,1)分别代入y =﹣x +b 和y =kx 即可得到结论; (2)根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】(1)把B (3,1)分别代入y =﹣x +b 和y =kx 得1=﹣3+b ,1=3k ,解得:b =4,k 13=,∴y =﹣x +4,y 13=x ;(2)∵点P (x ,y )是线段AB 上一点,∴S 12OA =•xP 142x =⋅⋅=2x (0<x ≤3).【点睛】本题考查了两直线相交或平行,三角形面积的求法,待定系数法确定函数关系式,正确的理解题意是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,一次函数12y x m =-+的图象1l 分别与x ,y 轴交于A ,B 两点,正比例函数的图象2l 与1l 交于点()2,4C .(1)求m 的值及2l 的解析式;(2)若点M 是直线12y x m =-+上的一个动点,连接OM ,当AOM 的面积是BOC 面积的2倍时,请求出符合条件的点M 的坐标;(3)一次函数2y kx =+的图象为3l ,且1l ,2l ,3l 不能围成三角形,直接写出k 的值.【答案】(1)5m =,2l 的解析式为2y x =(2)()6,2M 或()142,(3)12k =-或2或1【解析】 【分析】(1)设2l 的解析式为1y k x =,将点C 的坐标代入12,l l 的解析式,即可求解;(2)设1(,5)2M a a -+,进而根据题意列出方程,解方程求解即可;(3)根据题意,则31l l ∥或32l l ∥,进而即可求得k 的值 (1)2l 与1l 交于点()2,4C .设2l 的解析式为1y k x =,将点C 的坐标代入12,l l 的解析式,可得, 1422m =-⨯+,142k =,解得5m =,12k =,∴2l 的解析式为2y x = (2)设1(,5)2M a a -+,152y x =-+,令0x =,则5y =,令0y =,则10x =()0,5B ∴,()10,0A又()2,4C∴11111525,105522222BOCC AOMM M SBO x S OA y y a =⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯-+ AOM 的面积是BOC 面积的2倍,∴1552a ⨯-+2=⨯5即1522a -+=解得6a =或14∴()6,2M 或()142, (3)一次函数2y kx =+的图象为3l ,且1l ,2l ,3l 不能围成三角形,∴31l l ∥或32l l ∥当3l 过点C (2,4)时,将点C 坐标代入y =kx +2并解得:k =l ,∴12k =-或2或1【点睛】本题考查了一次函数综合,求一次函数解析式,求一次函数与坐标轴围成的三角形面积,一次函数与坐标轴的交点问题,一次函数的平移,掌握一次函数的性质是解题的关键. 5.如图,在平面直角坐标系中,一次函数332y x =-+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,过点B 作AB 的垂线,垂线与反比例函数()10my m x=≠交于C 、D 两点,且AB BC =.(1)求反比例函数()10my m x=≠的表达式,及经过点C 、D 的一次函数表达式()20y kx b k =+≠;(2)请直接写出使12y y >的x 取值范围; (3)求出ABD △的面积. 【答案】(1)110y x =,22433y x =- (2)3x <-或05x << (3)656【解析】 【分析】(1)由一次函数y =﹣32x +3求得A 、B 的坐标,然后通过证得△ABO ≌△BCF ,求得C(5,2),然后利用待定系数法即可求得函数的解析式; (2)求得D 的坐标,然后根据图象即可求得;(3)利用三角形面积公式,根据S △ABD =S △ABE +S △ADE 求得即可. (1)解:∵332y x =-+ 与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,∴A (0,3),B (2,0), 如图,过点C 作CF ⊥x 轴于点F ,∵AB ⊥CD ,∴∠ABO +∠CBF =90°, ∵∠ABO +∠BAO =90°, ∴∠BAO =∠CBF , 在△ABO 和△BCF 中,BAO CBF AOB BFC AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ , ∴△ABO ≌△BCF (AAS ), ∴BF =AO =3,CF =OB =2, ∴C (5,2), ∵反比例函数y 1=mx(m ≠0)过点C , ∴m =5×2=10, ∴反比例函数110y x=, 将B (2,0),C (5,2)代入y 2=kx +b (k ≠0)得2052k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得2343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴经过点C 、D 的一次函数表达式为22433y x =- ; (2)由102433y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得52=⎧⎨=⎩x y 或3103x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴D 横坐标为﹣3.∴y 1>y 2的x 取值范围:x <﹣3或0<x <5; (3)ABD ADE ABE S S S =+△△△ 12D AE x =1·2B AE x + 656=. 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.6.如图,已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点()1,6A 和()6,B m ,与x 轴交于点C .(1)分别求出这两个函数的表达式;(2)①观察图象,直接写出不等式21k k x b x+≥的解集;②请连接OA 、OB ,并计算△AOB 的面积;(3)是否存在坐标平面内的点P ,使得由点O ,A ,C ,P 组成的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)反比例函数的表达式是:y =6x ,一次函数表达式是:y =﹣x +7 (2)①x <0或1≤x ≤6;352(3)存在点P 的坐标为(8,6)或(﹣6,6)或(6,﹣6)使得由点O ,A ,C ,P 组成的四边形是平行四边形【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式;(2)①利用函数图象结合其交点得出不等式k 1x +b ≥2k x的解集;②如图所示,过点A 作AD ⊥x 轴于D ,过点B 作BE ⊥x 轴于B ,则2==32AOD BOE k S S =△△,再根据=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形进行求解即可;(3)利用平行四边形的性质结合当AP 为边和AP 为对角线两种情况分别得出答案即可.(1)解:∵点A (1,6)在反比例函数y =2k x 的图象上, ∴6=21k , 解得:k 2=6,∴反比例函数的表达式是:y =6x; ∵B (6,m )在反比例函数y =6x的图象上, ∴m =66=1,∴B (6,1),将点A (1,6),B (6,1)代入y =k 1x +b ,可得: 11616k b k b =+⎧⎨=+⎩, 解得:117k b =-⎧⎨=⎩, ∴一次函数表达式是:y =﹣x +7;(2)解:①∵点A (1,6),B (6,1),∴不等式k 1x +b ≥2k x的解集是:x <0或1≤x ≤6; 故答案为:x <0或1≤x ≤6;②如图所示,过点A 作AD ⊥x 轴于D ,过点B 作BE ⊥x 轴于B , ∴2==32AOD BOE k S S =△△, ∵A (1,6),B (6,1),∴OD =1,AD =6,OE =6,BE =1,∴DE =5,∵=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形,∴()35===22AOB ADEB AD BE DE S S +⋅△梯形;(3)解:∵C是直线AB与x轴的交点,∴点C的坐标为(7,0),如图3-1所示:当AP为边时,∴AP∥OC,AP=OC=7,∵A(1,6),∴P点坐标为:(8,6)或(-6,6);当AP为对角线时,如图3-2所示,∵AP与OC的中点坐标相同,∴1072260022PPxy++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,∴66PPxy=⎧⎨=-⎩,∴点P的坐标为(6,-6);综上所述存在点P的坐标为(8,6)或(﹣6,6)或(6,﹣6)使得由点O,A,C,P 组成的四边形是平行四边形.【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识,正确数形结合分析是解题关键.7.如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(−3,0),且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.(1)求一次函数的解析式;(2)若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A,B两点,且AC=2BC,求m的值.【答案】(1)一次函数的解析式为y=23x+2;(2)m的值为12.【解析】【分析】(1)根据一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(-3,0),得到-3k+b=0①,点C到y轴的距离是3,解方程即可得到结论;(2)如图,作AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,则AD∥BE.根据相似三角形的性质得到AD=2BE.设B点纵坐标为-n,则A点纵坐标为2n.求得A(3n-3,2n),B(-3-32 n,-n),根据反比例函数y=mx的图象经过A、B两点,列方程即可得到结论.(1)解:∵一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(-3,0),∴-3k+b=0①,点C到y轴的距离是3,∵k>0,∴b>0,∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是(0,b),∴12×3×b=3,解得:b=2.把b=2代入①,解得:k=23,则函数的解析式是y=23x+2.故这个函数的解析式为y=23x+2;(2)解:如图,作AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,则AD∥BE.∵AD∥BE,∴△ACD∽△BCE,∴AD ACBE BC=2,∴AD=2BE.设B点纵坐标为-n,则A点纵坐标为2n.∵直线AB的解析式为y=23x+2,∴A(3n-3,2n),B(-3-32n,-n),∵反比例函数y=mx的图象经过A、B两点,∴(3n-3)•2n=(-3-32n)•(-n),解得n1=2,n2=0(不合题意舍去),∴m=(3n-3)•2n=3×4=12.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求一次函数的解析式,三角形的面积,相似三角形的判定与性质,一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征,难度适中.正确求出一次函数的解析式是解题的关键.8.如图,反比例函数kyx=的图象与一次函数12y x=-的图象分别交于M,N两点,已知点M(-2,m).(1)求反比例函数的表达式;(2)点P为y轴上的一点,当点P的坐标为(5时,求△MPN的面积.【答案】(1)2 yx =-(2)5【解析】【分析】(1)把M(-2,m)代入函数式y=-12x中,求得m的值,从而求得M的坐标,代入y=kx可求出函数解析式;(2)根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标,然后利用S△MPN=S△MOP+S△NOP求得即可.(1)解:∵点M(-2,m)在一次函数y=-12x的图象上,∴m=-12×(-2)=1.∴M(-2,1).∵反比例函数y=kx的图象经过点M(-2,1),∴k=-2×1=-2.∴反比例函数的表达式为y=-2x;(2)解:∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-12x的图象分别交于M,N两点,M(-2,1),∴N(2,-1),∵点P为y轴上的一点,点P的坐标为(0,5),∴OP=5,∴S△MPN=S△MOP+S△NOP=12×5×2+12×5×2=25.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点,三角形的面积等知识.9.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数ymx(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D,AO=5,OD:AD=3:4,B点的坐标为(﹣6,n)(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)求△AOB的面积;(3)P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.【答案】(1)y23=x+2,y12x=;(2)△AOB的面积S9=;(3)P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,﹣5)或(0,258)【解析】【分析】(1)设OD=3a,AD=4a,则AO=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(-6,2),将点A、B的坐标代入一次函数表达式,即可求解;(2)△AOB的面积S=12×OM×(xA-xB)=12×2×(3+6)=9;(3)分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况,分别求解即可.(1)解:AO=5,OD:AD=3:4,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y12x=,故B(﹣6,﹣2),将点A、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩,解得:232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩,故一次函数的表达式为:y23=x+2;(2)解:设一次函数y23=x+2交y轴于点M(0,2),∵点A(3,4),B(﹣6,﹣2),∴△AOB的面积S12=⨯OM×(xA﹣xB)12=⨯2×(3+6)=9;(3)解:设点P(0,m),而点A、O的坐标分别为:(3,4)、(0,0),AP2=9+(m﹣4)2,AO2=25,PO2=m2,当AP=AO时,9+(m﹣4)2=25,解得:m=8或0(舍去0);当AO=PO时,同理可得:m=±5;当AP=PO时,同理可得:m258 =;综上,P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,﹣5)或(0,258).【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合,等腰三角形的判定与性质,利用形数结合解决此类问题,是非常有效的方法.10.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(−3,4),点B的坐标为(6,n).(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接OB,求△AOB的面积;(3)在x轴上是否存在点P,使△APC是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-12x;一次函数的解析式为y=-23x+2;(2)S△AOB=9;(3)存在.P点坐标为(-3,0)、(-173,0).【解析】【分析】(1)先把A(-3,4)代入反比例函数解析式得到m的值,从而确定反比例函数的解析式为y =-12x;再利用反比例函数解析式确定B 点坐标为(6,-2),然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y =-23x +2; (2)先依据一次函数求得点C 的坐标,进而得到△AOB 的面积;(3)过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1,AP 2⊥AC 交x 轴于P 2,可得P 1点的坐标为(-3,0);再证明Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1,利用相似比计算出P 1P 2的长度,进而得到OP 2的长度,可得P 2点的坐标为(-173,0),于是得到满足条件的P 点坐标. (1)解:将A (-3,4)代入y =m x ,得m =-3×4=-12, ∴反比例函数的解析式为y =-12x ; 将B (6,n )代入y =-12x,得6n =-12, 解得n =-2,∴B (6,-2), 将A (-3,4)和B (6,-2)分别代入y =kx +b (k ≠0),得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩, 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴所求的一次函数的解析式为y =-23x +2; (2)解:当y =0时,-23x +2=0, 解得:x =3,∴C (3,0),∴S △AOC =12×3×4=6,S △BOC =12×3×2=3, ∴S △AOB =6+3=9;(3)解:存在.过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1,AP 2⊥AC 交x 轴于P 2,如图,∴∠AP 1C =90°,∵A 点坐标为(-3,4),∴P 1点的坐标为(-3,0);∵∠P 2AC =90°,∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90°,而∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90°,∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ,∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1, ∴11211AP PP CP AP =,即12464PP =, ∴P 1P 2=83, ∴OP 2=3+83=173, ∴P 2点的坐标为(-173,0), ∴满足条件的P 点坐标为(-3,0)、(-173,0). 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题,解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式;会运用三角形相似知识求线段的长度.。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点,考查方式灵活多样,很多题目有创新性,能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外,在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法: 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种,要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示,把Rt △ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB =90°,BC =5,点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0).将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线y =2x ﹣6上时,线段BC 扫过的面积为( )图1-1A .4B .8C .16D .12 【答案】C .【解析】如图1-2所示.图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0), ∴AB =3.∵∠CAB =90°,BC =5,∴在Rt △ABC 中,由勾股定理得:AC =4. ∴A ′C ′=4.∵点C ′在直线y =2x -6上, ∴2x -6=4,解得 x =5.即OA ′=5, ∴CC ′=5-1=4.∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形,面积 =4×4=16. 即线段BC 扫过的面积为16,故答案为:C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A (2-,0),且与y 轴分别交于B 、C 两点,则△ABC 的面积为 ( ).A . 4B . 5C . 6D . 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×(-2)+a , 解得:a =4, 又因为0=2+b 解得:b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4),C (0,-2),三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为:C .题3. (河北中考)如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,A (0,5),直线x =-5与x 轴交于点D ,直线y =-38x -398与x 轴及直线x =-5分别交于点C ,E .点B ,E 关于x 轴对称,连接AB . (1)求点C ,E 的坐标及直线AB 的解析式; (2)若S =S △CDE +S 四边形ABDO ,求S 的值;(3)在求(2)中S 时,嘉琪有个想法:“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置,而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ,这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积,如此不更快捷吗?”但大家经反复验算,发现S △AOC ≠S ,请通过计算解释他的想法错在哪里.图3-1【答案】见解析【解析】解:(1)y =-38x -398,令y =0,有0=-38x -398,解得:x =-13,即C (-13,0).令x =-5,则有y =-38×(-5)-398=-3,即E (-5,-3).∵点B ,E 关于x 轴对称, ∵B (-5,3). ∵A (0,5),∵设直线AB 的解析式为y =kx +5, ∵-5k +5=3, ∵k =25,∵直线AB 的解析式为y =25x +5.(2)由(1)知E (-5,-3), ∵DE =3. ∵C (-13,0),∵CD =-5-(-13)=8, ∵S ∵CDE =12CD ·DE =12.由题意知OA =5,OD =5,BD =3, ∵S 四边形ABDO =12(BD +OA )·OD =20,∵S =S ∵CDE +S 四边形ABDO =12+20=32.(3)由(2)知S =32,在∵AOC 中,OA =5,OC =13, ∵S ∵AOC =12OA ·OC =652=32.5,∵S ≠S ∵AOC .理由:由(1)知直线AB 的解析式为y =25x +5,令y =0,则0=25x +5,∵x =-252≠-13,∵点C 不在直线AB 上,即点A ,B ,C 不在同一条直线上, ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3),且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y =1.5x +3B . y =-1.5x +3C . y =1.5x +3或y =-1.5x +3D . y =1.5x -3或y =-1.5x -3【答案】C .【解析】解:设该一次函数与x 轴的交点坐标为(a ,0), 由题意得:1332a ⨯⨯=, 解得:a =±2, 当a =2时,设直线解析式为y =kx +3,将(2,0)代入,求得k =-1.5; 同理求得,当a =-2时,k =1.5.所以函数解析式为:y =1.5x +3或y =-1.5x +3,故答案为C .题5. 如图5-1所示,已知一次函数y =kx +b 的图象经过A (-2,-1),B (1,3)两点,并且交x 轴于点C ,交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式;(2)求∵AOB 的面积. 【答案】见解析.【解析】解:(1)把A (-2,-1),B (1,3)代入y =kx +b ,得:⎩⎪⎨⎪⎧-2k +b =-1,k +b =3. 解得⎩⎨⎧k =43,b =53.∵一次函数的解析式为y =43x +53.(2)把x =0代入y =43x +53,得y =53,∵D 点坐标为(0,53).∵S ∵AOB =S ∵AOD +S ∵BOD =12×53×2+12×53×1=52.题6. 已知,一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ,并与y 轴交于点(0,4)B -,△AOB 的面积为6,则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解:因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -, ∴b =-4,OB =4, 设A 点横坐标为a , 因为△AOB 的面积为6, 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或-3,点A 的坐标为(3,1)或(-3,-1) 将A 点坐标代入4y kx =-,得: k =53或-1 所以kb = 203-或4. 故答案为:203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ,D ,C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积(S )随时间(t )变化的图象大致是( )图7-1A B C D【解析】根据题意可得:①F、A重合之前没有重叠面积;②F、A重叠之后,重叠部分面积逐渐增大,且增加的速度越来越快;③△EFG完全进入且F与B重合之前,重叠部分的面积是三角形的面积,不变,④F与B重合之后,重叠部分的面积逐渐减小,减小的速度越来越慢,直至最后重叠部分的面积为0.综上所述,只有B选项图形符合.故答案为:B.题8. 如图8-1所示,已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6,若能,请求出点P的坐标,若不能请说明理由。
专题:一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
专题:一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题1、填空:一次函数y=0.5x+2的图像与x轴的交点;与y轴的交点;一次函数y=-x-1的图像与x轴的交点为;与y轴的交点;2、直线y=0.5x+2与直线y=-x-1的交点;3、过点〔2,0〕〔0,4〕的直线解析式;例1:直线y=3x-6,1)画出函数图像,并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积2)求直线y=-x-1与y轴围成的三角形面积;3)求直线y=-x-1与x轴围成的三角形面积;1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与x 轴围成的三角形面积?2、作业:直线y =4x -2与直线y =-x +13及x 轴所围成的三角形的面积?3、作业:求直线y =2x -7,直线1122y x =-+与y 轴所围成三角形的面积.例2一次函数的图像过点B〔0,4〕且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求此一次函数的解析式?变形1:直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,求直线解析式;变形2:一次函数的图像经过点A〔2,0〕,且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求此一次函数的解析式?例3:一次函数图像交于x轴于点A〔6,0〕,与正比例函数图像交于点B,且点B在第一象限,其横坐标是4,假设△ABO的面积等于15,求这个正比例函数和一次函数的解析式?稳固练习:直线L1经过点A〔-1,0〕与点B〔2,3〕,另一条直线L2经过点B,且与x轴相交于点p〔m,0〕假设假设△APB的面积等于3,求m值和L1、L2的解析式?X直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点,直线L经过原点,与线段AB 交于点C,把△AOB的面积分成1:1两局部,求直线L的解析式;X直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点,直线L经过原点,与线段AB 交于点C,把△AOB的面积分成2:1两局部,求直线L的解析式;X一次函数y=kx+b的图像经过M〔-1,1〕和B〔0,2〕设该图像与x轴交于点A,问在x轴上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形,假设存在,求出符合条件得点P,假设不存在说明理由。
一次函数图象与坐标轴围成的图形面积
2
地产估值
将某地区内不同类型房屋建筑面积用函数方程表示,计算每种类型建筑的总面积和总价值。
3
金融投资
统计投资组合中各资产的投资风险和预期回报率,得出在不同市场环境下的收益概率和最优 化投资方案。
通过函数方程计算图形面积的方法
计算x轴方向围成的图形
将函数设置= 0,解出两个交点的横坐标,根据前 面给出的公式计算面积。
计算y轴方向围成的图形
将函数代入关于x的形状方程中,解出两个交点的 纵坐标,根据前面给出的公式计算面积。
实际问题中的应用举例
1
产品设计
计算产品零件的横截面积和质量分布,有助于产品的研制和优化。
一次函数图象与x轴围成的图形
三角形
当一次函数图象与x轴相交函数图象在x轴上方,围成形状是平行四边 形。
梯形
当一次函数图象在x轴上方,并且横坐标区间有多 个交点,围成形状是梯形。
一次函数图象与y轴围成的图形
小于0
当a和b都小于0时,围成形状是第一象限内的一 个矩形。
一次函数图象与坐标轴围 成的图形面积
欢迎大家来到这个有趣的主题。在这个演讲中,我们将讨论一次函数图象如 何与坐标轴围成形状,以及如何计算这些形状的面积。
一次函数的定义及特点
1 定义
2 特点
一次函数是指函数项是x的一次幂函数,其形 式为y = ax + b。
一次函数是一条直线,可以延伸到无穷远, 且斜率恒定。
2
左移
若一次函数图象向左移动,则图形面积减少。
3
上下移动
一次函数图象的上下移动不会影响到围成的形状面积。
一次函数图象与x轴和y轴围成的图形面积
矩形
当一次函数图象与x轴和y轴围成的形状是矩形,公 式为S = ab, 其中a是x轴截距,b是y轴截距。
一次函数与几何综合(题型齐全)
一次函数与几何图形综合考点一、面积问题一次函数求面积的常用方法:(1)直接法(公式法)适用于规则图形,三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时,常用直接法求面积;(2)割补法(分割求和、补形作差)适用于不规则四边形,将四边形分割成两个三角形,分别计算两个三角形的面积再求和。
或者将四边形放在一个规则图形中(需要时做辅助线),此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的规则图形面积;(3)铅锤法(底相同,高运算)适用于三边均不与坐标轴平行的三角形(不规则三角形);(4)平行线面积转化适用于存在平行线的情况下,利用平行线的性质,平行线间的距离处处相等做高;题型一:直接求图形面积1、正比例函数()110y k x k =≠与一次函数()220y k x b k =+≠的图象的交点坐标为()43A ,,一次函数的图象与y 轴的交点坐标为()03B -,.(1)求正比例函数和一次函数的解析式;(2)求AOB 的面积.2、如图,一次函数5y x =-+和1y kx =-的图象与x 轴分别交于A 、C 两点,与y 轴分别交于B 、D 两点,两个函数图象的交点为点E ,且E 点的横坐标为2.(1)求k 的值;(2)不解方程组,请直接写出方程组51x y kx y +=⎧⎨-=⎩的解;(3)求两函数图象与x 轴所围成的ACE △的面积.3、如图,直线443y x =-+与y 轴交于点A ,与直线4455y x =+交于点B ,且直线4455y x =+与x 轴交于点C ,求ABC 的面积.4、如图,在平面直角坐标系中,直线132x m l y =+:与直线2l 交于点()23A -,,直线2l 与x 轴交于点()40C ,,与y 轴交于点B ,将直线l 2向下平移8个单位长度得到直线3l ,3l 与y 轴交于点D ,与1l 交于点E ,连接AD .(1)求直线2l 的解析式;(2)求△ADE V 的面积;5、如图,直线l 1:y =x +m 与y 轴交于点B ,与x 轴相交于点F .直线l 2:y =kx ﹣9与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,两条直线相交于点D ,连接AB ,且OA :OC :AB =1:3:.(1)求直线l 1、l 2的解析式;(2)过点C 作l 3∥l 1交x 轴于点E ,连接BE 、DE .求△BDE 的面积.5、如图,一次函数()0y kx b k =+≠的图象与正比例函数2y x =-的图象交于点A ,与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,5OB =,点A 的纵坐标为4.(1)求一次函数的解析式;(2)点D 和点B 关于x 轴对称,将直线2y x =-沿y 轴向上平移8个单位后分别交x 轴,y 轴于点,M N ,与直线()0y kx b k =+≠交于点E ,连接DE ,DC ,求ECD 的面积.题型二:已知面积求点的坐标1、如图,一次函数y kx b =+与反比例函数a y x=的图象在第一象限交于点()4,3A ,与y 轴的负半轴交于点B ,且OA OB =.(1)求一次函数y kx b =+与反比例函数a y x =的表达式;(2)已知点C 在x 轴上,且ABC 的面积是8,求此时点C 的坐标;2、如图,在平面直角坐标系中直线13:2l x m +与直线2l 交于点()2,3A -,直线2l 与x 轴交于点()4,0C ,与y 轴交于点B ,过BD 中点E 作直线3l y ⊥轴.(1)求直线2l 的解析式和m 的值;(2)点P 在直线1l 上,当6PBC S = 时,求点P 坐标;。
考点08 一次函数的图象与性质-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点,也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点,所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时,需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一:一次函数的图象与平移一.一次函数的图象二.一次函数图象的画法1.下列函数:①y =4x ;②y =﹣;③y =;④y =﹣4x +1,其中一次函数的个数是( )A .1B .2C .3D .4【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可.【解答】解:y =﹣4x ,y =﹣,y =﹣4x +1都符合一次函数的定义,属于一次函数;y =是反比例函数,综上所述,其中y 是x 的一次函数的个数有3个.故选:C.一次函数的图象是经过点和点的一条直线2.如图,在平面直角坐标系中,函数y=k(x﹣1)(k>0)的图象大致是( )A.B.C.D.【分析】根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可.【解答】解:∵y=k(x﹣1)(k>0),∴一次函数图象过点(1,0),y随x的增大而增大,故选项B符合题意.故选:B.3.如图,同一直角坐标系中,能表示一次函数y=x+kb和y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)的图象是( )A.B.C.D.【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可.【解答】解:A、一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,则k>0,b<0,则kb<0;而一次函数y=x+kb的图象与y轴交于正半轴,则kb>0,kb>0与kb<0相矛盾,不符合题意;B、一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,则k>0,b<0,则kb<0;而一次函数y=x+kb的一次项系数为正,与题干图形相矛盾,不符合题意;C、一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,则kb<0;而一次函数y=x+kb的图象与y轴交于负半轴,则kb<0.kb<0与kb<0相一致,符合题意;D、一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,则k<0,b<0,则kb>0;而一次函数y=x+kb的图象与y轴交于负半轴,则kb<0.kb>0与kb<0相矛盾,不符合题意;故选:C.4.在平面直角坐标系中,直线是函数y=6x﹣2的图象,将直线l平移后得到直线y=6x+2,则下列平移方式正确的是( )A.将1向右平移4个单位长度B.将1向左平移4个单位长度C.将1向上平移4个单位长度D.将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律,右加左减,上加下减,即可得出答案.【解答】解:设将直线y=6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y=6x+2(a>0),∴6(x+a)﹣2=6x+2,解得:a=,故将直线y=6x﹣2向左平移个单位后得到直线y=6x+2,同理可得,将直线y=6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y=6x+2,观察选项,只有选项C符合题意.故选:C.5.直线y=2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 (1,0) .【分析】利用一次函数平移规律,上加下减进而得出平移后函数解析式,再求出图象与坐标轴交点即可.【解答】解:直线y=2x﹣4沿y轴向上平移2个单位,则平移后直线解析式为:y=2x﹣4+2=2x﹣2,当y=0时,则x=1,故平移后直线与x轴的交点坐标为:(1,0).故答案为:(1,0).6.如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2,下列结论正确的是( )A.k1k2<0B.k1+k2<0C.b1﹣b2>0D.b1b2>0【分析】根据一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象位置,可得k1<0,b1<0,k2<0,b2>0,然后逐一判断即可解答.【解答】解:∵一次函数y=k1x+b1的图象过四、二、三象限,∴k1<0,b1<0,∵一次函数y=k2x+b2的图象过一、二、四象限,∴k2<0,b2>0,∴A、k1•k2>0,故A不符合题意;B、k1+k2<0,故B符合题意;C、b1﹣b2<0,故C不符合题意;D、b1•b2<0,故D不符合题意;故选:B.考向二:一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b(k≠0),点A (x1,y1)B(x2,y2)在其图象上1.一次函数y=﹣3x+1的图象经过( )A.第一、二、四象限B.第一、三、四象限C.第一、二、三象限D.第二、三、四象限【分析】利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限.【解答】解:∵y=﹣3x+1,∴k<0,b>0,故直线经过第一、二、四象限.故选:A.2.已知点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2)都在直线y=(m2+1)x+m上,则y1,y2的大小关系是( )A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.大小不确定【分析】利用偶次方的非负性,可得出m2≥0,进而可得出k=m2+1>0,利用一次函数的性质,可得出y随x的增大而增大,结合﹣3<﹣1,可得出y1<y2.【解答】解:∵m2≥0,∴k=m2+1>0,∴y随x的增大而增大.又∵点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2)都在直线y=(m2+1)x+m上,且﹣3<﹣1,∴y1<y2.故选:B.3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是关于x的函数y=(m﹣1)x图象上的两点,当x1<x2时,y1<y2,则m 的取值范围是( )A.m>0B.m<0C.m>1D.m<1【分析】由“当x1<x2时,y1<y2”,可得出y随x的增大而增大,结合一次函数的性质,可得出m﹣1>0,解之即可得出m的取值范围.【解答】解:∵当x1<x2时,y1<y2,∴y随x的增大而增大,∴m﹣1>0,解得:m>1,∴m的取值范围是m>1.故选:C.4.对于一次函数y=﹣2x+1的相关性质,下列描述错误的是( )A .函数图象经过第一、二、四象限B .图象与y 轴的交点坐标为(1,0)C .y 随x 的增大而减小D .图象与坐标轴调成三角形的面积为【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解:A .∵k =﹣2<0,b =1>0,∴函数图象经过第一、二、四象限,正确,不符合题意;B .当x =0时,y =1,∴函数图象与y 轴的交点坐标为(0,1),错误,符合题意;C .∵k =﹣2<0,∴y 的值随着x 增大而减小,正确,不符合题意;D .令y =0可得y =1,∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为:×1×=,故D 正确,不符合题意.故选:B .5.已知点(﹣2,y 1),(2,y 2)都在直线y =2x ﹣3上,则y 1 < y 2.(填“<”或“>”或“=”)【分析】由k =2>0,利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大,再结合﹣2<2即可得出y 1<y 2.【解答】解:∵k =2>0,∴y 随x 的增大而增大,又∵﹣2<2,∴y 1<y 2.故答案为:<.考向三:待定系数法求一次函数的解析式1.一个正比例函数的图象过点(﹣2,3),它的表达式为( )A.B.C.D.【分析】利用待定系数法即可求解.【解答】解:设函数的解析式是y=kx.根据题意得:﹣2k=3.解得:k=﹣.故函数的解析式是:y=﹣x.故选:A.2.已知一次函数y=mx﹣4m,当1≤x≤3时,2≤y≤6,则m的值为( )A.2B.﹣2C.2或﹣2D.m的值不存在【分析】结合一次函数的性质,对m分类讨论,当m>0时,一次函数y随x增大而增大,此时x=1,y =2且x=3,y=6;当m<0时,一次函数y随x增大而减小,此时x=1,y=6且x=3,y=2;最后利用待定系数法求解即可.【解答】解:当m>0时,一次函数y随x增大而增大,∴当x=1时,y=2且当x=3时,y=6,令x=1,y=2,解得m=,不符题意,令x=3,y=6,解得m=﹣6,不符题意,当m<0时,一次函数y随x增大而减小,∴当x=1时,y=6且当x=3时,y=2,令x=1,y=6,解得m=﹣2,令x=3,y=2,解得m=﹣2,符合题意,故选:B.3.已知y与x成正比例,且当x=2时,y=﹣3.则当x=﹣时,y= .【分析】设y=kx,把x=2,y=﹣3代入,求出k得到函数解析式,把x=﹣代入函数解析式,求出即可.【解答】解:根据题意,设y=kx,把x=2,y=﹣3代入得:﹣3=2k,解得:k=﹣,∴y与x的函数关系式为y=﹣x,把x=﹣代入y=﹣x,得y=﹣×(﹣)=,故答案为:.4.已知一次函数的图象经过A(2,0),B(0,4)两点.(1)求此一次函数表达式;(2)试判断点(﹣1,6)是否在此一次函数的图象上.【分析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),再把A(2,0),B(0,4)代入求出k的值即可;(2)把x=﹣1代入(1)中函数解析式进行检验即可.【解答】解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),∵A(2,0),B(0,4)在函数图象上,∴,解得,∴一次函数的解析式为:y=﹣x+4;(2)由(1)知,函数解析式为:y=﹣x+4,∴当x=﹣1时,y=5≠6,∴点(﹣1,6)不一次函数的图象上.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣2x+a与y轴交于点C(0,6),与x轴交于点B.(1)求这条直线的解析式;(2)直线AD与(1)中所求的直线相交于点D(﹣1,n),点A的坐标为(﹣3,0).求n的值及直线AD 的解析式.【分析】(1)把C (0,6)代入函数解析式,可得答案.(2)先求D 的坐标,再利用待定系数法求解AD 的解析式.【解答】解:(1)直线y =﹣2x +a 与y 轴交于点C (0,6),∴﹣2×0+a =6,∴a =6,∴直线的解析式为y =﹣2x +6;(2)点D (﹣1,n )在y =﹣2x +6上,∴n =﹣2×(﹣1)+6=8,∴D (﹣1,8),设直线AD 的解析式为y =kx +b ,把点A (﹣3,0)和D (﹣1,8)代入得,解得,∴直线AD 的解析式为y =4x +12.考向四:一次函数与方程不等式间的关系的交点坐标由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳:1.已知方程2x ﹣1=﹣3x +4的解是x =1,则直线y =2x ﹣1和y =﹣3x +4的交点坐标为( )A .(1,0)B .(1,1)C .(﹣1,﹣3)D .(﹣1,1)【分析】把x =1代入直线解析式y =2x ﹣1求出y 的值即可得到交点坐标.【解答】解:∵x =1是方程2x ﹣1=﹣3x +4的解,∴把x =1代入y =2x ﹣1,得y =2×1﹣1=1.∴交点坐标为(1,1).故选:B .2.如图,直线y =ax +b (a ≠0)过点A (0,1),B (2,0),则关于x 的方程ax +b =0的解为 x =2 .【分析】所求方程的解,即为函数y =ax +b 图象与x 轴交点横坐标,确定出解即可.【解答】解:方程ax +b =0的解,即为函数y =ax +b 图象与x 轴交点的横坐标,∵直线y =ax +b 过B (2,0),∴方程ax +b =0的解是x =2,故答案为:x =2.3.如图,一次函数y =2x +1的图象与y =kx +b 的图象相交于点A ,则方程组的解是( )A.B.C.D.【分析】先求点A的横坐标,然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解.【解答】解:y=3代入y=2x+1得2x+1=3,解得x=1,所以A点坐标为(1,3),所以方程组的解是.故选:B.4.如图,已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P,若二元一次方程组的解为x、y,则x+y= 3 .【分析】根据由图象可知,直线y=ax+b和直线y=kx交于点P(1,2),即可确定二元一次方程组的解,进一步求值即可.【解答】解:由图象可知,直线y=ax+b和直线y=kx交于点P(1,2),∴二元一次方程组的解为,∴x+y=1+2=3,故答案为:3.5.若定义一种新运算:,例如:2@4=2+4﹣3=3,2@1=2﹣1+3=4,下列说法:①(﹣1)@(﹣2)=4;②若x@(x+2)=5,则x=3;③x@2x=3的解为x=2;④函数y=(x2+1)@1与x轴交于(﹣1,0)和(1,0).其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.1【分析】根据新定义,逐项判断即可.【解答】解:(﹣1)@(﹣2)=﹣1﹣(﹣2)+3=4,故①正确;∵x@(x+2)=x+(x+2)﹣3=2x﹣1,∴x@(x+2)=5即是2x﹣1=5,解得x=3,故②正确;当x<2x,即x>0时,∵x@2x=3,∴x+2x﹣3=3,解得x=2;当x≥2x,即x≤0时,∵x@2x=3,∴x﹣2x+3=3,解得x=0,∴x@2x=3的解是x=2或x=0,故③错误;∵x2+1≥1,∴y=(x2+1)@1=x2+1﹣1+3=x2+3,令y=0得x2+3=0,方程无实数解,∴函数y=(x2+1)@1与x轴无交点,故④错误;∴正确的有①②,共2个,故选:C.6.如图,已知一次函数y1=kx﹣b与y2=nx函数图象相交于点M,当kx﹣b=nx时,x的值是 1 ,当y1>y2时,x的取值范围是 x<1 ,当y1<y2时,x的取值范围是 x>1 .【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可.【解答】解:由图象可知,当kx﹣b=nx时,x的值是1,当y1>y2时,x的取值范围是x<1,当y1<y2时,x的取值范围是x>1.故答案为:1,x<1,x>1.7.小时在学习了一次函数知识后,结合探究一次函数图象与性质的方法,对新函数y=2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值如表:x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m= 0 ,n= ﹣1 .(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象,并结合图象写出该函数的一条性质: 当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大 .(3)当时,x的取值范围为 x≤﹣1或x≥2 .【分析】(1)把x=﹣1和x=4分别代入解析式即可得到m、n的值;(2)利用描点法画出图象,观察图象可得出函数的性质;(3)利用图象即可解决问题.【解答】解:(1)把x=﹣1代入y=2﹣|x﹣1|得,y=2﹣|﹣1﹣1|=0,∴m=0;把x=4代入y=2﹣|x﹣1|得,y=2﹣|4﹣1|=﹣1,∴n=﹣1;故答案为:0,﹣1;(2)画出函数的图象如图:观察图象可知:当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大;故答案为:当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大;(3)画出一次函数y=x+的图象,观察图象可知:当时,x的取值范围为x≤﹣1或x≥2,故答案为:x≤﹣1或x≥2.考向五:一次函数与三角形面积一.一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳1.一次函数y=kx+b(k≠0)与坐标轴交点规律与x轴交点坐标(,0)故:当k、b同号时,直线交于x轴负半轴;当k、b异号时,直线交于x轴正半轴对于直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点坐标(0,b)故:当b>0时,直线交于y轴正半轴;当b<0时,直线交于y轴负半轴2.求两直线交点坐标方法:联立两直线解析式,得二元一次方程组,解方程组得交点坐标;3.求三角形面积时,三角形有边在水平或者竖直边上,常以这条边为底,再由底所对顶点的坐标确定高;二.一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析,对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点:①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形,如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形,注意对应图形性质与辅助线的应用。
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、解答题1.如图,平面直角坐标系中,过点(0,6)C 的直线BC 与直线OA 相交于点(4,2)A -,动点M 在线段OA 和射线AC 上运动.(1)求直线BC 的表达式.(2)求OAC ∆的面积.(3)直接写出使OMC ∆的面积是OAC ∆面积的14的点M 坐标.2.已知:2y -与x 成正比例,且2x =时,8y =.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)求函数图像与坐标轴围成的面积.3.已知直线1:33l y x =-和直线23:62l y x =-+相交于点A . (1)求点A 坐标;(2)若1l 与x 轴交于点B ,2l 与x 轴交于点C ,求ABC 面积.4.在平面直角坐标系中,已知直线l :y =﹣12x+2交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,直线l 上的点P(m ,n)在第一象限内,设△AOP 的面积是S .(1)写出S 与m 之间的函数表达式,并写出m 的取值范围.(2)当S =3时,求点P 的坐标.(3)若直线OP 平分△AOB 的面积,求点P 的坐标.5.直线AC与线段AO如图所示:(1)求出直线AC的解析式;(2)求出线段AO的解析式,及自变量x的取值范围(3)求出△AOC的面积6.在平面直角坐标系中,直线l与x轴、y轴分别交于点A、B(0,4)两点,且点C(2,2)在直线l上.(1)求直线l的解析式;(2)求△AOB的面积;7.在直角坐标系中,一条直线经过A (﹣1,5),P (2,a ),B (3,﹣3).(1)求直线AB 的函数表达式;(2)求a 的值;(3)求△AOP 的面积.8.如图,直线11:l y x =和直线22:26l y x =-+相交于点A ,直线2l 与x 轴交于点B ,动点P 在线段OA 和射线AB 上运动.(1)求点A 的坐标;(2)求AOB 的面积;(3)当POB 的面积是AOB 的面积的13时, 求出这时点P 的坐标.9.如图,直线1l 的函数解析式为24y x =-+,且1l 与x 轴交于点D ,直线2l 经过点A 、B ,直线1l 、2l 交于点C .(1)求直线2l 的函数解析式;(2)求ADC ∆的面积;(3)在直线2l 上是否存在点P ,使得ADP ∆面积是ADC ∆面积的1.5倍?如果存在,请求出P 坐标;如果不存在,请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线1l :12y x =与直线,2l :6y x =-+交于点A ,2l 与x 轴交于B ,与y 轴交于点C .(1)求OAC 的面积;(2)若点M 在直线2l 上,且使得OAM △的面积是OAC 面积的34,求点M 的坐标.11.如图,已知直线:l y ax b =+过点()2,0A -,()4,3D .(1)求直线l 的解析式;(2)若直线4y x =-+与x 轴交于点B ,且与直线l 交于点C .①求ABC ∆的面积;②在直线l 上是否存在点P ,使ABP ∆的面积是ABC ∆面积的2倍,如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.12.如图,直线1l 的解析表达式为3+3y x =-,且1l 与x 轴交于点D ,直线2l 经过点A ,点B ,直线1l ,2l 交于点C .(1)求直线2l 的解析表达式;(2)求ADC 的面积;(3)在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ,使得ADP △的面积等于ADC 面积,请直接写出点P 的坐标.13.如图,在平面直角坐标系中,过点()60B ,的直线AB 与直线OA 相交于点()42A ,,动点M 在线段OA 和射线AC 上运动.(1)求直线AB 的解析式.(2)求OAC ∆的面积.(3)是否存在点M ,使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的12?若存在求出此时点M 的坐标;若不存在,说明理由.14.点()P x y ,在第一象限,且8x y +=,点A 的坐标为()60,,设OPA ∆的面积为S .(1)用含x 的表达式表示S ,写出x 的取值范围,画出函数S 的图象;(2)当点P 的横坐标为5时,OPA ∆的面积为多少?(3)OPA ∆的面积能否大于24?为什么?15.(本题满分10分) 如图,直线23y x =+与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B .(1)求△AOB 的面积;(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ,△ABP 的面积是92,求点P 的坐标.参考答案1.(1) 6y x =+ (2)12 (3) 1(1,)2-、()1,5-、()1,7【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2)利用三角形的面积公式即可求解;(3)当OMC 的面积是OAC 的面积的14,求出M 点的横坐标,分别按照题意代入表达式即可; 【详解】解:(1) 设直线AB 的解析式是y kx b =+,根据题意得: 0642k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得:16k b =⎧⎨=⎩, 则直线的解析式是:6y x =+; (2)164122OAC S ∆=⨯⨯=; (3) 设OA 的解析式是y mx =,则42m -=, 解得:12m =-, 则直线的解析式是:12y x =-, 当OMC 的面积是OAC 的面积的14时, ∴M 的横坐标是±1, 在12y x =-中,当1x =-时,12y = ,则M 的坐标是1(1,)2-; 在6y x =+中, 当1x =-则5,y = 则M 的坐标是()1,5.-在6y x =+中,当1x =时,7y =,则M 的坐标是()1,7.综上所述:M 的坐标是:111),2(M -或()21,5M -或()31,7M .【点睛】本题考查一次函数综合题.本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题专题复习【精品】
专题:一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题类型1 已知图象求三角形的面积例1.【教材母题】点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S.(1)用含x的式子表示S,写出x的取值范围,画出函数S的图象;(2)当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为多少?(3)△OPA的面积能大于24吗?为什么?解:(1)∵点A和点P的坐标分别是(6,0),(x,y),∴S=12×6×y=3y.∵x+y=8,∴y=8-x.∴S=3(8-x)=24-3x.∴S=-3x+24.∵点P在第一象限,∴x>0,y>0,即x>0,8-x>0.∴0<x<8. 图象如图所示.(2)当x=5时,S=-3×5+24=9.(3)不能.理由:令S>24,则-3x+24>24.解得x<0.∵由(1),得0<x<8,∴△OPA的面积不能大于24.针对练习:1.如图,直线l 1在平面直角坐标系中,直线l 1与y 轴交于点A ,点B(-3,3)也在直线l 1上,将点B 先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点C ,点C 恰好也在直线l 1上.(1)求点C 的坐标和直线l 1的解析式;(2)已知直线l 2:y =x +b 经过点B ,与y 轴交于点E ,求△ABE 的面积.解:(1)由题意,得点C 的坐标为(-2,1).设直线l 1的解析式为y =kx +c ,∵点B(-3,3),C(-2,1)在直线l 1上,∴⎩⎪⎨⎪⎧-3k +c =3,-2k +c =1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-2,c =-3.∴直线l 1的解析式为y =-2x -3.(2)把点B 的坐标代入y =x +b ,得3=-3+b ,解得b =6.∴y =x +6.∴点E 的坐标为(0,6).∵直线y =-2x -3与y 轴交于点A ,∴A 的坐标为(0,-3).∴AE =6+3=9.∵B(-3,3),∴S △ABE =12×9×|-3|=13.5.2.如图,在平面直角坐标系中,点A (0,4)在y 轴上,点B (-8,0)在x 轴上.(1)求直线AB 的函数解析式;(2)若x 轴上有一点P 使得∠APO =2∠ABO ,求△ABP 的面积.解:(1)设直线AB 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0),将A (0,4),B (-8,0)代入y =kx +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧b =4,-8k +b =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =12,b =4,∴直线AB 的函数解析式为y =12x +4. 设点P 的坐标为(t ,0),分两种情况考虑,如图所示.①点P 在x 轴上原点的左侧.当PB =AP 时,∠APO =2∠ABO .在Rt △APO 中,AP=BP=t-(-8)=t+8,AO=4,PO=-t,∵AP2=AO2+PO2,即(t+8)2=42+(-t)2,解得t=-3,∴BP=8-3=5.∴S△ABP=12BP·AO=12×5×4=10.②点P在x轴上原点的右侧.由对称性,可得点P′的坐标为(3,0),此时,BP′=8+3=11,∴S△ABP′=12BP′·AO=12×11×4=22.综上,△ABP的面积为10或22.3.如图,点A,B的坐标分别为(0,2),(1,0),直线y=12x-3与y轴交于点C、与x轴交于点D.(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,求直线AB与CD交点E的坐标;(2)四边形OBEC的面积是4.解:把A(0,2),B(1,0)代入y=kx+b,得。
一次函数与面积综合运用(原卷版)
专题07 一次函数与面积综合运用(三大题型)【题型1 常规三角形面积】【题型2 铅垂法求面积】【题型3 等底转化】【题型1 常规三角形面积】【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上,或者平行于坐标轴上,这样的三角形为常规三角形,可以直接利用三角形的面积公式进行求解。
【典例1】(2023春•永定区期末)综合与探究:如图,平面直角坐标系中,一次函数y=图象分别交x轴、y轴于点A,B,一次函数y=﹣x+b的图象经过点B,并与x轴交于点C,点P是直线AB上的一个动点.(1)求A,B两点的坐标;(2)并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式;(3)试探究直线AB上是否存在点P,使以A,C,P为顶点的三角形的面积为18?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.【变式1-1】(2023春•凤山县期末)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB 的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA,OB的长满足|OA﹣8|+(OB﹣6)2=0,∠ABO的平分线交x轴于点C,过点C作AB的垂线,垂足为点D,交y轴于点E.(1)求直线AB的解析式;(2)若△ABC的面积为15,求点C的坐标;【变式1-2】(2023春•涪陵区期末)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A,B,直线l2交x轴、y轴分别于点C(﹣6,0),D(0,6),直线l2与直线l1交于点E,连接BC.(1)求直线l2的解析式;(2)求△BCE的面积;(3)连结OE,若点P是x轴上一动点,连结PE,当△POE为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.【变式1-3】(2023春•兰陵县期末)如图,已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,﹣1),与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C,D,且点D的坐标为(1,n).(1)则k=,b=,n=;(2)求四边形AOCD的面积;(3)在x轴上是否存在点P,使得以点P,C,D为顶点的三角形是直角三角形,请求出点P的坐标.【变式1-4】(2023春•连城县期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y =﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.(1)求AB的长;(2)求点C和点D的坐标;(3)y轴上是否存在一点P,使得S△P AB =S△OCD?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【变式1-5】(2023春•文登区期中)如图,直线l1表达式为y=﹣3x+3,且与x轴交于点D,直线l2经过点A(4,0),B(3,),直线l1,l2交于点C.(1)求直线l2的表达式;(2)在直线l2上存在点P,能使S△ADP=3S△ACD,求点P的坐标.【变式1-6】(2023•花都区一模)在平面直角坐标系中,直线y=kx+4(k≠0)交x轴于点A(8,0),交y轴于点B.(1)k的值是;(2)点C是直线AB上的一个动点,点D和点E分别在x轴和y轴上.①如图,点D的坐标为(6,0),点E的坐标为(0,1),若四边形OECD的面积是9,求点C的坐标;②当CE平行于x轴,CD平行于y轴时,若四边形OECD的周长是10,请直接写出点C的坐标.【题型2 铅垂法求面积】【解题技巧】对于一般三角形,我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题学情分析:本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点,重点是一次函数与面积的综合结合与运用,以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
文章介绍了如何利用面积求解析式,以及如何求解含参数问题的面积。
文章还提供了三个典型例题,以帮助读者更好地理解。
研究目标与考点分析:研究目标:1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式;2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决。
考点分析:1、一次函数的解析式与面积的充分结合。
研究重点:1、一次函数与面积的综合结合与运用;2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
研究方法:讲练结合练巩固。
研究内容与过程:一、本节内容导入本节内容主要介绍了一次函数相关的面积问题,包括规则图形和不规则图形的求解方法,以及含参数问题的求解方法。
文章强调了在求解过程中,需要注意坐标的正负和线段的非负性。
二、典例精讲本节提供了三个典型例题,分别介绍了如何利用面积求解析式,如何求解含参数问题的面积,以及如何求解四边形的面积。
文章强调了在解题过程中,需要注意分类讨论和建立方程的思想。
本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点,重点是一次函数与面积的综合结合与运用,以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
文章介绍了如何利用面积求解析式,以及如何求解含参数问题的面积。
文章还提供了三个典型例题,以帮助读者更好地理解。
在研究过程中,需要注意分类讨论和建立方程的思想。
同时,需要注意坐标的正负和线段的非负性。
通过讲练结合练,可以更好地巩固所学知识。
1、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点,另一条直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,m),且将△AOB分成两部分。
1)若△AOB被分成的两部分面积相等,则k=-2,b=2.2)若△AOB被分成的两部分面积比为1:5,则k=-5,b=7.2、已知一次函数y=-2/3x+3的图像与y轴、x轴分别交于点A、B,直线y=kx+b经过OA的三分之一点D,且交x轴的负半轴于点C,如果S△AOB=S△DOC,求直线y=kx+b的解析式。
一次函数图象变换与面积问题
一次函数图象变换与面积问题【专题介绍】在平面直角坐标系,如果改变某个一次函数图象的位置,如何求解新的图象解析式呢?这就本节要学习一次函数图象变换问题,图象变换问题主要有平移,对称和旋转。
而这些问题的本质,还是根据点坐标求一次函数解析式的问题。
另外,我们还会学习一次函数与面积的综合问题。
【学习目标】1.掌握一次函数图象变换的方法。
2.学会利用一次函数解决面积问题。
模块一一次函数图象变换一次函数的平移先做出y=2x的图象①将y=2x向上平移1个单位,画图求解析式②将y=2x向下平移1个单位,画图求解析式总结:上加下减(观察y值的变化)③将y=2x向左平移1个单位,画图求解析式④将y=2x向右平移1个单位,画图求解析式总结:左加右减(观察x值的变化)【例1】(1)一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位,所得图象的函数解析式是()A y=2x-3B y=2x+2C y=2x+1D y=2x(2)若把一次函数y=2x-3向上平移3个单位长度,得到图象解析式是()A y=2xB y=2x-6 C.y=5x-3 D.y=-x-3(3)把函数y=-2x+3的图象向下平移4个单位后的函数图象解析式是()A. y=2x+7B. y=-6x+3C. y=-2x-1D. y=-2x-5(4)将直线y=-x+2向上平移3个单位,得到直线解析式为【练1】(1)在直角坐标系中,将直线y=kx向左平移两个单位得到y=kx+b,刚好过点(-1,4),则不等式组0<kx+b<-4x的解集为(2)如图,把直线y =-2x 向上平移后得到直线AB ,直线AB 经过点(a , b ) 且2a +b =6,则直线AB 的解析式是( )A y =2x -3 B.y =-2x +6 C.y =-2x -3 D.y =-2x -6一次函数的对称【例2】 (1)如果y =kx 与y =4x 的图象关于x 轴对称,则k 的值等于(2)如果y =kx 与y =2x 的图象关于x 轴对称,则k 的值等于(3)一次函数y =(m 2-4)x +(1-m )和y =(m +2)x +(m 2-3)的图象分别与y 轴交于P 、Q.这两点关于x 轴对称,则m 的取值是( )A.2B.2或-1C.1或-1D.-1【练2】(1)直线y =2x +5的图象沿y 轴翻折,翻折后图象对应的解析式为(2)已知直线y =-321 x ,则此直线关于y 轴对称的直线为 (3)若直线l :y =kx +b 与直线y =2x -3关于y 轴对称,则直线l 的解析式是(4)一束光沿直线y =-2x +4 照射到x 轴上的平面镜A 被反射,则反射光线所在的直线解析式为 一次函数对称变换一般思想是:“先取特殊点,求出特殊点的对称点,在根据点坐标求新的直线解析式”。
一次函数图象与坐标轴围成的图形面积
一次函数
解析式: 图像: 一条直线 当b≠0时,图像与两坐标轴的交点坐标:
y
y= kx+b
OA x B
图像与两坐标轴围成的图形:直角三角形 直角三角形的面积:
二 例题选讲
例1:求一次函数y=2x-4的图像与两坐标轴围成的
y
三角形面积.
y=2x-4
A
O2
x
-4 B
练一练:
求一次函数y=-x-4的图像与两坐标轴围成的三角形面积.
y=2x-4
5D
C
A
E
O2
5
x
-4 B
二 例题选讲 例4:求一次函数y=2x-4,y=-x+5的图像与两坐标轴围成 的四边形DOAC的面积. y
y=2x-4
5D
F
C
A
E
O2
5
x
-4 B
二 例题选讲 例4:求一次函数y=2x-4,y=-x+5的图像与两坐标轴围成 的四边形DOAC的面积. y
y=2x-4
角形面积.
y y=2x-4
y= - x
A
O
x
C
B
二 例题选讲
例3:求一次函数y=2x-4,y=-x的图像和x轴所围成的三
角形面积.
y y=2x-4
y= - x
DA
O
2
x
C
B
练
y
y=2x-4
y= - x
A
O
x
C
B
练一练:求一次函数y=2x-4,y=-x的图像和y轴所围成的
5D
C
A
E
O 2F 5
x
-4 B
一次函数的图象与三角形面积专题【精品】
专题:一次函数的图象与三角形面积问题类型1 已知图象求三角形的面积例1.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 在第一象限内,AD ∥y 轴,点A 的坐标为(5,3),已知直线l :y =12x -2. (1)将直线l 向上平移m 个单位长度,使平移后的直线恰好经过点A ,求m 的值;(2)在(1)的条件下,平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ,求△ABE 的面积.解:(1)m =52. (2)∵四边形ABCD 是边长为2的正方形,AD ∥y 轴,点A 的坐标为(5,3),∴点E 的横坐标为5-2=3.把x =3代入y =12x +12,得y =12×3+12=2, ∴点E 的坐标为(3,2),∴BE =1,∴S △ABE =12×2×1=1.针对练习:1.已知一次函数y =2x +4.(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象;(2)y 的值随x 值的增大而 增大 ;(3)求图象与x 轴的交点A ,与y 轴的交点B 的坐标;(4)在(3)的条件下,求出△AOB 的面积.解:(1)函数图象如图所示.(3)A(-2,0),B(0,4).(4)由(3)可知,OA =2,OB =4,∴S △AOB =12OA ·OB =12×2×4=4.2.已知一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象经过点(3,-3),且与直线y =4x -3的交点在x 轴上.(1)求这个一次函数的解析式;(2)此函数的图象经过哪几个象限?(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.解:(1)对于直线y =4x -3,当y =0时,x =34. 即它与x 轴的交点坐标为(34,0). 根据题意,直线y =kx +b 经过点(3,-3),(34,0), ∴⎩⎪⎨⎪⎧3k +b =-3,34k +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-43,b =1.∴此一次函数的解析式为y =-43x +1. (2)此函数的图象经过第一、二、四象限.(3)此函数的图象与y 轴的交点坐标为(0,1),与x 轴的交点坐标为(34,0), ∴此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×34×1=38. 3.如图,已知直线y =-13x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ,∠BAC =90°,点P(x ,y)为线段BC 上一个动点(点P 不与B ,C 重合),设△OPA 的面积为S.(1)求点C 的坐标;(2)求S 关于x 的函数解析式,并写出x 的取值范围;(3)△OPA的面积能等于92吗?如果能,求出此时点P 坐标;如果不能,说明理由.解:(1)当x =0时,y =-13x +1=1.∴点B 的坐标为(0,1).当y =0时,-13x +1=0,解得x =3.∴点A 的坐标为(3,0).过点C 作CE ⊥x 轴,垂足为E ,∵△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,∴∠BAO +∠CAE =90°,AB =CA.又∵∠BAO +∠ABO =90°,∴∠ABO =∠CAE.在△ABO 和△CAE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AOB =∠CEA ,∠ABO =∠CAE ,AB =CA ,∴△ABO ≌△CAE(AAS).∴AE =BO =1,CE =AO =3.∴OE =AO +AE =4.∴点C 的坐标为(4,3).(2)过点P 作PF ⊥x 轴,垂足为F ,设直线BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0).将B(0,1),C(4,3)代入y =kx +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧b =1,4k +b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =12,b =1.∴直线BC 的解析式为y =12x +1. ∴S =12OA ·PF =12×3×(12x +1)=34x +32(0<x <4). (3)不能.理由如下:当S =92时,34x +32=92, 解得x =4.∵0<x <4,∴△OPA 的面积不能等于92. 类型2 已知面积求一次函数的解析式例2.已知一次函数的图象过点(0,3),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,则其解析式为( C )A .y =1.5x +3B .y =-1.5x +3C .y =1.5x +3或y =-1.5x +3D .y =1.5x -3或y =-1.5x -3针对练习:4.已知一条直线与平面直角坐标系中两坐标轴交于点M(0,-3)和点N(a ,0),且此直线与两坐标轴围成的三角形面积为12,则a 的值是 ±8 .5.已知直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,直线l 经过原点,与线段AB 交于点C ,且把△ABO 分为面积之比为2∶1的两部分,求直线l 的函数解析式.解:由题意可得,A(-3,0),B(0,3).当S △AOC ∶S △BOC =2∶1时,过点C 作CF ⊥OA 于点F ,CE ⊥OB 于点E ,易知S △AOB =92,则S △AOC =3,S △BOC =32. ∴12AO ·CF =3,即12×3CF =3. ∴CF =2.同理可得,CE =1,∴C(-1,2).∴直线l 的函数解析式为y =-2x ;当S △AOC ∶S △BOC =1∶2时,同理可得,C(-2,1).∴直线l 的函数解析式为y =-12x. 综上,直线l 的函数解析式为y =-2x 或y =-12x. 类型3 已知面积求点的坐标例3. 如图,直线y =kx +6(k ≠0)与x 轴、y 轴分别交于点E ,F ,点E 的坐标为(-8,0),点A 的坐标为(-6,0),点P (x ,y )是线段EF 上的一个动点.(1)求k 的值;(2)求点P 在运动过程中△OPA 的面积S 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;(3)当△OPA 的面积为9时,求点P 的坐标.解:(1)∵直线y =kx +6过点E (-8,0),∴0=-8k +6,解得k =34. (2)由(1)得直线EF 的函数解析式为y =34x +6. ∵点P (x ,y )在直线y =34x +6上, ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,34x +6. ∴S △OPA =12OA ×⎝ ⎛⎭⎪⎫34x +6=94x +18. ∵点P 是线段EF 上的一个动点,且O ,A ,P 可构成三角形, ∴-8<x ≤0.(3)∵△OPA 的面积为9,∴9=94x +18,解得x =-4. ∴y =34×(-4)+6=3.∴P (-4,3).。
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题1一次函数y=kx+b与y=3x-5平行,且过点(-1,5)求一次函数表达式?
2.求直线y=3x-6与两坐标轴所围成的三角形的面积
3.将直线y=- 3
4
x+3平移,使其经过(4,3)
(1)、求平移后的函数解析式
(2)求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角形面积
4.已知直线l经过点(-2,4),且与坐标轴围成一个等腰三角形,
(1)求直线的函数的解析式
(2)求所得三角形的周长及面积
5.在直角坐标系中,一次函数的图像与直线y=2x-3平行,且图像与两坐标轴围成的三角形面积等于4,求一次函数的解析式。
6.已知正比例函数和一次函数的图像如图所示,其中交点A(3,4),且OA=1
2
OB.求(1)正比例函数和
一次函数解析式(2)三角形AOB的面积。
7.如图所示:直线y=kx+b经过点B (0, 3
2
)与点C(-1,3)且与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直线与
OC平行,并且与直线y=kx+b交与点D, (1)求BC所在直线的函数解析式;(2)求点D的坐标;
(3)求四边形CDEO的面积。
x
x
如图,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴交于点A、B,与函数y=2x的图象交于点M,OB=6,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中a〉2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=kx+b 和函数y=2x于点C、D。
(1)求点M的坐标
(2)求直线AB的表达式.
(3)求△OAM的面积
(4)若OB=CD求a的值
P C
B
D。
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y=–x+4
4. 如图,在同一坐标系中,关于x的一次函数 y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是( C )
(A) y
(B)
y
o
x
o
x
(C)
y
(D) x
y
o
o
x
1 x+1与直线a关于y轴对称,在同一 已知直线y= 2
坐标系中画出它们的图象,并求出直线a的解析式.
巩固练习
3.(1)函数 y = mx + n 与 y = mn x ( mn≠0 )的大致图象可能是(
y
D)
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
( A)
(B)
( C)
( D)
(2)无论b为何实数,函数 y = x + b 与 y = – x + 4 的图象的交点 三 象限. 不可能在第____ y 分析:
o2.(1) 若 k > 0 , b < 0 ,则一次函数 y=kx+b 的 图像不经过第____ 二 象限, y 随 x 的增大而______. 增大 (2) 若一次函数 y = kx + b 的图像不经过第 > 0 , b___ ≤ 0. 二象限,则 k ___ (3) 若 kb > 0 , 则一次函数 y = kx + b 的图像 二、三 象限. 一定经过第_______
巩固练习
1.(1)根据一次函数 y = k x + b 的图像填空:
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
> b___0 k___0, >
k___0, > < b___0
> b___0 k___0, <
y
k___0, < b___0 < y=bx y=cx
o x
(2) 用“ < ”将 a、b、 c 连接起来: a<c<b
B P
10cm
图甲
C
o
5 8
图乙
?
t(s)
1)图甲中 3 )P点在整个的移动过程中△ )图乙中的 a的长是多少? 在图甲中具有什么实 ABP 问题: (2 BC 的面积是怎样变化的? 际意义? a的值是多少?
3.如图,多边形ABCDEF各角都为直角, 动点P以2cm/s速度沿图甲的边框按 B→C→D→E→F→A的路径移动,相应 的△ABP的面积s关于时间t的函数图象 如图乙。若AB=6cm,试回答下列问题
例题精讲
B A
O 4
x
B
练一练
1. 已知一次函数的图象经过(0,-2),且与两坐 标轴截得的三角形面积为3,求一次函数解析式。 2.已知直线y=2x+b与坐标轴所围成的三角形的面积 是4,求直线的解析式.
3.若正比例函数的图象与一次函数的图象交于点M (3,4),两图象与y轴围成的三角形的面积为 7.5,求这两个函数的解析式
练一练
已知直线y=kx+b过点A(-1,5),且平行于直 线y=-x+2. (1)求直线y=kx+b的关系式; (2)若B(m,-5)在这条直线上,O为原点, 求m的值及S△AOB。
二、由面积关系求一次函数关系式
已知直线y=kx+b与x轴交于点(4,0), 函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是8,求直 线的解析式. y
A 6cm F
b a
o
s
D C
E
B P 2cm/s
图甲
4 6 9
图乙
t
A 6cm
F
42 b
s
·
4 6 9
图乙
M
8cm B P 2cm/s
a 24 E 6cm D 4cm
C
o
· · t N
问题:
图甲
( 7 ) M 点坐标是否可以求出? N 点 ( 4 )图甲中 DE 的长是多少? 3 CD 5 6 )图乙中的 a b 在图甲中具有什么实 2 BC (1)P点在整个的移动过程中△ABP 坐标是否可以求出? MN 所在直线 际意义? a b 的值是多少? 的面积是怎样变化的? 的函数关系式呢?
小
一次函数的图象是一条直线,它和坐标轴可以围 成封闭图形。运用一次函数知识可以求某些图形 面积,反过来运用图形的面积可以解答一次函数 的相关问题,充分体现了数形结合思想、整体思 想和转化思想。 解决这类问题的基本思路是: (1)确定交点坐标; (2)求出有关线段的长度; (3)将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几 个基本图形的和差倍分,然后根据题目特点利用 图象与面积间的关系综合求解。
练一练
4.如图,直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象, 直线PB是一次函数y=-2x+m(m>n) 的图象. (1)用m、n分别表示A、B、P的坐标; (2)设PA交y轴于点Q,若AB=2,四边形 5 PQOB的面积为 ,求P点坐标和直线PA、PB的 6 关系式. y
Q P
A
O 图2
B
x
大展身手
y
y=kx+b
y
D P y=k1x+b1
O B
A
x
O B
A C
x
y=k2x+b2
一、由一次函数图象求面积
例题精讲 已知一次函数y=2x-4。 ⑴求它与两坐标轴的交点坐标;
⑵求它与两坐标轴围成的三角形的面积。
例题精讲
一次函数y=k1x-4与正比例函数y=k2x的图 象都经过点(2,-1), (1)分别求出这两个函数的解析式; (2)求这两个函数的图象与x轴围成的三 角形的面积。
1.已知A(8,0)、B(0,6)、C(0,-2), 连接AB,过C作直线l与AB交于P,与OA交于E, 且OE:OC=4:5,求S△PAC。
2.如图,矩形ABCD中,AB=6cm,动点P 以2cm/s速度沿图甲的边框按B→C→D→A 的路径移动,相应的△ABP的面积s关于时 间t的函数图象如图乙.根据下图回答问题: D A s(cm) 30 a p