数值分析简明教程

② 系数矩阵 A = (aij )n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x (k+1) = (1 − ω)x (k) + ωD−1 (b − Lx (k+1) − Ux (k) )� ： ⇓ x = Bω x (k) + ω(D + ωL)−1 b Bω = (D + ωL)−1 [(1 − ω)D − ωU]
⎠
(i = 1,2,∙∙∙, n)
② 系数矩阵 A = (aij )n×n 严格对角占优（按行或按列均可） 误差控制： max1≤i≤n �xi
(k+1) (k)
− xi � < ℰ 即 �x (k+1) − x (k) �∞ < ℰ (k = 0,1,∙∙∙)� ： (i = 1,2,∙∙∙, n) 或
(k = 1) (k = 2,3,∙∙∙, n)
ℓ11 = √a11 ℓi1 =
ℓ11
⎡1 ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ unn ⎦ ⎢ ⎣
u12 u11 1
ℓik =
2 ℓkk = �akk − ∑k−1 m=1 ℓkm ℓkk 1
(i = 2,3,∙∙∙, n)
u1n u11 ⎤ u2n ⎥ ⎥=⋯ ⋯ u22 ⎥ ⋱ ⋮ ⎥ 1 ⎦ ⋯
an−1
⋱
c2
⋱ bn−1 an

1 ⋱
谱半径： n 阶 矩 阵 B 在 复 数范围 内的 各特 征值 为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ， 则 称 ρ(B) = max1≤i≤n |λi | 为 B 之谱半径。 ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数） 矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1 ‖‖A‖ 简单迭代法 �x = Bx + g , x k+1 = Bx (k) + g ① limk→+∞ BK = 0 ② ρ(B) < 1 充分条件： ‖B‖ < 1 收敛速度： η = −In ρ(B)
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(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且 (3) 后验误差估计： |xk − x ∗ | ≤ 先验误差估计： (4) |xk − x ∗ | ≤
k→+∞
lim ������������ = ������ ∗
1−L 1−L Lk L
局部收敛定理： 存在方程 x = φ(x) 根 x ∗ 的闭邻域 U(x ∗ , δ) (δ > 0) 以及 0 < ������ < 1 使 φ′ (x) 连续且 |φ′ (x)| ≤ L < 1 ，则对任意 x0 ∈ U(x ∗ , δ) ，迭代 xk+1 = φ(xk )收敛。 收敛阶定理（应用） Steffensen 迭代格式：（推导：利用微分中值定理） [φ(xk ) − xk ]2 xk+1 = xk − φ[φ(xk )] − 2φ(xk ) + xk
f (a) f(a)
�：
则对任何初值x0 ∈ [a, b]，Newton 法产生的迭代序列二阶收敛于 x ∗ 。 求重根的修正 Newton 迭代法：至少二阶收敛
� ≤ b − a ,� ′
f (b)
f(b)
� ≤ b − a；
Chapter 3 线性代数方程组求解
Gauss 顺序消去法： 求解过程中方程次序不变（无换行操作）的 Gauss 消去法，将原方程转化为 上三角形方程组，再用回代算法求解。
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Chapter 1 误差分析的基础知识
相对误差： 绝对误差： er (x ∗ ) =
x∗ −x x∗ ∗
相对误差限： |er (x ∗ )| ≤ ℰr (x ∗ ) 有效数字： 绝对误差限： | e(x ∗ ) | ≤ ℰ (x ∗ )
e(x ∗ ) = x − x
er (x ∗ ) = ℰr (x ∗ ) =
(i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
(j = k, k + 1,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对称正定 ）： ．．．．
1 ℓ21 A=� ⋮ ℓn1
A = LLT （L 的对角元素全为正）
1 ⋮ ℓn2 ⋱ ⋯ ⎡ �⎢ ⎢ 1 ⎣ u11 u22 ⋱
ai1
f′ (x) f(x)
xk+1 − x ∗ = φ′ (x ∗ ) lim k→+∞ x k − x ∗
| x1 − x0 |；
|xk − xk−1 |
Newton 迭代法 �φ(x) = x −
充分条件一： 设 x ∗ 是方程 (2.1) 在 [a, b] 上的根且 f ′′ (x) 在 [a, b] 上连续 若 ① 对于 ∀ x ∈ [a, b] ，有 f ′ (x) ≠ 0 , f ′′ (x) ≠ 0； ② 取 x0 ∈ [a, b] ，使 f(x0 )f ′′ (x0 ) > 0； 则 Newton 法产生的迭代序列二阶收敛于 x ∗ 。 充分条件二： 设 x ∗ 是方程 (2.1) 在 [a, b] 上的根且 f ′′ (x) 在 [a, b] 上连续 若 ① f(a)f(b) < 0 ② 对于 ∀ x ∈ [a, b] ，有 f ′ (x) ≠ 0 , f ′′ (x) ≠ 0； ③ �′
i−1
+ � bij xj
j=i
n
(k)
+ gi
‖B‖∞ < 1
‖B‖1 < 1
1 (k+1) (k) = �bi − � aij xj − � aij xj � aii BJGS = −(L + D)−1 U
j=i+1
(i = 1,2,∙∙∙, n)
对任意初始向量 x (0) 都收敛的充要条件：ρ(BJGS ) < 1 ① �BJGS � < 1 关于任意初始向量 x (0) 都收敛的充分条件：
Gauss-Seidel 迭代法 �x (k+1) = B1 x (k+1) + B2 x (k) + g
(k+1) xi
JGS 迭代法（基于 Jacobi 迭代的 Gauss-Seidel 迭代）：
(k+1) xi
对任意初始向量 x (0) 都收敛的充分条件：
i−1 j=1 n
=
(k+1) � bij xj j=1
�aik −
∑k−1 m=1 ℓim ℓkm �
(i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
解三对角方程组的追赶法（系数矩阵按行严格对角占优 ）： ．．．．
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b1 ⎡ a ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣ c1 b2 ⋱ 1 ⎤ ⎡ ℓ2 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ cn−1 ⎥ ⎢ bn ⎦ ⎣ u1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥∙⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ c1 u2 ⎤ ⎥ ⎥ cn−1 ⎥ un ⎦
(k) 充要条件：akk ≠ 0 (k = 1,2,∙∙∙, n)
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Gauss 列主元消去法： 每步按列选主元→作相应行变换 条件：系数矩阵 A 非奇异 Gauss 全主元消去法： 第 k 步在 n − k + 1 阶矩阵中选主元，行变换+列变换，特别注意最后求得的 解 x1 , x2 ,∙∙∙, xn 的次序可能发生了变化。
ak +bk 2
误差估计：
xk =
, |xk − x ∗ | ≤ (bk − ak ) = k≥ ln(b − a) − ln ℰ ln 2
2
1
2k
1
(b − a) (k = 1,2,∙∙∙)
简单迭代法 [x = φ(x)] ： 全局收敛定理（证明过程）： 若 ① 对任意x ∈ [a, b] , φ(x) ∈ [a, b] ； ② 存在 0 < ������ < 1 ，使对任意 x ∈ [a, b] , |φ′(x)| ≤ L 成立； 则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x ∗ ；
ℰ (x ∗ ) |x ∗ |
e(x ∗ ) x∗
其中 ai (i = 1,2,∙∙∙, n,∙∙∙, p) ∈ {0,1,2,∙∙∙ ,9} 且 a1 ≠ 0 ，则称 m 为 x ∗ 之量级；若 使不等式 |x ∗ − x| ≤ × 10m−n 成立之最大整数为 n ，则称 x ∗ 具有 n 位有效 数字。
2 1
x ∗ = ±10m × 0. a1 a2 ∙∙∙ an ∙∙∙ ap ,
误差的传播： e(y
∗) ∗ ∗ ∗ )e(x ∗ = � fi (x1 , x2 ,∙∙∙, xn i) , i=1 n
其中 fi =
∂xi
∂f
。
Chapter 2 非线性方程求根
二分法： [a, b] = [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃∙∙∙⊃ [ak , bk ] ⊃∙∙∙ 1 bk − ak = k−1 (b − a) 2
(k+1)
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i−1 j=1 n
(k+1) xi
收敛性
=
(k) xi
ω (k+1) (k) + �bi − � aij xj − � aij xj � aii
j=i
Chapter 4 函数插值
插值余项：
充要条件：ρ(Bω ) < 1 充分条件：① ‖Bω ‖ < 1 ② A 对称正定且 0 < ������ < 2 ③ A 严格对角占优且 0 < ������ ≤ 1