范数
范数的名词解释
范数的名词解释范数是线性代数中一个重要的概念，它可以衡量向量空间中向量的大小。
在数学上，范数是一种从向量到实数的函数，它满足一定的性质。
范数不仅在线性代数中有重要应用，也在其他学科中被广泛使用，如函数空间、统计学、机器学习等。
一、范数的定义范数是向量空间中度量向量大小的一种方式。
对于一个实数域上的向量空间V，范数可以定义为一个从V到实数集上的非负实值函数，记作||·||，满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x∈V，有||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
2. 齐次性：对于任意向量x∈V和任意实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x、y∈V，有||x+y||≤||x||+||y||。
二、范数的类型根据范数函数的定义方式，范数可以分为不同的类型。
常见的范数有：1. L1范数（曼哈顿范数）：L1范数定义为||x||1=∑|xi|，表示向量x中每个元素绝对值之和。
L1范数在稀疏表示、压缩感知等领域有广泛应用。
2. L2范数（欧几里德范数）：L2范数定义为||x||2=√(∑|xi|^2)，表示向量x中每个元素的平方和的平方根。
L2范数也称为欧几里德范数，是我们常用的向量长度度量方式。
3. 无穷范数：无穷范数定义为||x||∞=max(|xi|)，表示向量x中绝对值最大的元素。
无穷范数在机器学习中的正则化和特征选择中使用广泛。
三、范数的应用范数作为度量向量大小的一种方式，在实际应用中有很多重要的用途。
1. 正规化：范数可以作为正则化项用于优化问题，如Lasso回归中使用L1范数作为正则化项，使得模型获得稀疏解。
2. 特征选择：范数可以用于特征选择，通过限制特征向量的范数大小，保留重要的特征，去除冗余信息。
3. 函数空间：范数在函数空间中也有广泛应用，例如L2范数用于定义函数空间上的内积。
4. 最优化问题：范数在最优化问题中起到了重要的作用，如L1范数最小化问题可以得到稀疏解。
数值分析12-范数
1 i n j 1 T
A 2 ( A A)
( 2-范数，谱范数 )
| aij |2
i 1 j 1 n n
Frobenius 范数： A
F
( F-范数)
是向量 || · 2 的直接推广，但不是算子范数。 ||
y D Ly D Ux
1
1
高斯-塞德尔公式的证明
写出分量形式有
设 得
且
高斯-塞德尔公式的证明
得
利用对角占优条件知
命题得证
线性方程组的性态问题
考虑线性方程组:
Ax b
由于系数矩阵和右端项都是通过计算或观察得来的, 通常都 带有一定的误差，即受到了一些（相对）微小的扰动。那么 这些扰动对方程组的解会产生什么样的影响？
迭代过程的收敛性
迭代法的收敛条件
X ( k 1) GX k d
定理1：对任意初始向量X(0)及常向量d，上述迭代格式
收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(G) < 1。
定理2：若迭代矩阵Ｂ的某种范数
G 1 则上述
确定的迭代法对任意初值X(0)均收敛于方程组
X = GX + d的唯一解x*。
|| x || || b || || A || || A1 || || x || || b ||
(2)由于系数矩阵的扰动而引起的解的变化
x A1 A ( x x)
|| x |||| A1 || || A || || x x ||
|| x || || A || 1 || A || || A || || x x || || A ||
第三章 范数与极限§31范数
1 1 2 2 ， x x ， 1 1.0001 2 0 1 1 2 1 ， x x . 1 1.0001 2.0001 1
但若 A 换成
1 1 1 2 ，
j A a ， n重
而
I - A A = - a .
n
a e j
1 n
i 2 j n
， j 1,, n .
T
实 复，重 单，特征向量： a ： x 1, 0, , 0 ， n 个线性无关的。
UA
2 F
AV
2 F
A
2 F
.
2
A
2
max
Ax, y
x 2 y
2
x 0, y 0
max
x 2 y 2 1
Ax, y
2
；
2
AH
2
A 2 ； AH A
A 2.
3 设 A 非奇异，则
A
1 1
min
x 0
Ax x
三个常用范数
A 1 max
x0
Ax 1 x1 Ax x
2 2
；
A 2 max
x0
；
A max
x0
Ax x
.
矩 阵 范 数
定理 3.6 A 1 max
j
a
i 1
n
ij
（列和最大） max a j ，
j 1
推论：
1 设 U ， V
为酉矩阵，则
UAV
2 F
i 1 i i
n i 1
欧几里德范数定义
欧几里德范数定义Introduction在数学中，欧几里德范数是一种测量向量长度或大小的方法。
范数是一种将向量映射到非负值的函数，且满足一定条件。
欧几里德范数是最常见、最直观的范数之一，也成为2范数或L2范数。
本文将详细介绍欧几里德范数的定义、性质以及应用场景。
二级标题欧几里德范数的定义欧几里德范数定义如下：对于一个n维向量x=(x₁, x₂, …, xn)，它的欧几里德范数∥x∥₂表示为：∥x∥₂ = √(x₁² + x₂² + … + xn²)其中，x₁, x₂, …, xn是向量x的分量。
欧几里德范数的性质欧几里德范数具有以下性质：1.非负性：对于任意向量x，其欧几里德范数∥x∥₂ ≥ 0，且当且仅当x=0时，∥x∥₂=0。
2.齐次性：对于任意标量α和向量x，有∥αx∥₂ = |α|∥x∥₂。
即对向量进行标量放缩时，其范数也会相应放缩。
3.三角不等式：对于任意向量x和y，有∥x+y∥₂ ≤ ∥x∥₂ + ∥y∥₂。
即两个向量之和的范数小于等于它们各自范数之和。
欧几里德范数的应用欧几里德范数在很多领域中都有广泛的应用，以下介绍其中几个常见的应用场景：1.机器学习中的正则化：在机器学习中，正则化是一种常用的预防过拟合的方法。
正则化项一般选择欧几里德范数的平方，即∥x∥₂²。
通过最小化目标函数和正则化项的和，可以使得模型的权重趋向于较小的值，避免过拟合。
2.特征提取：在特征提取过程中，欧几里德范数可以用来衡量不同特征的重要性。
对于某一个特征向量x，其欧几里德范数越大，则表示该特征对于样本的区分度越高。
3.图像处理：在图像处理中，欧几里德范数可以用来度量像素之间的差异。
通过计算两个像素点之间的欧几里德范数，可以得到它们的距离，进而用于图像分类、聚类等任务。
4.数值优化：在数值优化问题中，欧几里德范数常常被用作目标函数的一部分，例如最小二乘问题。
通过最小化目标函数中的欧几里德范数，可以得到问题的最优解。
范数的三个条件
范数的三个条件1.引言1.1 概述概述部分的内容：范数是数学中一种度量向量的大小的方式。
它是向量空间中的一种函数，将向量映射为非负实数。
在实际应用中，范数经常被用来衡量向量的长度、大小或距离。
范数的概念在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍范数的三个条件。
在讨论这三个条件之前，我们将先对范数进行定义和讨论其基本性质。
然后，我们将详细讲解范数的三个条件，这些条件对于确定一个函数是否能称为范数至关重要。
最后，我们将总结范数的三个条件，并探讨应用范数的意义和价值。
通过学习本文，读者将能够对范数有更深入的理解，并能够应用范数解决实际问题。
无论是在数学研究中还是在工程应用中，范数都是一个十分重要的工具，对于理解和描述向量空间中的各种性质和关系具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍范数的定义和基本性质。
1.2 文章结构论文结构的目的是使读者能够清晰地理解和掌握论文的主要内容和论证过程。
文章结构一般包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是论文的开篇，用来引入论文的主题并说明研究的背景、意义和目的。
在本文中，引言部分的目的是介绍范数及其基本性质，并指出本文将重点讨论范数的三个条件。
正文部分是论文的核心内容，用来详细阐述和论证研究问题。
在本文中，正文部分将重点讨论范数的三个条件。
首先，将介绍范数的定义和基本性质，为读者建立起相关的基础知识。
然后，将详细分析并讨论范数的三个条件，分别从数学定义和性质的角度进行阐述和论证。
结论部分是论文的总结和回顾，用来归纳研究结果、总结讨论及提出展望。
在本文中，结论部分将对范数的三个条件进行总结，并强调范数在实践中的意义和价值。
同时，也可以对范数的应用领域进行展望，指出可能的研究方向和未来可探索的问题。
通过以上结构安排，读者可以从文章的标题、目录和各部分的内容中清晰地了解到本文的主要内容和论证结构，有助于读者理解和把握文章的逻辑性和连贯性。
1.3 目的本文的主要目的是探讨范数的三个条件。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
1范数2范数无穷范数不等式的证明
1. 主题概述在数学和线性代数中，范数是一种衡量向量大小的方法。
而1范数、2范数和无穷范数是常见的范数类型，它们在数学理论和应用中具有重要的意义。
本文将深入探讨1范数、2范数和无穷范数的概念，并通过数学不等式的证明来理解它们的性质和应用。
2. 1范数的定义和性质我们来定义1范数。
对于一个n维向量x，它的1范数记作||x||₁，定义为向量x各个元素绝对值的和：||x||₁ = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|。
1范数在表示向量的稀疏性、优化问题和信号处理中具有重要作用。
1范数的性质也是我们需要关注的重点。
1范数满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₁ ≤ ||x||₁ + ||y||₁。
这一性质对于证明1范数的某些优化问题具有重要意义。
3. 2范数的定义和性质接下来，我们转到2范数的讨论。
对于一个n维向量x，它的2范数记作||x||₂，定义为向量x各个元素的平方和的平方根：||x||₂ = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)。
2范数常用于表示向量的长度、距离和误差。
2范数同样具有一些重要的性质。
2范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂。
2范数还满足柯西-施瓦茨不等式，即对于任意向量x和y，有|x·y| ≤ ||x||₂ * ||y||₂。
这些性质对于研究向量空间和内积空间具有重要意义。
4. 无穷范数的定义和性质我们进入无穷范数的领域。
对于一个n维向量x，它的无穷范数记作||x||ᵢ，定义为向量x各个元素绝对值的最大值：||x||ᵢ = max(|x₁|,|x₂|, ..., |xₙ|)。
无穷范数常用于表示向量的最大值和极限情况。
无穷范数同样具有一些重要的性质。
无穷范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||ᵢ≤ ||x||ᵢ + ||y||ᵢ。
第六章范数与极限
3.算子范数
矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。 实
际中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。
下面对给定的向量范数，定义与之相容的矩阵范数
定义3：设||· || 与||· || 分别是Cm与Cn上的两个向量范数， 对ACmn ，令
A , max AX
x 1
酉矩阵后F-范数的值不变（酉不变性），所以F-范数也
是常用的范数之一.
注2：谱范数虽然不便于计算，但它有很多好性质：
H A 2 xmax y Ax y 1 2 2
(1)
2
AH
H 2
2
AT
2 2 2
A
( 2) (3)
A A2 A
A2 A1 A
( 4)
对于m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，有 ||UAV||2=||A||2 （5）
||x||=max(|3i|,|0|,|-4i|,|-12|)=12
注：在同一线性空间中,不同定义的范数大小可能不同
距离 对任意，V，定义与之间的距离为 d(，)=||-|| 称为由范数||· ||决定的距离。 常用距离测度包括: 欧氏距离 D ( x , y ) x y 2 ( ( x j y j ) )
例 S={xP2 | ||x||p=1} 在矩阵
1 2 A 0 2
作用下的效果分别为
注：矩阵范数和特征值有个很重要的关系 定理7 对任意的矩阵ACnn，总有
(A)||A||
其中，(A)是A的谱半径。 即A的谱半径不会超过A的任何一种范数。
例1
2 1 0 A 0 2 3 1 2 0
lim xk x * 0
范数
向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1 对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。
定理中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞)其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)→x(k→∞),或 .矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
第3章 范数
1
2
例题：设x = (3,12,0,4 ) , 计算 x 1 , x ∞ , x
T
2
x 1 = 3 + 12 + 0 + 4 = 19 x
∞
= max{3,12,0,4} = 12
x 2 = 32 + (12) 2 + 0 2 + (4) 2 = 13
向量和矩阵的范数
2 矩阵范数 定义
任一矩阵A ∈ R n×n，都对应于一个实数N ( A)( N ( A)为R n×n上的实值函数 ), N ( A) = A ，且满足以下条件：
1≤i ≤ n
( A的特征值按模的最大值)
为矩阵的谱半径。
若λi为实数，则λi 是指绝对值 若λi为复数（λi = a + bi），则λi 是指模, λi = a 2 + b 2
例题
1 0 1 设A = 2 2 1, 计算A的谱半径。 1 0 0 λ 1 0 1
解： λI A) = 2 det( 1
几种矩阵范数
设x ∈ R n , A ∈ R n×n , 则
(1) A 1 = max ∑ aij
1≤ j ≤ n n
( A的列范数 )
(2) A ∞ = max ∑ aij
1≤i ≤ n j =1
i =1 n
( A的行范数 )
(3) A 2 = λmax ( AT A) (其中λmax ( AT A)表示矩阵AT A的绝对值( 模)最大的特征值)
a11 a12 a13 三阶方阵A = a21 a22 a23 则A的行列式 a31 a32 a33 det( A) = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11
矩阵和向量范数详解-数值计算方法
度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对 值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度 就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析 等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的 正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际 上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范 数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵 等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理 对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
第二章 范数理论及其应用
范数理论及其应用
向量的范数
定义： 是实数域R（或复数域C）上的n维线性 定义： 设V是实数域 （或复数域 ）上的 维线性 是实数域 空间，对于V中的任意一个向量 空间，对于 中的任意一个向量 α 按照某一确定法 α 范数， 则对应着一个实数，这个实数称为该向量的范数 则对应着一个实数，这个实数称为该向量的范数， 并且要求范数满足下列条件： 记为 α ，并且要求范数满足下列条件： （1）非负性：当 α ≠ 0, ）非负性：
2 12 i =1
n
（3）∞-范数 α ） 范数
∞
= lim α
p →∞
p
= max ai
1≤ i ≤ n
证明： 证明：令 x = max ai ，则
1≤i ≤ n
于是有
yi =
α
p
ai x
n i =1
, i = 1, 2,L , n
p 1 p
= x ( ∑ yi )
n
另一方面
1 ≤ ∑ yi p ≤ n
例3
对于任意 A ∈ C m×n，定义
A
Frobenious范数。 范数。 范数
F
= ( ∑∑ aij )
i =1 j =1
m
n
2 1
2
也是矩阵A的范数 的范数。 可以证明 A 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵的 证明：此定义的非负性、齐次性是显然的。利用 证明：此定义的非负性、齐次性是显然的。利用Minkowski 不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 A ∈ C m×l , B ∈ C l ×n ，则
α = ( a1 , a2 ,L , an ) ∈ C
范数的对偶以及几何性质
范数的对偶以及⼏何性质将学习到什么介绍范数的单位球以及对偶定理.范数的单位球范数的基本⼏何特征是它的单位球，透过它可以深⼊洞察范数的性质. 定义 1 ：设‖⋅‖是实或者复向量空间V上的⼀个范数，x是V的⼀个点，⼜设给定r>0. 以x为中⼼、r为半径的球定义为集合B‖⋅‖(r;x)={y∈V：‖y−x‖⩽\lVert \cdot \rVert的单位球是集合\begin{align} B_{\lVert \cdot \rVert} =B_{\lVert \cdot \rVert}(1;0) = \{y \in V： \lVert y \rVert \leqslant 1 \} \end{align}以任意点x为中⼼具有给定半径的球与以原点为中⼼有同样半径的球看起来相同，它正好是平移到点x. 我们的⽬的是要精确地确定\mathbb{C}^n的哪些⼦集能是某个范数的单位球. 定义 2 ：如果范数的单位球是⼀个多⾯体，则称该范数是多⾯体的.l_1，l_{\infty}范数是多⾯体的对偶定理任何范数都是其对偶范数之对偶. 定理 3 ：设f是V=\mathbb{R^n}或者\mathbb{C}^n上⼀个准范数，⽤f^D表⽰f的对偶范数，⽤f^{DD}表⽰f^D的对偶范数，设B=\{x \in V：f(x) \leqslant 1 \}，⼜设B''=\{x \in V ：f^{DD}(x) \leqslant 1\}.那么 (a) 对所有x \in V有f^{DD}(x) \leqslant f(x)，所以B \subset B'' (b) B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}，B的凸包的闭包 (c) 如果f是范数，那么B=B''，且f^{DD}=f (d) 如果f是范数且给定x_0 \in V，那么就存在某个z \in V（不⼀定是唯⼀的），使得f^D(z)=1以及f(x_0)=z^*x_0，也即对所有x \in V有\lvert z^*x \rvert \leqslant f(x)，以及有f(x_0)=z^*x_0. 证明：(a) 如果x \in V是⼀个给定的向量，那么的⼀种等价的表达⽅式确保对任何y \in V都有\lvert y^*x \rvert \leqslantf(x)f^D(y)，从⽽\begin{align}f{DD}(x)=\max\limits_{f D(y)=1}\lvert y^*x\rvert \leqslant \max\limits_{f D(y)=1}f(x)f D(y) = f(x)\end{align}于是，对所有x \in V都有f^{DD}(x) \leqslant f(x)，这是⼀个与⼏何命题B \subset B''等价的不等式. (b) 集合\\{t \in V：\mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1 \\}是⼀个包含原点的闭的半空间，且任何这样的半空间都可以⽤这样的⽅式表⽰. 利⽤对偶范数的定义，设u \in B''是⼀个给定的点，并注意到\begin{align} u & \in \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满⾜}\,\, f^D(v) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v \} \notag \\ & = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满⾜}\,\, v^*w \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v （\text{对每个满⾜}\,\, f(w)\leqslant 1 \,\,\text{的}\,\,w）\} \notag \\ & = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满⾜}\,\, w^*v \leqslant 1\,\,\text{的}\,\, v （\text{对所有}\,\, w\in B）\} \notag \end{align}这样⼀来，u就在每⼀个包含B的闭的半空间之内. 由于这样闭的半空间的交是\overline{\mathrm{Co}(S)}，我们断定有u\in\overline{\mathrm{Co}(S)}. 但是点u \in B''是任意的，故有B'' \in \overline{\mathrm{Co}(S)}. 由于\mathrm{Co}(B)是包含B的所有凸集的交，⽽B''是包含B的凸集，故⽽我们有\mathrm{Co}(B) \subset B''. 集合B''是⼀个范数的单位球，所以它是紧的，从⽽是闭的. 我们断⾔有\overline{\mathrm{Co}(S)} \subset \overline{B''}=B''，从⽽B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}. (c) 如果f是⼀个范数，那么它的单位球就是凸的且是闭的，所以B=\overline{\mathrm{Co}(S)} =B''. 由于它们的单位球相同，故⽽范数f与f^{DD}相同. (d) 对每个给定的x_0 \in V，(c) 确保有f(x_0)=\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0，⽽范数f^D的单位球⾯的紧性确保存在某个z，使得f^D{z}=1以及\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0 = \mathrm{Re}\,\,z^*x_0. 如果z^*x_0不是实数且不是⾮负的，就会存在⼀个实数\theta，使得\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}z^*x_0) >0> \mathrm{Re}\,\,z^*x_0（当然就有f^D(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z)=f^D(z)=1），这与最⼤性⽭盾：对f^D的单位球⾯中的所有y都有\mathrm{Re}\,\,z^*x_0 \geqslant \mathrm{Re}\,\,y^*x_0.上⼀定理的结论 (c) 可能是对偶定理的最要且应⽤最⼴泛的部分. 例如，它允许我们将任何范数f表⽰为\begin{align}f(x) = \max\limits_{f D(y)=1}\mathrm{Re}\,\,y*x\end{align}这个表⽰就是拟线性化的⼀个例⼦. 推论 4：\mathbb{R^n}或者\mathbb{C}^n上的范数是单调的. 证明：假设\lVert \cdot \rVert是\mathbf{F}上⼀个绝对范数. 定理 3(b) 确保它的对偶\lVert \cdot \rVert^D是绝对的. 对偶定理告诉我们：\lVert \cdot \rVert是绝对范数\lVert \cdot \rVert^D的对偶，故⽽推出\lVert \cdot \rVert是单调的.应该知道什么Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js任何范数都是其对偶范数之对偶。
范数
假设V是域F上的矢量空间；V的半范数是一个函数P:V→R;x→p(x），满足于：∀a∈F,∀u,v∈V,p(v) ≥ 0 （非负性）p(a v) = |a|p(v），（正值齐次性）p(u+v) ≤p(u) +p(v) (三角不等式).范数是一个半范数加上额外性质：p(v) 是零矢量，当且仅当v是零矢量(正定性）如果拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║： X->R 满足：⒈正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；⒉正齐次性：║cx║=│c│║x║；⒊次可加性（三角不等式）：║x+y║≤║x║+║y║。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。
⒈利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。
但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
⒉如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。
⒊利用内积<·，·>；可以诱导出范数：║x║=<x,x>1/2。
反过来，范数不一定可以诱导内积。
当范数满足平行四边形公式║x+y║2+║x-y║2=2（║x║2+║y║2）时，这个范数一定可以诱导内积。
完备的内积空间称为希尔伯特（Hilbert）空间。
⒋如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数（seminorm或者叫准范数），相应的线性空间称为赋准范线性空间。
对于X上的两种范数║x║α，║x║β，若存在正常数C满足║x║β≤C║x║α那么称║x║β弱于║x║α。
范数的概念
范数是一个赋范向量空间中的度量，它将向量映射到非负实数。
在数学中，范数常用来度量向量的大小或长度，并满足一些特定的性质。
在向量空间V中，对于一个向量x ∈ V，范数通常表示为||x||，其中|| || 是范数的符号。
范数的定义需要满足以下条件：
1. 非负性：对于所有的x ∈ V，范数必须非负，即||x|| ≥ 0。
2. 齐次性：对于所有的x ∈ V 和任意的标量α，范数的齐次性要求||αx|| = |α| ||x||。
3. 三角不等式：对于所有的x, y ∈ V，范数满足||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
4. 零向量的范数为0：范数满足||0|| = 0，其中0 表示零向量。
常见的范数包括：
1. L1范数（曼哈顿范数）：也称为绝对值范数，表示为||x||1，计算方式为向量中各个元素的绝对值之和。
2. L2范数（欧几里得范数）：也称为模长或2-范数，表示为||x||2，计算方式为向量中各个元素的平方和的开方。
3. 无穷范数：表示为||x||∞，计算方式为向量中各个元素的绝对值的最大值。
除了上述常见的范数，还存在其他范数，如Lp范数和Frobenius范数等。
范数在数学和应用领域都有广泛的应用。
例如，在机器学习中，范数被用来定义正则化项，帮助控制模型的复杂度；在信号处理中，范数常用来测量信号的能量或稀疏性等。
范数x（norm）笔记
范数x（norm）笔记1. 范数的含义和定义范数是具有“长度”概念的函数。
在线性代数、泛函分析及相关领域，是⼀个函数，它为向量空间内的所有向量赋予⾮零的正的长度或⼤⼩。
另⼀⽅⾯，半范数可以为⾮零的向量赋予零长度。
例如，在⼆维欧式⼏何空间\(R^2\)中（简单理解就是⼆维坐标系）就有欧式范数。
在这个向量空间的元素（⽐如向量\((3,7)\)）常常在笛卡尔坐标系统中被画成⼀个从原点出发的箭头，⽽这个向量的欧式范数就是箭头的长度。
拥有（定义）范数的向量空间就是赋范向量空间，拥有（定义）办法书的向量空间就是赋半范向量空间更加规范的定义：假设V是域F上的向量空间；V的半范数是⼀个函数：\(p:V\rightarrow R;x\rightarrow p(x)\)，满⾜：\(p(v)\ge 0\)（具有半正定性）\(p(av)=|a|p(v)\)（具有绝对⼀次齐次性）\(p(u+v)\le p(u)+p(v)\)（满⾜三⾓不等式，或者称次可加性）范数是⼀个半范数加上额外的性质：\(p(v)=0\)，当且仅当\(v\)是零向量（正定性）若拓扑向量空降的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。
2.例⼦所有的范数都是半范数平凡半范数，即\(p(x)=0,\forall x \in V\)绝对值是实数集上的⼀个范数对向量空间上的线性型\(f\)可以定义⼀个半范数：\(x\rightarrow |f(x)|\)绝对值范数绝对值范数为：\[||x||=\sum^n_i|x_i| \]是在由实数或虚数构成的⼀维向量空间中的范数绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式\(L_p\)范数\(L_p\)范数是向量空间中的⼀组范数。
\(L_p\)范数与幂平均有⼀定的联系，定义如下：\[L_p(\vec{x})=||\vec{x}||_p=(\sum^b_{i=1}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\ \ ,\ \vec{x}=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\},p\ge 1 \]图中的q应为p。
函数范数的定义
函数范数的定义
函数范数是一种将函数映射到实数的函数，用于衡量函数在某个空间中的大小或距离。
常见的函数范数有L1范数、L2范数、L∞范数等。
其中，L1范数是函数在所有自变量取值处绝对值之和，表示函数在整个定义域内的大小；L2范数是函数在所有自变量取值处平方和再开根号，表示函数的平均值和方差；L∞范数是函数在所有自变量取值处绝对值的最大值，表示函数的最大偏差。
函数范数在数学、工程、计算机科学等领域中广泛应用，如优化问题、信号处理、机器学习等。
- 1 -。
范数的物理意义范文
范数的物理意义范文范数是线性空间中的一个函数，用于度量向量的大小。
它是向量空间上的一种函数形式，将向量映射到非负实数范围内。
范数的物理意义可以通过以下几个方面来理解。
1.距离度量：范数可以看作是向量之间的距离度量，衡量了向量之间的相似程度。
例如，欧几里得范数（L2范数）衡量了向量在空间中的长度，可以理解为向量的欧几里得距离。
在物理学中，向量的欧几里得范数可以用于描述物体的位置、速度和加速度等物理量之间的关系。
2.大小度量：范数也可以用来衡量向量的大小。
例如，L1范数表示向量元素的绝对值之和，可以用于衡量电流的大小。
在其中一种程度上，L1范数可以看作是L0范数的一个近似，L0范数计算向量中非零元素的个数，用于衡量向量的稀疏性。
在信号处理中，L0范数可以表示信号中的非零值的数量，用于衡量信号的复杂度。
3.方向度量：范数不仅可以衡量向量的大小，还可以表示向量的方向。
例如，L2范数可以表示向量的长度，同时也可以表示向量的方向。
在物理学中，速度向量的L2范数表示速度的大小，方向由向量的方向决定。
4.角度度量：范数还可以用于衡量向量之间的角度。
例如，内积范数可以用于计算向量的夹角。
在物理学中，内积范数可以用于计算向量的内积，从而得到向量之间的夹角。
夹角的计算可以用于研究物体的运动、力矩的计算等问题。
5.存在性和连续性：范数还可以用于证明向量空间中的存在性和连续性。
在物理学中，向量空间中的存在性和连续性是很重要的概念，对于理解物理现象和解决实际问题都具有重要意义。
总之，范数在物理学中有着广泛的应用，不仅可以衡量向量的大小和方向，还可以表示向量之间的距离和角度。
它是线性空间中的一种函数形式，具有一定的数学性质和物理意义，对于分析和解决物理问题具有重要作用。
在实际应用中，选取适当的范数可以更好地描述和分析物理现象，为物理学研究提供便利。
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3.3 范数
3.3.1 向量范数
在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为
，若满足下面三个性质：
（1），有，当且仅当时，（非
负性）
（2），，有（齐次性）
（3.37）（3），，有（三角不等式）
那么称该实数为向量的范数。
几个常用向量范数
向量的范数定义为
其中，经常使用的是三种向量范数。
或写成
例3.5 计算向量的三种范数。
向量范数的等价性
有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。
若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有
或
（证明略）
向量的极限
有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。
设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。
由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。
向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。
若，则就是向量序列
的极限。
例3.6 求向量序列极限向量。
解：算出每个向量分量的极限后得
在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取
为极限向量。
3.3.2 矩阵范数
矩阵范数定义
定义3.2 如果矩阵的某个非负实函数，记作，满足条件：
（1）当且仅当时，（非负性）
（2）（齐次性）
（3）对于任意两个阶数相同的矩阵有（三角不等式性）
（4）矩阵为同阶矩阵（相容性）
则称为矩阵范数。
矩阵的算子范数
常用的矩阵范数是矩阵的算子范数，可用向量范数定义：
设，记方阵的范数为，那么
或（3.38）
称为矩阵的算子范数或从属范数。
这样定义的矩阵范数满足矩阵范数的所有性质外，还满足相容性：
为阶矩阵，恒有（3.39）
根据定义，对任一种从属范数有，即单位矩阵的范数是1。
常用矩阵范数
向量有三种常用范数，相对应的矩阵范数的三种形式为：
（的行范数）（3.40）
（的列范数）(3.41)
（是的最大特征值）（的2范数）(3.42)
证明：既然矩阵的算子范数是上满足向量范数的上确界，那么，找到这个上确界也就找到了矩阵的范数。
(1)任取，则
即
另一方面设极大值在列达到，即取
，除第个分量为1外，其余分量均为 0,于是有
，
由于，故
因此有
（2）任取，，则
即
另一方面设极大值在行达到，取
这里
于是
故
(3)为对称非负矩阵，具有非负特征值，并具有个相互正交的单位特征向量。
设的特征值为，相应的特征向量为，其中为相互正交的单位向量。
设，并且，即，则
即对任意均有，故
取，则有故
于是
如果A是对称矩阵，那么，设的特征值是, 则有
还有一种与向量范数相容的矩阵范数，称为欧几里得（Euclid）范数或舒尔（Schur）范数，用表示，其定义为
(3.43)
因为欧几里得范数易于计算，在实用中是一种十分有用的范数。
但它不能从属于任何一种范数，因为。
与向量范数的等价性质类似，矩阵范数之间也是等价的。
例3.7 ,分别有。
解:
的特征值
矩阵范数等价性
定理对上的任两种范数及，存在常数≧，使
≧t≧
矩阵特征值与范数关系
若是矩阵的特征值（即存在非零向量使得：），对任一算子范数有
又（相容性）
即矩阵特征值的模不大于矩阵的任一范数。
谱半径
若有特征值记则称为的谱半径。
有了谱半径的定义，矩阵的2范数可记为：。
谱半径与矩阵范数关系
由矩阵谱半径定义，可得到矩阵范数的另一重要性质，。
什么是范数
(2009-09-27 16:45:38)
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分类：mathematics
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杂谈
在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法。
在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。
我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。
函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。
由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。
从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢？矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。
范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。
矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知：
由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵A把向量x映射成向量Ax，取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量Ax范数最大值作为矩阵A的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。
由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量Ax范数最大时的向量x方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。
而矩阵的奇异值分解SVD，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1。
此外，不同的矩阵范数是等价的。
范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。