新人教A版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

１．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

内容错误!＝错误!＝错误!＝２R.

a２＝b２＋c２—２bc cos_A；

b２＝c２＋a２—２ca cos_B；

c２＝a２＋b２—２ab cos_C.

变形

（１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C；

（２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

（３）错误!＝错误!＝２R.

cos A＝错误!；

cos B＝错误!；

cos C＝错误!.

（１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）；

（２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A；

（３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．

３．实际问题中的常用角

（１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）．

（２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等．

（３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

[常用结论]

１．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

２．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；

b＝a cos C＋c cos A；

c＝b cos A＋a cos B.

３．内角和公式的变形

（１）sin（A＋B）＝sin C；

（２）cos（A＋B）＝—cos C.

４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．

[基础自测]

１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（）

（２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（）

（３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（）

（４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形．

[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×

２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（）

Ａ．２Ｂ．１

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.]

３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（）

Ａ．无解Ｂ．两解

Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定

B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!，

∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b.

∴此三角形有两解．]

４．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝３∶２∶４，则cos C的值为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!

D [由题意可知a∶b∶c＝３∶２∶４，不妨设a＝３k，b＝２k，c＝４k，则cos C＝错误!＝错误!＝—错误!.]

５．在△ABC中，a＝２，c＝错误!，B＝３0°，则S△ABC＝________；b＝________.

错误!１[S△ABC＝错误!ac sin B＝错误!×２×错误!×错误!＝错误!.

由b２＝a２＋c２—２ac cos B＝４＋３—４错误!cos ３0°＝１，得b＝１．]

利用正、余弦定理解三角形

【例１】（２0１6·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知２cos C（a cos B ＋b cos A）＝c.

（１）求C；

（２）若c＝错误!，△ABC的面积为错误!，求△ABC的周长．

[解] （１）由已知及正弦定理得

２cos C（sin A cos B＋sin B cos A）＝sin C，

即２cos C sin（A＋B）＝sin C，

故２sin C cos C＝sin C.

可得cos C＝错误!，所以C＝错误!.

（２）由已知得错误!ab sin C＝错误!.

又C＝错误!，所以ab＝6．

由已知及余弦定理得a２＋b２—２ab cos C＝7，

故a２＋b２＝１３，从而（a＋b）２＝２５，所以a＋b＝５（负值舍去）．

所以△ABC的周长为５＋错误!.

[规律方法] 解三角形的常见题型及求解方法

１已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及错误!，可先求出角C及b，再求出c.

２已知两边b，c及其夹角A，由a２＝b２＋c２—２bc cos A，先求出a，再求出角B，C.

３已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,４已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理错误!可求出另一边b的对角B，由C＝π—A＋B，可求出角C，再由错误!可求出c，而通过错误!求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.）

（sin A＋sin B）＝c（sin C＋错误!sin B），则角A等于（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

（２）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，A D＝３D B，cos A＝错误!，cos∠ACB

＝错误!，BC＝１３．

１求cos B的值；

２求C D的长．

（１）D [由正弦定理可得（a—b）（a＋b）＝c（c＋错误!b），即b２＋c２—a２＝—错误!bc，由余弦定理可得cos A＝错误!＝—错误!，又A∈（0，π），则A＝错误!，故选Ｄ．]

（２）[解] １在△ABC中，因为cos A＝错误!，A∈（0，π），

所以sin A＝错误!＝错误!.

同理可得sin∠ACB＝错误!.

所以cos B＝cos[π—（A＋∠ACB）]＝—cos（A＋∠ACB）＝sin A sin∠ACB—cos A cos∠ACB＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.

２在△ABC中，由正弦定理得，AB＝错误!sin∠ACB＝错误!×错误!＝２0．

又A D＝３D B，所以B D＝错误!AB＝５，又在△BC D中，由余弦定理得C D＝错误!

＝错误!＝9错误!.

判断三角形的形状

【例２】（１）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若错误!＝错误!，（b＋c＋a）（b＋c—a）