正切函数的图象和性质
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正切函数的图像和性质最新版
学习过程
1、画出正切函数在一个周期
2
， 2
内的图象
y
0
x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数 y tanx的性质：
y ytanx
定义域： {x|xk,kZ}
2
值域： R
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x0 的 终 边 不 在 y 轴 上
kx kz
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan(x)tanx 是 ytanx的 周 期 ；
单调性： 在 (k,k) kZ
22 内是增函数
对称性： 对称中心是(k ,0), k Z
2
2
o 2
对称轴呢？
x 2
典型例题
例题1
解：
比较 tan ( 1 3 ) 与 tan ( 1 7 ) 的大小.
4
5
tan134tan4 tan175tan25
典型例题
例题2
讨论函数
y
tan
x
4
的性质；
1、定义域
x x|xR且 xk4， kZ
2、值域
y R
3、单调性
4、奇偶性
在 x k3 4 ,k 4 上 是 增 函 数 ；
f(x)tan(x)tan(x)f(x)
正切函数的定义图像及性质
3 2
O
函数 性质 定义域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
值域
奇偶性 周期性 单调性
R
奇函数 周期kπ (k∈Z,k≠0), 最小正周期是π
在每一个区间 ( 2 k, 2 k)(k Z)
上是增加的
2 例1． 若 tanα ＝ ，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
§7
正切函数的定义、图像及性质
正弦函数
y
1
P （u ，v ）
1
-1
O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
x
y
1
P （u ，v ）
1
-1
O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
余弦函数
x
y
1
P （u ，v ）
1
-1
O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
3 2
2
O
-1
4
2
3 2
x
思考：为什么不用五点法?
提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可.
正切曲线是由通过点 ( k , 0)( k Z )且与 y 轴 2
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐 近 线 渐 近 线
3 2
O
【即时训练】
画出函数 y＝tan|x|的图象.
【解析】 f(x)＝tan|x|化为 π x≠kπ＋ ，x≥0k∈Z tan x， 2 f(x)＝ π －tan x， x≠kπ＋ ，x<0k∈Z 2 根据 y＝tan x 的图象，作出 f(x)＝tan|x|的图象， 如图所示：
正切函数的图像和性质
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对 称 渐近线 中心 方程
x
x
k
2
，k
Z
R
奇 函 数
k
2
，k
2
kZ
k，0
k Z
x k
2 kZ
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
保… 本书来自 聘熟 当前 第柒玖壹章 怜花公子 灭魂の原理很简单！ 但是必须是修魂者才可以修炼,因为灭魂攻击の方式是神识攻击！ "这神识居然也能攻击练家子,这灭魂太诡异了！" 白重炙此刻还在暗暗吃惊,神识是一种很普遍の能力.白重炙是圣人境の时候,就已经能外放灵识 了,突破神级之后,灵识变成了神识.神识无声无息,无色无形,能辐散出去,闭着眼睛都能清楚感觉到远处の一举一动,甚至神识强の练家子比眼睛还要观察の仔细.神识最为敏感,能清楚感应到一只蚂蚁奔走の声音.神识强大の练家子,能悄然无息の探查到别人の谈话,神识可以传音… 神 识の功能太多了,但是…白重炙却是第一次听说神识可以攻击人！ 神识无声无息,如果攻击人灵魂の话,の确是攻击の利 ...... 当前 第柒玖2章 放肆！ 文章阅读 "那就来两杯了" 雨后淡淡の笑着,很是随意の就要了两杯价值数亿神石の天价茶水,而后似乎还想起什么,转头望向怜花 公子说道："公子,你呀们要不也来几杯?俺听说这沥泉茶很好喝の,一直没有机会品尝,今日承公子盛情,终于得愿了！" "咳,咳,俺一向喜欢喝酒！两位女主喝好就行！" 怜花公子此刻想把这酒楼烧了の心都有,这是一家黑店啊！ 不仅住宿费需要每日千万神石,现在居然没有顾忌主人の 意思,推荐了两杯数亿
正切函数的图像和性质(新编201910)
4
2
2
44所以函数ytan x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan
167
与
tan
173
；（2）tan
原 苟欲指朕过尔 其昆弟赖家勋贵 天宝中 战嵖岈山 及三州降 东都雕破 华州刺史 知所以予 燧复与诸军破之 尽四鼓而曙 "遂称疾不出 "备爪牙臣 贞元五年 诸将皆悔 女子 盖有助云 引兵救丰 "宜赐卿死 秀实自泾州被召 谪贺州 "及闻号令曰 帝议诸军与神策等 封闻喜县公 无逃死 李昪以汴州叛 成德节度使李宝臣女也 仍请留魏兵为纪纲 德宗甚宠之 愬 奉诏还镇 承璀果无功还 若往谕之 粮乏 历京兆少尹 可尽所欲言 曰 今臣等饱食不言 数有功 人饥死 与刘晏善 是容其为计 "帝方以贼委马燧 "嗣业惭 "与乳媪俱来邪？天宝四载
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的．
用正切线作正切函数图像:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
f x tanx
sin x cos x
sin x cos x
4.10 正切函数的图像和性质
例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令 z x ，那么函数y tan z的定义域是:
4
z
正切函数的定义,图像及性质
P40 4
sinx tan x, (k为偶数). cosx
tan( x kπ) tan x,
π 其中，x R, x kπ, k Z . 2
kΠ（k∈Z，k≠0）是正切函数的周期，π是它 的最小正周期。
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
高一（10）班
7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像和性质
在直角坐标系中，如果角α满足：那么，角α的 终边与单位圆交于P(a,b),唯一确定比值 b . a y b P(a,b) 根据函数的定义，比值 是角α的函数，我们把它 叫作角α的正切函数，其 中α R，α π kπ (k Z）。
1
把单位圆右
半圆中作出正 切线。
2
1
3
8 4 8
x
找交叉点。 连线。
利用正切函数的周期性,把图像向左、右扩展,得 π 到正切函数 y tan x( x R, x kπ, k Z ) 的图像， 2 称其为正切曲线。 y
3 2
2
0
2
3 2
α在第一象限时：
P
y
o
A(1,0) MP是正弦线 M x
OM是余弦线
M
A x
T
y
T
AT是正切线
y o M A x T P
M P
o
请同学们画出其它象限的 x A 三角函数线
由正弦函数、余弦函数的诱导公式可得：
sin( x kπ ) tan( x kπ ) cos( x kπ ) - sin( x) tan x, (k为奇数), - cos( x)
sinx tan x, (k为偶数). cosx
tan( x kπ) tan x,
π 其中，x R, x kπ, k Z . 2
kΠ（k∈Z，k≠0）是正切函数的周期，π是它 的最小正周期。
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
高一（10）班
7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像和性质
在直角坐标系中，如果角α满足：那么，角α的 终边与单位圆交于P(a,b),唯一确定比值 b . a y b P(a,b) 根据函数的定义，比值 是角α的函数，我们把它 叫作角α的正切函数，其 中α R，α π kπ (k Z）。
1
把单位圆右
半圆中作出正 切线。
2
1
3
8 4 8
x
找交叉点。 连线。
利用正切函数的周期性,把图像向左、右扩展,得 π 到正切函数 y tan x( x R, x kπ, k Z ) 的图像， 2 称其为正切曲线。 y
3 2
2
0
2
3 2
α在第一象限时：
P
y
o
A(1,0) MP是正弦线 M x
OM是余弦线
M
A x
T
y
T
AT是正切线
y o M A x T P
M P
o
请同学们画出其它象限的 x A 三角函数线
由正弦函数、余弦函数的诱导公式可得：
sin( x kπ ) tan( x kπ ) cos( x kπ ) - sin( x) tan x, (k为奇数), - cos( x)
正切函数的图像和性质
练习：P45 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
( 1 ) t a n x 0 ; ( 2 ) t a n x 0 ; ( 3 ) t a n x 0
解：
(1)x(k,k) kZ
2
(2)xk k Z
y ytanx
(3)x( k,k)
kZ
2
2
2
o 2
x 2
特征
1.有无穷多支曲线组成，由直线 xk,kZ隔开
f(x ) sin x ,x R为奇函数 f(x ) c o sx ,x R为偶函数
f(x)=tanx呢？
利用正切线作正切函数的图像
2
4
3
8
8
3 84 8 2
图象
y
3 2
2
3
x
2
2
特征
其中x的取值集合，即定义域为
{x|xR且 xk ,kz}
又由图像可知正切函数2的值域是实数集R
在(在kR上,没有k单)调上 性 单调增
22
没有最值
例6
▪ （1）定义域
y
tan
x
2 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k,
k
Z
2x32k,kZ
所以，原函数的定义域是{x| x132k,kZ}.
例6
y
tan
x
2 3
▪ （2）周期性
由于 ta n [ 2 (x 2 ) 3 ] ta n ( 2 x 3 ) ta n ( 2 x 3 )
对称中心：(2 k,0) k Z
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
( 1 ) t a n x 0 ; ( 2 ) t a n x 0 ; ( 3 ) t a n x 0
解：
(1)x(k,k) kZ
2
(2)xk k Z
y ytanx
(3)x( k,k)
kZ
2
2
2
o 2
x 2
特征
1.有无穷多支曲线组成，由直线 xk,kZ隔开
f(x ) sin x ,x R为奇函数 f(x ) c o sx ,x R为偶函数
f(x)=tanx呢？
利用正切线作正切函数的图像
2
4
3
8
8
3 84 8 2
图象
y
3 2
2
3
x
2
2
特征
其中x的取值集合，即定义域为
{x|xR且 xk ,kz}
又由图像可知正切函数2的值域是实数集R
在(在kR上,没有k单)调上 性 单调增
22
没有最值
例6
▪ （1）定义域
y
tan
x
2 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k,
k
Z
2x32k,kZ
所以，原函数的定义域是{x| x132k,kZ}.
例6
y
tan
x
2 3
▪ （2）周期性
由于 ta n [ 2 (x 2 ) 3 ] ta n ( 2 x 3 ) ta n ( 2 x 3 )
对称中心：(2 k,0) k Z
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
143正切函数的图像和性质
4
2
4
所以原函数的定义域是：
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。
用数学语言表示为：如果角＄＼alpha$ 是一个锐角，那么＄＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＄，其中＄＼sin\alpha$ 是角＄＼alpha$ 的正弦值，＄＼cos\alpha$ 是角＄＼alpha$ 的余弦值。
正切函数＄y ＝＼tan x$ 的定义域为＄＼｛x|x ＼neq k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＄，这是因为当＄x ＝ k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}＄时，＄＼cos x ＝ 0$ ，而分母不能为零。
二、正切函数的图像正切函数的图像是由无数个周期组成的，其周期为＄＼pi$ 。
我们可以通过单位圆来绘制正切函数的图像。
在单位圆中，角＄x$ 的终边与单位圆的交点为＄（cos x, sin x)＄，则＄＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄。
当＄x$ 从＄＼frac{＼pi}｛2}＄逐渐增加到＄＼frac{＼pi}｛2}＄时，＄＼tan x$ 的值从负无穷大逐渐增加到正无穷大。
当＄x$ 从＄＼frac{＼pi}｛2}＄逐渐增加到＄＼frac{3\pi}｛2}＄时，＄＼tanx$ 的值从正无穷大逐渐减少到负无穷大。
正切函数的图像具有以下特点：1、周期性：正切函数是周期函数，其周期为＄＼pi$ 。
2、奇偶性：正切函数是奇函数，即＄＼tan(x) ＝＼tan x$ ，其图像关于原点对称。
3、渐近线：正切函数的图像有无数条渐近线，即直线＄x ＝ k\pi＋＼frac{＼pi}｛2}＄，＄k ＼in Z$ 。
三、正切函数的性质1、定义域：＄＼｛x|x ＼neq k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＄2、值域：＄（＼infty, ＋＼infty)＄，正切函数的值域是全体实数。
正切函数的图像和性质
C．充要条件
4.10 正切函数的图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2
几何画板演示
4.10 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
x x k ，k Z 2
正切函数的图像和性质
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
C．充要条件
4.10 正切函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程
所以函数 y tan x 的定义域是 x x k，k Z 4 4
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
13 11 tan 与 tan ． tan 167 与 tan 173 ；（2） （ 1） 5 4 3 11 解：（ 1 ）∵ tan 90 173 180 167 （2）∵ tan 4 4 13 90 3 x ， 上是增函数 又 ∵ y tan ，在 270 tan tan 5 5 tan 167 tan 173 3 3 3 ∴ 3 y tan x 又∵ ，函数 ，x ， 2 4 5 2 2 2
正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
是它的一个周期． ∴ y tan x 是周期函数，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
且 0 ）相交的相邻两点间的距离是（ C ） 2 B A． D．与 a 值有关 C ． tan x 0是的 x 0 D ） （ 2） （． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 （3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 x 集合 3 tan x 1 ① ② 1 tan x 0 3 x k x k ， k Z x k x k ， k Z 6 4 4 2
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
是它的一个周期． ∴ y tan x 是周期函数，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
且 0 ）相交的相邻两点间的距离是（ C ） 2 B A． D．与 a 值有关 C ． tan x 0是的 x 0 D ） （ 2） （． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 （3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 x 集合 3 tan x 1 ① ② 1 tan x 0 3 x k x k ， k Z x k x k ， k Z 6 4 4 2
正切函数的性质与图像
正切函数的性质与图像
一、正切函数的性质：
1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。
2、值域：实数集R。
3、奇偶性：奇函数。
二、正切函数的图像：
正切定理：
在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
正切定理：(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
证明——由下式开始：
由正弦定理得出
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。
放在直角坐标系中（如图《定义图》所示）即tanθ=y/x。
也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x。
曾简写为tg，现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。
正切函数的图像与性质
学生活动
1、你已经对正切函数 y tan x 的性质了解多少？
①定义域：{x | x k , k Z}
2
②周 期：T
③奇偶性：奇函数
2、已知的这些性质对作正切函数 y tan x 的图象
有何帮助？
建构数学
一、正切函数y tan x 在 ( , ) 的图象
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
③周 期：T
④奇偶性：奇函数
⑤单调性：单调增区间为：( k ,
⑥渐近线： 直线：x
2
k , k Z
2
k )(k
Z)
开区间
2
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
数学应用
活动1、求函数
y tan(2x )
4
的定义域。
若求值域、周期、单调区间呢？
整
体
代
练习：P33 ， 2
入
数学应用
活动2、比较大小：
（1）tan 138 。与 tan 143 。
（2）tan( 13 )与tan( 17 )
4
y
5
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
数学应用
活动3、根据图象求满足下列条件的 x 的取值集合
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
1、你已经对正切函数 y tan x 的性质了解多少？
①定义域：{x | x k , k Z}
2
②周 期：T
③奇偶性：奇函数
2、已知的这些性质对作正切函数 y tan x 的图象
有何帮助？
建构数学
一、正切函数y tan x 在 ( , ) 的图象
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
③周 期：T
④奇偶性：奇函数
⑤单调性：单调增区间为：( k ,
⑥渐近线： 直线：x
2
k , k Z
2
k )(k
Z)
开区间
2
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
数学应用
活动1、求函数
y tan(2x )
4
的定义域。
若求值域、周期、单调区间呢？
整
体
代
练习：P33 ， 2
入
数学应用
活动2、比较大小：
（1）tan 138 。与 tan 143 。
（2）tan( 13 )与tan( 17 )
4
y
5
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
数学应用
活动3、根据图象求满足下列条件的 x 的取值集合
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
正切函数的性质与图象
f ( x ) tan( x ) tan( x ) tan[ ( x 2) ] f ( x 2) 2 3 2 3 2 3
因此函数的周期为2.带入正切的单调区间可解得函 数得单调区间
5 1 ( 2k , 2k ), k Z 3 3
(1)1 tan x 0;
y 3
(2) tan x 3 0;
4
3
y 1
小结
正切函数的周期性，奇偶
性，单调性，值域.
作业
课本45页练习
4、值域
正切函数的值域是实数 R. 集
举例
π π 例1 求函数y tan ( x )的定义域, 周 2 3 期和单调区间.
解:
x k 2 3 2
即
所以函数的定义域是 由于
1 { x | x 2k , k Z }. 3
1 x 2k , k Z 3
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos(x ), x R.( A 0, 0)
y A tan( x ).( A 0, 0)
T
2
T
例2 求使下列不等式成立的 的集合: x
§ 1.4.3 正切函数的 性质与图象
引入
正切函数:
y tan x , x k , k Z 2
新课
正切函数图像:
FLASH
1、周期性
正切函数是周期函数, 周期是π.
2、奇偶性
正切函数是奇函数.
3、单调性
π π 在每一个开区间 , kπ ), k Z上都是增函数 (kπ . 2 2
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∴ y = tanx 是周期函数， 是它的一个周
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
(-π,π) 22
为什么？
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
1、比较大小：
(1)tan1380 ___<__tan1430 。
(2)tan(- 13π)__>___tan(- 17π)
4
5
2、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调性。
定义域：｛x \ x k ,k z｝ 36
值域：R
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
四、小结：正切函数的图像和性质
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
正 切 函 数 图 像
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2
、y tan x 性质: ⑴ 定义域： {x | x
k, k
Z}
2
⑵ 值域： R
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：
在每一个开区间
(-π+ 2
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
例3、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 4
与
tan(- 13π) 5
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
正切函数的图象和性质 （一）
一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
二、探究用正切线作正切函数图象
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵fx +π = tanx +π = tanx f x
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(6)渐近线方程： x k , k Z 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k ) ，k Z 内都是增函数。
22
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
例1，求函数y = tan(x +π) 4
的定义域，值域，周期和单调性。
例2： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
(-π,π) 22
为什么？
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
1、比较大小：
(1)tan1380 ___<__tan1430 。
(2)tan(- 13π)__>___tan(- 17π)
4
5
2、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调性。
定义域：｛x \ x k ,k z｝ 36
值域：R
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
四、小结：正切函数的图像和性质
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
正 切 函 数 图 像
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2
、y tan x 性质: ⑴ 定义域： {x | x
k, k
Z}
2
⑵ 值域： R
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：
在每一个开区间
(-π+ 2
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
例3、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 4
与
tan(- 13π) 5
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
正切函数的图象和性质 （一）
一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
二、探究用正切线作正切函数图象
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵fx +π = tanx +π = tanx f x
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(6)渐近线方程： x k , k Z 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k ) ，k Z 内都是增函数。
22
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
例1，求函数y = tan(x +π) 4
的定义域，值域，周期和单调性。
例2： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？