上海市浦东新区2021届新高考五诊数学试题含解析

上海市浦东新区2021届新高考五诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z

z

+=（ ） A ．

32

i

+ B ．

12i

+ C ．

132

i

- D ．

132

i

+ 【答案】C 【解析】 【分析】

求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】

121312

z i i

z i +--==+. 故选：C 【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.

2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）

A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为1

3

B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%

C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%

D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.

对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为

41

123

=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】

本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 3．函数f x x 2()cos(2)3

π

=+的对称轴不可能为（ ） A ．6

5x π=-

B ．3

x π

=-

C ．6

x π

=

D ．3

x π

=

【答案】D 【解析】 【分析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】

对于函数()2cos 23f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，令22,3x k k Z ππ+

=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π

=-，3x π=-，6

x π=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

4．已知非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，则“22a b a b +=-v v

v v ”是“a b ⊥v v ”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件解:

【答案】C 【解析】 【分析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥r r r r r r r r

，可得选项.

【详解】

222222

||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+r r r r r r r r r r r r r r r r ===，

||||0a b =≠r r Q ，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥r r r r ，

【点睛】

本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.

5．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ） A ．1a = B ．01a << C ．23a << D ．12a <<

【答案】D 【解析】 【分析】

由题设中所给的定义，方程()()f x f x '

=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可

求出a 的大致范围 【详解】

解：由题意方程()()f x f x '

=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，

对于函数()g x lnx =，由于1()g x x

'=， 1lnx x

∴=

， 设1

()h x lnx x

=-

，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， ()1

22202

h ln ln ln e =-

=->， ()h x ∴在(1,2)上有零点，

故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a << 故选：D ． 【点睛】

本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..

6．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）

A ．28π

B ．7π

C ．14π

D ．21π

【答案】A 【解析】 【分析】

画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据1

3OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】

如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.

法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =

28S π=；

法二：13OO =7R =

，28S π=；

法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，

7AE =AC 3

3=cos 27427

AEC ∠=

=⋅⋅，

33sin 27

AEC ∠=，33227sin 3327

AC R AEC =

==∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】

此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.

7．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为