周期信号的傅里叶变换

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第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析

第三章傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。

（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。

（三）函数的对称性与傅里叶系数的关系（1）偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

（2）奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3）奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

傅里叶算式

傅里叶算式
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

它可以将任意复杂的周期信号分解成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加，从而揭示信号的频谱特性。

傅里叶变换的数学表达式为：
F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt
其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，e^(-jωt)为复指数函数，ω为角频率。

傅里叶变换的逆变换为：
f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω / (2π)
其中，f(t)表示时域信号，F(ω)表示频域信号，e^(jωt)为复指数函数，ω为角频率。

傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域，可以分析信号的频谱特性，提取信号的频域信息，实现信号的滤波、压缩、调制等操作。

傅里叶变换也有多种变体，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等，用于处理离散信号或高效计算傅里叶变换。

周期信号和抽样信号的傅里叶变换

p样 yn à(nEcɡTsh)ōSua(
ns
2
),
Fs ()
E
Ts
n Sa( ns
n
2
) F (
ns )
f (t)
1 F ()
o p(t) E
τ
o
Ts
fs (t)
o
Ts
t 相t 卷乘积
t
mom
t
p()
E s
2
s o
s
Fs () E
Ts
2
s
om s
第十五页，共27页。
③冲激抽样(chōu yànɡ)(理想抽样
第二十三页，共27页。
3.频域抽样(chōu yànɡ)及频域抽样(chōu yànɡ)定理
①频域抽样 (chōu yànɡ)
连续 F ()
f (t) 单脉冲
()抽样
重复?
离散 F1()
f1(t) 周期性脉冲(màichōn
F1() F () () 其中 () ( n1)
n
F [ (t nT1)] 1 ( n1)
Sa( 2
)
2
G
()
Sa(100t)
2
200
G200 ()
m 100, 2m 200
f (t) 1
F ()
2 200
o 2
200
t
100 o 100 (m )
第二十一页，共27页。
解： ②
F
[Sa(100t) cos(1000t)]
1[
2 100
G200 (
1000)
100
G200 (
----时域抽样定理
第十三页，共27页。

周期信号的傅立叶变换

H ( j) YZS ( j) F( j)
H ( j) 是线性系统的频率传输函数，有时也叫系统频响函数。它的定义是零状态响应傅氏变换与激励傅氏变换之比。
X
2、H ( j)与 h(t)的关系
Q yzs (t) f (t)*h(t) 令 f (t) (t) 则yzs (t) h(t)
F [h(t)] Y(j) H(j)F(j) H(j)
抽样原理图：
f (t)
fs (t ) A/D
f (n)
量化编码
周期信号
p( t )
需解决的问题
:
fs (t) Fs j与F
由fs t能否恢复f
j 的关系
t
X
二．抽样信号的频谱（单位冲激序列抽样）
f(t)
f(t)
连续信号
1
F j
1
F jft
抽样信号
fs t
o
ot
t
p(t) f(tp)(f(t)t)
F n e jn1t
n
FT j F fT t
F
n
•
F
n
e jn1t
n
•
F
nF
e jn1t
•
F n 2π n1 n
•
2π F n n1 n
X
几点认识
•
FT j 2π F n n1
1 fTt的频谱由冲激序列组成;
(2)这些冲激函数位于谐波频率处: n1 谐波频率
mommoommoomPPPmmmmjjj
(1p(()(11((11tp)))))(t)EEEE
o
ooo TTTSSS o TffSSSfTS(((ttS))t) fS(ftS)(t)

傅里叶变换公式

连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。

信号课件第三章傅里叶变换

• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1

第4章_6周期信号的傅立叶变换

4.34
4.13bc 4.207
4.14e
4.23
4.41 4.45 4.48
上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函
数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信
号的各谐波角频率 n(n 0,1,2, )处，其强度
为各虚指数分量相应幅度 Fn 的 2 倍。
例4.6-1 求周期性矩形脉冲信号 PT (t) 的频谱函数。
pT t
1

解：
Fn
Sa( n
2
)
(

n)

n
2 s in(n
2 n
)
(
n)
ℱ[pT(t)]
-Ω 0 Ω
图 4.6-2 周期矩形脉冲的傅立叶变换 T 4
例4.6-2 求周期性单位冲激函数序列 T (t)的频谱。

T (t) (t mT ) ( m为整数) n T(t )
周期冲激序列的傅立叶变换
可见：时域中周期为 T 的单位冲激序列，在频域中是
周期为，强度为

的冲激序列。其中

2
T
方法二
设周期信号 fT (t)，从该信号中截取一个周期信号，
令其为 f0 (t) 。
fT (t) f0(t)T (t)
fT (t ) F0 ( j ) ( )
2
T

F0( jn) (
n
n)
Fn

1 T
F0 (
j ) n
可见，周期信号的傅里叶系数等于F0 ( j ) 在n处
的值乘上 1 。 T
傅里叶变换的许多性质也可适用于傅里叶级数，这提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。

傅里叶变换概念

傅里叶变换概念傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学技术，用于将一个函数从时域（时间域）表示转换为频域表示。

傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，具有重要的理论和实际意义。

傅里叶变换的概念可以通过将一个信号分解成多个正弦波和余弦波的叠加来解释。

任何复杂的周期信号都可以被视为多个不同频率的正弦波的叠加。

傅里叶变换就是将这个信号从时域分解成它不同频率的正弦波和余弦波分量的过程。

傅里叶变换的数学表示如下：F（ω）= ∫ f(t) * e^(-jωt) dt其中，F（ω）表示频域函数，f(t)表示时域函数，e^(-jωt)是欧拉公式中的复指数函数，ω是变量频率。

根据傅里叶变换的定义，我们可以将一个复杂的时域信号分解成多个频率分量，并且这些分量对应于频域函数F（ω）的不同频率部分。

傅里叶变换提供了一种量化信号在频域上的能力，揭示了信号的频谱特征，可以从中提取出信号中的频率、幅度、相位等信息。

傅里叶变换的应用非常广泛。

在信号处理领域，傅里叶变换常用于滤波、降噪、频谱分析等任务。

例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，通过分析频谱可以得知声音中包含的不同音调的频率和强度。

在图像处理领域，傅里叶变换可以提供图像的频域信息，用于图像增强、去噪、压缩等任务。

通过傅里叶变换，我们可以将一个图像分解成不同空间频率上的分量，从而更好地理解图像的特征和结构。

在通信系统中，傅里叶变换常用于信号调制、解调、信道估计等任务，以提高通信信号的传输质量和效率。

此外，傅里叶变换还有着重要的数学和物理意义。

傅里叶变换将一个函数从时域转换到频域，可视化了函数在不同频率上的分布情况。

通过傅里叶变换，我们可以将一个函数中的周期性模式展示出来，并且可以通过重建时域函数来还原原始信号。

为了实现傅里叶变换，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。

FFT算法通过利用对称性质和迭代计算来大大加快傅里叶变换的计算速度，使得实时处理和大规模数据分析成为可能。

信号与系统第3章傅里叶变换

*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中

第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱

1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn

，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ，则得傅里叶级数的指数形式为：
f (t )
n
F e
n

jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0

T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0

T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数，。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T

f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1

周期信号的傅立叶变换

又F 1[s
()]
1
s
n
(t
nTs )
fs (t)
f
(t) * 1
s
(t
n
nTs )
1
s
n
f
(t) *
(t
nTs )
1
s n f (t nTs )
由上式可知，假如有限时间信号f (t)的频谱函数
F ( j)在频域中被间隔为s的冲激序列采样,则被取样后频谱Fs ( j)所对应的时域信号fs (t)以Ts为周期的序列.
举例4.6.2 已知周期为T的单位冲激函数序列T (t)
T (t)= (t mT ) m
式中m为整数。求其傅里叶变换?
解：根据前面的结论
F[ fT (t)] 2 Fn ( n) n
Fn ？
1
Fn T
T
2 T
fT (t)e jnt dt，n 0，1， 2，....
2
Fn
1 T
无失真传输频率特性
设输入信号为f (t），那么经过无失真传输后，输出信号 y(t) Kf (t td )
Y ( j) Ke jtd F ( j)
系统的频率响应
H ( j) Ke jtd
其幅频特性和相频特性分别为
H ( j) | K () td
结论
为使信号无失真传输，对频率响应函数提出的要求，即在全部频带内，系统地幅频特性应为一常数，而相频特性应为通过原点的直线。
(
1
j 1)
Y ( j)
1
1 1
( j 2)( j 1) ( j 1) j 2
取傅立叶反变换
y(t) (et e2t ) (t)
例4.7 1某LTI系统的幅频响应|H(j)|和相频特性如图，

周期信号的傅里叶级数表示

弦波叠加起来，合成复杂的周期信号。
信号分析
02
对于给定的周期信号，可以利用傅里叶级数进行频谱分析，得
到信号中各个频率分量的幅度和相位信息。
频谱特性
03
通过傅里叶级数展开，可以清晰地展示信号在频域上的特性，
如主频、谐波分量等。
信号调制与解调
01 02
调制
在通信系统中，常常需要将低频信号调制到高频载波上进行传输。利用傅里叶级数，可以将低频信号表示为一系列正弦波的叠加，进而实现调制过程。
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PART 01
傅里叶级数基本概念
周期信号与非周期信号
周期信号
具有固定时间周期的信号，即信号在某个时间周期内重复出现。
非周期信号
不具有固定时间周期的信号，即信号不会重复出现。
傅里叶级数定义及公式
傅里叶级数定义
将周期信号表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波具有不同的频率和幅度。
数值计算与仿真实验
数值计算方法简介
01
离散傅里叶变换（DFT）
将连续时间信号在时域上进行离散化，并通过傅里叶变换得到频域上的离散表示。
02
快速傅里叶变换（FFT）
利用DFT中冗余计算的特点，采用分治策略减少计算量，提高计算效率。
03
迭代法
通过逐步逼近的方式求解傅里叶系数，如雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代等。

3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析

2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1

2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最强有力的工具之一。当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1

jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t

F0 Fn e
n1

jn1t
Fn e
n1

又有
F0 Fn e jn1t

n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究，并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时，成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献，然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他

3-4周期信号和抽样信号的傅里叶变换(1)

fs (t) f (t) p(t)
Fs ()
1
2
F() P()
1
2
F
(
)
2
n n
pn (
ns
)
n
n
pn F () ( ns ) pn F ( ns )
n
其中
pn
1 Ts
Ts
2 Ts
p(t)e jnst dt
2
n
结论1: 时域抽样 →频域重复(幅度被 pn加权, 形状不变，
()
E
Sa(
2
)
Fn
1 T1
F0 () |n1
E
T1
Sa(
n1
2
)
F
f (t)
F
n
Fne jn1t
2
n
Fn
(
n1 )
2
T1
E
Sa(
n
n1
2
) (
n1 )
E1 Sa(
n
n1
2
) (
n 1)
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
2 200
o 2
200
t
100 o 100 (m )
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
解：
②
F
[Sa(100t) cos(1000t)]
1[
2 100
G200 (
1000)
100
G200 (
1000)]
m 1100, 2m 2200
f (t) 1

常用信号的傅里叶变换

常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。

在信号处理中，傅里叶变换可以用来分析各种信号的频率成分。

下面是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：正弦信号是基本的周期信号，其傅里叶变换是两个峰值的Delta函数，分别位于正负频率轴上。

峰值的高度与正弦信号的振幅成正比。

2. 方波信号：方波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。

每个Delta函数的幅值与方波的斜率成正比。

3. 三角波信号：三角波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其奇倍频的频率轴上。

每个Delta函数的幅值与三角波的斜率成正比，而且随着频率的增加而逐渐减小。

4. 窗函数信号：窗函数信号可以用来限制一个信号的频率范围。

常见的窗函数信号有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。

它们的傅里叶变换都是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。

不同的窗函数有不同的幅值分布。

5. 常见滤波器的傅里叶变换：滤波器可以用来去除一个信号的某些频率成分。

常见的滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。

它们的傅里叶变换都有不同的频率响应曲线，用来描述信号在不同频率上的响应情况。

以上是一些常见信号的傅里叶变换，它们可以用来分析和处理各
种实际的信号。

在实际应用中，傅里叶变换经常和其它技术一起使用，如滤波、采样、量化等，以实现更复杂的信号处理任务。

傅里叶变换常用公式推导

傅里叶变换常用公式推导傅里叶变换是一种将信号从时域（时序）转换到频域（频率）的数学技术。

它将任意周期函数或有限时间信号分解成一组不同频率的正弦和余弦函数的和。

傅里叶变换的常用公式包括（但不限于）傅里叶级数、傅里叶变换、傅里叶逆变换等。

傅里叶级数是将周期函数分解成一组正弦和余弦函数的和。

设周期为T的连续信号x(t)，其傅里叶级数公式为：x(t) = Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]= a₀/2 + Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]其中，a₀、aₙ、bₙ为系数，通过以下推导可得出它们的表达式：1.对于周期为T的函数x(t)，其傅里叶级数展开为：x(t) = A₀ + Σ[Aₙcos(nω₀t + φₙ)]其中，A₀、Aₙ、φₙ是系数。

2.将x(t)在一个周期内积分得到：∫[0,T]x(t)dt = A₀T + Σ[Aₙ/Tsin(φₙ)]3.由于x(t)在一个周期内的平方和等于其乘以自身的积分值，即：∫[0,T]，x(t)，²dt = ，A₀，²T + Σ[(Aₙ/T)²]4. 根据Dirichlet条件，对于x(t)在一个周期内可积，即：∫[0,T]，x(t)，²dt < ∞5.根据以上两个公式，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞由于正弦函数和余弦函数的平方和有界，所以以上公式成立。

6.将傅里叶级数展开的表达式带入公式(5)，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞7.假设T=2π/ω₀，则ω₀T=2π，进一步有：(A₀(2π/ω₀))²+Σ[(Aₙ/(2π/ω₀))²]<∞8.将公式(7)整理，可得：(1/2π)Σ[A₀²+(2π/ω₀)²(Aₙ²+Bₙ²)]<∞根据以上推导，我们可以求解出傅里叶级数中的系数a₀、aₙ、bₙ。

周期信号的傅里叶变换

x( t )
1 Xn T
n T1 2 T 1 1 2 jn 1 t X e n

x( t )e jn 1t dt
4
单周期信号的傅里叶变换
X d ( ) xd ( t )e j tdt Nhomakorabeadt
1 Xn T1

T1 2 T 1 2
x( t )e jn 1t dt
x(t)
xs(t) x( t ) T xs(t)
0
t
0
T
2T
3T
t
11
调制信号x(t)
抽样
xs(t)
数字信号量化编码载波信号
这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。三、周期信号与单周期信号频谱间的关系周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号 xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：
X ( )
n
0
T1
t
jn1t e
X

n
2 ( n 1 )

n 1 E 1 Sa ( n 1 ) 2 n
9
x0(t) E
E
X0() 2/
0
t E/T1 x(t) E Xn

2/
2.3.4 周期信号的傅里叶变换
前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱密度函数的概念。本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数 ,即求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。

周期信号的傅里叶变换

Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过程,必然导致时域中的周期函数。

傅里叶变换(周期和非周期信号)

1、三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f(t)a0 (anco0tsbnsin 0t)正、余弦级数形式 n 1
或
f(t)c 0 cncon s0t(n) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
1 例已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。
在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，
而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称
为有效频带。
有效频带的带宽——
以下图为或例 f
点规之定间为的由频坐带标。原点至2 频谱包络第一f个零1
B Bf
Fn
A
F0 T
图中 T14
6
4
2
1 2 1
2
4
6
n1
有效频带：
sg (t)n 2 U (t)1
U(t ) 1
j
1 2
sgn(t )
1
-1
t
sg (t)n 2 j1 2 j2
2．尺度压、扩性质
若 f (t )F() 则 f (at )1 F( )
aa 式中，a为正实常数。
例：
A f (t ) AG(t )
0
|t |
2
|t |
2
F ( )ASa ()
Fn
1
T1
T1
2 T1
2
f(t)ejn1tdt
A1
T1 jn
ejn1t
1
2
2
T121 A22Aeejn2j1n1-tdetj
n1T1
2j