第四章不定积分

g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
二、不定积分的性质
性质3
如果函数f1（x）及f2（x） 的原函数存在，那么
性质3说明∫［f1（x）± f2（x）］dx是f1（x）±f2（x）的原 函数，由于它涉及两个积分记号，形式上含有两个积分常数，把 这两个积分常数合并为一个，因此它实际上是f1（x）±f2（x）的 不定积分，即与∫f1（x） dx±∫f2（x） dx相等.
一、第一类换元积分法
定理1
(第一类换元积分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x) 是可微函数，则有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．(4-1) 证因为∫f(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u)．根据复合函数的求 导法则，得
因此 证毕．
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
一、基本积分表
（9）∫csc2x dx=-cotx＋C; （10）∫secxtanxdx=secx＋C ; （11）∫cscxcotx dx=-cscx＋C;
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这些公式时, 有时需要对被积函数做适当的变形.
【例1】
一、基本积分表
解 应用不定积分基本公式(2)，有
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、第一类换元积分法
【例9】
【例10】
一、第一类换元积分法
【例11】
注意
当被积函数为两个三角函数（正弦函数和余弦函数） 的一次乘积时，一般要先积化和差再积分．
一、第一类换元积分法
【例12】
一、第一类换元积分法
【例13】
解 凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先将 复杂分式化成几个最简单的分式，再积分．由于
一、第一类换元积分法
【例18】
【例19】
一、第一类换元积分法
注意
（1）使用凑微分法的重点在于如何“凑”出一个函 数的微分．一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式； 另一方面对那些不常见的，则不妨从被积函数中拿出一 个表达式来，求其导数，从而决定如何凑微分．
（2）把式（4-2）~式（4-9）的结果扩充到本章第 二节的基本积分公式表中，以后可以直接用．总结如下：
三、不定积分的几何意义
函数f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一 条积分曲线.因此，不定积分∫f(x)dx=F(x)+C对应 的是一族积分曲线，称为f(x)的积分曲线族.这就是 不定积分的几何意义.f(x)的积分曲线族有如下特点：
（1）积分曲线族中的每一条曲线都可以由某 一条确定的积分曲线沿y轴的方向上、下平行移动 得到.
一、第一类换元积分法
【例14】
一、第一类换元积分法
【例15】
解 本题的关键是首先要把被积函数分母中的前一项 变成1，将1/adx凑微分得d(x/a)，而后利用第二节中基本 积分公式(12)．
一、第一类换元积分法
【例16】
一、第一类换元积分法
【例17】
一、第一类换元积分法
类似地，有 另一方面
二、不定积分的性质
【例5】
解 虽然被积函数是一个无理式，但是这里我们还是可以通 过性质2及不定积分基本公式（2）求解该不定积分．
【例6】
二、不定积分的性质
三角函数的情形是比较复杂的，但是一般 我们可以通过三角恒等变形，得到被积函数的 等价形式，利用不定积分的基本性质，通过对 等价形式的求积分，得到原来函数的不定积 分．我们在以后遇到的很多问题中都应用到恒 等变形的思想．
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
二、不定积分的概念
定义2
若函数Fx是f(x)在区间I上的一个原函数,则函数f(x) 的全体原函数F(x)+C称为fx在区间I上的不定积分,记 为∫f(x)dx,即
∫f(x)dx =F(x)+C， 其中记号“∫ ”称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx 称为被积表达式,x称为积分变量,C称为积分常数.
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
三、不定积分的几何意义
（2）在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线， 这些切线的斜率相等，从而使相应点的切线相互平行(见图 4-1).
三、不定积分的几何意义
【例3】
已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方 的3倍，且曲线过点(0,1)，求此曲线. 解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义知， y′=3x2，由不定积分的定义知
一、基本积分表
（1）∫k dx=kx＋C (k是常数);
（2）
(α∈R，α≠-1）;
（3）∫1/x dx=ln|x|＋C；
（4）∫ax dx=ax/lna＋C （a>0，a≠1）;
（5）
（6）∫sinx dx=-cosx＋C;
（7）∫cosx dx=sinx＋C;
（8）∫sec2x dx=tanx＋C;
性质3可以推广到有限个函数的情形，即有
利用基本积分表和不定积分性质，可以直接求一些简单的不 定积分．
二、不定积分的性质
【例4】
解 对于两个有理多项式的商的积分，特别是分母是幂函数 的情形，我们一般可以除下来，利用性质2，把分式函数看 成是一些幂函数相加得到的新函数，再应用不定积分基本 公式（2）求不定积分．
现在要解决其反问题：已知曲线上任意一点x处的 切线的斜率，要求该曲线的方程.为此，引进原函数的 概念.
一、原函数的概念
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数.
二、不定积分的性质
思考
下列两个式子正确吗？为什么？
第三节
换元积分法
一、第一类换元积分法
运用不定积分的线性运算法则和基本积分公式，可以求 一些简单函数的不定积分．为了求出一些更复杂函数的不定 积分，我们来学习与复合函数求导法则相对应的积分方 法．通常的做法是通过适当的变量代换，将某些比较复杂的 被积函数变换成符合基本积分表中的形式，从而容易求出积 分，这种积分的方法叫换元积分法．不定积分换元积分法通 常分为第一类换元积分法和第二类换元积分法两种．
y=∫3x2dx =x3+C, 又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为
y=x3+1.
第二节
不定积分的基本积分表 与性质
一、基本积分表
由于求不定积分与求导数是互逆的运算, 因此,由导数的基本公式就可以得到相应的不 定积分的基本公式,为了便于记忆和应用,我们 把一些基本的积分公式列成一个表,通常称为 基本积分表.
高等数学
（上册）
第四章 不定积分
第一节 不定积分概述 第二节 不定积分的基本积分表与性质 第三节 换元积分法 第四节 分部积分法 第五节 简单有理分式函数的积分
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不定积分概述
一、原函数的概念
由微分学知，若已知曲线方程y=f(x)，则可求出 该曲线在任一点x处的切线的斜率k=f′(x).例如，曲线 y=x2在点x处切线的斜率为k=2x.
（2）熟练掌握第一类换元积分法的运用以后，可 以省略写出引进变量u的步骤．
一、第一类换元积分法
下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮 助．
一、第一类换元积分法
【例4】
【例5】
一、第一类换元积分法
【例7】
一、第一类换元积分法
【例8】
解 被积函数中含有正弦函数且为偶次方，在计算这 种积分时，往往要运用三角恒等式，将被积函数降幂转化 为积分公式表中所列的形式．本题利用半角公式sin2x=1－ cos2x/2，将被积函数降为一次幂后再积分．
【例2】
解 应用不定积分基本公式(2)，有
一、基本积分表
注意
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示 上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一般先化 成xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
一、基本积分表
【例3】
例3表明，有些题目在形式上跟基本积分表没有关系 ，但是通过恒等变形以后，实际上是可以直接应用基本积 分表的．
一、第一类换元积分法
二、第二类换元积分法
第一类换元积分法(凑微分法)是通过变量代换 u=φ(x)，将φ′(x)dx凑微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］ φ′(x)dx转化为∫f(u)du，从而易于积分．凑微分法能 解决一部分积分问题，但是还有一类不定积分使用凑 微分法却不奏效，如∫11+xd 和∫x2－9xd等这些被积 函数含有根号的无理函数的积分问题．针对这些问题， 如果我们做适当的变量代换将被积函数中的根号去掉， 就能顺利积分了，这就是第二类换元积分法的思 想．详细叙述成下面的定理．
一、第一类换元积分法
例如，上节思考题中提到的积分：∫2xcosx2 dx， 观察被积函数发现，不能用直接积分法积出，但被积 表达式中的一部分2xdx如果凑微分变成dx2，再将积 分变量换成变量u=x2,这样被积表达式就和基本积分公 式(7)相同了．因此，本题可这样求解
一、第一类换元积分法
上述这种解题方法的关键是将被积函数的一部分与dx凑微分， 然后引入中间变量，把中间变量看成新的积分变量的情况下，被 积函数就符合了基本积分公式的形式，利用积分公式求出结果， 再把中间变量换回原变量即可，即如果不定积分∫g(x)dx不能直 接利用基本积分公式求解，但被积函数g(x)可变形为
注意
一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一族函数.
二、不定积分的概念
由不定积分的定义知，求函数f(x)的不定积 分，就是求f(x)的全体原函数，在∫fxdx 中， 积分号∫ 表示对函数f(x)进行求原函数的运算， 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分) 运算的逆运算.
二、不定积分的概念
［F(x)－G(x)］′=F′(x)－G′(x)=f(x)－f(x)=0, 即
F(x)－G(x)=C(C为任意常数)， 由此知道，若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则函数f(x)的全体 原函数为F(x)+C(C为任意常数).
一、原函数的概念
注意
求函数fx的原函数，实质上就是讨论它是由什么函 数求导得来的.而若求得fx的一个原函数F(x)，其全体原 函数即为F(x)+C.
【例1】
求∫exdx. 解 因为(ex)′=ex,所以
∫exdx =ex+C.
二、不定积分的概念
【例2】
求∫1/xdx. 解 当x>0时,因为(ln x)′=1/x，所以
∫1xdx =ln x+C; 当x<0时,因为
∫1/xdx =ln(－x)+C. 综上可得，∫1/xdx =ln|x|+C.
,所以
二、不定积分的性质
性质1
性质1清楚地表明了不定积分运算与微分运算之间的 互逆关系．
二、不定积分的性质
注意
对函数f（x）先求积分，再求导数，其结果等于f （x），而对函数f（x）先求导数，再求积分，其结果 不再是f（x），而是f（x）＋C．
二、不定积分的性质
性质2
如果常数k≠0，那么
性质2说明，不定积分中不为零的常数因子可以提到积分号 外面来．