江苏省南京市江宁区2017届九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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2016-2017学年度九年级(上)期中数学试卷解析

2016-2017学年度九年级（上）期中数学试卷学号一、选择题（本大题共16小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )A．B．C． D．2．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5，其中是二次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列哪个方程是一元二次方程( )A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）﹣2x+3=0 C．+4x=3 D．x2﹣2xy=04．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=155．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和26．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是( )A．27 B．36 C．27或36 D．187．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣18．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是( )A．y=20（1﹣x）2B．y=20+2xC．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x9．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2015的值为( ) A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为( )A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣211．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )A．点A B．点B C．点C D．点D12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( )A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）13．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞314．如图，已知CD相切圆O于点C，BD=OB，则∠A的度数是( )A．30°B．25°C．40°D．20°15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )A．1 B．1或5 C．3 D．516．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）17．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是__________．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于__________．19．如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为__________m．20．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价__________元．三、解答题（本答题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？22．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k的最小值．23．某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径．（1）小杰先找圆心，再量半径．请你在图1中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）小浩在广场边（如图2）选取A、B、C三根石柱，量得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米．请你帮他求出广场的半径（结果精确到米）．（3）请你解决下面的问题：如图3，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求出OP的长度范围是多少？24．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．25．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？26．某学校兴趣小组的同学进行社会实践，经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜45 45≤x≤80售价（元/件）x+40 80每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件20元，设该商品的每天销售利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于5400元？2016-2017学年度九年级（上）期中数学试答案一、选择题（本大题共16小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )A．B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．【解答】解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．故选B．【点评】本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．2．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5，其中是二次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的定义．【分析】分别根据一次函数及二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①y=3x﹣1是一次函数；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5是二次函数．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．3．下列哪个方程是一元二次方程( )A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）﹣2x+3=0 C．+4x=3 D．x2﹣2xy=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是二元一次方程，故A错误；B、是一元二次方程，故B正确；C、是分式方程，故C错误；D、是二元二次方程，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．6．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是( )A．27 B．36 C．27或36 D．18【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．【解答】解：分两种情况：①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得32﹣12×3+k=0，解得k=27．将k=27代入原方程，得x2﹣12x+27=0，解得x=3或9．3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，此时144﹣4k=0，解得k=36．将k=36代入原方程，得x2﹣12x+36=0，解得x=6．3，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．7．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1【考点】二次函数的定义．【分析】根据题意列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，∴，解得m=﹣2．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．8．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是( )A．y=20（1﹣x）2B．y=20+2xC．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．【解答】解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，∴一年后产品是：20（1+x），∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键．9．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2015的值为( ) A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0）得到m2﹣m﹣1=0，整体代入即可求出代数式m2﹣m+2015的值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2015=2016，故选C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点、函数图象上点的坐标性质以及整体思想的应用，求出m2﹣m=1是解题关键．10．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为( )A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．11．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】旋转的性质．【分析】连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( )A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质结合坐标系内点的坐标特征解答．【解答】解：由图知A点的坐标为（3，4），根据旋转中心O，旋转方向逆时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（﹣4，3）．故选A．【点评】本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．13．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当d=r时，直线与圆相切，直线L与圆有一个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，直线L与圆有两个公共点；当d＞r时，直线与圆相离，直线L与圆没有公共点．【解答】解：因为直线L与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3，故选B．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，利用直线与圆的交点的个数判定圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．14．如图，已知CD相切圆O于点C，BD=OB，则∠A的度数是( )A．30°B．25°C．40°D．20°【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】连结OC，如图，先根据切线的性质得∠OCD=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得BC=BO=BD，则可判断△OBC为等边三角形，所以∠BOC=60°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求∠A的度数．【解答】解：连结OC，如图，∵CD相切圆O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵OB=BD，∴BC=BO=BD，∴OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，而OA=OC，∴∠A=∠OCA，而∠BOC=∠A+∠OCA，∴∠A=∠BOC=30°．故选A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )A．1 B．1或5 C．3 D．5【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）17．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x﹣3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．【解答】解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于60°．【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质可以证明△ABB1是等边三角形，据此即可求解．【解答】解：∵B1是AB的中点，∴BB1=AB1，又∵AB1=AB，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，故答案是：60°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，以及旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正确证明△ABB1是等边三角形是关键．19．如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为6m．【考点】二次函数的应用．【专题】推理填空题．【分析】根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，设出二次函数的顶点式，由图象知抛物线过点（6，0），从而可以求得抛物线的解析式，然后将y=﹣2代入解析式，即可求得问题的答案．【解答】解：根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，如下图所示：设二次函数的解析式为：y=ax2+4，∵点（6，0）在抛物线的上，∴0=a×62+4解得a=，∴y=，将y=﹣2代入，得，∴水面的宽为：．故答案为：．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是画出相应的平面直角坐标系，设出合适的二次函数．20．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少10千克，每天盈利1500元，列出方程，求解即可．【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（5+x）=1500，解得：x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；故答案为：5．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．三、解答题（本答题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？【考点】二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．【分析】（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴于B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．【解答】解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．22．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k的最小值．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据对称轴的定义观察点P（﹣3，m）和Q（1，m）纵坐标相同，求出对称轴，从而求出b值；（2）把b值代入一元二次方程，根据方程的判别式来判断方程是否有根；（3）先将抛物线向上平移，在令y=0，得到一个新方程，此方程无根，令△＜0，解出k的范围，从而求出k的最小值．【解答】解：（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．∴抛物线对称轴，∴b=4．（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2+4x+1=0．∵△=b2﹣4ac=16﹣8=8＞0，∴方程有实根，∴x===﹣1±；（3）由题意将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，∴设为y=2x2+4x+1+k，∴方程2x2+4x+1+k=0没根，∴△＜0，∴16﹣8（1+k）＜0，∴k＞1，∵k是正整数，∴k的最小值为2．【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系及函数平移的知识．23．某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径．（1）小杰先找圆心，再量半径．请你在图1中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）小浩在广场边（如图2）选取A、B、C三根石柱，量得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米．请你帮他求出广场的半径（结果精确到米）．（3）请你解决下面的问题：如图3，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求出OP的长度范围是多少？【考点】圆的综合题．【分析】（1）作出弦的垂直平分线，再结合垂径定理推论得出圆心位置；（2）设圆心为O，连结OA、OB，OA交BC于D，根据A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，得出=，从而得出BD=DC=BC，再根据勾股定理得出OB2=OD2+BD2，设OB=x，即可求出广场的半径；（3）过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示，在圆中作任意2条弦的垂直平分线，由垂径定理可知这2条垂直平分线必定与圆的2条直径重合，所以交点O即为所求；（2）如图2，连结OA、OB，OA交BC于D，∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴BD=DC=BC=120（米），由题意DA=5，在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2，设OB=x，则x2=（x﹣5）2+1202，解得：10x=14425，x≈1443，答：广场的半径1443米．（3）如图3，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3（cm），∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．【点评】此题考查了圆的综合题，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、弧、弦、圆周角之间的关系，熟练利用勾股定理得出AO的长是解题的关键．另外，解答（3）时，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．【解答】证明：（1）如图1，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）如图2，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到=4.5；，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．【解答】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，=4.5；∴当t=时，y最大（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．26．某学校兴趣小组的同学进行社会实践，经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜45 45≤x≤80售价（元/件）x+40 80每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件20元，设该商品的每天销售利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于5400元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于5400，一次函数值大于或等于54000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜45时，y=（x+40﹣20）=﹣2x2+160x+4000，当45≤x≤80时，y=（80﹣20）=﹣120x+12000．综上所述：y=；（2）当1≤x＜45时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=40，=﹣2×402+160×45+4000=7200，当x=40时，y最大当45≤x≤80时，y随x的增大而减小，=6600，当x=45时，y最大因为7200＞6600，综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是7200元；。

江苏省南京市江宁区2017届九年级上学期期中考试数学试题

江宁区2016-2017学年度第一学期期中学情分析样题九年级数学一、选择题1．下列方程中，是关于x 的一元二次．．．．方程的是（）． A ．20ax bx c ++=B ．221x x --C ．2210x x +=D ．(1)(2)1x x -+= 【答案】D【解析】本题考察了，“一元二次方程”的定义，首先方程是关于未知数的等式，“一元二次”方程中只能含有1个未知数，且未知数最高次为二次，二次项系数不能为零，故选D ．2．用配方法解方程2670x x -+=时，原方程应变形为（）．A ．2(6)2x -=B ．2(6)16x -=C ．2(3)2x -=D ．2(3)16x -=【答案】C【解析】本题考察了配方法，2267692x x x x -+=-+-，则原方程为26920x x -+-=，2(3)2x -=．故选C ．3．关于x 的方程220(0)x kx k k ++=≠的根的情况描述正确的是（）．A ．方程没有实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根【答案】A【解析】本题考察了根的判别式，由题可知在22224430b ac k k k -=-=-≤，∵0k ≠．∴240b ac -<．方程无实根，故选A ．4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x ，根据题意列方程的（）． A ．210(1)16.9x += B ．10(12)16.9x += C ．210(1)16.9x -= D ．10(12)16.9x -=【答案】A【解析】平均增长率为x ，说明每年增长率每年都大致为x ，所以可列方程210(1)16.9x +=．故选A ．5．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）．A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M【答案】B【解析】点A ，B ，C 都在圆上，则圆心为AB 、BC 的中垂线交点，故为点Q ，选B ．6．如图，圆O 是Rt ABC △的外接圆，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则D ∠的度数是（）．A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．25︒【答案】C【解析】∵OA OC =，25A =︒∠，∴25OCA A ==︒∠∠，∴250DOC A ==︒∠∠．∵DC 为⊙O 切线，切于点C ，∴90OCD =︒∠．在OCD △，9040D DOC =︒-=︒∠∠．二、填空题7．方程20x x +=的根为__________．【答案】10x =，21x =-【解析】20x x +=，(1)0x x +=，10x =，21x =-．8．一元二次方程2310x x ++=的两个根的和为__________，两个根的积为__________．【答案】3-，1【解析】本题考察了“韦达定理”，根据12b x x a +=-，12c x x a=，可知，两根和为3-，两根积为1．9．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则它的侧面展开图的面积等于__________．【答案】224πcm【解析】本题考察了圆锥侧面积的计算，πS rl =，其中r 为底面半径，l 为母线长，所以π4624πS =⋅⨯=．10．如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB BC =，62AOB ∠=︒，则BDC ∠=__________．【答案】31︒【解析】本题考察了圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因为62AOB =︒∠，所以1312AOB AOB ==︒∠∠，又∵AB BC =，所以31BDC AOB ==︒∠∠．11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，55ABD ∠=︒，则BCD ∠=__________︒．【答案】35︒【解析】连接OD ，∵55ABD =︒∠，∴2110AOD ABD ==︒∠∠，∴18011070BOD =︒-︒=︒∠，∴1352BCD BOD ==︒∠∠．12．如图，⊙O 经过五边形OABCD 的四个顶点，若150AOD ∠=︒，65A ∠=︒，60D ∠=︒，则BC 的度数为__________︒．【答案】40︒【解析】∵OA OB OC OD ===，∴得等腰OAB △、等腰OCD △．∵65A =︒∠，60D =︒∠，∴65OBA =︒∠，60OCD =︒∠．∴18026550AOB =︒-⨯︒=︒∠，18026060COD =︒-⨯︒=︒∠，∵150AOD =︒∠，∴150506040BOC =︒-︒-︒=︒∠．即：弧BC 的度数为40︒．13．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为__________．【解析】由正六边形外接圆半径为2可知，该正六边形的边长为2，其内切圆半径即为平分成的六个全等的等边三角形的高，因为等边三角形边长为214．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，130DAB ∠=︒，连接OC ，点P 是半径OC 上任意一点，连接DP 、BP ，则BPD ∠可能为__________度（写出一个即可）．【答案】50︒【解析】∵点P 在OC 上，若P 与C 重合，DPB DCB =∠∠，∵130A =︒∠，DCB ∠与A ∠是⊙O 的内接四边形ABCD ，∴18013050DCB =︒-︒=︒∠(本题还有其他情况，酌情批改即可)．15．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点()8,0A ，与y 轴分别交于点()0,4B 和点()0,16C ，则圆心M 到坐标原点O 的距离是__________．【答案】【解析】如图，连接MO 、MA 、MC 过M 作MN y ⊥轴于N ．∵BC 是⊙M 的一条弦．(0,4)B ，(0,16)C ，MN BC ⊥于N ．∴11(164)622CN BC ==⨯-=． ∵(8,0)A ，∴Rt MCN △中，8MN =，6CN =，10MC =．∴10MA MC ==．在Rt MBA △中，10MA =，8OA =，∴MO =16．如图，将ABC △绕点C 按顺时针旋转60︒得到A B C '''△，已知6AC =，4BC =，则线段AB 扫过的图形的面积为__________．【答案】10π3【解析】延长BB '交A C '于D '，如图所示，可将阴影部分ABD 转化至A B D '''处，此时ACA DCD S S S ''=-阴扇形扇形．∵6AC =，4BC =，旋转角度为60︒， ∴260π66π360ACA S '︒=⨯⋅=︒扇形， 2608π4π3603DCD S '︒=⨯⋅=︒扇形．∴810π6ππ=33S =-阴．三、解答题（共10小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（15分）解方程：（1）2440x x ++= （2）22(1)9x x -= （3）(1)3(1)x x x +=+【答案】见解析．【解析】（1）解：2(2)0x+=，122x x ==-．（2）解：22219x x x -+=，28210x x +-=，(21)(41)0x x +-=，210x +=或410x -=，112x =-，214x =．（3）解：233x x x +=+，2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，13x =，21x =-．18．（6分）一个直角三角形的两条直角边的和是14cm ，面积是24cm ．求两条直角边的长．【答案】见解析．【解析】解：设一条直角边为x ，则另一条直角边为14x -．1(14)242x x ⋅-= 214480x x -+=(6)(8)0x x --=16x =，28x =．即：这两条直角边为6cm ，8cm ．19．（7分）已知关于x 的一元二次方程220x mx --=．（1）对于任意的实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．（2）若方程的一个根为1，求出m 的值及方程的另一个根．【答案】见解析．【解析】（1）解：2241(2)8m m ∆=-⨯⨯-=+，m 为任意数时，20m ≥，∴288m ∆=+≥，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：当11x =，代入原方程，120m --=，1m =-，此时方程为220x x +-=，(2)(1)0x x +-=，解得11x =，22x =-．即：m 的值为1-，方程的另一个根为2-．20．（7分）如图，AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 和ON ．如果AB CD =，求证：OM ON =．【答案】见解析．【解析】证明：连接OA 、OB 、OC 、OD ．由题意得ON CD ⊥于N ，OM AB ⊥于M ．在OCD △和OAB △中．OC OA OD OB CD AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴OCD △≌(SSS)OAB △，∴C A ∠=∠．在OCN △和OAM △中．ONC OMA C AOA OA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴OCN △≌(AAS)OAM △∴ON OM =．21．（8分）如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，且105A ∠=︒，BD CD =．（1）求DBC ∠的度数．（2）若⊙O 的半径为3，求BC 的长．【答案】见解析．【解析】（1）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ．∴111360180222A C DCB BD +=+=⨯︒=︒∠∠， ∵105A =︒∠，∴75C =︒∠，∵BD CD =，∴75DBC C ==︒∠∠．（2）由（1）证得75DBC C ==︒∠∠，∴18075230BDC =︒-︒⨯=︒∠，∴302π3π360BC C ︒=⨯⋅=︒，即：BC 的弧长为π．22．（8分）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的弦，BC 经过圆心．25B ∠=︒，40C ∠=︒．（1）求证：AC 与⊙O 相切．（2）若BC a =，AC b =，求⊙O 的半径．（用含a 、b 的式子表示）【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接OA ，∵OB OA =，25B =︒∠，∴25AOB B ==︒∠∠，252550AOC =︒+︒=︒∠，∵40C =︒∠，∴OAC △中，180405090OAC =︒-︒-︒=︒∠．∴OA AC ⊥，即：AC 与⊙O 相切．（2）解：设⊙O 的半径为r ，即：OB OA r ==，OC BC OB a r =-=-．由（1）得OA AC ⊥于A ．∴在Rt AOC △中，222()r b a r +=-222a b r a-=． 25°O C B A23．（8分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计多高？【答案】见解析．【解析】如图所示，雕像高为AB ，上部为AC ，下部为BC ．由题可知2m AB =．设下部m BC x =，则(2)m AC x =-，22x x x -=，去分母得，22(2)x x -=，2240x x +-=，解得11x =，21x =（舍），检验，方程解为1x =，答：它的下部应设计为1)m 高．C BA24．（10分）用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为275cm 的矩形？能围成一个面积为2101cm 的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【答案】见解析．【解析】解：设矩形长为a ，则宽为(20)a -．(20)S a a =⋅-矩形令75S =，则(20)75a a -=，解得15a =或5．即：能围成一个面积为275cm 的矩形，该矩形长、宽两边分别为15cm 和5cm ．令101S =，则(20)101a a -=无解．即：不能围成一个面积为2101cm 的矩形．25．（10分）如图，⊙O 是ABC △的外接圆，直线l 与O 相切于点D ，且l BC ∥．（1）求证：AD 平分BAC ∠．（2）作ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，求证：BD DE =．【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接OD ．∵l 与⊙O 相切于点D ．∴OD l ⊥，∵l BC ∥，∴OD BC ⊥，∴BD CD =．∴BAD CAD =∠∠．即：AD 平分BAC ∠．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE =∠∠，又∵BD CD =，∴BAD CBD =∠∠，∴CBD CBE BAE ABE +=+∠∠∠∠，又∵D ED BD E ABE =+∠∠∠，∴EBD D EB =∠∠，∴BD DE =．D26．（9分）在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．问题情境：（1）如图，ABC △中，30A ∠=︒，2BC =，则ABC △的外接圆的半径为__________．操作实践：（2）如图，在矩形ABCD 中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD 内部用直尺与圆规作出一点P ．点P 满足：BPC BEC ∠=∠，且PB PC =．（要求：用直尺与圆规作出点P ，保留作图痕迹．）迁移应用：（3）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为(2,)m ．过点B 作AB y ⊥轴，BC x ⊥轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），发现使得45OPC ∠=︒的位置有两个，则m 的取值范围为__________．【答案】（1）2【解析】（1）连接OB 、OC ，在⊙O 中，260BOC BAC ==︒∠∠，又∵OB OC =，∴2OBC OC BC ===△，∴2OB OC BC ===，即：ABC △的外接圆半径为2．（2）如图，作BC 的垂直平分线，交BE 于O ，交BE 于点P ，则点P 为所求．（3）如图，在x 轴上方作等腰直角OKC △，OC 为斜边作KE AB ⊥于E ． ∵2OC =，∴OK KC ==，当EK KC ==K 为圆心，KC 为半径不同与AB 相切．此时1m BC ==，在AB 上有且只有一个点P 满足1452OPC OKC ==︒∠∠，当BK AB 上恰好有两个点P 满足1452OPC OKC ==︒∠∠，此时，2m BC ==．综上：21m <≤。

江苏省南京市秦淮区2017-2018学年第一学期九年级数学期中试卷

2017～2018学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷九年级数学（满分：120分考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A ．平行四边形 B ．圆 C ．等边三角形 D ．正五边形 2．下列方程中，是一元二次方程的是 A ．2x －1x＝0B ．2x －4＝5C ．9x 2＋1＝0D ．y 2＋2x ＋1＝03．一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，其侧面积是 A ．6π B ．12π C ．24π D ．48π 4．甲、乙两位同学连续五次的数学成绩如下图所示：下列关于S 2甲与S 2乙的大小关系说法正确的是 A ．S 2甲＜S 2乙 B ．S 2甲＝S 2乙C ．S 2甲＞S 2乙D ．无法比较S 2甲和S 2乙的大小5．已知α是一元二次方程x 2－2x －1＝0较大的实数根，则对α的值估计正确的是 A ．0＜α＜1 B ．1＜α＜2 C ．2＜α＜3 D ．3＜α＜4 6．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝6，AB ＝CD ＝2，若点P 在线段BC 上，且△ADP 为直角三角形，则符合要求的点P的个数是二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷．．．相应位置．．．．上） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．无数个（第6题） ABCD（第4题）乙甲7．2017年的金砖国家峰会中，6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm ）：168，166，168，167，169，168，她们的身高的众数是 ▲ cm ，中位数是 ▲ cm ．8．一个扇形的半径为3 cm ，弧长为2π cm ，则此扇形的面积为 ▲ cm 2．（结果保留π） 9．已知关于x 的方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是 ▲ ．10．为了了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了该校九年级的20名学生，并将数据整理如下表（单位：小时）：试估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间大约是 ▲ 小时．11．某商店经过两个月时间将利润从每月2500元提高到3600元．设平均每个月增长的百分率为x ，根据题意，可列方程为 ▲ ．12．用直接开平方法解方程x 2＝2，得x ＝±2，其依据是 ▲ ． 13．点A 、B 、C 在⊙O 上（点C 与点A 、B 不重合．．．），若⌒AB 的度数为70°，则∠ACB ＝ ▲ °．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是（0，5）、（4，5）、（6，3），则经过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标是 ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4 cm ，⊙O分别与BC 、AB 的延长线以及AC 的延长线相切，切点分别为D 、E 、F ，则⊙O 的半径16．如图，在正n 边形A 1A 2A 3…A n 中（n ≥5），连接A 1A 3，A 1A n －1，则∠A 3A 1A n －1＝▲ °．（用含n 的代数式表示）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程 (x －1)2－4＝0．18．（6分）解方程 x 2－3x ＋1＝0．（第14题）（第15题）（第16题）3 5A n －1A n n －319．（8分）已知：关于x 的一元二次方程x 2＋2kx ＋k 2＋k －2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求方程的根．20．（8分）已知：如图，在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，且CD 平分AB ，并交AB 于点M ．求证：CD ⊥AB ，⌒AD ＝⌒BD ，⌒AC ＝⌒BC ．21．（8分）已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0．（1）若方程的两根为－1和2，求p 和q 的值；（2）若q ＝p －1，求证：无论p 取何值，x ＝－1一定是方程的解．22．（8分）为了迎接“全国文明城市”的检查，某小区决定扩建矩形花圃，进一步美化小区环境．如图，将原花圃的长和宽分别增加4 m ，得到一个矩形新花圃，新花圃的面积为70 m 2，已知原花圃长和宽的比为2∶1，求原花圃的面积．23．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是OA 延长线上一点，且AO ＝AC ，点P 在⊙O 外，P A 与⊙O 相切于点A ，连接PC ，作∠APD ＝2∠APC ，射线PD 与PC 在P A 的两侧．求证：PD 与⊙O 相切．（第22题）（第20题）（第23题）24．（8分）某校九年级举办了“解一元二次方程”的计算比赛，满分为100分，60分以上（包含60分）为合格，80分以上（包含80分）为优秀．比赛结束后，抽取了一班和二班的所有同学的成绩进行比较，统计数据如下表：（1）a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ；（2）小晨同学对妈妈说“这次比赛，我得了85分，在我们班排名中等偏上．”根据上表，小晨同学是哪个班的学生？为什么？（3）一班同学认为，因为他们班级的优秀率、最高分和最低分均高于二班，所以他们的成绩好于二班，二班学生并不同意他们的观点，认为他们班的成绩好于一班．请从两个不同的角．．．．．．度．解释二班学生的观点．25．（8分）阅读解方程x 4－4x 2－5＝0的方法．用阅读内容中的方法解决下列问题：（1）若实数a 、b 满足a 2＋b 2＋13＝a 2＋b 22，则a 2＋b 2的值是 ▲ ；（2）解方程x ＋1－4x ＋1＝5．26．（10分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，动点O 从点C 出发，沿着C →B→A →C 的方向运动一周，以O 为圆心，r 为半径作圆．（1）若⊙O 分别与AB 、BC 相切．①利用直尺和圆规作⊙O （不写作法，保留作图痕迹）； ②求出此时r 的值．（2）当r ＝1时，设⊙O 在运动的过程中与△ABC 三条边的公共点个数为m ，那么m 的最小值是 ▲ ，最大值是 ▲ ．27．（10分）如图，在⊙O 中，将⌒BC 沿弦BC 所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB 相交于点D ，连接CD ．（1）若点D 恰好与点O 重合，则∠ABC ＝ ▲ °；（2）延长CD 交⊙O 于点M ，连接BM ，猜想∠ABC 与∠ABM 的数量关系，并说明理由．ABC （第26题）B（第27题）2017～2018学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）二、填空题（每小题2分，共计20分） 7．168，168 8．3 9．m ＜－1 10．7.4 11．2500(1＋x )2＝3600 12．平方根的意义13．35或14514．（2，1）15．22＋416．180n －720n三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分）解：移项，得(x －1)2＝4． ·································································································· 2分解这个方程，得x －1＝±2． ························································································· 4分所以x 1＝3，x 2＝－1． ································································································· 6分18．（本题6分）解：因为a ＝1，b ＝－3，c ＝1， ························································································· 2分b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0． ··················································································· 4分所以x ＝3±52．所以x 1＝3＋ 5 2，x 2＝3－52． ····················································································· 6分19．（本题8分）解：（1）根据题意，得b 2－4ac ＝(2k )2－4(k 2＋k －2)＝－4k ＋8＞0． ············································ 2分解得k ＜2． ········································································································ 4分（2）因为k 为正整数且k ＜2，所以k ＝1．方程可化为x 2＋2x ＝0， ························································································· 6分解得x 1＝0，x 2＝－2． ··························································································· 8分20．（本题8分）证明：连接OA ，OB ． ······································································································ 2分∵ 直径CD 平分AB ，∴ AM ＝BM ． ·································································· 3分 ∵ OA ＝OB ， ··································································· 5分 ∴ OM ⊥AB ，即CD ⊥AB ． ················································· 6分∴ ⌒AD ＝⌒BD ，⌒AC ＝⌒BC ． ························································································ 8分21．（本题8分）（1）解：设方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1，x2．因为a＝1，b＝p，c＝q，所以x1＋x2＝－p，x1•x2＝q．·················································································· 2分根据题意，得x1＝－1，x2＝2．所以p＝－1，q＝－2． ························································································· 4分（2）证明：若q＝p－1，方程可化为x2＋px＋p－1＝0．将x＝－1代入方程的左边，值为0，所以方程的左右两边相等． ································ 7分所以无论p取何值，x＝－1一定是方程的解． ························································ 8分22．（本题8分）解：设原花圃的长为2x m，宽为x m．··················································································· 1分根据题意，得(2x＋4)(x＋4)＝70，·················································································· 5分即x2＋6x－27＝0．解这个方程，得x1＝3，x2＝－9（不合题意，舍去）． ························································· 7分当x＝3时，2x•x＝18．答：原花圃的面积为18 m2．·························································································· 8分23．（本题8分）证明：连接OP，作OM⊥PD，垂足为M． ············································································· 1分∵P A与⊙O相切于点A，Array∴P A⊥OA． ························································· 2分又∵AO＝AC，∴P A是OC的垂直平分线．∴PC＝PO．∴∠APC＝∠APO． ······························································································· 4分∵∠APD＝2∠APC，∴∠APD＝2∠APO．又∵∠APD＝∠APO＋∠DPO，∴∠APO＝∠MPO． ······························································································ 6分又∵OA⊥P A，OM⊥PD，∴OM＝OA，即d＝r． ··························································································· 7分∴PD与⊙O相切．································································································ 8分24．（本题8分）解：（1）35，100%．·········································································································· 2分（2）一班．················································································································· 3分因为一班的中位数为82.5分，二班的中位数为87.5分，小晨的成绩为85分，大于82.5分，小于87.5分，在一班中等偏上，在二班中等偏下，所以小晨是一班学生． ························ 4分（3）答案不唯一，如：①二班的平均分和中位数都高于一班，即二班的成绩比一班成绩平均水平高；②在平均分相近的情况下，二班的方差比一班小，即二班的成绩比一班成绩稳定． ············· 8分25．（本题8分）解：（1）2． ····················································································································· 2分（2）设x ＋1＝y ，即x ＋1＝y 2，则方程可变形为y 2－4y ＝5． ··············································· 3分解得y 1＝5，y 2＝－1． ···························································································· 5分当y ＝5时，x ＋1＝5，解得x ＝24．当y ＝－1时，x ＋1＝－1，方程无实数根．综上，原方程的解为x ＝24． ··················································································· 8分26．（本题10分）解：（1）①如图①，⊙O 即为所求．······················································································ 2分②如图②，设点M 为切点，连接OM ．∵ BA 、BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为M 、C ， ∴ BM ＝BC ＝3，OM ⊥AB ，即∠AMO ＝90°．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴ AB ＝AC 2＋BC 2＝2． ··················································································· 3分 ∴ AM ＝2－3． ······························································································ 4分在Rt △AMO 中，∠AMO ＝90°，由勾股定理得r 2＋(2－3)2＝(1－r )2． ····································································· 5分解得r ＝23－3． ······························································································· 6分（2）2，4． ················································································································ 10分 27．（本题10分）解：（1）30． ···················································································································· 3分（2）∠ABM ＝2∠ABC ． ································································································ 4分理由如下：设点D ′为点D 关于BC 的对称点，连接CD ′、BD ′、AC ．由题意，得∠CBD ＝∠CBD ′，CD ＝CD ′． ∵ ∠CBD ＝∠CBD ′， ∴ CA ＝CD ′．∴ CA ＝CD ． ······································································································ 6分 ∴ ∠A ＝∠CDA ．ABCO①ABCOM②。

真题江苏省南京市鼓楼区2017九年级上学期期中数学试卷及答案版

南京市鼓楼区2016-2017学年九年级上期中考试数学试卷一选择题:本大题共6小鑒每小题2分，共12分。

1•方程XjX的根是（）A. x=lB. x=-lC. XF O, x?=lD. Xi = 0 t x：=-l2. 一元二次方程X 2 -4 X +4= 0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D. 无法确左3 .如图,若圆锥的底而半径r为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为（）A. 30 Jr Cm ZB. 480 π Cm ZC. 600 ∕τcm'D. 800 π Cm:4・某单位要招聘1名英语翻译.张明参加招聘考试的成绩如下表表示。

9r读张明9080838Z若把听.说、读.写的成绩按3： 3:2:2计算平均成绩,则张明的平均成绩为（）A. 82B. 8 3C.84D. 855.如图，0 0经过AABC的三个顶点。

若ZB二75°, ZC二60°,且弧BC的长度为4”，则弦BC的长度为（）A. 8B. 8√2C. 1 6D. 1 6 √26. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )二填空题:本大题共10小題每小题2分，共20分。

7. _____________________________________________________ 用配方法解方程X=-4 X 二5时,方程的两边同时加上 __________________________________________ ,可使方程左边配成一个完全平方式。

8. 若00的直径为2, OP= 2 ,则点P 与C)O 的位置关系是:点P 在Oo_________________ .9 .若一元二次方程2x=+4x+l=0的两根是x l , X ：,则x i + X 2的值是 _______________ .10.已知不透明的袋子中装有2个红球,3个白球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸岀一个球，摸到红球的概率是 _______________ •1 1.如图，四个小正方形的边长都是1 ,若以O 为圆心,OG 为半径作弧分别交AB 、CD 于点E 、F ,则图中阴影部分的面积为 _________________ •12•如图,AB 为00的直径，弦CD 丄AB,垂足为H,若H B =2, HD =4,则AH= ______________ ・ 1 3.如图,A B 为G)O 的直径,弦CD 与AB 交于点E,连接AD.若ZC=80o , ZCEA= 3 O O -则Z CDA=A •①B •② D ・均不可能（^5®）（SSllIB>14.如图,某单位准备将院内一块长30πυ宽20m的长方形花恫中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的而积为532m=,设小道进出口的宽度为xm,根据条件，可列出方程： __________________________ .15•将一个三角形纸板按如图所示的方式放置在一个破损的量角器上，使点C落在半圆上。

2016-2017年度苏科版第一学期九年级数学期中试卷含答案

2016-2017学年度第一学期期中检测九年级数学试题（全卷共120分，考试时间90分钟）温馨提示:请把答案全部填涂在答题纸上,否则不给分.一、选择题(本题共8题，每题3分，共24分. 在每题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请将正确选项前的字母填写在答题卡上) 1. 一元二次方程x 2－9=0的根为A . x = 3B . x =－3C . x 1= 3，x 2 =－3D . x = 9 2. 如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若∠BOC =80º，则∠A 的度数是 A ．40º B ．60º C ．80º D ．100º 3．用配方法解方程x 2－4x －1=0时，配方后得到的方程为A ．(x +2)2= 3 B ．( x +2)2 = 5 C ．(x －2)2 = 3 D ．( x －2)2 = 54．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是A ．x 2 + 1= 0B ．x 2 + x + 1= 0C ．x 2 － x + 1= 0D ．x 2 －x －1= 05．在下列命题中，正确的是A ．长度相等的弧是等弧B ．直径所对的圆周角是直角C ．三点确定一个圆D ．三角形的外心到三角形各边的距离相等 6．对于二次函数 y =－(x ＋1)2－3 ，下列结论正确的是A ．函数图像的顶点坐标是(－1，－3)B ．当 x >－1时，y 随x 的增大而增大C ．当x =－1时，y 有最小值为－3D ．图像的对称轴是直线x = 17．如图，圆弧形桥拱的跨度AB = 16 m ，拱高CD = 4 m ，则圆弧形桥拱所在圆的半径为 A ．6 m B ．8 m C ．10 m D ．12 mB OCA( 第2题 )yx-3O-1( 第7题 ) ( 第8题 )ABDC8．如图是二次函数y = ax 2 + bx + c 图像的一部分，其对称轴为直线x =－1，且过点(－3，0)，下列说法：① abc < 0；② 2a －b = 0；③ 4a + 2b + c < 0；④若(－5，y 1) ，(2.5，y 2)是抛物线上两点，则y 1 > y 2，其中说法正确的是 ( )A ．①②③B ．②③C ．①②④D ．①②③④ 二、填空题(每小题3分，共30分) 9. 方程x 2 = x 的解是_______________.10．已知扇形的圆心角为120º，半径为6 cm ，则该扇形的弧长为_______ cm (结果保留π). 11．一元二次方程2x 2 + 4x －1= 0的两根为x 1、x 2，则x 1 + x 2的值是_________． 12．圆锥的底面半径为3 cm ，母线长为5 cm ，则这个圆锥的侧面积是_________cm 2． 13．抛物线y = x 2沿x 轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 14．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意，可列方程是：_________________．15．若关于x 的一元二次方程x 2+2x +m = 0有两个相等的实数根，则m =______．16．如图，P A 、PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，若∠APB = 60°，PO = 2，则PB =_________． 17.如图，半圆O 的直径AB =2，弦CD ∥AB ，∠COD =90°，则图中阴影部分的面积为_____．18. 已知二次函数y = ax 2+ bx + c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 … y…1771－11…则当y < 7时，x 的取值范围是______________.( 第16题 ) ( 第17题 )C DB AO三、解答题(共66分)19. 解方程 (每题5分，共10分)(1) x 2 + 4x －2 = 0； (2) (x －1)(x +2) = 2(x +2)20. (6分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，CD =16，AB =20，求BE 的长.21. (8分) 如图，已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图像经过A (－1，2)、B (0，－1)、C (1，－2).(1) 求二次函数的表达式； (2) 画出二次函数的图像.EDO C( 第20题 )xyACB O( 第21题 )22. (8分) 如图，学校准备修建一个面积为48 m 2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20 m的围栏．已知墙长9 m ，问围成矩形的长和宽各是多少?23. (10分) 如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ． (1) 判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2) 若AC = 3，∠B = 30°．① 求⊙O 的半径；② 设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积 ( 结果保留根号和π ) ．( 第22题)( 第23题 )EOA24. (12分) 某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图像如图：(1)当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少?(2) 为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x =5m+600，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电?工厂每天消耗电产生利润最大是多少元?y(元/千度)千度)( 第24题)25. (12分) 在平面直角坐标系中，抛物线y =－x 2－2x + 3与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1) 请直接写出点A ，C ，D 的坐标；(2) 如图(1)，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；(3) 如图(2)，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形? 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年度第一学期期中检测九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题(每题3分，共24分)( 图1 ) ( 图2 )( 第25题 )y x DCA OB yxDCA O B二、选择题 (每题3分，共30分)9. x 1=0，x 2=1； 10.4π； 11.－2； 12.15π； 13.y = (x －1)2； 14. 60 (1－x )2 = 48.6； 15. 1 ； 16.3； 17.41π ； 18. －1< x < 3. 三、解答题 (共66分) 19.解法一：(1)x 2+4x +4－4－2=··································································································································· 1分 (x +2)2=6··································································································································· 2分 x +2=6± ··································································································································· 3分 x 1=－26-，x 2=－26+··································································································································· 5分解法二：a=1，b =4，c=－2··································································································································· 1分 △=42－4·1·(－2) = 24··································································································································· 2分 x=2244±- ··································································································································· 3分 x 1=62--，x 2 =62+- ··································································································································· 5分 (2)解：(x－1)(x +2)－2(x +2)=··································································································································· 1分 (x +2)(x－3)=··································································································································· 2分 x +2=，x－3=··································································································································· 3分 x 1=－2，x 2=3··································································································································· 5分20.解：连接OC ，∵AB是⊙O的直径，CD ⊥AB ，∴CE =21CD = 8··································································································································· 2分 ∵AB=20，∴OB=OC =10···································································································································∵∠OEC =90°，∴22810-=OE = 6··································································································································· 5分又∵BE =OB－OE，∴BE =10－6=4··································································································································· 6分21. 解：(1)∵二次函数y =ax 2+ bx + c 的图像经过A (－1，2)、B (0，－1)、C (1，－2).∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==+-212c b a c c b a ··································································································································· 3分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==121c b a ··································································································································· 4分 ∴二次函数的表达式为y=x 2－2x－1··································································································································· 5分(2) 图像如图：··································································································································CyxAOB22. 解：设宽为x m，则长为(20－2x) m． ···································································································································1分由题意，得x·(20﹣2x) = 48， ···································································································································3分解得x1 = 4，x2 = 6． ···································································································································5分当x= 4时，20－2×4 = 12＞9 (舍去)， ···································································································································6分当x=6时，20－2×6= 8． ···································································································································7分答：围成矩形的长为8 m、宽为 6 m． ···································································································································8分23. 解：(1) 连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD =∠ODA. ···································································································································1分∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD =∠OAD. ···································································································································2分∴∠CAD =∠ODA ，∴OD ∥AC ，··································································································································· 3分∴∠ODB =∠C =90°，即OD ⊥BC ．··································································································································· 4分又∵直线BC 过半径OD 的外端，∴直线BC 与⊙O 相切.··································································································································· 5分(2) ① 设OA = OD = r ，在Rt △BDO 中，∠B = 30°，∴OB = 2r .··································································································································· 6分在Rt △ACB 中，∠B =30°，∴AB = 2AC = 6.··································································································································· 7分∴3r = 6，解得r =2．··································································································································· 8分② 在Rt △ACB 中，∠B =30°，∴∠BOD = 60°．∴ππ322360602=⋅⋅︒=︒ODES 扇形． ··································································································································· 9分∴所求图形面积为π3232-=-∆ODE BOD S S 扇形.··································································································································· 10分。

苏科版九年级上册数学期中考试试卷附答案

苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若()22230m x x --+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m>2B ．m≠0C ．m≤2D ．m≠22．用配方法解一元二次方程2870x x -+=，方程可变形为（）A ．2(4)9x +=B ．2(4)9x -=C ．2(8)16x -=D ．2(8)57x +=3．小红连续5天的体温数据如下（单位相C ︒）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据下列说法正确的是（）A ．中位数是36.5C ︒B ．众数是36.2C ︒C ．平均数是36.2C︒D ．极差是0.3C︒4．关于x 的一元二次方程220x kx --=（k 为实数）根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定5．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A ．-2B ．2C ．4D ．-36．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．50（1+x ）²=182B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=1827．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为（）A ．10B ．11C ．12D ．138．如图，在长为100m ，宽为80m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m ，则可列方程为()A ．100×80－100x －80x=7644B ．(100－x)(80－x)＋x 2=7644C ．(100－x)(80－x)=7644D ．100x ＋80x －x 2=76449．我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长AB为，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）CD 为15cm ，则这个弓形的面积是（）cm 2.A ．B ．C ．D ．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E 、点F 分别在边AD ，BC 上，且EF ⊥AD ，点B 关于EF 的对称点为G 点，连接EG ，若EG 与以CD 为直径的⊙O 恰好相切于点M ，则AE 的长度为（）A ．3BC ．D ．6二、填空题11．某中学为了选拔一名运动员参加市运会100米短比赛，有甲、乙两名运动员备选，他们最近测试的10次百米跑平均时间都是12.83秒，他们的方差分别是21.3S=甲（秒2）2 1.7S =乙（秒2），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派______去．12．已知a 是关于x 方程x 2﹣2x ﹣8=0的一个根，则2a 2﹣4a 的值为_______．13．将半径为6cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm ．14．如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．15．设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．16．在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值是________．17．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，若PA ＝3，∠APO ＝45°，则⊙O 的半径是_____．三、解答题18．解下列方程：(1)2(1)40--=x (2)x 2﹣6x ﹣3＝0(3)3x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）(4)2x 2﹣5x+3＝019．如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．20．因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T 恤，已知这种T 恤的进价为40元一件．经市场调查，当售价为60元时，每天大约可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件．在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T 恤的销售单价定为多少元？21．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ，连结AC ．(1)△ACD 为等边三角形；(2)请证明：E 是OB 的中点；(3)若AB ＝8，求CD 的长．22．某篮球队员在篮球联赛中分别与甲队、乙队对阵各四场，下表是他的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分（分）失误（次）得分（分）失误（次）第一场252273第二场300311第三场273202第四场262264（1）他在对阵甲队和乙队的各四场比赛中，平均每场得分分别是多少？（2）利用方差判断他在对阵哪个队时得分比较稳定；（3）根据上表提供的信息，判断他在对阵哪个队时总体发挥较好，简要说明理由．23．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，D 为 AC 的中点，过点D 作DE AC ，交BC 的延长线于点E ．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为5，8AB ，求CE 的长．24．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x 2＋x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝﹣1，则方程x 2＋x ＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断方程2x 2﹣＋1＝0是否是“邻根方程”？（2）已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值；25．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ．（1）求证：CD 2=CA•CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=23，求BE 的长．26．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，设BC ＝a ，AC ＝b ．（1）请你判断：线段AD 的长度是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根吗？说明理由；（2）若线段AD ＝EC ，求ab的值．参考答案1．D 【解析】【详解】解：∵()22230m x x --+=是关于x 的一元二次方程，∴20m -≠，∴2m ≠．故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键．2．B 【解析】【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．【详解】解：x 2-8x+7=0，x 2-8x=-7，x 2-8x+16=-7+16，（x-4）2=9．故选：B ．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．3．B 【解析】【分析】根据众数、中位数的概念求得众数和中位数，根据平均数和方差、极差公式计算平均数和极差即可得出答案．【详解】A ．将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，则中位数为36.3C ︒，故此选项错误B ．36.2出现了两次，故众数是36.2C ︒，故此选项正确；C ．平均数为1(36.236.236.336.536.6)36.365++++=(C ︒)，故此选项错误；D ．极差为36.6-36.2=0.4(C ︒)，故此选项错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数和极差，熟练掌握它们的计算方法是解答的关键．4．A 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，可判断根的情况.【详解】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，24b ac -叫做一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即2=4∆-b ac ，当0∆>时，方程有2个实数根，当=0∆时，方程有1个实数根（2个相等的实数根），当∆<0时，方程没有实数根.方程220x kx -+=根的判别式()22=-41(2)80k k ∆-⨯⨯-=+>，所以有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查根据一元二次方程根的判别式判断根的个数.5．A 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a 的值和另一根．【详解】设一元二次方程的另一根为x 1，∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，∴﹣1+x 1=﹣3，解得：x 1=﹣2．故选A ．6．B 【解析】【分析】设平均每月的增长率为x ，则二月份生产零件501x +（）万个，三月份生产零件()2501x +万个，由此可得出方程．【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x ，则二月份生产零件501x +（）个，三月份生产零件2501x +（）个，则得：250501501182x x ++++=（）（）．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为21a x b ±=（）．7．A 【解析】【分析】作正多边形的外接圆，连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，∴∠AOB=2∠ADB=36°，∴这个正多边形的边数为36036°°=10．故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．8．C【解析】【分析】可以根据图形平移的规律，把阴影部分的分别平移到最边上，把剩下的面积变成一个新的长方形【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，把道路进行平移后找到等量关系．9．D【解析】【分析】设弧ACB 所在圆的圆心为O ，连接OC 、OA 、OB ，在构造的Rt △OAD 中，利用垂径定理和勾股定理即可求出弧ACB 的半径长，即弓形面积=扇形AOB 面积－△AOB 面积．【详解】解：设弧ACB 所在圆的圆心为O ，连接OC 、OA 、OB ，∵CD ⊥AB ，∴C ，D ，O 三点共线，在Rt △OAD 中，设OA=xcm ，则OD=x-CD=（x-15）cm ，12AD AB ==cm ），∴222OA OD AD =+，即222(15)x x =-+，解得：3x =0，∴OD=15cm ，AO=30，∴∠OAD=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴2212030300360AOBS cmππ⨯⨯==扇形，21152AOB S =⨯⨯= ，所以所求弓形面积2(300cm π=-，故选：D ．【点睛】此题考查弓形面积求解，涉及知识点有垂径定理，扇形面积公式，30°所对直角边等于斜边一半，勾股定理等，通过构造辅助线求出半径长是解此题的关键．10．D 【解析】【分析】设AE ＝x ，则ED ＝8﹣x ，易得四边形ABFE 为矩形，则BF ＝x ，利用对称性质得FG ＝BF＝x，则CG＝8﹣2x，再根据切线长定理得到EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，所以EG ＝16﹣3x，在Rt△EFG中利用勾股定理得到42+x2＝(16﹣3x)2，然后解方程可得到AE的长．【详解】解：设AE＝x，则ED＝8﹣x，∵EF⊥AD，∴四边形ABFE为矩形，∴BF＝x，∵点B关于EF的对称点为G点，∴FG＝BF＝x，∴CG＝8﹣2x，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD和BC为⊙O的切线，∵EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，∴EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x，在Rt△EFG中，42+x2＝(16﹣3x)2，整理得x2﹣12x+30＝0，解得x1＝6，x2＝，即AE的长为6．故选：D．【点睛】本题考查了切线长定理、矩形的性质与判定、勾股定理、以及轴对称的知识．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．11．甲【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：∵21.3S =甲，2 1.7S =乙，∴S 2甲＜S 2乙，∴选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派甲去．故答案为：甲．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12．16【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义“使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根”得2280a a --=，则228a a -=，再将224a a -提出公因数2，即可得．【详解】解：∵a 是一元二次方程2280x x --=的一个根，∴2280a a --=，∴228a a -=∴22242(2)2816a a a a -=-=⨯=，故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程的根和代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．13．2【解析】【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长12064180ππ︒⨯⨯==︒cm ，∴这个圆锥底面圆的半径422ππ==cm，故答案为：2．【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．14．25【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-40°×2=100°，∴∠AOC=100°+30°=130°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．15．2【解析】【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =，∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为b a-，两根之积为c a ．16．2【解析】【分析】过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，连接OE ，OF ，由圆周角定理可知∠EOH ＝12∠EOF ＝∠BAC＝60°，即可求出EF =，所以当半径OE 最短时，EF 最短．而由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，所以只要在Rt △ADB 中，解直角三角形求出最短直径AD ，即可得到最短半径OE ，进而求出线段EF 长度的最小值．【详解】解：如图，连接OE ，OF ，过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，∴12EH EF =，∵OE=OF ，OH ⊥EF ，∠BAC=60°∴1===602EOH FOH EOF BAC =︒∠∠∠∠，∴∠OEH=30°，∴12OH OE =，∴EH =，∴EF =，∴要使EF 要最小，即半径OE 最小，即直径AD 最小，∴由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，∵在Rt △ADB 中，∠ABC ＝45°，AB ＝2，∴AD ＝BD ，222BD AD AB +=，∴224AD =，∴AD BD ==∴22EF AD ==【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够把求EF 的最小值转化成求直径AD 的最小值．17．3．【解析】【分析】连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，问题得解．【详解】解：连接OA ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA ，∴∠OAP ＝90°，∵∠APO ＝45°，∴OA ＝PA ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．18．(1)11x =-，23x =(2)13x =+23x =-(3)11x =，223x =-(4)132x =，21x =【解析】【分析】（1）原方程运用因式分解法求解即可；（2）原方程运用配方法求解即可；（3）原方程移项后运用因式分解法求解即可；（4）原方程运用公式法求解即可．(1)2(1)40--=x [(1)2][(1)2]0x x -+--=(1)(3)0x x +-=10x +=，30x -=∴11x =-，23x =(2)x 2﹣6x ﹣3＝0263x x -=26912x x -+=2(3)12x -=3x -=±∴13x =+23x =-(3)3x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）3(1)2(1)0x x x -+-=(1)(32)0x x -+=10x -=，320x +=∴11x =，223x =-(4)2x 2﹣5x+3＝0在这里2,5,3a b c ==-=2=4252410b ac ∆-=-=>∴514x ±=∴132x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法、公式法解一元二次方程．19．【解析】【分析】连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC=a ．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC=a ．∵∠AOB=90°，∴AB 是直径，∵A （-4，0），B （0，2），∴AB ∴=∵∠AMC=2∠AOC=120°，AC =∴=，在Rt △COH 中，1cos 60,22OH OC a CH a ︒=⋅===，142AH a ∴=-，在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4)()22a a =-+，∴或OC ＞OB ，所以，∴OC=2+，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．20．应将这种T 恤的销售单价定为56元/件．【解析】【分析】设应将这种T 恤的销售单价定为x 元/件，则每天大约可卖出[300+20（60-x ）]件，根据总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设应将这种T 恤的销售单价定为x 元/件，则每天大约可卖出[300+20（60-x ）]件，根据题意得：（x-40）[300+20（60-x ）]=6080，整理得：x 2-115x+3304=0，解得：x 1=56，x 2=59．∵鼓励大量销售，∴x=56．答：应将这种T 恤的销售单价定为56元/件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质证明AC ＝AD ＝CD 即可（2）要证明：E 是OB 的中点，只要求证OE ＝12OB ＝12OC ，即证明∠OCE ＝30°即可；（3）在直角△OCE 中，根据勾股定理就可以解得CE 的长，进而求出CD 的长．(1)证明：连接AC ，如图∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴ AC AD，AC ＝AD ，∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的中垂线，∴AC ＝CD ，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，(2)△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，∴FA FD=ACF DCF∴∠=∠＝30°，在Rt△COE中，OE＝12 OC，∴OE＝12 OB，∴点E为OB的中点；(3)解：在Rt△OCE中，AB=8∴OC＝12AB＝4，又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE==∴CD＝2CE＝【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．22．（1）他对阵甲队的平均每场得分为27分，对阵乙队的平均每场得分为26分；（2）他在对阵甲队时得分比较稳定；（3）他在对阵甲队时总体发挥较好，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；（2）根据方差公式进行计算，再根据方差的意义即可得出答案；（3）根据失误次数和方差的意义即可得出答案．【详解】（1）解：x 甲＝253027264+++＝27，x 乙＝273120264+++＝26．答：他对阵甲队的平均每场得分为27分，对阵乙队的平均每场得分为26分．（2）解：2S 甲＝2222(2527)(3027)(2727)(2627)4-+-+-+-＝3.5，2S 乙＝2222(2726)(3126)(2026)(2626)4-+-+-+-＝15.5．由可知22S S <甲乙，他在对阵甲队时得分比较稳定．（3）解：他在对阵甲队时总体发挥较好．理由：由x x >乙甲可知他对阵甲队时平均得分较高；由22S S <甲乙可知，他在对阵甲队时得分比较稳定；计算得他对阵甲队平均失误为1.75次，对阵乙队平均失误为2.5次，由1.75次＜2.5次可知他在对阵甲队时失误较少．【点睛】考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．23．（1）详见解析；（2）254CE =．【解析】【分析】（1）连接OC ，由AC 为O 的直径，得到90ADC ∠= ，根据 AD CD =，得到AD CD =，根据平行线的性质得到45CDE DCA ∠=∠=o ，求得90ODE ∠= ，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到AD CD ==90ABC ∠= ，求得6BC =，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）DE 与O 相切，理由如下：如图，连接OD ，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠= ，∵D 为 AC 的中点，∴ AD CD =，∴AD CD =，∴45ACD ∠= ，∵O 是AC 的中点，∴45ODC ∠=o ，∵DE AC ，∴45CDE DCA ∠=∠=o ，∴90ODE ∠= ，∴DE 与O 相切；（2）∵O 的半径为5，∴10AC =，∴52AD CD ==∵AC 为O 的直径，∴90ABC ∠= ，∵8AB =，∴6BC =，∵BAD DCE ∠=∠，45ABD CDE ∠=∠=o ，∴ABD CDE ∆∆:，∴ABADCD CE =，252CE =，∴254CE =．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）2x 2﹣＋1＝0是“邻根方程”；（2）m ＝0或−2【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m 的方程，注意有两种情况【详解】解：（1）2x 2﹣＋1＝0，∵21a b c ==-=，，∴(22=442=4b ac -=--⨯ ，∴x =，∵1=+122，∴2x 2﹣＋1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x−m ）（x ＋1）＝0，∴x ＝m 或x ＝−1，∵方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，∴m ＝−1＋1或m ＝−1−1，∴m ＝0或−2．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE 的长为5．【解析】【分析】（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论．（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可．（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．【详解】解：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴AC DCDC BC，即CD2=CA•CB．（2）证明：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3．∴∠1+∠2=90°．又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°．∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（3）如图，连接OE，∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB．∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°．∴∠ABD=∠OEB ．∴∠CDA=∠OEB ．∵tan ∠CDA=23，∴OB 2tan OEB BE 3∠==．∵Rt △CDO ∽Rt △CBE ，∴CD OD OB 2CB BE BE 3===．∵BC=12，∴CD=8．在Rt △CBE 中，设BE=x ，∴（x+8）2=x 2+122，解得x=5．∴BE 的长为5．考点：切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．26．（1）线段AD 的长度是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根，理由详见解析；（2）34．【解析】【分析】（1）方程变形即可得到22222x ax a a b ++=+，根据勾股定理得到22()x a AB +=，由BD BC a ==，即可得到结论；（2）由题意得，12AD b =，根据勾股定理列出2221()2a b a b +=+，整理得到34a b =，即可求得34a b =．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AB 2＝AC 2+BC 2，∵BC ＝a ，AC ＝b ．∴AB 2＝a 2+b 2，方程x 2+2ax ﹣b 2＝0变形为：x 2+2ax+a 2＝a 2+b 2，∴（x+a ）2＝AB 2，∵BD ＝BC ＝a ，∴（x+BD ）2＝AB 2，∵（AD+BD ）2＝AB 2，∴线段AD 的长度是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根；（2）∵AD ＝EC ，∴AC ＝2AD ＝2AE ＝b ，12AD b ∴=，12AB a b ∴=+，222AB AC BC =+ ，2221()2a b a b ∴+=+整理得34a b =，∴34ab =．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程并利用配方法得到22()x BD AB +=是解题的关键．。

南京2017初中中考数学试卷习题包括答案.docx

精品文档南京市 2017 年初中毕业生学业考试第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.计算 12 18 63 2 的结果是（） A ． 7B ． 8C ． 21D ．362.计算 106 10 2 3104 的结果是（）A ． 103B ． 107C ． 104D ． 1093.不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征 .甲同学：它有 4 个面是三角形；乙间学：它有 8 条棱 .该模型的形状对应的立体图形可能是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．三棱锥D ．四棱锥4.若 3a10 ，则下列结论中正确的是（）A ． 1 a 3B ． 1 a 4 C. 2 a 3D ． 2 a 4 若方程 x 5219 的两根为 a 和 b ，且 a b ，则下列结论中正确的是（）5.A ． a 是 19 的算术平方根B ． b 是 19 的平方根C. a 5 是 19 的算术平方根D ． b 5 是19 的平方根6.过三点 A （2，2）， B （6，2）， C （4，5）的圆的圆心坐标为（）A ．（4，17）B ．（4，3）C.（5，17）D ．（5， 3）66第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）7.计算：332；．8.2016 年南京实现 GDP 约 10500 亿元，成为全国第 11 个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示 10500 是．9.若式子x 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．110.计算 12 8 6 的结果是．11.方程 21 0 的解是．2 xx12.已知关于x的方程x2px q 0 的两根为-3和-1，则 p；q．13.下面是某市 2013~2016 年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是年，私人汽车拥有量年增长率最大的是年．14.如图， 1 是五边形ABCDE的一个外角，若 1 65 ，则A B C D．15.如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙ O 经过点A,C , D，与 BC 相交于点 E ，连接AC , AE，若D 78 ，则EAC．16.函数y1x 与 y24的图像如图所示，下列关于函数y y1y2的结论：①函数的图像关于x原点中心对称；②当 x 2 时，随的增大而减小；③当 x 0 时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 计算 a 21a1.a a2x6, ①18. 解不等式组x2, ②3 x 1 x 1.③请结合题意，完成本题的解答.（ 1）解不等式①，得.（ 2）解不等式③，得.（ 3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来.（ 4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集.19. 如图，在ABCD 中，点E, F分别在AD, BC上，且AE CF , EF , BD 相交于点O .求证OE OF .20.某公司共 25 名员工，下标是他们月收入的资料 .月收入 /元45000180001000055004800340050002200人数111361111（ 1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元.（ 2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276 元 .你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由.21.全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划 .假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（ 1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（ 2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.22.“直角”在初中几何学习中无处不在 .如图，已知 AOB ，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规） .小丽的方法如图，在 OA, OB 上分别取点 C , D ，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E ，若OE OD，则AOB 90 ..文具的购买品种，每减少购买 1 个甲种文具，需增加购买 2 个乙种文具 .设购买x个甲种文具时，需购买 y 个乙种文具 .（ 1）①当减少购买一个甲种文具时，x▲，y▲；②求 y 与x之间的函数表达式 .（2）已知甲种文具每个 5 元，乙种文具每个 3 元，张老师购买这两种文具共用去 540 元 .甲，乙两种文具各购买了多少个？24.如图，PA, PB是⊙ O 的切线，A, B为切点 .连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C ，连接 PO ，交⊙ O 于点D .（1）求证： PO 平分 APC .（）连结 DB ，若C30 ，求证 DB / / AC.225.如图，港口B位于港口A的南偏东 37 方向，灯塔 C 恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5 km ，到达E处，测得灯塔 C 在北偏东 45 方向上 .这时，E处距离港口A有多远？（参考数据： sin370.60,cos370.80, tan370.75 ）26.已知函数 y x2m 1 x m （m为常数）（ 1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（）A.0B.1 C.2 D.1 或 2（ 2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y x12的图像上 .（ 3）当 2 m 3 时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围 .27.折纸的思考 .用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片ABCD AB BC （图①），使 AB 与 DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②） .第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 C 落在EF上的P处，并使折痕经过点 B ，得到折痕BG ，折出PB, PC，得到PBC .（ 1）说明PBC 是等边三角形 .【数学思考】（ 2）如图④ .小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC .他发现，在矩形ABCD 中把PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程 .（3）已知矩形一边长为 3 cm，另一边长为acm .对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形 .请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围 .【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4 cm和 1 cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm .精品文档试卷答案一、选择题1-5:CCDBC 6:A二、填空题7.3，3. 8.1.05 104 .9. x 1.10.6.11. x 2 .12.4，313.2016，2015.14.425.15.27.16.①③ .三、解答题17.解： a21 1aaaa 22a 1 a 2 1aaa 22a 1 aaa 2 1a2a1a a 1 a 1a 1 . a118.（1） x3 .不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .（ 2） x 2 . （ 3）（ 4） 2 x 2 .19.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD / /BC , ADBC .∴ EDOFBO , DEO BFO .∵ AE CF ，精品文档∴DOE≌ BOF .∴OE OF .20.解（ 1） 3400， 3000.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大 .该公司员工月收入的中位数是 3400 元，这说明除去收入为 3400 元的员工，一半员工收入高于 3400 元，另一半员工收入低于 3400 元 .因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势 .21.解：（1）1 . 2（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共有 4 种，它们出现的可能性相同 .所有的结果中，满足“至少有一个是女孩”（记为事件 A ）的结果有三种，所以P A 3 .422.本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，方法 1：如图①，在OA, OB上分别截取OC4, OD 3 .若CD 5 ，则 AOB 90 .方法 2：如图②，在OA, OB上分别取点C , D，以 CD 为直径画圆 .若点 O 在圆上，则AOB 90 .23.解：（1）① 99，2.②根据题意，得 y 2 100 x 2 x200.所以 y 与x之间的函数表达式为y2x 200 .y2x200,（ 2）根据题意，得解得5x 3y540.x 60,y80.答：甲、乙两种文具各购买了60 个和 80 个.24.证明：（ 1）如图，连接 OB .∵ PA, PB 是⊙O的切线，∴OA AP,OB BP ，又OA OB ，∴PO 平分 APC .（ 2）∵AO AP, OB BP ，∴CAPOBP 90 .∵ C 30 ，∴APC 90 C 90 30 60 .∵PO 平分 APC ，∴116030 ，OPC APC22∴POB 90OPC9030 60 .又OD OB ，∴ODB 是等边三角形 .∴OBD 60 .∴DBPOPB OBD 90 60 30 .∴ DBP C .∴ DB / / AC .25.解：如图，过点 C 作 CH AD ，垂足为 H .设 CH xkm . 在 Rt ACH 中， A 37，∵ tan 37CH ，AH∴ AHCH x .tan 37tan37在 Rt CEH 中， CEH45 ，∵ tan 45CH ，EH∴ EHCH x .tan 45∵ CHAD , BDAD ，∴ AHCADB 90 .∴ HC / / DB .∴AH AC .HD CB又 C 为 AB 的中点， ∴ AC CB .∴ AH HD .∴xx5.tan 37∴ x5 tan 375 0.751 tan 37 1 15 .0.75∴ AEAH HE15 35 km .15tan 37因此， E 处距离港口 A 大约为 35 km .26.解：（1） D .2 2（） yx 2m 1 x mx m 1 m 1，224m 1 m 2所以该函数的图像的顶点坐标为1.,422m2把 xm 1代入 y2m 1 11x 1 ，得 y.因此，不论 m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y x 12的图像上 .m21（ 3）设函数z.4当 m1时，z有最小值 0.当 m1时，z随m的增大而减小；当 m1时，z随m的增大而增大 .2232又当 m 2 时， z11；当 m 3 时， z144.44因此，当 2 m 3时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是0 z 4 .27.解：（1）由折叠，PB PC, BP BC，因此，PBC 是等边三角形 .（ 2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，如图，以点 B 为中心，在矩形ABCD 中把PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到PBC ；11再以点 B 为位似中心，将1 1 放大，使点 1 的对应点C 2落在CD上，得到 2 2.PBC C P BC （ 3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，3 33 3a 2 30 a2a 2 32（ 4）16.5。

2023-2024学年江苏省南京市江宁区九年级(上)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列选项中，是一元二次方程的是()A. B. C. D.2.用配方法解方程，下列变形正确的是()A. B. C. D.3.若关于x的方程有实数根，则常数a的值不可能为()A. B.0 C.1 D.24.歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响()A.平均分B.众数C.中位数D.极差5.如图，是的外接圆，若AB的长等于半径，，则的度数为()A. B. C. D.6.如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在上，若，则的半径为()A.4B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.一组数据，3，，5的极差是____.8.方程的根为_____.9.设是方程的两个根，且，则______.10.某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表：测试项目操作系统硬件规格屏幕尺寸电池寿命项目成绩/分7863最后将四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为____分．11.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为____寸．12.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比二月份利润增加万元．设该产品平均每月利润的增长率为x，则可列方程_____.13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为__14.如图，在中，弦、相交于点E，若，则的度数为___15.如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在图上．若，则该圆的半径为____.16.如图，在四边形ABCD中，，，，，E为AD的中点，连接BE，CE，则面积的最小值为____.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

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2016-2017学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+=0 D．（x﹣1）（x+2）=12．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（）A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=163．关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（）A．方程没有实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.95．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．25°二、填空题7．方程x2+x=0的根是．8．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为，两个根的积为．9．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于．10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， =，∠AOB=62°，则∠BDC= ．11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为．12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为°．13．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为度（写出一个即可）．15．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是．16．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为．三、解答题17．解方程：（1）x2+4x+4=0（2）（x﹣1）2=9x2（3）x（x+1）=3（x+1）18．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．20．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．（1）求∠DBC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求的长．22．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若 BC=a，AC=b，求⊙O的半径（用含a、b的代数式表示）．23．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？24．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点D，且l∥BC．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）作∠ABC的平分线BE交AD于点E，求证：BD=DE．26．在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．（1）如图1，△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为；（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点P满足；∠BPC=∠BEC，且PB=PC；（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC ⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为．2016-2017学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+=0 D．（x﹣1）（x+2）=1【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误；B、是多项式，故B错误；C、是分式方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（）A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=16【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先将常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数．【解答】解：x2﹣6x+7=0，x2﹣6x=﹣7，x2﹣6x+9=﹣7+9，即（x﹣3）2=2，故选：C．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（）A．方程没有实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式△=k2﹣4k2=﹣3k2，结合k≠0可得△＜0，即方程没有实数根，可得答案．【解答】解：∵△=k2﹣4k2=﹣3k2＜0，且k≠0，∴方程没有实数根，故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．5．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M【考点】垂径定理．【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．【解答】解：连结BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．故选B．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．6．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠AC B=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．25°【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】连接OC，根据切线性质得：∠OCD=90°，利用同圆的半径相等得：∠OCA=∠A=25°，则∠DOC=50°，则直角三角形两锐角互余得出∠D的度数．【解答】解：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵OC=OA，∠A=25°，∴∠OCA=∠A=25°，∴∠DOC=∠A+∠OC A=25°+25°=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°，故选C．【点评】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以此类题若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．二、填空题7．方程x2+x=0的根是x1=0，x2=﹣1 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程左边分解得到x（x+1）=0，原方程转化为x=0或x+1=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x（x+1）=0，∴x=0或x+1=0，∴x1=0，x2=﹣1．故答案为x1=0，x2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程，右边化为0，再把方程左边因式分解，这样把原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到原方程的解．也考查了配方法．8．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为﹣3 ，两个根的积为 1 ．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两根为m、n，根据根与系数的关系即可得出m+n=﹣3、mn=1，此题得解．【解答】解：设方程的两根为m、n，则有：m+n=﹣3，mn=1．故答案为：﹣3；1．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为﹣、两根之积为是解题的关键．9．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于24πcm2．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：它的侧面展开图的面积=•2π•4•6=24π（cm2）．故答案为24πcm2．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， =，∠AOB=62°，则∠BDC= 31°．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵ =，∠AOB=62°，∴∠BDC=AOB=31°，故答案为：31°，【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为35°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【解答】解：连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故答案为35°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为40 °．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB=50°，∠COD=60°，则∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=40°，于是得到的度数为40°．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴的度数为40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．13．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为．【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80 度（写出一个即可）．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB．【解答】解：连接OB、OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，∴∠DCB=180°﹣130°=50°，由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50°＜∠BPD＜100°，∴∠BPD可能为80°，故答案为：80．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是2．【考点】切线的性质；两点间的距离公式．【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在Rt△AOM中求出OM即可．【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），∴AM⊥OA，OA=8，∴∠OAM=∠MH0=∠H OA=90°，∴四边形OAMH是矩形，∴AM=OH，∵MH⊥BC，∴HC=HB=6，∴OH=AM=10，在Rt△AOM中，OM===2．故答案为：2．【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．16．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】根据图形和题目中的数据可以求得线段AB扫过的图形的面积．【解答】解：由图可得，线段AB扫过的图形的面积为：（S△ABC+S扇形CAA′）﹣（S扇形CBB′+S△CAB′）∵将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，AC=6，BC=4，∴S△ABC=S△CAB′，∴线段AB扫过的图形的面积为：（S△ABC+S扇形CAA′）﹣（S扇形CBB′+S△CAB′）=S△ABC+S扇形CAA′﹣S扇形CBB′﹣S△CAB′=S扇形CAA′﹣S扇形CBB′==，故答案为：．【点评】本题考查扇形的面积的计算、旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题17．（15分）解方程：（1）x2+4x+4=0（2）（x﹣1）2=9x2（3）x（x+1）=3（x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）把等号左边化为完全平方，然后开平方即可；（2）首先两边同时开平方可得x﹣1=±3x，然后化为两个一元一次方程4x﹣1=0或﹣2x﹣1=0，再解即可；（3）首先把3（x+1）移到等号右边，然后分解因式可得（x﹣3）（x+1）=0，再解即可．【解答】解：（1）x2+4x+4=0．（ x+2）2=0，解得：x1=x2=﹣2；（2）（ x﹣1）2=9x2，x﹣1=±3x，4x﹣1=0或﹣2x﹣1=0，解得：x1=，x2=﹣．（3）x （x+1）=3（x+1），（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，解得：x1=3，x2=﹣1．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．【解答】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，×x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8，当x1=6时，14﹣x=8；当x2=8时，14﹣x=6；答：两条直角边的长分别为6，8．【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论；（2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的另一个根．【解答】解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，∴不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根．（2）将x=1代入原方程，得：1﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1，∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2．答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当△＞0时方程有两个不相等的实数根是解题的关键．20．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．【考点】垂径定理．【专题】证明题．【分析】连接OA、OC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt △OMA，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA，∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM，在Rt△ONC和Rt△OMA中，，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON．【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度不大．21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．（1）求∠DBC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；弧长的计算．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，∵∠A=105°，∴∠C=180°﹣105°=75°，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=75°；（2）连接BO、CO，∵∠C=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，∴∠BOC=60°，故的长l==π．【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．22．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若 BC=a，AC=b，求⊙O的半径（用含a、b的代数式表示）．【考点】切线的判定．【分析】（1）直接利用已知得出∠AOC+∠C=90°，进而利用切线的判定方法得出答案；（2）直接利用勾股定理得出⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图所示：连结AO，∵AO=BO，∠B=25°，∴∠AOC=2∠B=50°，∵∠C=40°，∴∠AOC+∠C=90°，∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，∵OA是半径，∴AC与⊙O相切；（2）解：设半径为r，则OC=a﹣r，在Rt△OAC中，r2+b2=（ a﹣r）2，解得：r=．【点评】此题主要考查了切线的判定，正确应用勾股定理是解题关键．23．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？【考点】黄金分割．【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程求解即可．【解答】解：设雕像的下部高为x m，则题意得：=，整理得：x2+2x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），答：雕像的下部高为﹣1 m．【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．24．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】分别根据情况设出矩形的长，利用周长40表示出宽，根据面积作为相等关系列方程求解即可．如果有解则能够围成，如果无解则不能围成．【解答】解：设围成面积为75cm2的矩形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）=75整理，得x2﹣20x+75=0解方程，得x1=5，x2=15∵当长＞宽∴x=15即这个矩形的长为15cm，则它的宽为5cm．同理，设围成面积为101cm2的矩形的长为ycm，依题意，得y（40÷2﹣y）=101整理，得y2﹣20y+101=0∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×1×101=﹣4＜0∴此方程无解，故不能围成面积为101cm2的长方形．答：长为15cm，宽为5cm时，所围成的矩形的面积为75cm2；用一条长40cm的绳子不能围成面积为101cm2的矩形．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，此类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点D，且l∥BC．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）作∠ABC的平分线BE交AD于点E，求证：BD=DE．【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】（1）连接OD，由直线l与⊙O相切于点D可得出OD⊥l，结合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根据垂径定理即可得出=，进而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可证出BD=DE．【解答】证明：（1）连接OD，如图所示．∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l．∵l∥BC，∴OD⊥BC，∴=，∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．又∵=，∴∠BAD=∠CBD，∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．又∵∠DEB=BAE+∠ABE，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE．【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，通过角的计算找出∠BAD=∠CAD（∠EBD=∠DEB）是解题的关键．26．在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．（1）如图1，△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为 2 ；（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点P满足；∠BPC=∠BEC，且PB=PC；（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC ⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为2≤m＜1+．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OB、OC，只要证明△OBC是等边三角形即可．（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．当EK=KC=时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+，在AB上只有一个点P满足∠OPC=OKC=45°，当BK=时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=OKC=45°，此时m=BC=2，由此不难得出结论．【解答】解：（1）如图1中，连接OB、OC．∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，故答案为2．（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O；以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．∵OC=2，∴OK=KC=，当EK=KC=时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+，在AB上只有一个点P 满足∠OPC=OKC=45°，当BK=时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=OKC=45°，此时m=BC=2，综上所述，满足条件的m的值的范围为2≤m＜1+．故答案为2≤m＜1+．【点评】本题考查圆综合题、圆周角定理、作图﹣复杂作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。