初等数论定理

初等数论

1. 整除性质

a) 若a|b，a|c，则a|(b±c)。

b) 若a|b，则对任意c，a|bc。

c) 对任意非零整数a，±1|a，±a|a。

d) 若a|b，b|a，则|a|=|b|。

e) 如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

f) 如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反

过来也成立。

g) 如果a∣b且b∣c，则a∣c。

h) 如果c∣a且c∣b，则c∣ua+vb，其中u，v是整数。

i) 对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r

个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

j) 若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因

数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最

大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

2. 带余除法

a) 对于a，b两个整数，其中b≠0，则存在唯一q，r使得：

a = bq+r，0 ≤ r< |b|．r称为a被b除得到的余数．显然当r = 0时，b∣a．

3. 最大公约数

设a，b是两个整数，如果整数c∣a且c∣b，则c称为a，b的公因子．设c>0是两个不全为零的整数a，b的公因子，如果a，b的任何公因子都整除c，则c称为a，b的最大公因子，记为c= (a，b)．

a) (a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)

b) (0,a)=a

c) 设a，b是两个不全为零的整数，则存在两个整数u，v，使

(a，b)= ua+vb．

4. 欧几里德除法（辗转相除法）：

已知整数a，b，记r0=a，r1=b，

r0=q1r1+r2，0 ≤r2＜r1=b;

r1=q2r2+r3，0 ≤r3＜r2;

…

r n-2=q n-1r n-1+r n，0 ≤r n＜r n-1;

r n-1=q n r n

f) 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示

c,m的最大公约数，特殊地,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)

g) 幂运算如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

h) 如果a ≡ b (mod m)，且d∣m，d是正整数，则a ≡ b (mod d)

i) 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中

[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数

j) 推论如果a1≡b1 (mod m)，a2≡b2 (mod m)，则

a1x+ a2y≡b1x+ b2y (mod m)，其中x，y是任意整数．

a1n=b1n(mod m)，其中n是正整数．

f(a1) ≡f(b1) (mod m)，其中f(x)是任一给定的整系数多项式：

f(x) = c0+ c1x+…+c k x k．

10. 威尔逊定理

若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

11. 欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互素，即gcd(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

12. 孙子定理

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设

是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数

：

方程组的通解形式为

：

在模的意义下，方程组只有一个解：

13. 费马小定理

假如p是质数，若p不能整除a，则a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。

若p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

14.