上海市浦东新区2021届新高考五诊数学试题含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.2．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ） A ．22 B ．23C ．42D ．43【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==， 所以12121sin 4323AF F S r r π==V . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解. 【详解】因为()()cos2cos2xxf x x x f x --=-==--，所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ， 又()1cos20f =<， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=u u u r u u u r（ ）A ．1233BA BC +u uu r u u u rB ．5799BA BC +u uu r u u u rC ．11099BA BC +u u ur u u u r D ．2799BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将13BQ BA AQ BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r1233BA BC =+-⨯u u ur u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C ．2D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 6．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力. 8．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>【答案】D 【解析】 【分析】利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系. 【详解】()f x Q 是偶函数，()3331010log 0.3(log )(log )33f f f ∴=-=， 而0.30.4310log 12203-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310(log )(2)(2)3f f f --∴<<，即0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f --<<．故选:D 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.9．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C 【解析】 【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即21V 122222ππ=••-•••=-，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.10．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．310【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，则第一次检测出B 类产品的概率为35； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=； 故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 11．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ． 12．设1,0(){2,0xx x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-===-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 考点：复合函数求值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学五诊试卷 文(含解析)
2021年高考数学五诊试卷文（含解析）一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．复数i（1﹣2i）=（）A．﹣2+i B． 2+i C． 2﹣i D．﹣2﹣i 2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C． [2，+∞）D． [1，+∞）3．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）A．B．C． 2 D． 24．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的y的值为（）A． 1 B． 3 C． 9 D． 275．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A． 7 B．C．﹣D．﹣76．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A． 0 B． 1 C．D． 97．函数y=cos（sinx）的图象大致是（）A．B．C．D．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A． 80 B． 40 C．D．9．已知O在△ABC的内部，满足：，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A． 3：2 B． 2：3 C． 5：4 D． 4：510．已知数列 {a n}{b n}满足 a1=b1=1，a n+1﹣a n==2，n∈N*，则数列 {b}的前10项和为（）A．（410﹣1）B．（410﹣1）C．（49﹣1）D．（49﹣1）11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C． 2 D． 312．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A． a＞b＞c B． c＞＞b＞a C． c＞a＞b D． a＞c＞b二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．函数y=的单调递增区间是．14．将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．15．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6= ；+++…+=．16．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．18．某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6 5 7 9 8乙班4 8 9 7 7（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，点F为PD中点．（Ⅰ）若k=，求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20．（Ⅰ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，x1）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅱ）已知椭圆C方程为=1，从椭圆C上一点P向圆x2+y2=1上引两条切线，切点为A，B．当直线AB分别与y轴、x轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲）22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（﹣1，5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，半径为4．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．xx年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．复数i（1﹣2i）=（）A．﹣2+i B． 2+i C． 2﹣i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．解答：解：∵复数i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C． [2，+∞）D． [1，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答：解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评：本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．3．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）A．B．C． 2 D． 2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件便得到，所以可求出，所以得出．解答：解：∵；∴；∴||=．故选B．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的运算，求的方法：||=．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的y的值为（）A． 1 B． 3 C． 9 D． 27考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件结构转化为分段函数形式进行求解即可．解答：解：本程序是分段函数y=，若x=3，则y=log33=1，故输出1，故选：A点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构进行求解即可．5．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A． 7 B．C．﹣D．﹣7考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选B点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A． 0 B． 1 C．D． 9考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．7．函数y=cos（sinx）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的奇偶性，再根据三角的函数的图象和性质即可得到答案．解答：解：∵f（﹣x）=cos（sin（﹣x））=cos（sinx）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，∵﹣1≤sinx≤1，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴y=cos（sinx）在x=2kπ时有最大值，且y＞0，故选：B．点评：本题考查了函数图象的识别，关键是掌握三角函数的性质，属于基础题．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A． 80 B． 40 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．据此可计算出该几何体的体积．解答：解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．点评：本题主要考查了由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．9．已知O在△ABC的内部，满足：，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A． 3：2 B． 2：3 C． 5：4 D． 4：5考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示．以OA，OC为邻边作平行四边形OAMC，对角线AC与OM相交于点D．可得．由于，可得．可得．再利用=即可得出．解答：解：如图所示．以OA，OC为邻边作平行四边形OAMC，对角线AC与OM相交于点D．则．又∵，∴．∴，即．∴=．故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量的运算法则、三角形的面积计算公式，属于中档题．10．已知数列 {a n}{b n}满足 a1=b1=1，a n+1﹣a n==2，n∈N*，则数列 {b}的前10项和为（）A．（410﹣1）B．（410﹣1）C．（49﹣1）D．（49﹣1）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由a n+1﹣a n==2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以b=b2n﹣1=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=b，所以c n=22n﹣2，所以=4，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为=（410﹣1）．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C． 2 D． 3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案．解答：解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A． a＞b＞c B． c＞＞b＞a C． c＞a＞b D． a＞c＞b考点：导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（﹣∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，30.3，logπ3的大小，即可得到答案．解答：解：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x）．因为f（x）+xf′（x）＜0，所以函数F（x）在x∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，．则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）．所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即c＞a＞b．故选C．点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与奇偶性，考查了不等式的大小比较，解答此题的关键是构造出函数F（x），同时运用了偶函数中有f（x）=f（|x|），此题是中档题．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．函数y=的单调递增区间是[0，] ．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈[0，]可得．解答：解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．14．将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17 ．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．解答：解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．15．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6= 15 ；+++…+=．考点：归纳推理．专题：操作型；推理和证明．分析：根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列的特点可用列项法求其前n项和的公式，而+++…+是前2011项的和，代入前n项和公式即可得到答案．解答：解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，∴a6=15；令S n=+++…+=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=故答案为：15，．点评：本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题．16．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是 2 ．考点：二倍角的正弦；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，∴•的最大值是2．故答案为 2．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．18．某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6 5 7 9 8乙班4 8 9 7 7（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据两组数据求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；（2）分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（1）两个班数据的平均值都为7，..…（2分）甲班的方差=[（6﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2]=2，..…（3分）乙班的方差=[（4﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=，..…（4分）因为＜，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…（6分）（Ⅱ）甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，共25个基本事件组成，这25个是等可能的；..…（8分）将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则A={a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，..…（10分）所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=…（12分）点评：本题考查了方差的计算，古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，点F为PD中点．（Ⅰ）若k=，求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）若k=，根据线面平行的判定定理即可证明直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）根据面面垂直的条件，进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴FM=CD．∵k=，∴AE=AB=FM，又∵FM∥CD∥AB，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．…（6分）（Ⅱ）存在常数k=，使得平面PED⊥平面PAB．…（8分）∵，AB=1，k=，∴AE=，又∵∠DAB=45°，∴AB⊥DE．又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB．又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，∵AB⊂平面PAB，∴平面PED⊥平面PAB．…（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定依据面面垂直的应用，要求熟练掌握相应的判定定理．20．（Ⅰ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，x1）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅱ）已知椭圆C方程为=1，从椭圆C上一点P向圆x2+y2=1上引两条切线，切点为A，B．当直线AB分别与y轴、x轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的切线方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用待定系数法，结合直线和圆相切的条件即可证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，x1）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求出过A，B的切线方程进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）当切线的斜率k存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．又因为，故切线方程为，∴．…（3分）当k不存在时，切点坐标为（±r，0），切线方程为x=±r，符合．综上，切线方程为．…（6分）（Ⅱ）设点P坐标为（x p，y p），PA，PB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1．∵两切线都过P点，∴x1x p+y1y p=1，x2x p+y2y p=1．…（8分）∴切点弦AB的方程为x p x+y p y=1，由题知x P y P≠0，∴，，∴=，当且仅当，时取等号，∴|MN|≥，即|MN|的最小值为．…（12分）点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系是应用，涉及直线和圆相切的问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0，得x=﹣a或x=．（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣x﹣在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣．令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增﹣2 单调递减∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．四、选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲）22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．考点：与圆有关的比例线段；平行线分线段成比例定理．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（Ⅱ）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（Ⅰ）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．解答：（Ⅰ）证明：如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圆O的半径为2，∴AD•OC=AB•OD=8．点评：根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（﹣1，5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，半径为4．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设直线l上动点坐标为Q（x，y），利用倾斜角与斜率的公式建立关系式得到x、y关于t的方程组，即可得到直线l的参数方程；由圆的性质和极坐标的定义，利用题中数据可得圆C的极坐标方程；（2）将直线l与圆C都化成直角坐标方程，利用点到直线的距离公式加以计算，得到圆心到直线的距离比圆C半径大，从而得到直线l和圆C的位置关系．解答：解：（1）∵直线l过点P（﹣1，5），倾斜角为，∴设l上动点坐标为Q（x，y），则=tan=，因此，设y﹣5=tsin=，x+1=tcos=t，得直线l的参数方程为（t为参数）．∵圆C以M（4，）为圆心，4为半径，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（2）将直线l化成普通方程，得，∵点C到直线l的距离d=＞4=r，∴直线l和圆C相离．点评：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得|x+1|+|x﹣2|＞7，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．（2）由关于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x﹣2|≥m+4．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．解答：解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．38576 96B0 隰O21694 54BE 咾23564 5C0C 尌 36428 8E4C 蹌E?w34642 8752 蝒^q24904 6148 慈。
上海市青浦区2021届新高考数学五模考试卷含解析
上海市青浦区2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.2．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键． 3．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 4．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可. 【详解】由图象知51=1244T -=， 所以2T =，22πωπ==， 又图象过点3(,1)4-，所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34π， 所以3()sin()4f x x ππ=+ 令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C 13D 22【答案】D 【解析】 【分析】【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.6．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对， 所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kxh x x-'=， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.当0k >时，若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；若1,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；故()max 11ln h x h k k ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1ln 0k>，解得01k <<. 又当01k <<时，11e k <且10k h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点.又22ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2etg t t-'=， 当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫<⎪⎝⎭. 因为2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上也存在一个零点. 综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.7．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．1835【答案】A 【解析】 【分析】 利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为231C .故选：A. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ．本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C D 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±bax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 222aba b =-，∴直线l 的方程为y 222aba b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abca b =+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ，∴222abc a b =+2•2223abca b -，∴a =， ∴c ＝2b ，∴e 3c a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )1【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 3α∴===()sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．12．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市金山区2021届新高考五诊数学试题含解析
上海市金山区2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线22214x y b -=的离心率e =） A．B ．2CD ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =， 则2a =，2c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为2y x =±20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.2．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论.【详解】依题意，函数12x y⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12logy x=关于直线y x=对称，则0.21210log0.22⎛⎫<<⎪⎝⎭，即01a b<<<，又0.211220.2log0.2log0.20.20.20.211110.22252bc a a⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b<<.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.3．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差【答案】D【解析】【分析】ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.4．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C ．4D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<，∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3212622+⨯+⨯=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．316π-B ．34C ．36π D ．14【答案】A 【解析】 【分析】求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．【详解】满足条件的正ABC ∆如下图所示：其中正ABC ∆的面积为23443ABC S ∆== 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为21222S ππ=⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是31143P π==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．7．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒．8．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.9．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围. 【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -. 故选：B 【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.10．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 【答案】C 【解析】根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C. 【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．11．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）A B ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】 【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =， 所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos B ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C+= 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得M(3，，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M(3，，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF的距离为4=故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市闵行区2021届新高考数学五模考试卷含解析
上海市闵行区2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是3 【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则3333t -<<时()0g t '>，313t -<<-或313t >>时()0g t '<，即()g t 在33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在31,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和3,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减； 且343g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g -=，3433max y g ⎛⎫∴==< ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题． 2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】，又 两圆相交. 选B3．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132 B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B 【解析】 【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可 【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B 【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题4．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.467041≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.7．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8 B ．12C ．14D ．10【答案】C 【解析】 【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 9．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥【答案】A 【解析】 【分析】 先求出UM ，再与集合N 求交集.【详解】 由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A. 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.10．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈N ，均有a a a ++为定值，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.11．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=①.125,,a a a 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B ．C D 【答案】D可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==， 设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23at =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==，所以2PF Q ∆为等边三角形，所以，3423ac =，解得3c a =. 因此，该椭圆的离心率为33. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (文科)解析版
圆柱表 2021 上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）1．计算： 3 - i= （i 为虚数单位）.1 + i【答案】 1-2i【解析】 3 - i = (3 - i )(1- i ) =1-2i1 + i (1+ i )(1-i ) 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数 化即可。
2．若集合 A = {x | 2x - 1 > 0}， B = {x | x < 1}，则 A B =.【答案】 ⎧x | 1 < x < 1⎫⎨2 ⎬ ⎩ ⎭【解析】由集合 A 可得：x> 1，由集合 B 可得：-1<经<1，所以， A B = ⎧x | 1< x < 1⎫2⎨2 ⎬ ⎩ ⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法， 解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数 f (x ) =【答案】πsin x - 1 2的最小正周期是 .cos x1【解析】根据韪得： f (x ) = sin x cos x + 2 = sin 2x + 22【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握 二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则 tan α= 1 ,α= arctan 1.22【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的 倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】6π【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 r = 1，所以该圆柱的表面积为：S = 2πrl + 2πr 2 = 4π+ 2π= 6π. 【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积， 也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程 4x- 2x +1- 3 = 0 的解是 .【答案】log 2 3→∞→∞ x⎪ ⎩ ⎪⎩⎪⎩⎪⎩2【解析】根据方程4 x - 2 x+1 - 3 = 0 ，化简得(2 x )2 - 2 ⋅ 2 x - 3 = 0，令2x =t (t > 0)，则原方程可化为t 2 - 2t - 3 = 0 ，解得t = 3或t =-1(舍)，即2 x = 3, x = log 3.所以原方程的解为log2 3 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.17.有一列正方体，棱长组成以1 为首项、2 为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,...,Vn,... ，则lim(V1 +V2+... +Vn) = .n8【答案】71【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，2为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1 1 为首项，8为公比的等比数列，因此， lim(V1 +V2 + +V n ) =n1=8.1 -1 78【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.⎛ 1 ⎫68.在 x -⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】 - 20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T = C3 x3 (-1)3 =-20 .4 6 x【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知y =f (x) 是奇函数，若g(x) =f (x) + 2 且g(1) =1，则g(-1) = .【答案】3【解析】因为函数y =f (x) 为奇函数，所以有f (-x) =-f (x)，即g(1) =f (1) + 2, 又g(1) = 1, 所以，f (1) =-1,f (-1) =-f (1) = 1, g(-1) =f (-1) + 2 = 1 + 2 = 3 .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y = f (x)为奇函数，所以有f (-x) =-f (x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件x + 2 y ≤ 2 的目标函数z =y -x 的最小值是.【答案】 - 2⎧x ≥0,【解析】根据题意得到 ⎨y ≥ 0,⎪x + 2 y ≤ 2; ⎧x ≥0,或⎨y ≤ 0,⎪x - 2 y≤ 2; ⎧x ≤0,或⎨y ≥ 0,⎪-x + 2 y≤ 2; ⎧x ≤0,或⎨y ≤ 0,⎪x + 2 y ≥-2.其可行域为平行四边形 ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成 y = x + z ， z 的最小值就是 该直线在 y 轴上截距的最小值，当该直线过点 A (2,0) 时， z 有最小值，此时 z min = -2 .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A (2,0) 时， z 有最小值，此时 z min = -2 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选 择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2 【答案】3【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典 2 概型得到此种情况下的概率为.3【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于 中档题.12.在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且CN满足 ，则 AM ⋅ AN 的取值范围是CD【答案】1,4【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 AB = 2, AD = 1，所以 A (0, 0), B (2, 0),C (2,1)D (0,1). 设 M (2, b ), N (x ,1), (0 ≤ x ≤ 2) ，根 2 - x→→2 - x据题意， b = ，所以 AN = (x ,1), AM = (2, ).2 → →3 2 3→ → 所以 AM • AN = x + 1 (0 ≤ x ≤ 2)，所以1 ≤ x + 1 ≤ 4， 即1 ≤ AM • AN ≤ 4 .2 2B ( ,1) ⎪ n【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实 注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数 y = f (x ) 的图像是折线段 ABC ，其中 A (0, 0) 、 1 2、C (1, 0) ，函数 y = xf (x ) （ 0 ≤ x ≤ 1）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .1【答案】4⎧2x , 0 ≤ x ≤ 1 【解析】根据题意，得到 f (x ) = ⎨ ⎪-2x + 2, 1 ⎩ 2 ⎧2x 2,0 ≤ x ≤ 12 ， x ≤ 1 ⎪从而得到 y = xf (x ) = ⎨⎪- 2x 2 + 2x , ⎩ 21 x ≤ 12 所以围成的面积为 11 1 1S = ⎰2 2xdx + ⎰1 (-2x 2 + 2x )dx = ，所以围成的图形的面积为 .24 4【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的 运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知 f (x ) =1，各项均为正数的数列{a }满足 a = 1， a= f (a) ，若 a= a，则1+ xa 20 + a 11 的值是.n 1n +2n20102012【答案】26111【解析】据题 f (x ) =1 + x，并且 a n +2 = f (a n )，得到 a n +2 =1 + a ， a 1 = 1， a 3 = 2，a 2010 = a2012 ，得到 1 1+a2010= a 20103 + 13 5，解得 a2010=5 - 1（负值舍去）.依次往前推得到2⎨ ⎩2 n * a 20 + a 11 =3 + 13 5 .26【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 a n +2 = 解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）f (a n ) 是15.若1+ 2 i 是关于 x 的实系数方程 x 2+ bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）A ． b = 2, c = 3【答案】 DB. b = 2, c = -1C. b = -2, c = -1D. b = -2, c = 3 【解析】根据实系数方程的根的特点知1-2i 也是该方程的另一个根，所以1 + 2i + 1 - 2i =2 = -b ，即b = -2 ， (1 - 2i )(1 + 2i ) =3 = c ，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题， 注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数 m 、 n ，“ mn > 0”是“方程 mx 2+ ny 2= 1的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B⎧m > 0, 【解析】方程 mx 2 + ny 2= 1的曲线表示椭圆，常数常数 m , n 的取值为 ⎪n > 0, ⎪m ≠ n , 所以，由 mn > 0得不到程 mx 2 + ny 2= 1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn > 0， 因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成 特征，可以知道常数 m , n 的取值情况.属于中档题.17.在△ ABC 中，若sin 2A + sin 2B < sin 2C ，则△ ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 Aa【解析】由正弦定理，得 2R = sin A , b 2R = sin B , c2R= sin C , 代入得到 a 2 + b 2 < c 2 ， a 2 + b 2 - c 2由余弦定理的推理得cos C = < 0 ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选2ab择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理， 如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若 S ππ π = sin + sin + ... + sin （ n ∈ N ），则在 S , S,..., S 中，正数的个数是（）n 7 7 71 2 100A ．16B.72C.86D.100【答案】C3 2 23 3 3 4⎩【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目 出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）19．如图，在三棱锥 P -ABC 中，PA ⊥底面 ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC = π，AB=2，AC=2 3 ，PA=2.求：（1）三棱锥 P -ABC 的体积；（6 分）（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6 分） [解]（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ， 2 分三棱锥 P -ABC 的体积为V = 1 S ∆ ABC⨯ PA = 1⨯ 2 ⨯ 2 = 4 3 . 6 分P（2）取 PB 的中点 E ，连接 DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与 AD 所成的角. 8 分 ED在三角形 ADE 中，DE=2，AE= 2 AD=2，Acos ∠ADE = 22 + 2 2 - 2= 3 ，所以∠ADE = arccos 3 .2⨯2⨯2 44因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是arccos3 . B12 分C【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综 合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数 f (x ) = lg(x + 1) .（1）若0 < f (1 - 2x ) - f (x ) < 1，求 x 的取值范围；（6 分）（2）若 g (x ) 是以 2 为周期的偶函数，且当0 ≤ x ≤ 1时，有 g (x ) = y = g (x ) (x ∈[1, 2])的反函数.（8 分）⎧2 - 2x > 0f (x ) ，求函数[解]（1）由 ⎨ x + 1 > 0 ，得 - 1 < x < 1.由0 < lg(2 - 2x ) - lg(x + 1) = lg 2- 2 x < 1得1 < 2- 2 x < 10 .……3 分x +1x +1因为 x + 1 > 0 ，所以 x + 1 < 2 - 2x < 10x + 10 ， - 2 < x < 1 . 33⎧ - 1 < x < 1由⎨ 得 - 2 < x < 1 . ……6 分- 2 < x < 13 3⎩ 3 3（2）当 x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此y= g (x ) = g (x - 2) = g (2 - x ) = 由单调性可得 y ∈[0, lg 2].f (2 - x ) = lg(3 - x ) .……10 分因为 x = 3 - 10 y，所以所求反函数是 y = 3 - 10x， x ∈[0, lg 2]. ……14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数 函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴3 3 PDA2 49 2 7 3022 2 2 2 2 22 22⎪ 4正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 yy = 12 x 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 P援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当t = 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）O x （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分） [解]（1） t = 0.5时，P 的横坐标 x P = 7t = 7 ，代入抛物线方程 y = 12 x 22 49 A中，得 P 的纵坐标 y P =3. ……2 分由|AP |= 949 ，得救援船速度的大小为 949海里/时. ……4 分 由 tan ∠OAP = 2 = 7，得∠OAP =arctan 7 ，故救援船速度的方向3+123030为北偏东 arctan 7 弧度. ……6 分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t , 12t 2) .由vt = ，整理得v 2= 144(t 2+ 1 ) + 337 .……10 分 t因为t 2+ 1 t ≥ 2 ，当且仅当t =1 时等号成立，所以v 2≥ 144 ⨯ 2 + 337 = 252，即v ≥ 25 .因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. ……14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题 的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的 能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C : 2x 2 - y 2= 1.（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若|MF |=2 2 ，求过 M 点的坐标；（5 分）（2） 过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5 分）（3）设斜率为 k (| k |< 求证：OP ⊥OQ ；（6 分）2) 的直线 l2 交 C 于 P 、Q 两点，若 l 与圆 x 2 + y 2 = 1相切， [解]（1）双曲线C : x 2 - y 2= 1，左焦点 F (- 6 , 0) .1 22设 M (x , y ) ，则| MF |2= (x + 6)2+ y 2= ( 3x + 2)2，……2 分由 M 是右支上一点，知 x ≥ 2 ，所以| MF |= 3x + 2 = 2 ，得 x = 6 . 所以 M ( 6 , ± 2) .……5 分（2）左顶点 A (- 2 , 0) ，渐近线方程： y = ± 2x .过 A 与渐近线 y = 2x 平行的直线方程为： y = 2(x + 2 ) ，即 y = 2x + 1.⎧ y = - x ⎧⎪x = - 2解方程组 ⎨ ⎩ y = x + 1 ，得 ⎨ y = 1 . ……8 分 ⎩ 2 所求平行四边形的面积为 S =| OA || y |= 2 .……10 分（3）设直线 PQ 的方程是 y = kx + b .因直线与已知圆相切，故|b | = 1，k 2 +1即b 2= k 2+ 1 (*).(7t )2 + (12t 2+ 12)2 2 2 42 ⎩ 2- 2k 24k -1 4k 4k -3 4k - 2 ⎧ y = kx + b 2 2 2由 ⎨2x 2 - y 2 = 1，得(2 - k )x - 2kbx - b - 1 = 0 .设 P (x , y )、Q (x , y )，则 ⎧⎪x 1 + x 2 = 2kb . 1 1 2 2 ⎨ x x = -1-b 2⎩⎪ 1 22- k 2y 1 y 2 = (kx 1 + b )(kx 2 + b ) ，所以OP ⋅ OQ = x x + y y = (1 + k 2 )x x + kb (x + x ) + b 21 21 21 212(1+ k 2 )(-1-b 2)+ 2k 2 b 2= -1+b 2- k 2.2- k 22- k 2 2- k 2由(*)知OP ⋅ OQ = 0，所以 OP ⊥OQ . ……16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意 直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 ，它的渐近 线为 y = ± x ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于项数为 m 的有穷数列数集{a n }，记b k = max{a 1, a 2 , , a k }（k =1,2,…,m ），即b k 为 a 1, a 2 , , a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；（4 分）（2）设{b n }是{a n }的控制数列，满足 a k + b m - k +1 = C （C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证： b k = a k （k =1,2,…,m ）；（6 分）n ( n +1)（3）设 m =100，常数 a ∈ ( 1 , 1) .若 a = an 2- (-1) 2 n ，{b }是{a }的控制数列，2nnn求(b 1 - a 1 ) + (b 2 - a 2 ) + + (b 100 - a 100 ) .[解]（1）数列{a n }为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4 分 （2）因为b k = max{a 1, a 2 , , a k }， b k +1 = max{a 1, a 2 , , a k , a k +1}，所以b k +1 ≥ b k .……6 分 因为 a k + b m - k +1 = C ， a k +1 + b m - k = C ， 所以 a k +1 - a k = b m - k +1 - b m - k ≥ 0 ，即 a k +1 ≥ a k . ……8 分 因此， b k = a k .……10 分（3）对 k = 1, 2, , 25 ， a = a (4k - 3)2+ (4k - 3) ； a = a (4k - 2)2+ (4k - 2) ；a = a (4k -1)2 - (4k - 1) ； a = a (4k )2 - (4k ). 比较大小，可得 a 4k - 2 > a 4k -3 .……12 分因为 1 < a < 1，所以 a 4k -1 - a 4k - 2 = (a - 1)(8k - 3) < 0 ，即 a 4k - 2 > a 4k -1 ； a 4k - a 4k - 2 = 2(2a - 1)(4k - 1) > 0 ，即 a 4k > a 4k - 2 .又 a 4k +1 > a 4k ，从而b 4k -3 = a 4k -3 ， b 4k - 2 = a 4k - 2 ， b 4k -1 = a 4k - 2 ， b 4k = a 4k . ……15 分因此(b 1 - a 1 ) + (b 2 - a 2 ) + + (b 100 - a 100 )= (b 3 - a 3 ) + (b 7 - a 7 ) + (b 10 - a 10 ) + + (b 4k -1 - a 4k -1 ) + + (b 99 - a 99 ) = (a 2 - a 3 ) + (a 6 - a 7 ) + (a 9 - a 10 ) + + (a 4k - 2 - a 4k -1 ) + + (a 98 - a 99 )2525= ∑(a 4k - 2 - a 4k -1 ) = (1 - a )∑(8k - 3) = 2525(1 - a ).……18 分k =1k =1【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2021年高考数学五诊试卷 理(含解析)
2021年高考数学五诊试卷理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣12．sin3的取值所在的范围是（）A．（，1） B．（0，） C．（﹣，0） D．（﹣1，﹣）3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2），（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（） A． 0.05 B． 0.1 C． 0.15 D． 0.24．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q=5，则ap﹣aq=（）A． 10 B． 15 C．﹣5 D． 205．在△ABC中，“•=•”是“||=||”（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0得到回归方程为=bx+a，则（）A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞0 C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞07．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）A． 94 B． 32 C． 64 D． 168．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A． B． C．D．9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（） A．（﹣∞，） B． [，5] C．（﹣∞，﹣2） D． [2，+∞）10．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，函数f（x）的零点个数是（） A． 7 B． 5 C． 3 D． 111．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A． [0，+∞） B． [0，1] C． [1，2] D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量，的夹角是，若||=1，||=2，则|2﹣|= ．14．已知sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα=，β是第三象限角，则tan（β+）= ．15．在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（xx•江西模拟）已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）（xx•郑州二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）（xx•大连二模）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 15 30 125 198 77 35 20乙厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 40 70 79 162 59 55 35（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：x2=P（x2≥x） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．20．（12分）（xx•甘肃校级模拟）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．21．（12分）（xx•长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲共1小题，满分10分）22．（10分）（xx•丹东二模）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，E为线段BC上一点，连接AC，连接AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C，D，E，G四点共圆．；（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，GA=3GE，求证：CE=EB．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．（xx•丹东二模）长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求点P到点D（0，﹣1）距离d的取值范围．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．（xx•丹东二模）已知a＞0，b＞0．（I）若a+b=2，求的最小值；（Ⅱ）求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．xx年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：∵，∴=（﹣i）3=i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．sin3的取值所在的范围是（）A．（，1） B．（0，） C．（﹣，0） D．（﹣1，﹣）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由于＜3＜π，函数y=sinx在（，π）上是减函数，可得sin3的范围．解答：解：由于＜3＜π，函数y=sinx在（，π）上是减函数，而sinπ=0，sin=，可得sin3∈（0，），故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2），（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A． 0.05 B． 0.1 C． 0.15 D． 0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：根据ξ服从正态分布N（100，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．解答：解：∵ξ服从正态分布N（100，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=100，∵ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，∴ξ在（0，100）内取值的概率为0.5，∴ξ在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.4=0.1．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．4．数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q=5，则a p﹣a q=（）A． 10 B． 15 C．﹣5 D． 20考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用递推公式当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1可求a n=4n﹣5，再利用a p﹣a q=4（p﹣q），p﹣q=5，即可得出结论．解答：解：当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3n﹣3=4n﹣5a1=S1=﹣1适合上式，所以a n=4n﹣5，所以a p﹣a q=4（p﹣q），因为p﹣q=5，所以a p﹣a q=20点评：本题主要考查了利用数列的前n项和，求解数列的通项公式，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．5．在△ABC中，“•=•”是“||=||”（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平面向量数量积的运算．分析：首先在△ABC中，移项化简可得到=0，所表示的意义为AB与AB边上的中线相互垂直，故，所以是充分条件，又，得三角形为等腰三角形，则可推出也成立．所以是充分必要条件．解答：解：因为在△ABC中•=•等价于•﹣•=0等价于•（+）=0，因为的方向为AB边上的中线的方向．即AB与AB边上的中线相互垂直，则△ABC为等腰三角形，故AC=BC，即，所以为充分必要条件．故选C．点评：此题主要考查必要条件充要条件的运算，其中涉及到向量的模和数量积的运算问题，计算量小，属于基础性试题．6．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0得到回归方程为=bx+a，则（）A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞0 C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞0考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，故选：A．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．7．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）A． 94 B． 32 C． 64 D． 16考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（6﹣2）2=16，高h=8﹣2=6，故四棱锥的体积V==32，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A． B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，解答：解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，f（1）==0，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．点评：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（） A．（﹣∞，） B． [，5] C．（﹣∞，﹣2） D． [2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；解答：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故选：D．点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，函数f（x）的零点个数是（） A． 7 B． 5 C． 3 D． 1考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．解答：解：（I）∵f（x）=xcosx﹣sinx，∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，当f′（x）＞0时，得或，∴π＜x＜2π，或﹣2π＜x＜﹣π，此时函数单调递增，当f′（x）＜0时，xsinx＞0，即或，即0＜x＜π或2π＜x＜3π，或﹣3π＜x＜﹣2π或﹣π＜x＜0，此时函数单调递减，当x=π，﹣2π，函数f（x）取极小值，此时f（π）=﹣π，f（﹣2π）=﹣2π，当x=﹣π，2π，时，函数f（x）取极大值，此时f（﹣π）=π，f（2π）=2π，又f（3π）=﹣3π，f（﹣3π）=3π，f（0）=0，作出函数f（x）的草图如图，则由图象知函数f（x）的零点个数，5个，故选：B点评：本题主要考查函数零点个数的判断，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．解答：解：设，函数y=的导数为：y′=，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，∴P（1，1），可得，c2=a2+b2．c=1，解得a=因此，故双曲线的离心率是，故选A；点评：本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A． [0，+∞） B． [0，1] C． [1，2] D．考点：指数函数的图像与性质．分析：因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f （a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．解答：解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，2＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故选D．点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量，的夹角是，若||=1，||=2，则|2﹣|= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的数量积的定义可得•=1，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．解答：解：向量，的夹角是，||=1，||=2，则•=||•||cos=1×=1，则|2﹣|2=（2﹣）2=42﹣4+2=4×1﹣4×1+4，即有|2﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方．考查运算能力，属于基础题．14．已知sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα=，β是第三象限角，则tan（β+）= 7 ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正弦公式进行化简，然后利用两角和差的正切公式进行计算即可．解答：解：由sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）si nα=，得sin（α﹣β﹣α）=sin（﹣β）=，∴sinβ=﹣，∵β是第三象限角，∴cosβ=﹣，tanβ=，则tan（β+）===7，故答案为：7；点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式和正切公式是解决本题的关键．15．在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设AB=BC=1，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．解答：解：设AB=BC=1，则，∴，．答案：．点评：本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．考点：异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基地表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．解答：解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（xx•江西模拟）已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．解答：解：（1）f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，则：解得：x=2k+1（k∈Z），把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，所以：a n=2n﹣1．证明：（2）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，=所以：T n=b1+b2+…+b n++…+）=点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法和放缩法求数列的和．18．（12分）（xx•郑州二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1BC所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos=．点评：本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19．（12分）（xx•大连二模）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 15 30 125 198 77 35 20乙厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 40 70 79 162 59 55 35（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：x2=P（x2≥x） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．考点：离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由图中表格数据易得2×2列联表，计算可得X2的近似值，可得结论；（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品．从两个厂各抽取2件产品，优质品数X的取值为1，2，3，4，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）列联表如下甲厂乙厂合计优质品 400 300 700非优质品 100 200 300合计 500 500 1000x2=47.619，∵47.619＞10.828，∴有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．（6分）（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品．从两个厂各抽取2件产品，优质品数X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=4）==，所以P（X=3）=1﹣﹣﹣= （10分）所以X的分布列为X 1 2 3 4P（12分）点评：本题考查独立检验，考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列，正确求概率是关键．属中档题．20．（12分）（xx•甘肃校级模拟）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点M（4，0）到抛物线准线的距离为，即可得出p．（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用抛物线的方程和斜率计算公式即可得出．解答：解：（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为，∴p=，即抛物线C的方程为y2=x．（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2y H=﹣4．==．点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、圆的切线的性质、斜率计算公式等是解题的关键．21．（12分）（xx•长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．（6分）令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．（9分）（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以，h （x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．（13分）综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（14分）点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲共1小题，满分10分）22．（10分）（xx•丹东二模）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，E为线段BC上一点，连接AC，连接AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C，D，E，G四点共圆．；（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，GA=3GE，求证：CE=EB．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）设BG=x，GA=3x，由切割线定理推导出EB=2，再求出CE的长，即可证明结论．解答：（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：设BG=x，GA=3x，由切割线定理EG•EA=EB2，则EB=2x，又F为EB三等分，所以EF=，FB=，又FE•FC=FG•FD，FG•FD=FB2，∴FC=，CE=2x，即CE=EB．…（10分）点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．（xx•丹东二模）长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求点P到点D（0，﹣1）距离d的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，可知：x=|AB|cos（π﹣α），y=，化简整理即可得出参数方程；（Ⅱ）设P（﹣2cosα，sinα），可得|PD|==，利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，可知：x=|AB|cos（π﹣α）=﹣2cosα，y==sinα，曲线C的参数方程是（α为参数，且）；（Ⅱ）设P（﹣2cosα，sinα），则|PD|===，∵，∴sinα∈（0，1），∴，故d的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、两点之间的距离公式、二次函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．（xx•丹东二模）已知a＞0，b＞0．（I）若a+b=2，求的最小值；（Ⅱ）求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用乘1法，可得=（）（1+a+1+b），展开后运用基本不等式即可得到最小值；（Ⅱ）运用均值不等式，结合累加法，即可得证．解答：解：（Ⅰ）由于a+b=2，则=（）（1+a+1+b）=（5++）≥（5+2）=等号成立条件为=，而a+b=2，所以a=，b=，因此当a=，b=时，+取得最小值，且为；（Ⅱ）证明：由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b，a2b2+b2≥2b2a，a2+b2≥2ab三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab（a+b+1），所以a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值和证明不等式，注意运用乘1法和累加法是解题的关键．36848 8FF0 述31575 7B57 筗~24600 6018 怘28449 6F21 漡20943 51CF 减 G28003 6D63 浣25770 64AA 撪21028 5224 判32552 7F28 缨025046 61D6 懖。
上海市松江区2021届新高考五诊数学试题含解析
上海市松江区2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B ．6C 3D ．36【答案】B【解析】【分析】设1AA c=u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v ，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12a c ⋅=v v 1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v ()222212222BC b a c b a c a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v v v v v v v v v v v v v 1111116cos ,6AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v 即异面直线1AB 与1BC 6本题正确选项：B【点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的2．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α，因为m α⊄，所以//m α，故②对③：//n β或n β⊂，故③错④：如图因为αβ⊥，l αβ=I ，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂所以////b a m ，所以m β⊥，故④对.【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.3．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S S λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．32 【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=u u u r u u u r r ，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u u r u u u r u u u r， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.4．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（） A ．6- B ．6 C ．5 D ．5-【答案】A【解析】【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（ ）A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+D ．1y x =+【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y =B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.6．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.7．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值.【详解】 因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.8．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x x x x x x ee ef x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.9．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<； 指数函数2x y =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=；指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==.综上所述，b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.10．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ）A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B ＝{0，1，2，3}，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．11．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m【答案】B【解析】【分析】 由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的18，两面积作差即可求解.【详解】由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458=oo，设三角形的腰为a，由正弦定理可得10135sin45sin2a=o o，解得1352a=o，所以三角形的面积为：)211351cos135sin45251222S⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭o oo，所以每块八卦田的面积约为：)21251454.078π-⨯⨯≈.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.12．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）A．P1•P2＝14B．P1＝P2＝13C．P1+P2＝56D．P1＜P2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝36；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝26；所以P1+P2＝56故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市浦东新区2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x +=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】B【解析】【分析】 由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x +=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x+2，可得f （x+2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2.又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B.本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 2．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．5 B．30 C ．6 D ．25 【答案】C【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D所成角的正弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r， 设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos ,|6EF n EF n EF n⋅==⋅u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为6. 故选C ．本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．3．函数2sin cos()20x x xf xx=+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos()()2020x x x x x xf x f xx x----=+=+=-，故函数()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而2()020fππ=-<，排除B；2(2)05fππ=>，排除D.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.4．已知符号函数sgnx100010xxx⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 【答案】A根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；故选：A ．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．20【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i = 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.6．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3πD ．23π 【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =- 【答案】C【解析】【分析】 在等比数列中，由11n n a a S q q -⋅=-即可表示之间的关系. 【详解】 由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n n n n a a q a a q S -⋅-===--- 故选：C【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 9．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，所以函数在[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 10．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．7B ．7-C ．17D ．17- 【答案】A【解析】【分析】由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=， 4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．B ．C ．1-D ．1【解析】【分析】根据向量坐标运算求得2a b +rr ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】 ()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r()//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区2021届新高考五诊数学试题含解析
上海市静安区2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A ．94B ．5CD ．9【答案】A 【解析】 【分析】 利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 2．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果.对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.3．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 332πππ=+=i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.4．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 5．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点 D ．抛物线，但要去掉两个点【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上. 【详解】PB α⊥,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBC AC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上， 又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.6．已知集合{|M x y =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2] B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)【答案】C 【解析】 【分析】分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】因为集合{}|1M x x =≥，{}{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =故选：C 【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 7．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，1.9%a c c -=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确. 故选：D 【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.8．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ）A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 9．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 10．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-【答案】D 【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x 2-1)f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x 2-1)f(x)<0 ∵f(x)是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x 2-1)f(x)>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 11．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD =∠∠，①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CDADC CAD=∠∠，②①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，215sin 1cos 4B B ∴=-=， 因此，ABD ∆的面积为1sin 152ABD S AB BD B ∆=⋅=. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2 B ．2C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n . 【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=，即()23248282cos8204a ab a a b πλλλλ⋅-=-⋅=-⋅=+=， 解得422λ=-=-. 所以442n a b =+ 所以()2223442163223248322cos483244a ba ab b n π+=+⋅+=-==+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考真题-数学(上海卷)【含答案及解析】
2021年上海市春季⾼考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ．2．已知13z i =-，则||z i -= ．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．4．不等式2512x x +<-的解集为 ．5．直线2x =-10y -+=的夹角为 ．6．若方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b = ．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 ．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a = ．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是 ．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是 ．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()2n q j +<，则q 的最小值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()f x x =B．()sin f x x=C．()2xf x =D．()1f x =14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是()A．A BÍB．R RA BÍ痧C．A B =ÆI D．A B R=U 15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是()A．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=u u u r u u u r ；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +u u u r u u u r u u u r；它们的成立情况是()A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A p -=，求c ．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．答案及解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2．已知13z i =-，则||z i -．【思路分析】由已知求得z i -，再由复数模的计算公式求解．【解析】：13z i =-Q ，\1312z i i i i -=+-=+，则|||12|z i i -=+==．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为(7,2)- ．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x x x +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x =-10y -+=的夹角为6p．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236p p p -=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b = 0 ．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x yD x DD y D ì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a bD a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32n n C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x x x x a af x =+=++-=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是(4-，0)(0È，4) ．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种.A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cx y x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以1PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<，则q 的最小值是25p．【思路分析】在单位圆中分析可得3p q >，由2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()f x x =B．()sin f x x=C．()2xf x =D．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是()A．A BÍB．R RA BÍ痧C．A B =ÆI D．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是()A．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=u u u r u u u r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +u u u r u u u r u u u r；它们的成立情况是()A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=u u u r u u u r u u u r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---u u u r ，(1,)CE x y =-u u u r，若0AB CE ×=u u u r u u u r，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如2，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=u u u r u u u r u u u r，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE u u u r 与CG u u u r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =，由//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．【解析】：（1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE \==，PB \=//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^，在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð===，故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-´´，可得c =（2）因为4cos()(cos sin )25A A A p-=+=，可得cos sin 5A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos 10A =，sin A =，或sin 10A =，cos 10A =，因为1cos C =-，可得sin 4C =，tan C =，若sin 10A =，cos 10A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin c A C =，可得2c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:3OP y x =，联立双曲线方程，可得2x =，2y =，即点P 的坐标为(2，2．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax =-，()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，\t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211()24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x =-=-，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
上海市普陀区2021届新高考五诊数学试题含解析
上海市普陀区2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A 【解析】 【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,353M x x -+，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r，根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(3B ，(3C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(03E x ，01x <AE BE =Q()2220031x x +=-解得01x =-()4,3C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+(),353AM x x ∴=-+u u u u r()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题. 4．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π【分析】由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】如图；设AB 的中点为D ； ∵PA 2=，PB 14=，AB ＝4，∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 12=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=. ∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（6-R ）2+r 2⇒R 6=； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π25036π⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.5．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.6．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.7．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.8．已知函数22cos sin f x x x π⎛⎫=++，则()f x 的最小值为( )A．212+B．12C．212-D．214-【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.【详解】由于()221cos21cos22cos sin422xxf x x xππ⎛⎫-+⎪+⎛⎫⎝⎭=++=+⎪⎝⎭cos2sin2122x x=++21sin224xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，故其最小值为：21-.故选：C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．27πB．28πC．29πD．30π【答案】C【解析】【分析】作出三棱锥的实物图P ACD-，然后补成直四棱锥P ABCD-，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD-的外接球和直四棱锥P ABCD-的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD的外接圆直径AC，利用公式2R，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 11．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M,N 两点,若||6MN =,则MNF V 的面积为( )A ．28B ．38C ．328D ．324【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市闸北区2021届新高考五诊数学试题含解析
上海市闸北区2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B 【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 2．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定． 3．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．85【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得43sin ,cos 55αα==-，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，点(3,4)P -是角α的终边上一点，根据三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα==-， 则4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】化简复数，分子分母同时乘以1i +，进而求得复数z ，再求出z ，由此得到虚部. 【详解】11iz i i+==-，z i =-，所以z 的虚部为1-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.5．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A．26B．13C．23D．1【答案】B【解析】【分析】过点E作EH CD⊥，垂足为H，过H作HF AB⊥，垂足为F，连接EF.因为//CD平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离h.设(0)2CDEπθθ∠=<≤，将h表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E作EH CD⊥，垂足为H，过H作HF AB⊥，垂足为F，连接EF.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD，所以EH HF⊥.因为底面ABCD是边长为1的正方形，//HF AD，所以1HF AD==.因为//CD平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面EFH⊥平面ABE，所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离h.不妨设(0)2CDEπθθ∠=<≤，则sinEHθ=，21sinEFθ=+.因为1122EHFS EF h EH FH=⋅⋅=⋅⋅V，所以21sin sinhθθ⋅+=，所以222211sin1sinhθθ==≤++，当2πθ=时，等号成立.此时EH与ED重合，所以1EH=，2111133E ABCDV-=⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.6．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72【答案】B 【解析】 【分析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题. 7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】222,,33BD DC BD BC ADBD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.8．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】解：由变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出相应图形如下：可知点()1,1A ,()0,2B ，2x y -在B 处有最小值，最小值为2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.9．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件.10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm===（其中30.866≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==．3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ）A ．1234B ．1114C ．1054D ．1174【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值.【详解】由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π4.5π44x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为1054．故选:C 【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 12．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【答案】C 【解析】 【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合.D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市浦东新区2021-2022学年中考数学五模试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一、单选题二次函数的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论：①abc<0；②b 2>4ac ；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结论有：A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．已知实数a ＜0，则下列事件中是必然事件的是（ ）A ．a+3＜0B ．a ﹣3＜0C ．3a ＞0D ．a 3＞03．4-的相反数是( )A ．4B ．4-C ．14-D ．144．下列说法中，错误的是（ ）A ．两个全等三角形一定是相似形B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等边三角形一定相似D ．两个等腰直角三角形一定相似5．用一根长为a （单位：cm ）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm ）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）A ．4cmB ．8cmC ．（a+4）cmD ．（a+8）cm6．已知点()2,4P -，与点P 关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()2,4--B ．()2,4-C ．()2,4D ．()4,2-7．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则△BDE 的周长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB ∥CD 的是( )A ．∠3=∠AB ．∠D=∠DCEC ．∠1=∠2D ．∠D+∠ACD=180°10．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r=5，AC=5，则∠B 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°11．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．一个圆锥的底面半径为52，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A ．180° B ．150°C ．120°D ．90° 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ (点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为______．14．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．15．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为_____．16．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．17．计算：5-=____.18．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都是黄球的概率为．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）解不等式组2(1)31122xxxx⎧-≥⎪⎪⎨+⎪-≤⎪⎩(1)(2)请结合题意填空，完成本题的解答．（I）解不等式（1），得；（II）解不等式（2），得；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．20．（6分）【发现证明】如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，试判断BE ，EF ，FD 之间的数量关系． 小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，通过证明△AEF ≌△AGF ；从而发现并证明了EF=BE+FD ．【类比引申】（1）如图2，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、CD 的延长线上，∠EAF=45°，连接EF ，请根据小聪的发现给你的启示写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并证明；【联想拓展】（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 、F 在边BC 上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF 的长．21．（6分）已知抛物线，2:3L y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且抛物线L 的对称轴为直线1x =．（1）抛物线的表达式；（2）若抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点（点'A 在点'B 左侧），要使'2ABC A BC S S ∆∆=，求所有满足条件的抛物线'L 的表达式．22．（8分）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x (分)与费用y (元)之间的函数关系如图所示．有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元；分别求出①，②两种收费方式中y 与自变量x 之间的函数表达式；请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．23．（8分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且∠ECF ＝45°，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ．，GH ．填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．24．（10分）在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．等级得分x（分）频数（人）A 95＜x≤100 4B 90＜x≤95mC 85＜x≤90nD 80＜x≤8524E 75＜x≤808F 70＜x≤75 4请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是．其中m＝，n＝．（2）扇形统计图中，求E等级对应扇形的圆心角α的度数；（3）我校九年级共有700名学生，估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有多少人？（4）我校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．25．（10分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．26．（12分）先化简代数式22321(1)24a aa a-+-÷+-，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．27．（12分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B试题解析：①∵二次函数的图象的开口向下，∴a <0，∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c >0，∵二次函数图象的对称轴是直线x =1，12b a，∴-= ∴2a +b =0，b >0 ∴abc <0，故正确；②∵抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，24b ac ∴>， 故正确；③∵二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =0时的点与当x =2时的点对称，即当x =2时，y >0∴4a +2b +c >0，故错误；④∵二次函数图象的对称轴是直线x =1，12b a，∴-=∴2a +b =0， 故正确．综上所述，正确的结论有3个.故选B.2、B【解析】A 、a+3＜0是随机事件，故A 错误；B 、a ﹣3＜0是必然事件，故B 正确；C 、3a ＞0是不可能事件，故C 错误；D 、a 3＞0是随机事件，故D 错误；故选B ．点睛：本题考查了随机事件.解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件指一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.3、A直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案．【详解】-1的相反数为1，则1的绝对值是1．故选A ．【点睛】本题考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题的关键．4、B【解析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A 、两个全等的三角形一定相似，正确；B 、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C 、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D 、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.故选B ．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．5、B【解析】【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．【详解】∵原正方形的周长为acm ， ∴原正方形的边长为4a cm ， ∵将它按图的方式向外等距扩1cm ， ∴新正方形的边长为（4a +2）cm ， 则新正方形的周长为4（4a +2）=a+8（cm ）， 因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm ，故选B ．【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．6、C【解析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点()2,4P -，与点P 关于y 轴对称的点的坐标是()2,4，故选：C ．【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7、A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.【详解】A 、是中心对称图形，故此选项正确；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是中心对称图形，故此选项错误，故选A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.8、C【解析】根据等腰三角形的性质可得BE=12BC=2，再根据三角形中位线定理可求得BD 、DE 长，根据三角形周长公式即可求得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=AC=3，AE 平分∠BAC ，∴BE=CE=12BC=2， 又∵D 是AB 中点，∴BD=12AB=32， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12AC=32，∴△BDE的周长为BD+DE+BE=32+32+2=5，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．9、C【解析】由平行线的判定定理可证得，选项A，B，D能证得AC∥BD，只有选项C能证得AB∥CD．注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A.∵∠3=∠A，本选项不能判断AB∥CD，故A错误；B.∵∠D=∠DCE，∴AC∥BD.本选项不能判断AB∥CD，故B错误；C.∵∠1=∠2，∴AB∥CD.本选项能判断AB∥CD，故C正确；D.∵∠D+∠ACD=180°，∴AC∥BD.故本选项不能判断AB∥CD，故D错误.故选：C.【点睛】考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键.10、D【解析】根据圆周角定理的推论，得∠B=∠D．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．在直角三角形ACD中求出∠D．则sinD=∠D=60°∠B=∠D=60°．故选D ． “点睛”此题综合运用了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义，解答时要找准直角三角形的对应边． 11、D【解析】A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项错误；B 、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项错误；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项错误；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项正确．故选 D ．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.12、B【解析】 解：5622180n ππ⨯=，解得n=150°．故选B ． 考点：弧长的计算．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、3【解析】连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】连接OQ ．∵PQ 是O 的切线，∴OQ PQ ⊥；∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，∴PQ 的长最短，∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==， ∴28AB OA ==， ∴4OA OB OP AB⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=.故答案为：23【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB ⊥时，线段PQ 最短是关键．14、a 1+1ab+b 1=（a+b ）1【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 1，b 1，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )1，所以a 1＋1ab ＋b 1＝(a ＋b )1．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．15、 (x ﹣1)(x ﹣2)【解析】根据方程的两根，可以将方程化为：a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝0（a ≠0）的形式，对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果．【详解】解：已知方程的两根为：x 1＝1，x 2＝2，可得：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0，∴x 2+bx +c ＝（x ﹣1）（x ﹣2），故答案为：（x ﹣1）（x ﹣2）.【点睛】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数），若方程的两根是x1和x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）16、3【解析】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3.考点：解直角三角形．17、5.【解析】试题分析：根据绝对值意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0，所以-5的绝对值是5.故答案为5.考点：绝对值计算.18、3 10【解析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出2个球是黄球的概率是3 10．故答案为：3 10．【点睛】本题考查了概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）x≥65；（1）x≤1；（3）答案见解析；（4）65≤x≤1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解:（I）解不等式（1），得x≥65；（II）解不等式（1），得x≤1；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为：65≤x≤1．故答案为x≥65、x≤1、65≤x≤1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20、（1）DF=EF+BE．理由见解析;（2）CF=1．【解析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AEF≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（2）根据旋转的性质的AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；关键全等三角形的性质得到FG=EF，利用勾股定理可得CF.∵AB=AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合，∵∠ADC=∠ABE=90°，∴点C 、D 、G 在一条直线上，∴EB=DG ，AE=AG ，∠EAB=∠GAD ，∵∠BAG+∠GAD=90°，∴∠EAG=∠BAD=90°，∵∠EAF=15°，∴∠FAG=∠EAG ﹣∠EAF=90°﹣15°=15°，∴∠EAF=∠GAF ，在△EAF 和△GAF 中，，∴△EAF ≌△GAF ，∴EF=FG ，∵FD=FG+DG ，∴DF=EF+BE ； （2）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°得△ACG ，连接FG ，如图2，∴AG=AE ，CG=BE ，∠ACG=∠B ，∠EAG=90°，∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，∴FG 2=FC 2+CG 2=BE 2+FC 2；又∵∠EAF=15°，而∠EAG=90°，∴∠GAF=90°﹣15°，在△AGF 与△AEF 中，，∴△AEF ≌△AGF ，∴EF=FG ，∴CF 2=EF 2﹣BE 2=52﹣32=16，∴CF=1．“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．21、（1）()214y x =--；（2）()()2234;74y x y x =--=--． 【解析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据题意知()20A m '-，，根据三角形面积公式列方程即可求解．（1）根据题意得：1230b a a b ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩， 抛物线的表达式为：()222314y x x x =--=--；（2）∵抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线L 的对称轴为直线1x =∴抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+，∵抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点且点'A 在点'B 左侧，∴A '的横坐标为：121m m +-=-∴()10A m '-，， 令0y =，则2230x x --=，解得：1213x x =-=，，令0x =，则3y =，∴点A B 、的坐标分别为()10A -，，()30B ，，点C 的坐标为()03，， ∴1143622ABC C SAB y =⨯⨯=⨯⨯=， ∵132A BC ABC S S '==, ∴132A BC C S AB y '=⨯⨯'=，即113332m --⨯=， 解得：2m =或6m =，∵抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+，∴抛物线'L 的表达式为()234y x =--或()274y x =--． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，第(2)问的关键是得到抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+．22、 (1)① 30；（2）y 1＝0.1x ＋30，y 2＝0.2x ；（3）当通话时间少于300分钟时，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间为300分钟时，选择通话方式①，②花费一样．【解析】（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可．解：（1）①；30；（2）设y 1=k 1x+30，y 2=k 2x ，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可：500k 1+30=80，∴k 1=0.1，500k 2=100，∴k 2=0.2故所求的解析式为y 1=0.1x+30； y 2=0.2x ；（3）当通讯时间相同时y 1=y 2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；当x=300时，y=1．故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．23、（1）=；（2）结论：AC 2＝AG •AH ．理由见解析；（3）①△AGH 的面积不变．②m 的值为83或2或8﹣．. 【解析】（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=43°，∠ACH+∠ACG=43°，即可推出∠AHC=∠ACG ；（2）结论：AC 2=AG•AH ．只要证明△AHC ∽△ACG 即可解决问题；（3）①△AGH 的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ＝CD ＝DA ＝4，∠D ＝∠DAB ＝90°∠DAC ＝∠BAC ＝43°，∴AC∵∠DAC ＝∠AHC +∠ACH ＝43°，∠ACH +∠ACG ＝43°，∴∠AHC ＝∠ACG ．故答案为＝．（2）结论：AC 2＝AG •AH ．理由：∵∠AHC ＝∠ACG ，∠CAH ＝∠CAG ＝133°，∴△AHC ∽△ACG ，∴AH AC AC AG=，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝12•AH•AG＝12AC2＝12×（42）2＝1．∴△AGH的面积为1．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴12 BC BEAH AE==,∴AE＝23AB＝83．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴BE BCAE AH=＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.3．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝43°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.3°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EM2m，∴m+2m＝4，∴m＝4（2﹣1），∴AE＝4﹣42﹣1）＝8﹣2，综上所述，满足条件的m的值为83或2或8﹣2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24、（1）80，12，28；（2）36°；（3）140人；（4）1 6【解析】（1）用D组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；用样本容量乘以B组所占的百分比得到m的值，然后用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到n的值；（2）用E组所占的百分比乘以360°得到α的值；（3）利用样本估计整体，用700乘以A、B两组的频率和可估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）24÷30%=80，所以样本容量为80；m=80×15%=12，n=80﹣12﹣4﹣24﹣8﹣4=28；故答案为80，12，28；（2）E 等级对应扇形的圆心角α的度数=880×360°=36°； （3）700×12+480=140， 所以估计体育测试成绩在A 、B 两个等级的人数共有140人；（4）画树状图如下：共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，所以恰好抽到甲和乙的概率=21=126． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．也考查了统计图．25、（1）①点C 的坐标为（－33，9）；②滑动的距离为6（3﹣1）cm ；（2）OC 最大值1cm.【解析】试题分析：（1）①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），过C 作CE ⊥x 轴，CD ⊥y 轴，垂足分别为E ，D ，证得△ACE ∽△BCD ，利用相似三角形的性质解答即可． 试题解析：解：（1）①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，如图1：在Rt △AOB 中，AB=1，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，CD=3，②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=1×cos∠BAO=1×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=1在△A'O B'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2=12，解得：x=6（﹣1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时OC=1，故答案为1．考点：相似三角形综合题．26、21aa--，2【解析】试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a的值时，不能使原分式没有意义，即a不能取2和－2.试题解析：原式=232aa+-+·2(2)(2)(1)a aa+--=21aa--当a=0时，原式=21aa--=2.考点：分式的化简求值.27、（1）见解析；（2）图见解析；1 4 .【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△A2B2C2如图所示．∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为12．∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（12）2=14．。
上海市浦东新区2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解.【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 3．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.4．若集合{}10A x x =-≤≤，01x B xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （ ） A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1- 【答案】A【解析】【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】 解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<， 则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.6．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B． C ．73 D．3【答案】D【解析】【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A1B．25- C．D．1 【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM-，求得结果.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 8．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 【答案】B【解析】【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到a b的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论. 【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+=， 依题意240,3k k ∆=-==，a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b+=的焦距2=，22222411,3,433b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143y x -=. 故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.9．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】【分析】 根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x =为()()g x f x kx =-的一个零点；对于当0x <时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x <即可求得k 的范围；对于当0x >时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k 的范围.综合后可得k 的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数()()g x f x kx =-的零点，即()f x kx =.由图像可知，(0)0f =，所以0x =是0()f x kx -=的一个零点，当0x <时，21()2f x x x =-+，若0()f x kx -=， 则2102x x kx -+-=，即12x k =-，所以102k -<，解得12k <； 当0x >时，()ln(1)f x x =+， 则1()1f x x '=+，且()10,11x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.10．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C【解析】【分析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED n 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以221110834522SED S SE ED x x ∆=⋅=++. 因为222210810832336x x x x+≥⋅=， 当且仅当6x =，6y =时等号成立，所以19364522SED S ∆≥+=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.11．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i +=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15【答案】B【解析】 17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 12．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin x y x -=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ， 当x π=时，sin 0x x=，排除D ， 故选：A ．本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年上海市高考数学试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. y =−3xB. y =x 3C. y =log 3xD. y =3x2. 已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程A.B.C.D.3. 已知f(x)=3sinx +2，存在任意的x 1∈[ 0,π2]，都存在x 2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x +θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是A. 3π5B. 4π5C. 6π5D. 7π54. 已知x 1、y 1、x 2、y 2、x 3、y 3为6个不同的实数，满足 ①x 1<y 1，x 2<y 2，x 3<y 3， ②x 1+y 1=x 2+y 2=+， ③x 1y 1+x 3y 3=2x 2y 2，以下选项值恒成立的是A. ．2x 2<x 1+x 3B. 2x 2>x 1+x 3C. x 22<x 1x 3D. x 22>x 1x 3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 已知z 1=1+i ，z 2=2+3i ，则z 1+z 2=_____． 6. 已知A ={x|2x ≥1}，B ={ −1,0，1 }，则A B =_____． 7. 已知圆x 2+y 2+2 x −4y =0，则该圆的圆心坐标为_____． 8. 如图，正方形A B C D 的边长为3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____． 9. 已知f(x)=3x +2，则f −1(1)=_____．10. 已知二项式(x +a)5展开式中，的系数为80，则a =_____． 11. 已知实数 x , y 满足{x ≤32x −y −2≥03x +y −8≥0，则z =x −y 的最大值为_____．12. 已知无穷等比数列 {a n } 和 {b n }，满足a 1=3，b n =a 2n ，若a 2n 的各项和为9，则数列{b n }的各项和为_____．13. 在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB ，C 是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC 的面积的取值范围为_____．14.有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____．15.已知抛物线y2=2px(p>0)，若第一象限的 A ,B在抛物线上，焦点为F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB的斜率为_____．16.已知a i∈N∗(i=1,2，⋯，9)，对a k=a k−1+1或a k=a k+1 −1(2≤k≤8)中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+⋯+a9的最小值为_____．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角．18.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2c．(1)若A=2π，求△ABC的面积；3(2)若2sinB−sinC=1，求△ABC的周长．19.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2)哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%．20. 已知椭圆 Τ：x 22+y 2=1，F 1，F 2是左右焦点，直线且 l 过点P(m,0) (m <−√2)交椭圆 Τ于A ，B 两点，点A ，B 在 x 轴上方，点A 在线段BP 上 (1)若P 为上顶点，|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求m 的值；(2)若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线 l 的方程； (3)对于任意点P ，是否存在唯一的直线 l ，使得F 1⃗⃗⃗ A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出直线 l 的斜率，若不存在，请说明理由．21. 对于定义域为R 的函数f(x)以及非空数S ：若对任意x 1，x 1∈R ，当x 1−x 2∈R 时，都有f(x 1)−f(x 2)∈S ，则称f(x)是S 关联的． (1)若f(x)=2 x +1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是 [0,1] 关联的； (2)设f(x)是 { 3 } 关联的，当x ∈[0,3]， f(x)=x 2−2x ，解不等式：2≤f(x)≤3； (3)证明：f(x)既是 { 1 } 关联的，又是关联的，当且仅f(x)是 [1,2] 关联的．答案解析一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. y =−3xB. y =x 3C. y =log 3xD. y =3x【答案】A【解析】幂函数y =x 3在R 上单调递增，对数函数y =log 3x 与指数函数y =3x ，既不是奇函数也不是偶函数，所以选项 B ，C ，D 都不符合题意，故选：A ． 2.已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程A.B.C.D.【答案】B 【解析】当t =0，x =0，y =0，所以过原点，排除A ， 当t =1时，x =−1，y =0，排除C 和D ， 当x =3t −4t 3=0，t 1=0，t 2=−√32，t 3=√32，则y 1=0，y 2=−√32，y 3=√32，故选：B ．3.已知f(x)=3sinx +2，存在任意的x 1∈[ 0,π2]，都存在x 2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x +θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是A. 3π5B. 4π5C. 6π5D. 7π5【答案】B【解析】【解析】由题意知，x 1是任意性，x 2是存在性，设f(x)=3sinx +2 的值域为A ，f(x)=2f(x +θ)+2的值域为B ，则A ⊆B ，A =[2,5]，对于选项A ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +35π)+6，B ≈[4.14,11.70]，不符合A ⊆B ，排除A ，对于选项B ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +45π)+6，B ≈[1.14,9.52]，符合A ⊆B ，B 项正确，对于选项C ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +65π)+6，B ≈[1.1,2.5]，不符合A ⊆B ，排除C ，对于选项D，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+75π)+6，不符合A⊆B，故选：B．4.已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足 ①x1<y1，x2<y2，x3<y3， ②x 1+y1=x2+y2=+， ③x1y1+x3y3=2x2y2，以下选项值恒成立的是A. ．2x2<x1+x3B. 2x2>x1+x3C. x22<x1x3D. x22>x1x3【答案】A【解析】【解析】方法：利用凹凸性构造函数由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=k，并令f(x)=x(k−x)=−x2+kx，则x1y1=x1(k−x1)=f(x1)，同理x2y2=f(x2)，x3y3=f(x3)，条件 ③转化为f(x1)+f(x3)2=f(x2)，考虑到函数f(x)为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，因此f(x1)+f(x3)2=f(x2)，由条件 ①可得，x i<x1+y i2=k2(i=1,2，3)，且函数f(x)在(−∞,k2)上单调递增，因此f(x2)<x2<x1+x32，即2x2<x1+x3恒成立，故选：A．方法2：特殊值排除法由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=9，并令x1=1，x2=2，x3=4，满足条件，显然选项B，C，D均错误，故选：A．二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知z1=1+i，z2=2+3i，则z1+z2=_____．【答案】3+4i．【解析】【解析】+=1+2+(1+3)i=3+4i，故答案为：3+4i．6.已知A={x|2x≥1}，B={−1,0，1}，则A B=_____．【答案】{−1,0}．【解析】【解析】A ={x |x ≤12}，则 A ∩B = { −1,0 }，故答案为：{ −1,0 }． 7.已知圆x 2+y 2+2 x −4y =0，则该圆的圆心坐标为_____． 【答案】( 1,2 )．【解析】【解析】x 2+y 2+2 x −4y =0，配方化简得(x −1)2+(y −2)2= 5，故答案为：(1,2 )．8.如图，正方形A B C D 的边长为3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____． 【答案】9.【解析】【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2×3×√22=9，故答案为：9． 9.已知f(x)=3x +2，则f −1(1)=_____． 【答案】−3．【解析】【解析】令3x +2=1，解得x =−3，故答案为：−3． 10.已知二项式(x +a)5展开式中，的系数为80，则a =_____． 【答案】2.【解析】【解析】由题意可知，二项展开式的通项为T k+1=C 5k x 5−k a k，所以C 53a 3=80，所以a =2，故答案为：2．11.已知实数 x , y 满足{x ≤32x −y −2≥03x +y −8≥0，则z =x −y 的最大值为_____．【答案】4.【解析】【解析】由题意作出可行域，如图所示：当直线y =x −z 经过点A(3,−1)时，z =x −y 的最大值为4， 故答案为：4．12.已知无穷等比数列 {a n } 和 {b n }，满足a 1=3，b n =a 2n ，若a 2n 的各项和为9，则数列{b n }的各项和为_____． 【答案】185．【解析】【解析】由题意可知，设等比数列的公比为q ，则a 11−q =31−q =9，解得q =23，所以等比数列{b n }的各项和T n =b11−q 2=a21−q 2=a 1q1−q 2=185，故答案为：185．13.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB ，C 是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC 的面积的取值范围为_____． 【答案】[2,√5].【解析】【解析】过C 作CD ⊥AB ，过点C 作CE ⊥⊙O ， 由三垂线定理可知DE ⊥AB ，CD =√CE 2+DE 2， 因为0≤DE ≤1，所以2≤CD ≤√5， 故S △ABC =CD ∈[ 2,√5 ]， 故答案为：[ 2,√5 ].14.有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____． 【答案】23．【解析】P =C 41⋅A 32C 42⋅C 42=23，故答案为：23．15.已知抛物线y 2=2px ( p >0 )，若第一象限的 A ,B 在抛物线上，焦点为 F ，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB 的斜率为_____． 【答案】√52．【解析】由焦半径公式得，|AF|=x 1+p 2=2，|AF|=x 2+p2= 4，|AB|= 3，可知x 2−x 1= 2，又因为|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√22+(y 2−y 1)2= 3，所以y 2−y 1=√5， 因为x 2−x 1=y 22−y 122p= 2，(y 2−y 1)(y 2+y 1)2p = 2， 解得y 2+y 12p=√5，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1=y 2−y 1y 22−y 122p=2py2+y 1=√52，故答案为：√52．16.已知a i ∈N ∗(i =1,2，⋯，9)，对a k =a k−1+1或a k =a k+1 −1( 2≤k ≤8 )中有且仅有一个成立，且a 1=6，a 9=9，则a 1+a 2+⋯+a 9的最小值为_____．【答案】31．【解析】若a1=6，a2=1，a3=2，a4=1，a5=2，a6=1，a7=2，a8=8，a9=9，此时a1+a2+⋯+a9=32，若a1=6，a2=7，a3=1，a4=2，a5=1，a6=2，a7=1，a8=2，=9，此时a1+a2+⋯+a9=31，故a1+a2+⋯+a9的最小值为31，故答案为：31．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角．【答案】(1)2；(2)arcsin√2613．【解析】(1)V C−PAD=V P−ADC13×S△ADC×ℎ=13×2×3=2；(2)解法1：因为O1B1⊥A1C1，O1B1⊥AA1，A1C1∩A1A A1，所以O 1B1⊥平面ACC1A1，所以θ=B1AO1为AB1与平面ACC1A1所成的角，在△B1AO1中，O1B1=√2，AB1=√13，sinθB1O1AB1√2√13√2613，θ=arcsin√2613，直线AB1与平面ACC1A1所成角的大小为arcsin√2613．解法2：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标A( 2,0，0 )，B 1( 2,2，3 )，D( 0,0，0 )，B( 2,2，0 )，A 1(2,0，3 )，C ( 0,2，0 )， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,2，3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 2,2，0 )，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −2,2，0 )， 设n⃗ =(u,v ，w)为平面ACC 1A 1的一个法向量， 则n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3w =0，n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2u +2v =0， 解得w =0，u =v ，取 u =1，n (1,1，0)， 设直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，sinθ=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=2√13×√2=√2613，θ=arcsin√2613，故直线AB 1与平面ACC 1A 1所成角的大小为arcsin √2613．18.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，b =2c ． (1)若A =2π3，求△ABC 的面积；(2)若2sinB −sinC =1，求△ABC 的周长． 【答案】 (1)9√314；(2)3+4√2+√5． 【解析】(1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2 b c cosA ，解得c 297，故S ΔABC 12bcsinA12×2 c 2×√329√314∵b sinBc sinC，b =2c ，∴ sinB =2sinC ，∵2sinB −2sinC =1，保存编辑 ∴sinC13，sinB 23， ∴cosC =2√23，cosB =√53， ∴sinA =sin(B +C)=4√29±√59， ∵0<sinA ≤1， ∴sinA =4√2−√59，∴a⋅sinC sinA 4√2+√53， ∴△ABC 的周长为：a +b +c =3+4√2+√5．19.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2) 哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%． 【答案】 (1)31.5亿元； (2)2027． 【解析】前20个季度的营业额为等差数列，首项为1.1，公差为0.05，所以营业额的总和为：(1.1+1.1+0.05×19)×202=31.5亿元；设第n 个季度的营业额为a n ，a n =a 1+(n −1)d =0.05n +1.05， 设第n 个季度的利润为b n ，则b n b 1⋅q n−1 0.16 1.04n−1，则有a n 18%< b n ，解得n ≥26， 故在2027年第二季度可超过．20.已知椭圆 Τ：x 22+y 2=1，F 1，F 2是左右焦点，直线且 l 过点P(m,0) (m <−√2)交椭圆 Τ于A ，B 两点，点A ，B 在 x 轴上方，点A 在线段BP 上 (1)若P 为上顶点，|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求m 的值； (2)若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线 l 的方程； (3)对于任意点P ，是否存在唯一的直线 l ，使得F 1⃗⃗⃗ A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出直线 l 的斜率，若不存在，请说明理由．【答案】(1)m =−1−√2(2)y =13(x +4√63)； (3)存在唯一的k =√12m 2−4．【解析】(1)利用椭圆几何性质∵|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a =√2， ∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+c =√2+1， ∴m =−1−√2 (2)利用方程思想设直线l 方程为y =k (x −m)，设A(x 1,y 1)(x 1<0)，则F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 1−1)+y 12=x 12−1 +y 12=13， ∵x 22+y 2=1，∴y 12=1−x 122，代入得F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 12−1+y 12=x 12+1−x 122−1=13，解得：x 1=−√63，y 1=√63，即直线l ：√63=k (−√63−m) ①，由点到直线距离得：d =|km|√1+k2=4√1515 ②， 联立 ①和 ②得{m =−4√63k =13，l 的方程为：y =13(x +4√63)；(3)联立方程消元法设直线l 方程为y =k(x −m)(斜率必存在，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则F 1A =(x 1−1,y 1)，F 2B =(x 2−1,y 2)， ∵F 1A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x 1+1)⋅y 2=(x 2+1)⋅y 1， ∴(x 1+1)k (x 2−m)=(x 2−1)k(x 1−m)， 化简得x 2+x 1+m(x 2−x 1)−2m =0 ①， 联立得{y =k(x −m)x 2+2y 2=2，∴(1+2k2)x2−4mk2x+2k2m2−2=0，∴{x1+x2=4mk21+2k2x1x2=2k2m2−21+2k2，代入①得，4mk21+2k2+m(x2−x1)−2m=0，∴x2−x1=21+2k2 ②，∴(x2−x1)2=−4x1x2=16k2−8k2m2+8(1+2k2)2，代入②得：4k2+2k2m2+1=0，故k2=12m2−4，对于任意一个m<−√2，存在唯一的k=√12m2−4，即直线有且只有一条．21.对于定义域为R的函数f(x)以及非空数S：若对任意x1，x1∈R，当x1−x2∈R时，都有f(x1)−f(x2)∈S，则称f(x)是S关联的．(1)若f(x)=2 x+1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是[0,1]关联的；(2)设f(x)是{3}关联的，当x∈[0,3]，f(x)=x2−2x，解不等式：2≤f(x)≤3；(3)证明：f(x)既是{1}关联的，又是关联的，当且仅f(x)是[1,2]关联的．【答案】(1)关联，不关联；(2)[1+√3,5]；(3)见解析．【解析】(1)一方面，而则另一方面，x1−x2∈[0,1]，f(x1)−f(x2)=2(x1−x2)∈[0,2]，f(x1)−f(x2)∉[0,1]，故f(x)=2 x+1是关联的，[0,1]不关联；(2)f(x)是{3}关联的，则x1−x2=3，f(x1)−f(x2)=3，故，则当，=(x−3)2+(x−3)+3=x2−8x+18，结合图像可知，2≤f(x)≤3分别在[0,3]，[3,6]有解， ①x∈[0,3]，2≤x2−2 x≤3，则1+√3≤x<3， ②x∈[3,6]，2≤x2−8 x+18≤3，则3≤x≤5，综上可知：不等式2≤f(x)≤3的解集为[1+√3,5]．(3)一方面，若f(x)是{1}关联的，且是关联的，则f(x+1)=f(x)+1，并且f(x)为递增函数，所以对于x1−x2∈[1,2]，1=f(x2+1)−f(x2)≤f(x1)−f(x2)≤f(x2+2)−f(x2)= 2，即f(x)是[0,3]关联的，另一方面，若f(x)是[1,2]关联的，则x1−x2∈[1,2]，，则，，故，可得，故f(x)是{1}关联的，再证f(x)是关联的， ①当，则，此时， ②当，，n∈N∗，则有，，则．综合 ①和 ②可知，f(x)是关联的．。
2021年上海市浦东新区中考数学调研试卷(5月份)(附答案详解)
2021年上海市浦东新区中考数学调研试卷（5月份）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列等式正确的是()A. x3⋅x−1=x−3B. x3⋅x−1=x2C. x3÷x−1=x2D. x3÷x−1=x−32.无理数2√6的值在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间3.如果a>b，那么下列各式中一定正确的是()A. c+a>c+bB. c−a>c−bC. ac>bcD. a2>b24.为选拔3位学生参加数学竞赛，某校将在包括小明在内的7位学生中根据成绩进行选拔，成绩最好的3位学生入选.现已知这7位学生的成绩都不相同，如果小明根据自己的成绩，要想知道自己能否进入前三名，那么只需要知道这7个成绩的()A. 最高分B. 最低分C. 平均分D. 中位数5.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是确定事件的为()A. 点数为1B. 点数为3C. 点数为5D. 点数为76.下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：4−12=______ ．8.太阳离地球约1500000000000米，这个数用科学记数法表示为______ ．9.不等式组{x−3<03x+5x≥1的解集是______ ．10.方程√3−x+3=x的解是______ ．11.如果一次函数的图象平行于直线y=2x，且与y轴相交于点(0,−5)，那么这个一次函数的解析式是______ ．12.已知二次函数y=−x2+4x图象的最高点是______ ．13. 为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过几天，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼______ 条.14. 某商店4月份销售的鞋子部分情况如表：尺寸(码) 36 37 38 39 40 41 数量(双)151317242016根据这组数据可知，这个月销售36到41码鞋子尺寸的众数是______ ． 15. 点G 是△ABC 的重心，GD//AB ，交BC 于点D ，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 表示为______ ． 16. 已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 的平分线分别为AD 和BE ，那么直线AD与BE 所夹的角等于______ 度.17. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3,4)，以2为半径的圆A 与以r 为半径的圆O 相交，那么圆O 的半径r 的取值范围是______ ． 18. 如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，BM 是腰AC 上的中线，且BM =BC ，将△BCM 沿直线BM 翻折，点C 落在△ABC 所在平面内的点D 处，如果BC =7，那么AD = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 先化简，再求值：4x 2−4+12−x ，其中x =√5−2．20. 解方程组：{x −y =3x 2+xy =2．21.已知：如图，圆O是等腰△ABC的外接圆，AB=AC，D是底边BC延长线上一点，CD=12BC，AB=10，tanD=23.求：(1)线段BC的长；(2)圆O的半径．22.在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA和折线OBCD所示．(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案)(2)起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．23.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE=BF．(1)求证：矩形ABCD是正方形；(2)联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF=∠ABE．24.已知抛物线y=ax2+bx−2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB=2，点P的横坐标为m．(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当m=2时，求抛物线的表达式；(3)如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．25.已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，过点B作直线l//AN，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，交直线l于点D点E(点D、点E分别在点B的左侧和右侧)，联结CE并延长，交射线AM于点F.联结FP，，AB=5，AP=x，BE=y．交BE于点G.cosA=35(1)求证：BG=EG；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为5√2的圆O2与圆P的圆心距．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.x3⋅x−1=x3−1=x2，故本选项不合题意；B.x3⋅x−1=x3−1=x2，故本选项合题意；C.x3÷x−1=x3−(−1)=x4，故本选项不合题意；D.x3÷x−1=x3−(−1)=x4，故本选项不符合题意．故选：B．分别根据同底数幂的乘法除法法则，根据法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘法除法法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．2.【答案】C【解析】解：(2√6)2=22×(√6)2=4×6=24，∵16<24<25，∴4<2√6<5．故选：C．先计算出(2√6)2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出2√6的范围即可．本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出(2√6)2是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：A.因为a>b，所以c+a>c+b，故本选项符合题意；B.因为a>b，所以−a<−b，所以c−a<c−b，故本选项不合题意；C.不妨设c=−1，则ac<bc，故本选项不合题意；D.不妨设a=1，b=−2，则a2<b2，故本选项不合题意；故选：A．根据不等式的性质逐一进行判断即可．不等式的性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．4.【答案】D【解析】解：因为3位同学的成绩肯定是7位同学中最高成绩，而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入前三名．故选：D．由于选3位同学参加数学竞赛，共有7位同学参加期中考试，故应根据中位数的意义分析．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5.【答案】D【解析】解：A、点数为1是随机事件，可能发生，也可能不发生，故不合题意；B、点数为3是随机事件，可能发生，也可能不发生，故不合题意；C、点数为5是随机事件，可能发生，也可能不发生，故不合题意；D、点数为7是不可能事件，故符合题意，故选：D．抛一枚正方体骰子，可能出现的数字为：1，2，3，4，5，6．本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件三类，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．6.【答案】D【解析】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：D．利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质，难度不大．7.【答案】12【解析】解：原式=√14=1，2故答案为：1．2根据分数指数幂以及负整数指数幂的意义即可求出答案．本题考查分式指数幂，解题的关键是正确理解分数指数幂的意义，本题属于基础题型．8.【答案】1.5×1012【解析】解：1500000000000=1.5×1012．故答案为：1.5×1012．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．9.【答案】−2.5≤x<3【解析】解：解不等式x−3<0，得：x<3，≥1，得：x≥−2.5，解不等式3x+5x则不等式组的解集为−2.5≤x<3，故答案为：−2.5≤x<3．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.【答案】x=3【解析】解：移项得，√3−x=x−3，方程两边平方得，3−x=x2−6x+9，移项得，x2−5x+6=0，则(x−2)(x−3)=0，则x−2=0或x−3=0，x1=2，x2=3，经检验，x=3是原方程的解，所以，原方程的解为：x=3，故答案为：x=3．先移项，再把方程两边平方去根号后求解，再检验得出原方程的解．本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．11.【答案】y=2x−5【解析】解：∵函数y=kx+b的图象平行于直线y=2x，∴k=2，设一次函数的解析式为y=2x+b，∵与y轴交于点(0,−5)，∴b=−5，∴此一次函数的解析式为y=2x−5．故答案为：y=2x−5．根据互相平行的直线的解析式的k值相等求出k=2，然后设一次函数的解析式为y= 2x+b，再把与y轴的交点坐标代入求出b的值，从而得解．本题考查了两直线相交的问题，熟记互相平行的直线的解析式的k值相等并求出k值是解题的关键．12.【答案】(2,4)【解析】解：由题意得，y=−x2+4x=−(x2−4x+4)+4=−(x−2)2+4，二次函数图象的最高点的坐标为(2,4)，故答案为：(2,4)．利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点的坐标；本题考查了二次函数的最值，熟记二次函数顶点坐标的求解方法是解题的关键．13.【答案】240【解析】解：∵所抽取的样本中，带有标记的鱼所占比例为530=16，∴估计鱼塘中做标记的鱼所占比例约为16，据此可估计鱼塘中鱼的数量约为40÷16=240(条)，故答案为：240．先计算出所取样本中有标记的鱼所占比例，据此估计总体中带有标记的鱼的比例也如此，据此列式计算即可．本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14.【答案】39【解析】解：码号为39的鞋子销量最大，故众数为39；故答案为：39．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此结合表格信息即可得出答案．本题考查了众数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．15.【答案】13n⃗−13m⃗⃗⃗【解析】解：如图，连接AG交BC于T．∵G是△ABC的重心，∴BT=CT，AG=2GT，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ +n ⃗ ，∴BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(n ⃗ −m ⃗⃗⃗ )， ∵GD//AB ，∴BDDT =AGGT=2， ∴BD =23BT ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13n ⃗ −13m ⃗⃗⃗ ， 故答案为：13n ⃗ −13m ⃗⃗⃗ ． 如图，连接AG 交BC 于T.利用三角形法则求出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(n ⃗ −m ⃗⃗⃗ )，再证明BD =23BT ，可得结论．本题考查三角形的重心，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是理解三角形重心的性质，灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】45或135【解析】解：设AD 与BE 交于点M ，如图所示．在△ABC 中，∠C =90°，∴∠ABC +∠BAC =180°−∠C =90°．∵AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠BAD =12∠BAC ，∠ABE =12∠ABC ． ∴∠BMD =∠BAM +∠ABM =12∠BAC +12∠ABC =12(∠BAC +∠ABC)=12×90°=45°． ∴∠AMB =180°−∠BMD =180°−45°=135°．故答案为：45或135．设AD 与BE 交于点M ，在△ABC 中，利用三角形内角和定理可得出∠ABC +∠BAC =90°，利用角平分线的定义可得出∠BAD =12∠BAC ，∠ABE =12∠ABC ，再利用三角形的外角性质即可求出∠BMD 的度数，将其代入∠AMB =180°−∠BMD 中可求出∠AMB 的度数． 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 17.【答案】3<r <7【解析】解：如图，作直线OA，交⊙A于B，C，过A作AM⊥x轴于M，∵点A的坐标为(3,4)，∴AM=4，OM=3，由勾股定理得：OA=√32+42=5，∵⊙A的半径是2，∴OB=5−2=3，OC=5+2=7，∵以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，∴3<r<7，故答案为：3<r<7．作直线OA，交⊙A于B，C，过A作AM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OA，求出OB 和OC，再根据两圆相交得出答案即可．本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等知识点，能熟记圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键．18.【答案】72【解析】解：∵△BCM沿直线BM翻折得到△BMD，∴∠BCM=∠BMC=∠BMD=∠BDM，BD=BM=BC=7，又∵AB=AC，∴∠BCM=∠ABC=∠BMC=∠BMD=∠BDM，∵BM是腰AC上的中线，∴CM=AM，又∵DM=CM，∴AM=DM，∴∠ADM=∠DAM，又∵三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∴∠DMC=∠ADM+∠DAM=2∠ADM，∵∠ADM=12∠DMC=∠DMB=∠BCA，∠ADM=∠BCA，∠DAM=∠ABC，∴△MAD∽△ABC，又∵MA=12AC，∴AD=12BC=72，故答案为72．由翻折的性质可得BM=BC=BD，根据等腰三角形的性质，可以得出两个底角相等由三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和∠DMC=2∠ADM，根据相似三角形判定，两角对应相等可得△MAD∽△ABC，由相似三角形的性质MAAB =ADBC=12即可示AD的值．本题考查直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的性质以及折叠的性质．解本题的关键要熟练掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质和折叠的性质等．19.【答案】解：原式=4(x−2)(x+2)−1x−2=4(x−2)(x+2)−x+2(x−2)(x+2)=4−(x+2) (x−2)(x+2)=2−x(x−2)(x+2)=−1x+2．当x=√5−2时，原式=√5−2+2=−√55．【解析】化简分式，首先把分式的分母分解因式，确定各个分式的最简公分母，把两个分式通分，然后即可利用同分母的分式的加减即可求解．本题考查了分式的化简求值，关键是异分母分式的通分，约分时注意整体思想． 20.【答案】解：∵{x −y =3①x 2+xy =2②由①得：y =x −3③．将③代入②得：x 2+x(x −3)−2=0．∴2x 2−3x −2=0．∴(2x +1)(x −2)=0．∴2x +1=0或x −2=0．∴x 1=−12，x 2=2． 当x =−12时，y =−72．当x =2时，y =−1．原方程组的解为：{x 1=−12y 1=−72或{x 2=2y 2=−1．【解析】代入法消元求解．本题考查二元二次方程的解法，代入消元是求解本题的关键．21.【答案】解：(1)过A 作AE ⊥BC 于E ，∵AB =AC ，∴BE =CE ，∴AE 过圆心O ，∵CD =12BC ， ∴BE =CE =CD ，在Rt △AED 中，∵tanD =AE ED =AE 2BE =23，∴AE BE =43，设AE =4x ，BE =3x ，在Rt △BE 中，∴AB=√AE2+BE2=5x，∵AB=10，∴x=2，∴BC=2BE=2×3×2=12；(2)延长AO交⊙O于F，连接BF，则AF是⊙O的直径，∴∠ABF=90°，在Rt△ABE中，∵AE=4x，BE=3x，AB=5x，∴cos∠BAE=AEAB =45，在Rt△BEF中，∵cos∠BAE=ABAF，∴AF=ABcos∠BAE =1045=252，∴圆O的半径为254．【解析】(1)过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质证得BE=CE=CD，在Rt△AED中，由三角函数的定义求得AEBE =43，设AE=4x，BE=3x，在Rt△BE中，根据勾股定理求出x=2，进而求出BC；(2)延长AO交⊙O于F，连接BF，在Rt△BEF中，根据三角函数的定义求出AF，即可求得圆O的半径．本题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握三角函数的定义和等腰三角形的性质是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；(2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，小莹的速度为：800180=409(米/秒)，故线段OA的解析式为：y=409x，设线段BC的解析式为：y=kx+b，根据题意得：{60k+b=300180k+b=600，解得{k=2.5b=150，∴线段BC的解析式为y=2.5x+150，解方程409x=2.5x+150，得x=5407，故小梅在起跑后5407秒时被追及．【解析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；(2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，{∠ABF=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°BF=AE，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形；(2)由(1)可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∴DF=CE，∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，∴DF2=AF⋅AD，∴DFBC =DEEC，∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF=∠CEB，∵AB//CD，∴∠ABE=∠CEB，∴∠ABE=∠DEF．【解析】(1)根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADE=90°，进而证明∠ABF=∠DAE，得到△ABF≌△DAE，根据全等三角形的性质得到AB=AD，根据正方形的判定定理证明结论；(2)证明△FDE∽△BCE，根据相似三角形的性质得到∠DEF=∠CEB，根据平行线的性质证明．本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P 与y轴的平行线于点N，∵∠BAM+∠PAN=90°，∠PAN+∠APN=90°，∴∠BAM=∠APN，∴Rt△BMA∽Rt△ANP，∵tan∠APB=2，即两个三角形相似比为2，则BM=2AN=2m，AM=2PN=2×2=4，则点B的坐标为(−4,2m−2)；(2)当m=2时，则点B的坐标为(−4,2)，设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+2，则y=a(x+4)2+2，将点A的坐标代入上式得：−2=a(0+4)2+2，解得a=−14，故抛物线的表达式为y=−14(x+4)2+2=−14x2−2x−2；(3)如上图，点C 的坐标为(−4,0)；设直线AC 的表达式为y =sx +t ，则{0=−4s +t t =−2， 故直线AC 的表达式为y =−12x −2，∵四边形ACBP 是梯形，故直线AC//BP ，故设直线BP 的表达式为y =−12x +p ，将点P 的坐标代入上式得：y =−12(x −m)，将点B 的坐标代入上式得：2m −2=−12(−4−m)，解得m =83．【解析】(1)证明Rt △BMA∽Rt △ANP ，则两个三角形相似比为2，进而求解；(2)用待定系数法即可求解；(3)四边形ACBP 是梯形，故直线AC//BP ，故设直线BP 的表达式为y =−12x +p ，再用待定系数法即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25.【答案】(1)证明：∵BG//AP ，∴△FBG∽△FAP ，∴BG AP =FG FP ，同理可得△FEG∽△FCP ，∴FG FP =EG PC ，∴BG AP =EG PC ，∵AP =PC ，∴BG =EG ；(2)解：过点P 作PK ⊥DE 于K ，过点A 作AQ ⊥DE 于点Q ，连接PE ，∵DE//AP ，∴四边形APKG 为矩形，∴PK =AQ ，AP =QK ，∵cos∠BAP =cos∠ABQ =35，AB =5， ∴BQ =AB ⋅cos∠ABQ =35×5=3， ∴AQ =√AB 2−BQ 2=√52−32=4， ∴PK =4，∴KE =√PE 2−PK 2=√x 2−16， 又∵BK =QK −QB =x −3，∴BE =BK +EG =x −3+√x 2−16， ∴y =x −3+√x 2−16， 当圆P 过点B 时，AP =256， ∴定义域是x >256；(3)由题意得，BF =BE ，AF =AC ， ∴y +5=2x ，∵y =x −3+√x 2−16， ∴2x −5=x −3+√x 2−16， ∴x =5，∴BE =5，∴EG =52，∵半径为52√2，∴OG =52，PN =52−2=12， 当圆心O 在BE 下方时，第21页，共21页∴OP =√(4−52)2+(12)2=√102， 当圆心O 在BE 上方时，∴OP =√(4+52)2+(12)2=√1702． 综合以上可得OP 的长为√102或√1702．【解析】(1)证明△FBG∽△FAP ，得出比例线段BG AP =FG FP ，同理可得△FEG∽△FCP ，得出BG AP =EG PC ，则可得出结论；(2)过点P 作PK ⊥DE 于K ，过点A 作AQ ⊥DE 于点Q ，连接PE ，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；(3)由等腰三角形的性质得出y +5=2x ，解方程求出x =5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，两圆的位置关系，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a 、b 是实数，则a >b 是2a >2b 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 若某线性方程组的增广矩阵为(1282416)，则该线性方程组的解的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 不确定3. 下列命题中正确的是( )A. 三点确定一个平面B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l ⊥αD. 若a 、b 、c 是三条直线，a//b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面4. 已知函数f(x)={x 2,(x 为无理数)x,(x 为有理数)，则以下4个命题：①f(x)是偶函数；②f(x)在[0,+∞)上是增函数；③f(x)的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，g(x)=f(x)−a 存在奇数个零点．其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. n →∞lim n 2n+1=______．6. 半径为2的球的表面积为______．7. 抛物线x 2=−4y 的准线方程为______．8. 已知集合A ={x|x >0}，B ={x|x 2≤1}，则A ∩B =______．9. 已知复数z 满足z(1−i)=4(i 为虚数单位)，则|z|=______．10. 在△ABC 中，若AB =2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC =______．11. 函数f(x)=1+log 2x(x ≥4)的反函数的定义域为______．12. 在(x +√2)7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为______.(用数字作答)13. 正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE =AF ，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．14. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足∣∣∣a n+1S n 11∣∣∣=2，则数列{a n }的前n 项和为S n 为______． 15. 设函数f(x)=|x −a|−2x +a ，若关于x 的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为______．16. 对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =π2，A 1A =4，点M 为线段A 1A 的中点．(1)求直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 的体积；(2)求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．(结果用反三角表示)18. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω与f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，若f(A 2)=1，求sinB +sinC 的取值范围．19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n(n =1,2，3，…，12)个月对某种食材的需求总量S n (公斤)近似地满足S n ={635n(1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12).为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．(1)如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？(2)若每月初等量进货p(公斤)，为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20. 已知椭圆C 1：x 24+y 2=1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．(1)求椭圆C 1的焦距；(2)点Q(√2,√22)为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；(3)已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2−y 2=1在第一象限的交点为M(x M ,y M )，椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点(x,y)组成曲线C.若点N 是曲线C 上一动点，求NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21. 已知函数f(x)的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数．(1)判断f 1(x)=x 2−4x ，(x ∈[1,4])与f 2(x)=|x −1|+|x −2|，(x ∈[1,4])是否是非减函数？(2)已知函数g(x)=2x +a2x−1在[2,4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．(3)已知函数ℎ(x)在[0,1]上为非减函数，且满足条件：①ℎ(0)=0，②ℎ(x 3)=12ℎ(x)，③ℎ(1−x)=1−ℎ(x)，求ℎ(12020)的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a>b，必有2a>2b，反之若2a>2b，必有a>b，则a>b是2a>2b的充要条件，故选：C．根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a>b，必有2a>2b，反之若2a>2b，必有a>b，由充分必要条件的定义即可得答案．本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．3.【答案】D【解析】解：对于选项A：不共线的三点确定一个平面，故A错误，对于选项B：由墙角模型可知，显然B错误，对于选项C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不垂直，故C错误，对于选项D：因为a//b，所以a与b唯一确定一个平面，设为平面α，又c与a和b都相交，所以c也在平面α内，即直线a、b、c共面，故选项D正确，故选：D．利用平面的基本性质及推论可知A，B错误，D正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C错误．本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．4.【答案】B【解析】解：①因为f(x)={x 2,(x 为无理数)x,(x 为有理数)，所以f(1)=1，f(−1)=−1， 所以f(x)不是偶函数，故错误；②因为f(3)=3<f(√5)=5，所以f(x)在[0,+∞)不是增函数，故错误；③因为f(x)={x 2,(x 为无理数)x,(x 为有理数)，显然F(x)的值域中不含负无理数， 故f(x)的值域不为R ，故错误；④g(x)=f(x)−a 的零点即x =a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数，对于x =a ，x 为有理数，必有解x =a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x =±√a 或无解，故g(x)=f(x)−a 有三个零点或一个，故正确；故选：B ．①由偶函数的定义，举例即可判断；②举例即可判断；③F(x)的值域中不含负无理数，故可判断；④根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．5.【答案】12【解析】解：n →∞lim n 2n+1=n →∞lim 12+1n =12，故答案为：12．由n 2n+1=12+1n ，再利用极限运算法则即可得出．本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题．6.【答案】16π【解析】解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π故答案为：16π利用球的面积公式，直接求解即可．本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．7.【答案】y=1【解析】解：抛物线x2=−4y焦点在y轴的负半轴上，则p2=1，∴抛物线的焦点坐标为(0,−1)，准线方程：y=1，故答案为：y=1．由抛物线x2=−4y焦点在y轴的负半轴上，则p2=1，即可求得抛物线的准线方程．本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．8.【答案】(0,1]【解析】解：∵A={x|x>0}，B={x|−1≤x≤1}，∴A∩B=(0,1]．故答案为：(0,1]．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】2√2【解析】解：复数z满足z(1−i)=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2√2直接利用复数的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】√6【解析】解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．由三角形的内角和即B ，C 的值，求出A 角的值，再由正弦定理可得边BC 的值．本题考查正弦定理的应用，属于基础题．11.【答案】[3,+∞)【解析】解：函数f(x)=1+log 2x(x ≥4)的值域为[3,+∞)，故其反函数的定义域为[3,+∞)．直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】12【解析】解：因为(x +√2)7展开式的通项为T r+1=C 7r x 7−r (√2)r =C 7r 2r 2x 7−r ， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，而r ∈[0,7](r ∈N)，故有r =0，2，4，6满足题意，所以所求概率P =48=12，故答案为：12．先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 13.【答案】[0,1]【解析】解：取EF 中点为O ，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2， 因为正方形的边长为2，所以AO =√2,OE ∈[1,√2]，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,1]． 故答案为：[0,1]．由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．14.【答案】S n =2n+1−2【解析】解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ，数列{a n }满足∣∣∣a n+1S n 11∣∣∣=2，则有a n+1−S n =2， 当n =1时，有a 2−S 1=a 2−a 1=2，①当n =2时，有a 3−S 2=a 3−(a 1+a 2)=2，②联立①②可得：a 1=2，q =2，则数列{a n }的前n 项和为S n =a 1(1−q n )1−q =2n+1−2， 故答案为：S n =2n+1−2．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由∣∣∣a n+1S n 11∣∣∣=2变形可得a n+1−S n =2，令n =1和n =2可得a 2−S 1=a 2−a 1=2和a 3−S 2=a 3−(a 1+a 2)=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题．15.【答案】{1−2√22,1+2√22,2}【解析】解：由方程f(x)=1，得|x −a|+a =2x +1有两个不同的解，令ℎ(x)=|x −a|+a,g(x)=2x +1，则ℎ(x)=|x −a|+a 的顶点(a,a)在y =x 上，而y =x 与g(x)=2x +1的交点坐标为(2,2)，(−1,−1)，联立{y =−x +2a y =2x +1得x 2+(1−2a)x +2=0，由△=(1−2a)2−8=0，解得a =1−2√22或1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得|x −a|+a =2x +1有两个不同的解，则实数a 的取值范围是a =1−2√22或1+2√22或2． 故答案为{1−2√22,1+2√22,2}．由题意，转化为两个函数问题，即设ℎ(x)=|x−a|+a,g(x)=2x+1，作出图，即可求解实数a的取值构成的集合．本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题．16.【答案】[√22,1)【解析】解：2√2a+√a2+9b25a+3b =2√2+√1+9(ba)25+3⋅ba，故可看作A(3×ba ,√1+9(ba)2)与B(−5,−2√2)两点的斜率，其中点A在y2−x2=1(x>0,y>0)上，故k AB最小值在相切时取得，设y+2√2=k(x+5)，联立{y+2√2=k(x+5)y2−x2=1，由△=0，解得k1=√22,k2=13√2舍)当ba →+∞时，kAB=2√2+√1+9(ba)25+3×ba→1，故2√2a+√a2+9b25a+3b 的取值范围是[√22,1)．故答案为：[√22,1)．首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：基本不等号式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵S△ABC=12×1×1=12，∴V=S△ABC⋅A1A=12×4=2．(2)∵BC//B1C1，∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，在△MBC中，BM=CM=√5，BC=√2，由余弦定理得，cos∠MBC=BM2+BC2−CM22BM⋅BC =√1010，∴∠MBC=arccos√1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【解析】(1)由V=S△ABC⋅A1A，即可得解；(2)易知∠MBC或其补角即为所求，再在△MBC中，由余弦定理求得cos∠MBC的值，即可．本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f(x)=sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．(2)在△ABC中，若f(A2)=1，由(1)得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0<A<π，所以A+π6=π2，解得：A=π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0<B<2π3，所以π6<B+π6<5π6；所以12<sin(B+π6)≤1,√32<√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC的取值范围(√32,√3]．【解析】(1)由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；(2)由(1)及f(A2)=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.【答案】解：(1)当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7−S7=646×7−(−6×49+774×7−618)=16>0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．(2)为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n对n=1，2，…，12恒成立，①当1≤n ≤6时，pn ≥635n 恒成立，可得p ≥635，②当7≤n ≤12时，pn ≥−6n 2+774n −618恒成立，即p ≥774−6(n +103n)恒成立，因为774−6(n +103n)≤774−6×2√n ⋅103n≈652.2，当且仅当n =103n，即n =√103≈10.15时，等号成立，又因为n ∈N ∗，且n ≤12，所以当n =10时，774−6(n +103n)的最大值为652.2，综上所述，p ≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【解析】(1)当1≤n ≤6时，每月食材显然都够用，当n =7时，因为646×7−S 7=16>0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．(2)为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn ≥S n 对n =1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆C 1：x 24+y 2=1，可得a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3， 则椭圆C 1的焦距为2c =2√3；(2)由k OQ =12，设l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2−2=0， 由△=4m 2−8(m 2−1)=8−4m 2>0，得|m|<√2， x A +x B =−2m ，x A x B =2m 2−2，所以|AB|=√1+14⋅√(−2m)2−4(2m 2−2)=√5⋅√2−m 2，又Q 到直线l 的距离为d =√52，由S △QAB =12d|AB|=|m|√2−m 2=1,m =±1， 所以l ：y =12x ±1；(3)由{ x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得{x M =2√105 y M =√155 ，设N(x,y)是曲线C 上一点，则F 1(−√3 , 0)，F 2(√3 , 0)，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x , −y)，NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x , −y)， 所以NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3；当点N 在曲线x 2+4y 2=4(|x|≥|x M |)上时，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2，当y =√155时，(NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45，当y =0时，(NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1，所以NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 , 1]； 当点N 在曲线x 2−y 2=1(|x|≥|x M |)上时，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2；当y =√155时，(NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 , +∞)；综上，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 , +∞)．【解析】(1)求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；(2)设l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；(3)求得M 的坐标，设N(x,y)是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f 1(x)不是，f 2(x)是．因为f 1(1)>f 1(2)，则f 1(x)不是[1,4]上的非减函数， f 2(x)={1,1≤x ≤22,2<x ≤4，∀x 1，x 2∈[1,2]，且设1≤x 1<x 2≤2，则f 2(x 1)=f 2(x 2)，显然满足f 2(x 1)≤f 2(x 2)，∀x 1，x 2∈(2,4]，且设2<x 1<x 2≤4，则f 2(x 1)=2x 1−3<2x 2−3=f 2(x 2)，显然满足f 2(x 1)≤f 2(x 2)， ∀x 1∈[1,2]，∀x 2∈(2,4]，则f 2(x 1)=1，f 2(x 2)=2x 2−3>1，显然满足f 2(x 1)≤f 2(x 2)， 综上所述，f 2(x)是[1,4]上的非减函数． (2)∀x 1，x 2∈[2,4]，设2≤x 1<x 2≤4， 则g(x 1)−g(x 2)≤0，g(x 1)−g(x 2)=2x 1+2a 2x 1−(2x 2+2a 2x 2) =2x 1−2x 2+(2a 2x 1−2a 2x 2)=2x 1−2x 2+2a 2x 12x 2(2x 2−2x 1) =(2x 1−2x 2)(1−2a2x 12x 2)≤0，则∀x 1，x 2∈(2,4]，设2≤x 1<x 2≤4，不等式1−2a2x 12x 2≥0恒成立， 即2a ≤2x 12x 2，则a ≤8．(3)ℎ(1)+ℎ(0)=1，所以ℎ(1)=1， 所以ℎ(13)=12ℎ(1)=12， ℎ(23)=1−ℎ(13)=12， 得出ℎ(13)=ℎ(23)=12，∀x ∈(13,23)，因为函数ℎ(x)在[0,1]上为非减函数，所以ℎ(13)≤ℎ(x)≤ℎ(23)， 所以12≤ℎ(x)≤12， 得到∀x ∈[13,23]，ℎ(x)≡12，由②ℎ(x3)=12ℎ(x)知，ℎ(x)=12ℎ(3x)， ℎ(12020)=12ℎ(32020)=⋯=164ℎ(7292020)， 所以ℎ(12020)=1128．【解析】(1)结合非减函数的定义，即可得出答案．(2)根非减函数的定义，推出2≤x 1<x 2≤4，则g(x 1)−g(x 2)≤0恒成立，即可得a 的取值范围． (3)由ℎ(1)+ℎ(0)=1，推出ℎ(1)=1，ℎ(13)=ℎ(23)=12，根据题意可得12≤ℎ(x)≤12，推出∀x ∈[13,23]，ℎ(x)≡12， 再结合由②推出，ℎ(12020)=12ℎ(32020)=⋯=164ℎ(7292020)的值．本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
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上海市浦东新区2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 【答案】C 【解析】 【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 3．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】对于函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,3x k k Z ππ+=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π=-，3x π=-，6x π=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．4．已知非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，则“22a b a b +=-v vv v ”是“a b ⊥v v ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥r r r r r r r r，可得选项.【详解】222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+r r r r r r r r r r r r r r r r ===，||||0a b =≠r r Q ，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥r r r r ，【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.5．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ） A ．1a = B ．01a << C ．23a << D ．12a <<【答案】D 【解析】 【分析】由题设中所给的定义，方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致范围 【详解】解：由题意方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，对于函数()g x lnx =，由于1()g x x'=， 1lnx x∴=， 设1()h x lnx x=-，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， ()122202h ln ln ln e =-=->， ()h x ∴在(1,2)上有零点，故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a << 故选：D ． 【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..6．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A 【解析】 【分析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=；法二：13OO =7R =，28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =AC 33=cos 27427AEC ∠==⋅⋅，33sin 27AEC ∠=，33227sin 3327AC R AEC ===∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.7．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 8．函数y=2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 10．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．11．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v=.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝-24m -②，y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20），设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v =，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，联立①②得220y -=>，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：221123m =-⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ． 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．12．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。