范数

3.3 范数

3.3.1 向量范数

在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。

范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。

定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为

，若满足下面三个性质：

（1），有，当且仅当时，（非

负性）

（2），，有（齐次性）

（3.37）（3），，有（三角不等式）

那么称该实数为向量的范数。

几个常用向量范数

向量的范数定义为

其中，经常使用的是三种向量范数。

或写成

例3.5 计算向量的三种范数。

向量范数的等价性

有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有

或

（证明略）

向量的极限

有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。

设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。

由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。

向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。

若，则就是向量序列

的极限。

例3.6 求向量序列极限向量。

解：算出每个向量分量的极限后得

在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取

为极限向量。

3.3.2 矩阵范数

矩阵范数定义

定义3.2 如果矩阵的某个非负实函数，记作，满足条件：

（1）当且仅当时，（非负性）

（2）（齐次性）

（3）对于任意两个阶数相同的矩阵有（三角不等式性）

（4）矩阵为同阶矩阵（相容性）

则称为矩阵范数。

矩阵的算子范数

常用的矩阵范数是矩阵的算子范数，可用向量范数定义：

设，记方阵的范数为，那么

或（3.38）

称为矩阵的算子范数或从属范数。这样定义的矩阵范数满足矩阵范数的所有性质外，还满足相容性：

为阶矩阵，恒有（3.39）

根据定义，对任一种从属范数有，即单位矩阵的范数是1。

常用矩阵范数

向量有三种常用范数，相对应的矩阵范数的三种形式为：

（的行范数）（3.40）

（的列范数）(3.41)

（是的最大特征值）（的2范数）(3.42)

证明：既然矩阵的算子范数是上满足向量范数的上确界，那么，找到这个上确界也就找到了矩阵的范数。

(1)任取，则

即

另一方面设极大值在列达到，即取

，除第个分量为1外，其余分量均为 0,于是有

，

由于，故

因此有

（2）任取，，则

即

另一方面设极大值在行达到，取

这里

于是

故

(3)为对称非负矩阵，具有非负特征值，并具有个相互正交的单位特征向量。

设的特征值为，相应的特征向量为，其中为相互正交的单位向量。设，并且，即，则

即对任意均有，故

取，则有故

于是

如果A是对称矩阵，那么，设的特征值是, 则有

还有一种与向量范数相容的矩阵范数，称为欧几里得（Euclid）范数或舒尔（Schur）范数，用表示，其定义为

(3.43)

因为欧几里得范数易于计算，在实用中是一种十分有用的范数。但它不能从属于任何一种范数，因为。

与向量范数的等价性质类似，矩阵范数之间也是等价的。

例3.7 ,分别有。

解:

的特征值

矩阵范数等价性

定理对上的任两种范数及，存在常数≧，使

≧t≧

矩阵特征值与范数关系

若是矩阵的特征值（即存在非零向量使得：），对任一算子范数有

又（相容性）

即矩阵特征值的模不大于矩阵的任一范数。

谱半径

若有特征值记则称为的谱半径。有了谱半径的定义，矩阵的2范数可记为：。

谱半径与矩阵范数关系

由矩阵谱半径定义，可得到矩阵范数的另一重要性质，。

什么是范数

(2009-09-27 16:45:38)

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杂谈

在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法。在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。

函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。

由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。

从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢？矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。