2009考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则

(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

6

b =.

（3）使不等式1sin ln x t

dt x t

>⎰成立的x 的范围是

(A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π

π.

(D)(,)π+∞.

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

x

F x f t dt =

⎰的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩

阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为

(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.

(B)**

23O

B A O ⎛⎫

⎪⎝⎭.

(C)**32O A B O ⎛⎫

⎪⎝⎭

.

(D)**

23O A B

O ⎛⎫

⎪⎝⎭

. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T

P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)210110002⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.

(B)110120002⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭.

(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

.

(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

.

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则

(A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ⋃=.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

1{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cos 0x x →= .

（10）设()y x

z x e =+，则

(1,0)

z

x ∂=∂ .

（11）幂级数2

1

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T

αβ相似于300000000⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，则k = .

(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET = .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

⎰

(0)x >. （17）（本题满分10 分） 计算二重积分

()D

x y dxdy -⎰⎰

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],

a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，

则'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

.

（Ⅰ）求满足21A ξξ=，2

31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）

设二次型222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

11y y +，求a 的值.

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

x e y x

f x y -⎧<<=⎨

⎩其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦.

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦；

（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

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数学三试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.