求三角函数最值的方法

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求三角函数最值的四种方法

求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。

以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。

1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。

例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。

这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。

3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。

对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。

4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。

通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。

在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。

1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。

答案]3。

常见的三种三角函数值域的求法

常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。

一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。

具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。

即y 的取值范围为[-1, 1]。

2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。

3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。

而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。

二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。

具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。

即y 的取值范围为[-1, 1]。

2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。

3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。

而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。

三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。

具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。

因此，正切函数的值域为实数集。

2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。

这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。

3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。

正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。

综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。

求三角函数最值的四种常用解题方法

求三角函数最值的常用解题方法
一. 转化为二次函数求解三角函数的最值，适用于题目中出现的三角函数分别为一次和二次时
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。

二. 使用辅助角公式（化一法）求解三角函数的最值
适用于题目中出现的三角函数同次时
—1—
例2．求函数的值域。

分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。

解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。

—2—
三.利用函数值域的有界性，求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
—3—
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。

分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

解：
—4—。

求三角函数最值的常用方法

所兰一＋专～３以一２４（２＝）．＋
又因为产２ — ２２，［ √ √ ］且函数在［ — ］上为减函数，因此：ｔ当一，．一７（ ∈ｚ时，即Ｔｒｇ＋志）
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现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点．下面
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港台电视剧里。大户人家里的小孩都被佣人称为少爷．儿子看多了，便对我说： “ 妈妈，少爷，后也叫我少爷！我是以 ” 婆婆听了忙插话
说，你可不能叫少爷．儿子奇怪地问为么什？老太太说： “ 老百姓家的弦子就叫名字，只有老￣；ｑａ，少爷．儿子恍然大悟：ｃ－＇＇－－ｔ ” “ 原来舅
三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、
令ｓｚ０ｚ１ ≤ ，ｓｚｏｚｔｉｉ＋ｏ — （ｌ一）则ｉｓ一— ｎｓ￡√ ｎ０￣－
，
图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、．
两角和差以及倍角公式的考查．是函数思想的具体体
维普资讯
专题突破
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三角函数的不等式与最值

三角函数的不等式与最值三角函数是数学中重要的一类函数，它们在不等式求解和最值问题中具有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的不等式求解方法以及如何找到三角函数的最值。

1. 正弦函数的不等式与最值1.1 不等式求解方法对于不等式sin(x)>0，我们需要找到使得正弦函数大于零的x的取值范围。

由于正弦函数在单位圆上的坐标表示sin(x)=y，因此正弦函数大于零的范围可以表示为y>0。

在单位圆上，y>0对应着角度在0到π之间的位置。

因此，不等式sin(x)>0的解集为x∈(0, π)。

1.2 最值求解方法最值问题通常需要找到函数的最大值或最小值。

对于正弦函数sin(x)，它的最大值为1，最小值为-1。

这是因为正弦函数在单位圆上的y坐标的范围是[-1, 1]。

因此，最大值为1，最小值为-1。

2. 余弦函数的不等式与最值2.1 不等式求解方法对于不等式cos(x)<0，我们需要找到使得余弦函数小于零的x的取值范围。

由于余弦函数在单位圆上的坐标表示cos(x)=x，因此余弦函数小于零的范围可以表示为x<0。

在单位圆上，x<0对应着角度在π/2到3π/2之间的位置。

因此，不等式cos(x)<0的解集为x∈(π/2, 3π/2)。

2.2 最值求解方法对于余弦函数cos(x)，它的最大值为1，最小值为-1。

这是因为余弦函数在单位圆上的x坐标的范围是[-1, 1]。

因此，最大值为1，最小值为-1。

3. 正切函数的不等式与最值3.1 不等式求解方法对于不等式tan(x)>0，我们需要找到使得正切函数大于零的x的取值范围。

正切函数可表示为tan(x)=sin(x)/cos(x)。

根据正切函数的性质，当sin(x)和cos(x)的符号相同时，tan(x)大于零；当它们的符号不同时，tan(x)小于零。

因此，正切函数大于零的范围可以表示为sin(x)和cos(x)同号。

在单位圆上，sin(x)>0且cos(x)>0的范围对应着角度在0到π/2之间和角度在2π到5π/2之间的位置。

三角函数最值问题常见解法

三角函数最值问题的几种常见解法一、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

如何求解三角函数的最值和周期

如何求解三角函数的最值和周期三角函数是数学中经常遇到的重要函数之一，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

在解题中，求解三角函数的最值和周期是常见的问题之一。

本文将介绍如何求解三角函数的最值和周期，并给出相关的方法和例子。

一、求解正弦函数的最值和周期在求解正弦函数的最值和周期时，我们需要注意以下几点：1. 最值：正弦函数的最值在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：正弦函数的周期为2π，即正弦函数在[-π, π]内完成一个周期。

二、求解余弦函数的最值和周期对于余弦函数的最值和周期的求解，我们需要注意以下几点：1. 最值：余弦函数的最值也在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：余弦函数的周期也为2π，同正弦函数，即余弦函数在[-π, π]内完成一个周期。

三、求解其他三角函数的最值和周期除了正弦函数和余弦函数，其他三角函数（比如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等）也有各自的最值和周期，需要分别求解。

以下是它们的最值和周期的求解方法：1. 正切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是π；2. 余切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是π；3. 正割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是2π；4. 余割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是2π。

四、求解三角函数最值和周期的应用举例为了更好地理解求解三角函数最值和周期的方法，我们来看一个具体的例子：例子：求解函数y = 2sin(3x) + 1的最值和周期。

解析：根据正弦函数的性质，我们可以知道最大值和最小值分别为3和-1，周期为2π/3。

通过这个例子，我们可以看到，求解三角函数最值和周期的方法是先分析函数的性质，确定最值和周期的范围，然后根据函数的公式进行计算得出结果。

五、总结求解三角函数的最值和周期是数学中的基本问题，掌握求解方法对于解题非常关键。

在本文中，我们介绍了求解正弦函数和余弦函数最值和周期的方法，并给出了其他三角函数最值和周期的求解方法。

三类常见的三角函数最值问题及其解法

思路探寻在近几年的高考数学试题中，三角函数最值问题屡见不鲜.此类问题一般具有较强的综合性、抽象性，侧重于考查同学们的抽象思维能力和综合处理问题的能力.本文重点谈一谈三类常见的三角函数最值问题及其求法一、求一次三角函数的最值一次三角函数最值问题属于常规题目.解答此类问题，需灵活运用三角函数中的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将三角函数式转化为只含有一个角、一种函数名称的式子，然后根据三角函数的图象和性质来求得函数的最值.例1.求函数f ()x =cos x ()2sin x +3cos x 的最值.解：f ()x =2sin x cos x +3cos 2x =sin 2x +32cos 2x +32=sin ()2x +φ+32(2x +φ+32.由于||sin ()2x +φ≤1，因≤f ()x 那么函数的最大值是.第一步，我们要仔细观察三角函数的形式，将其进行适当的变形.若三角函数式中含有括号就要先将括号去掉；若含有两种不同的函数名称，就需用辅助角公式或tan x =sin xcos x将函数名称统一；若含有两个不同的角，就需用诱导公式、两角和差公式将角统一，最后根据三角函数的图象和性质求得最值.二、求二次三角函数的最值解答二次三角函数最值问题，我们一般要先利用二倍角sin 2x =2sin x cos x 、cos 2x =2cos 2-1=1-2sin 2x或其变形式2cos 2x =cos 2x -1、sin 2x =1-cos 2x 2等，将三角函数式的幂或角统一，将其转化成为f ()x =A sin ()ωx +φ+B 的形式，或者只含有一种函数名称的二次式，然后利用三角函数的有界性和二次函数的性质来求最值.例2.已知函数f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1()x ∈R .试求出函数f ()x 的最小正周期，以及当x ∈éëùû0，π2时f ()x 的最大值与最小值.分析：该三角函数式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式将其化简，然后利用辅助角公式，将其转化为只含有一种函数名称的函数式，再根据正余弦函数的单调性和有界性便可求得原函数的最值.解：f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1=3()2sin x cos x +()2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin æèöø2x +π6.因此这个函数的最小正周期是T =2π2=π.当x ∈éëùû0，π6，即2x +π6∈éëùûπ6，π2时，函数f ()x 单调递增；而当x ∈éëùûπ6，π2，即2x +π6∈éëùûπ2，7π6时，函数f ()x 单调递减，因此当x =π6时，函数取最大值f æèöøπ6=2sin π2=2；当x =π2时，函数取最小值f æèöøπ2=2sin 7π6=-1.三、求含有分式的三角函数的最值求含有分式的三角函数的最值有两种思路，第一种思路是尝试将常数分离，求得分离后含有变量式子的最值便可解题；第二种思路是，将函数y =f (x )看作参数，将函数式变形为整式，然后运用辅助角公式，将其转化为A sin ()ωx +φ+B 或A cos ()ωx +φ+B 的形式，再利用正余弦函数的有界性来建立关系式，解不等式便可求得y 的取值范围，进而确定函数的最值.例3.求函数y =sin x -23-2sin x 的最值.解：将y =sin x -23-2sin x变形可得()2y +1sin x =3y +2æèöøy ≠-12，即sin x =3y +22y +1.又因为||sin x ≤1，则||||||3y +22y +1≤1，将其两边同时平方可得()3y +22≤()2y +12，解得-1≤y ≤-35，因此函数的最大值为-35，最小值为-1.我们先将函数式变形为一边只含有sin x 、一边不含有sin x 的式子，然后根据y =sin x 的有界性求3y +22y +1的取值范围，求出y 的取值范围便可以确定函数的最值.总之，要想顺利求得三角函数的最值，我们需熟练掌握三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧，先将所求函数式化简为只含有一个角、一种函数名称、次数统一的最简形式，然后根据三角函数的单调性和有界性来求得原函数的最值.王国顺46。

三角函数最值问题的十种常见解法

三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。

解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。

解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。

例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。

解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。

例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。

解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。

通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。

解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。

通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。

解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。

例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。

解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。

例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。

解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。

例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。

解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。

通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。

三角函数极值的求法

三角函数极值的求法三角函数的极值是指函数取得最值的点，即函数图像最高点或最低点。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，下面将逐一介绍它们的极值求法。

一、正弦函数的极值正弦函数的一般式为y = A sin (Bx + C) + D，其中A为振幅，B为角频率，C为初相位，D为纵坐标偏移。

1、寻找极值正弦函数的图像是一往复振荡的波形，它的最高点和最低点都是函数的极值点。

根据正弦函数的性质，它的极值分别是A+D和-D-A。

2、判断性质为了判断极值点的性质，需要求出函数在这些点的一阶导数和二阶导数，即y' = ABcos(Bx+C)，y'' = -AB^2sin(Bx+C)。

当y' = 0时，即cos(Bx+C) = 0，根据余弦函数的周期性，可得Bx+C = (2k+1)π/2，k∈Z。

因此，对于任意整数k，都可以求得y' = 0的解。

将这些值代入y''中，若y'' > 0，则函数图像在该点处有极小值；若y'' < 0，则函数图像在该点处有极大值；若y'' = 0，则该点不是极值点。

二、余弦函数的极值余弦函数的一般式为y = A cos (Bx + C) + D，其中A为振幅，B为角频率，C 为初相位，D为纵坐标偏移。

1、寻找极值余弦函数的图像也是一往复振荡的波形，它的最高点和最低点同样是函数的极值点。

根据余弦函数的性质，它的极值分别是A+D和D-A。

2、判断性质同样需要求出函数在极值点处的一阶导数和二阶导数，即y' = -ABsin(Bx+C)，y'' = -AB^2cos(Bx+C)。

当y' = 0时，即sin(Bx+C) = 0，根据正弦函数的周期性，可得Bx+C = kπ，k ∈Z。

根据导数的符号，可判断极值点的性质，若y'' > 0，则函数图像在该点处有极小值；若y'' < 0，则函数图像在该点处有极大值；若y'' = 0，则该点不是极值点。

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

求三角函数最值及值域常用的策略

师说新语３３２０１９年第２５期求三角函数最值及值域常用的策略◎ 任彩霞/平遥现代工程技术学校三角函数的最值问题是三角函数中重要的一个知识点，题型较多、方法较碎，是同学们学习的一个难点，由于题型灵活，容易考查思维能力，因而也是高考中热点题型，现对三角函数最值求法中常见的策略加以归类，常用方法加以总结，以达快速正确求解。

一、利用三角函数的有界性求最值1、形如y=asinx+bcosx+c 型，引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c ，再求值域。

例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域解：f(x)=2sinx+21cosx －23sinx=（2－23）sinx+21cosx=)sin()21()232(22φ++−x ，故f(x)∈[]2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型，通过降幂转化为Asinx+Bcosx ，再求值域。

例2、f(x)=23asinx·cosx-2asin 2x+1（a>0）的值域解：f(x)= 3asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+6π)-a+1∵a>0，sin(2x+6π)-a+1∴f(x)∈[-3a-1，a+1]二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型，令sinx=t 转化为二次函数再求值域。

例3、k<-4，求y=cos 2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos 2x-1+kcosx-k y=2cos 2x+kcosx-k-1，设t=cosx ，t ∈[-1,1]则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－4k，由于k<-4，则－4k >1，故当t=1时，ymin=1，当t=－1时，ymax=1－2k ，即y ∈[1,1-2k]2、形如y=asinx·cosx+b （sinx ±cosx ）+c 型，令sinx ±cosx=t转化为二次函数在]2,2[−上的值域问题例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的值域。

数学-三角函数中的最值问题(4种方法)

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x)在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2 +1,当x∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62a f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22xπ∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题，设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3．求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八．数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8．求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九．判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十．分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1）当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2）当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3）当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。

三角函数最值问题的十种求解方法

般地，形如：
！ ± 的最值问题均可化为！
口，Ｃ＋ＤＯＳ＋ｃＯＳ，Ｃ
＝ｓ！Ｓ一一！Ｓ三＝ — — 一＞一 — 三 — 一一＝＞一Ｓ＝
４ｓｎＸ＋３２ｉ
３
一一
２
ｓｎｉＸ＋３
根据此函数式的特点，设法将二元ｓｃｓｉｏ转化为一元变量，即可ｎ
利用正余弦函数的有界性求解。
由ｓ２）ｌ。ｉＨ手≤得ｎ（
课程内容（理论和技术）进行合理的分类：重点掌握内容、一般理解内容和只需了解内容；然后需要选择恰当的考核内容，制定相应的、合理的评价方式和方法，形成完善的评价体系；最后就是要保证评价体系的贯彻执行。目前世界各国课程评价的发展趋势是：过程取向的评价和主体取向的评价正在超越目标取向的评价。体操课程改革也应该改变原有的单一评价模式，将过程评价和终结评价相结合，将定性评价和定量评价相结合，而且还应该把对学生发展的评价引入到课程评价中来，以形成理论与实践相统一、过程与结果相统一、课程设计与学生发展相统一、掌握知识与发展能力相统一的完善的课程评价体
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二一２ｉ＋）７２！。由！（ｎ３＂：一ｓｘ－：
ｓｎＸ＋３ｉ
≤ ２５一４
ｓｎＸ＋３ｉｓｎＸ＋３ｉｌｓｎｌ＝ｓｎＸ＋３４ｉＸ＝＞ｌｉ
标的基本途径。事实证明，不管我们的课程改革计划多好，如果在实践中得不到实施，就是毫无意义的。况且，任何课程改革的初期都会受到不同程度的攻击与制约，这就更要求我们必须制定出切实可行的实施计划，确保体操课程改革成果得以实施。课程改革成果实施计划

三角函数最值问题的十种常见解法

三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。

三角函数最值求解常用“十策”

－ｔ
当ｓｘ＝一ｉｎ１时，＝．Ｙｉ６
评注：果所给的函数是同名不同次或可化为如
同名不同次及其它能够进行配方的形式，可采用此
方法．此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见，在最后讨论值域时，但往往容易忽略自变量（ｌ中以ｓｘ为自变量）例ｉｎ的取值范围而出现错
・．．
／
＿；＋。＋ｃｓ。ｉｂｏ
ＣＯＳ＋ｊＸ
，一ｌＯＸ．且 ≤ＣＳ ≤１
＝ｂ＋￣ａ口＋，ｂ＋（／４ Ⅱ一ｂｉ２．）ｓｘｎ
・
．
当ＣＳＯＸ＝一ｌ时，一＝１Ｙ，当ＣＳＯＸ＝１，：．时Ｙ｜０ｎ
的最大值．
＞．０解得÷≤ ≤ （≠ ）ｙ３ｙ１．
Ｉ
将Ｙ＝１人原方程解得ｔ０＝代ａｎ０∈Ｒ，以Ｙ＝所
解由＝１ｃ２导ｃ詈：）ｓ０＋ｓｓ・ｓ，，ｉ（。ｉ。ｎ＝ｎ２
再拆项变形得
１函数值．是
所以）３＝，ｉ．寺≤，， ≤ 故Ｙ３＝Ｙ１
＋，
题，分子、分母的三角函数同角、同名，类三角函数一这
般先化为部分分式，用三角函数的有｝去解．再利生
４换元法
例４试求函数Ｙ＝ｓｘ＋ＣＳｉｎＯＸ＋２ｉｃｓｓｘｏｘ＋２ｎ的最大值和最小值．
评注：用三角函数的有界性如ＩｉｘＩ１利ｎ ≤ ，ｓ

用三角函数求最大值的方法

用三角函数求最大值的方法三角函数是数学中的一种基本函数，通过它们可以描述直角三角形中各个角的关系。

在实际应用中，三角函数也具有很多重要的用途，其中之一就是求取函数的最大值。

要求一个函数的最大值，首先需要找到函数的极值点。

对于三角函数而言，极值点通常位于函数的周期性重复区间的两个端点，以及在周期内的临界点。

我们可以通过以下步骤来求取函数的最大值。

1. 确定函数的周期：对于三角函数而言，周期指的是函数在一个周期内重复自身的长度。

常见的三角函数有正弦函数和余弦函数，它们的周期分别为2π和π。

其他三角函数如正切函数和余切函数等也有各自的周期。

2. 找到函数的极值点：首先，我们需要确定函数的定义域。

对于三角函数而言，它们的定义域通常是整个实数集。

然后，我们可以根据函数的周期性重复性质，找到函数的极值点。

- 对于正弦函数和余弦函数而言，它们的极值点位于周期的两个端点，即最大值位于周期的右端点，最小值位于周期的左端点。

- 对于正切函数和余切函数而言，它们的极值点位于周期的临界点，即函数在临界点处的值无定义。

3. 确定函数的最大值：在确定了函数的极值点后，我们需要进一步比较这些极值点的大小，以确定函数的最大值。

- 对于正弦函数和余弦函数而言，最大值通常等于周期的右端点的函数值。

- 对于正切函数和余切函数而言，它们没有最大值的概念，因为它们的函数值可以无限增大或减小。

需要注意的是，以上方法适用于一般的三角函数。

对于一些特殊的三角函数，如带有参数的三角函数，我们可能需要通过其他的方法来求取最大值。

总结起来，通过三角函数求取最大值的方法包括确定函数的周期、找到函数的极值点，并比较这些极值点的大小。

这是一种常用的方法，适用于大多数常见的三角函数。

然而，在实际应用中，我们还可以结合其他数学工具和方法，如导数和微积分，来求取函数的最大值。

通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用三角函数，从而在数学和工程等领域中解决实际问题。

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求二角函数最值的方法
解：y =sin x 3 cosx = sin x cosx)
2
_6, 3 sin(X 3)2'，y 1,2 1
变式2:求函数厂引讥二^狄
sin x + cosx 「12'12的最值.
求三角函数最值的方法
三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。

这部分内容是一个难点，不易让学生掌握，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。

求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一，以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。

一、一角一次一函数形式
在学习了三角函数的内容以后可以知道，要求关于三角函数最值只能转化
到 y = Asin( x ) B或者 y = Acos( x :) B, y = Atan( x :) B 这种形式才
可以求其最值，我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。

例1:求y二sinx「3cosx的最值。

JE J[ J[
= 2(s in x cos—:cos xs in—) =2s in (x ：—)
3 3 3
r
TE JI rrJE
.当 x 2k 二即 x 2k 二，k・Z 日寸,y max=2
3 2 6
二二 5 二t
当 x 2k 二即 x 2k；k・Z 时，y max =-2
3
再加上x
在化至U y = 2sin(x —)时,
3
Tt x —z
6
解:厂矶-1 31 JI
tan x 1
土n(x 4)，x
「12'12 , JI
「
31
31 ■
+ — € I ——
4 _6,3
- 当X =… 时
y min
二
3
；当 x 厂时, 3 12
V max
变式 3: f (x)=— sin 2x -cos 2
x -
2
丿
・2
sin 2
------- "I ------------ QI
r H H "I
4 3，求 f(x)
2
6
变式1：
f(x)
— cos2x
当 “4 时, f (
x)
min —
的最大值与最小值
解：（先观察角之间的关系，最好能转化为同角，然后看同角是三角函数的次数，在化为同一个函数名）
、3 .3 1
3
1 二 —— ——sin 2x -cos2x
sin(2x —)
8
4 4
8 2 6
当时，f （X ）max 二宁. 3
8 在这个解题过程中，运用到了转化思想，化归到我们已经学习过的三角函
数中去，通过一些倍角公式，与同角合并公式asinx • bcosx ^J a 2
• b 2
sin （x •「）, （tan ：、b
）的转化，把它转化到“一角一次一函数形式”，此时对于同一个角度
a 是同次的。

所以说把y 二asinx^bcosx 化成y = Asin （・，x •的形式是解决问题普遍方法
二、一角二次一函数形式当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候，该如何呢？
例2 求函数 y = —cosx —sin 2
x —cos2x +?的最值.
4
分析：先观察这个解析式可知，对于同一个角而言，不是同次时转化不到角一次一函数形式”时，肯定对同角而言是一次与二次的，所以有可能化归到二次函数去。

解: y =-cosx -(1 -cos 2
x L (2COS 2
x-1 )+# = -cos 2
x +cosx
f 1弓 -cosx -- l 2丿
31
2x -
6
y
max —2, y min
-Icos 2x+— I 2
2、2 sin(x
) 4 4 2IL
亠2「2 , 2
汜 + 2k 兀，k 乏 Z 时，y min = 2 + 2J 2 .
4 4 2
此题这样做在思考上有一定的困难，但是我们可以思考到 sin x 二cosx 与
变式 1 :求 y = sin x — 2 cosx — 2 的最值.
1
B
_ 兀
解：y =sin xcosx _2(sin x cosx) 4 =_si n2x _2、2sin(x —) 4
2
4
1 2、，
_1—2sin(x j -2、2 sin(x \) 4
2 兀 ~
JT
7
=sin (x 玄)一2 2sin(x 壬) ㊁ = [sin(x+t)
习2
+?
4
2
当 sin(x —)- -1 即 x —2k 二，k Z 时，y min
4 4 当 sin(x ：—)=1 即 x = 3
sin xcosx 是有关联的，(si nx 士cosx 『=1±s in xcosx，由此可设 t=s in x + cosx
=2sin （x 「）「rj 2,\2，y = 1t 2-2t • 7 = 1t 一2 2
- 3，由此化归到了一元 4 2 2 2 2
二次函数，比上面的思维应该简单一点。

所以以后见到sinx 二cosx 与sinxcosx 同时出现时，借助它们之间的联系用换元法。

利用一些三角公式进行变量替换，是求三角最值的一种常用技巧。

对同一个角，有一次，两次出现，一般都可以转化到“一角二次一函数形式”。

三、利用有界性（-1_sin ： -1， -1-cos ： -1）
三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决，就有下面的例题来展示：例3
求函数厂池的值域- 分析：不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式，但与我们以前所学的求y 二xT 的最值，联系比较密切，借助分离变量或者说是反
x+1 表示解决这一题目。

解: y = W sin x
二 sinx=—，因为一1 兰 si nx 兰 1,所以一 1 兰—
兰 1. sinx+2 y —^3
y3
sin x 2 辅助角),sin(x J
由此可得- ..3曲―3
，函数的值域为3；3
3
r 3 ■
解二：y J 3sinx 23-2 3
- 3 一 2 3
，
八
sin x+2
丁一1 兰sinx^1 二 1 兰sinx+2 兰3 二_2丿3 乞 2 3
sin x + 2 3
（用变量分离的方法更简便）
变式1:求函数"茫需的值域- 解：由题意得 ysin x - 3cosx - -2y ，所以.y 2
• 3sin（x2y （其中「为
「2y '，
-1 _sin x _1
廿+3，
解得:-1<^<1 所以函数的值域为Li,il . 解二：（此题还可以与几何图形相联系）
由题意得—cosx
二cosx
—°
丁3 si nx+2 si nx —(—2)
设点P （sin x,cosx ）,Q （-2,0），贝U cosx
-0可以看成是单位圆上的动点
p 与点
sin x —（-2）
这些过程中主要是让学生在学习的过程中，要会与以前所学知识的联系，把新的问题
化归或转化到已经学过的知识中去。

这就要求要把知识的传授和能力的培养相结合，注重数学思想方法的教学，而学生们一旦掌握了一种新的数学
思想和方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力就有较大的提高，因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。

在这个求三角函数最值基本的过程中，让学生深
Q
这个代数问题通过解析几何解决了，体现了数形结合的数学思想。

刻的了解其中的数学思想方法，掌握“通性通法”，也就掌握了学习数学的“万能”钥匙。

数学思想方法是人人能懂，处处有用的，这就是新课程标准倡导的“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。