定比、定比分点公式

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定比点差法及其应用解说

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。

如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。

解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。

下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。

解析几何之定比点差法

解析几何之“定比点差法”文章来源：作者：意琦行时间：2016年1月5日介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识：一、定比分点若λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则称点M 为点A 、B 的λ定比分点．当λ>0时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当λ<0(λ≠−1)时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为M (x 1+λx 21+λ,y 1+λy21+λ).二、点差法若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,x 22a 2±y 22b2=1, 两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2±(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 这样就得到了1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ±1b 2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=1. 例1 过异于原点的点P(x 0,y 0)引椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的割线PAB ，其中点A,B 在椭圆上，点M 是割线PAB 上异于P 的一点，且满足AM MB =AP PB．求证：点M 在直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上．证明直接运用定比点差法即可．设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )，则有 x 0=x 1+λx 21+λ,y 0=y 1+λy 21+λ;x M =x 1−λx 21−λ,y M =y 1−λy 21−λ.又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 12a 2+y 12b 2=1,λ2x 22a 2+λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 两边同除以1−λ2，即可得到x 0x M a 2+y 0y M b 2=1.命题得证．练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√2,1)，且焦点为F 1(−√2,0)． (1)求椭圆的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q 总在某定直线上．答案 (1)x 24+y 22=1；(2)点Q 在直线2x +y −2=0上．例2 已知椭圆x 29+y 24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B (A,B 可以重合)，求PAPB的取值范围．解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PAPB =−λ．于是P (x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ)=(0,3)，于是x 1+λx 2=0,y 1+λy 2=3(1+λ) (1)又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 129+y 124=1,λ2x 229+λ2y 224=λ2,两式相减得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)9+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4=1−λ2.(2)将(1)代入(2)中得到y 1−λy 2=43(1−λ).(3)由(1)(3)解得y 1=3(1+λ)+43(1−λ)2=136+56λ∈[−2,2].从而解得λ的取值范围为[−5,−15]，于是PAPB 的取值范围为[15,5]．练习2 设D(0,16)，M,N 是椭圆x 225+y 216=1上的两个动点(可以重合)，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围．答案 [35,53]．例3 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于异于P 的点A 、B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2．证明设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1(x 0+λx 11+λ,y 0+λy 11+λ),F 2(x 0+μx 21+μ,y 0+μy 21+μ).于是有x 0+λ x 1=−(1+λ )c,y 0+λ y 1=0;(4) x 0+μ x 2=(1+μ )c,y 0+μ y 2=0.(5)又由点P,A 在椭圆上得到x 02a2+y 02b 2=1,λ2x 12a 2+λ2y 12b 2=λ2,两式相减得(x 0+λx 1)(x 0−λx 1)a 2+(y 0+λy 1)(y 0−λy 1)b2=1−λ2.(6) 从而有 λx 1=a 2c(λ−1).结合(4)式可解得 2x 0=a 2c(λ−1)−c(1+λ).同理可得 x 0−μx 2=a 2c (1−μ).结合(5)式得到 x 0=a 2c(1−μ)+c(1+μ).于是有 a 2c (λ−1)−c(1+λ)=a 2c(1−μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2，命题得证．练习3 已知过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，且有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点A 的坐标．答案 A(0,±1)．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．。

定比、定比分点公式

（3）定比、定比分点公式一、教学内容分析本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法.本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计1理解定比的概念，掌握定比分点公式；2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法；感悟定比分点的几种表达方式；3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想. 三、教学重点及难点定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入观察思考，引入新课问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= .[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P的坐标吗（引出课题）[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式一般地，设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1，所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定比分点公式. 2．小组交流（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当λ=1时，点P的坐标是什么（2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（） A 、始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始（3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.3．例题辨析例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值.解1：由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2：因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP PP = 32，所以λ=-32 .[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.三、演练反馈，巩固知识1设12PP PP λ= ，21P P PPλ'= ，则下列正确的是（）（A ）λλ'= （B ）λλ'=- （C ） 1λλ=' （D ）1λλ=-'2、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-)34,32，求C 点的坐标.3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，求P 点坐标.四、知识梳理，提升思维1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示.（2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.五、作业布置，课后探究 1、填空题（1）已知三点A 、B 、C 满足AB =2BC ，设1AC CB λ=2BA AC λ=则=•21λλ（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 3= ，则G 点坐标是 2、选择题（1）若 2143PP P -=，则下列各式中不正确的是（）（A ） 12P P =P P 131 （B ）P P 1234= （C ） 2113P P P -= （D ）1224P PP =(2) 设点P 是12PP 反向延长线上任意一点且12PP PP λ=，则实数λ的范围是（）（A ）（-∞，0）（B ）（—∞，-1）（C ）（-1，0）（D ）［-1，0)3、解答题（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.（2）已知设1P （3，2），2P (-8,3) , P （12，y ），若12PP PP λ=，求λ与y 的值.。

定比分点坐标公式在解题中的应用

定比分点坐标公式在解题中的应用河北陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用．一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1．证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43．二、在代数问题中的应用（一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7．解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8．求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)．（三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12．证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14．设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。

线段的分点公式与比例定理

线段的分点公式与比例定理线段是几何学中的基本概念之一，它在我们的日常生活中无处不在。

线段的长度可以通过测量得到，但是在某些情况下，我们需要知道线段上某个点的具体位置。

这就引出了线段的分点公式和比例定理。

一、线段的分点公式线段的分点公式是指在已知线段的两个端点的情况下，如何确定线段上任意一点的坐标。

设线段的两个端点分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，现在我们要确定线段上一点P的坐标。

根据线段的定义，点P在线段AB上，那么点P的坐标可以表示为P(x, y)。

根据点的坐标计算公式，我们可以得到以下关系式：(x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁)这就是线段的分点公式。

通过这个公式，我们可以根据已知的线段端点坐标，求出线段上任意一点的坐标。

二、比例定理比例定理是指在线段上的两个点与线段的两个端点之间的比例关系。

设线段的两个端点分别为A和B，线段上有两个点P和Q。

根据比例定理，我们可以得到以下关系式：AP / PB = AQ / QB这个关系式告诉我们，如果我们知道线段上两个点与线段的两个端点之间的比例关系，那么我们可以通过已知的线段端点长度计算出线段上任意两点之间的距离。

比例定理在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以用比例定理来解决三角形的相似性问题，或者用它来证明平行线间的性质。

三、应用举例为了更好地理解线段的分点公式和比例定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一条线段AB，已知A(2, 3)和B(6, 9)是线段的两个端点。

现在我们要求线段上一点P，使得AP : PB = 2 : 3。

根据比例定理，我们可以得到以下关系式：AP / PB = 2 / 3根据线段的分点公式，我们可以将点P的坐标表示为P(x, y)。

将已知的线段端点坐标代入线段的分点公式，我们可以得到以下方程组：(x - 2) / (6 - 2) = 2 / 3(y - 3) / (9 - 3) = 2 / 3通过求解这个方程组，我们可以得到点P的坐标为P(3, 5)。

向量公式汇总

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。

若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

定比分点公式的运用及类比推理

2
1 x2 P2 ( 2
＋0) ,且
P1 P PP2
，
则 f(x)=
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

定比分点公式证明过程

定比分点公式证明过程
标题，定比分点公式的证明过程。

在数学中，定比分点公式是一个非常重要的定理，它用于确定一条线段上的任意一点与两个端点的比例关系。

这个定理的证明过程非常有趣，让我们来看看它是如何被证明的。

首先，我们假设有一条线段AB，我们要找到一点P，使得AP与PB的比例为m:n。

我们将这个比例表示为m/n。

接下来，我们假设P点的坐标为(x, y)，A点的坐标为(x1,
y1)，B点的坐标为(x2, y2)。

根据定比分点公式，我们有以下关系式：
x = (mx2 + nx1) / (m + n)。

y = (my2 + ny1) / (m + n)。

现在，让我们来证明这些关系式。

首先，我们知道P点与A点的横坐标的比例为m:n，即(x x1) / (x2 x1) = m/n。

解方程可得x = (mx2 + nx1) / (m + n)。

同理，P点与A点的纵坐标的比例也为m:n，即(y y1) / (y2 y1) = m/n。

解方程可得y = (my2 + ny1) / (m + n)。

因此，我们得到了点P的坐标与m:n的比例关系，证明了定比分点公式。

通过这个证明过程，我们可以清楚地看到定比分点公式是如何被推导出来的。

这个定理在数学和几何中有着广泛的应用，它帮助我们理解线段上点的比例关系，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

定比分点的向量公式及应用

定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。

在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。

在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。

这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。

定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。

通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。

在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。

假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。

当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。

通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。

除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。

在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。

一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。

对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。

定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。

例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。

通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。

此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。

定比分点的向量公式及应用_慕泽刚

１ｂ＝４ａ＋５ｂ．３９９
解析二由已知条件得Ｄ分ＡＢ所成的 λ＝
５，则Ｏ!"Ｄ＝１Ｏ!"Ａ＋ λ !Ｏ"Ｂ＝４ａ＋５ｂ．
４
１＋λ １＋λ ９９
评注用已知向量表示其他向量也是一个热
点，常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法
则，而本题利用定比分点的向量公式，过程相对较
Ｂ!"Ｐ＝１Ｐ!"Ａ＝１ !Ｂ"Ａ＝１ａ，
ｍ
１＋ｍ
１＋ｍ
因为Ｑ分!Ａ"Ｄ的比为ｎ，则
人教大纲
专业Ｓ
精心策划
!Ｂ"Ｑ＝１ !Ｂ"Ａ＋ｎ !Ｂ"Ｄ＝１ａ＋ｎ（ａ＋ｂ）＝
１＋ｎ
１＋ｎ
１＋ｎ１＋ｎ
高
ａ＋ｎｂ，
一
１＋ｎ
Ｂ!"Ｒ＝１Ｂ!"Ｐ＋ λ Ｂ!"Ｃ＝
在线段
ＡＢ上，
且ＡＰＰＢ
＝ｍ，Ｑ在线段
ＡＤ上，
且
ＡＱＱＤ
＝ｎ，ＢＱ与ＣＰ相交于Ｒ，求ＰＲ的值．ＲＣ
Ａ
Ｑ
Ｄ
ＰＲ
Ｂ
Ｃ
解析设!Ｂ"Ａ＝ａ，Ｂ!"Ｃ＝ｂ，Ｐ!"Ｒ＝λＲ!"Ｃ，
所以
ＰＲＲＣ
＝λ，
由题意有!Ａ"Ｐ＝ｍＰ!"Ｂ，Ａ!"Ｑ＝ｎＱ!"Ｄ，则
１＋λ １＋ｎ
（
ｎ１＋ｍ）（
１＋ｎ）
，即ＰＲＲＣ

平面向量广义定比分点公式_袁微维

○袁微维平面向量广义定比分点公式在学习平面向量知识时,自然会接触到定比分点的概念及其计算公式,推广线段的定比分点,更有助于使用向量工具处理数学问题.定理:若在■ＡＢＣ中,点Ｅ、Ｆ分别分向量ＡＢ、ＡＣ所成的比为λ、μ,且ＢＦ交ＣＥ于点Ｍ,则Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ证明:如图1,因为点Ｂ、Ｍ、Ｆ共线,所以Ａ=(1-ｔ)Ａ+ｔＡ.同理Ａ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ(这是因为Ｃ、Ｍ、Ｅ三点共线).所以(1-ｔ)Ａ+ｔＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ①因为Ｅ分Ａ所成的比为λ,即Ａ=λＥ,所以ＡＥ=λ1+λＡＢ.②同理Ａ=μ1+μＡ.③(这是因为Ｆ分ＡＣ所成的比为μ)将②、③代入①得(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′λ1+λＡ因为向量Ａ、Ａ不共线所以1-ｔ=ｔ′λ1+λｔμ1+μ=1-ｔ′消去ｔ′可得ｔ=1+μ1+λ+μ.所以ＡＭ=(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡＣ=(1-1+μ1+λ+μ)ＡＢ+1+μ1+λ+μ·μ1+μＡ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ.例1　如图2,已知■ＡＢＣ中,点Ｐ在■ＡＢＣ内,且3ＡＰ+4ＢＰ+5ＣＰ=Ｏ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,设Ａ=,Ａ=,试用、表示ＡＤ.解:由3Ａ+4Ｂ+5Ｃ= 3(Ａ+ＢＰ)+4ＢＰ+5(ＣＢ+ＢＰ)=ＯＢＰ=312ＢＡ+512ＢＣ.设ＣＰ交ＡＢ于点Ｅ,ＢＥ=λＥＡ,ＢＤ=μＤ,根据广义定比分点公式,得λ1+λ+μ=312μ1+λ+μ=512λ=34μ=54从而ＢＤ=54ＤＣＡＤ-ＡＢ=54(ＡＣ-Ａ) Ａ=49+59(已知Ａ=,Ａ=),例2　已知■ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ成等差数列,且ａ<ｂ<ｃ,Ｇ为■ＡＢＣ的重心,1为■ＡＢＣ的内心,Ｏ是平面上任一点.·17·数理化学习(高中版)求证:(1)=ａＯＡ+ｂＯＢ+ｃＯＣａ+ｂ+ｃ;(2)ＧＩ∥ＡＣ.证明:(1)如图3,设角Ｂ、Ｃ的平分线ＢＥ、ＣＦ分别交ＡＣ、ＡＢ于点Ｅ、Ｆ,由内角平分线定理知λ=ＡＦＦＢ=ｂａ,μ=ＡＥＥＣ=ｃａ,从而1+λ+μ=ａ+ｂ+ｃａ.根据广义定比分点公式=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ =ｂａ+ｂ+ｃＡ+ｃａ+ｂ+ｃＡＯ-Ｏ=ｂａ+ｂ+ｃ(ＯＢ-ＯＡ)+ｃａ+ｂ+ｃ(ＯＣ-ＯＡ)Ｏ=ａＯ+ｂＯ+ｃＯａ+ｂ+ｃ(＊)(2)如图4,设■ＡＢＣ的中线ＢＭ、ＣＮ,则ＢＭ交ＣＮ于点Ｇ,从而λ′=ＡＮＮＢ=1,μ′=ＡＭＭＣ=1.1+λ′+μ′=3.根据广义定比分点公式Ａ=λ′1+λ′+μ′Ａ+μ′1+λ′+μ′Ａ=13Ａ+13Ａ.所以Ｏ-Ｏ=13(ＯＢ-ＯＡ)+13(ＯＣ-Ｏ),所以Ｏ=13Ｏ+13Ｏ+13Ｏ(＊＊)将式(＊)与(＊＊)相减,得ＯＩ-ＯＧ=(ａａ+ｂ+ｃ-13)ＯＡ+(ｂａ+ｂ+ｃ-13)ＯＢ+(ｃａ+ｂ+ｃ-13)ＯＣ.因为ａ<ｂ<ｃ且ａ、ｂ、ｃ成等差数列,所以不妨设公差为ｄ,则ｄ=ｃ-ｂ=ｂ-ａ>0,所以Ｏ-Ｏ=ｄ3ｂ(ＯＣ-ＯＡ),所以ＧＩ=ｄ3ｂＡＣ.显然,内心Ｉ不在ＡＣ上,所以ＧＩ∥ＡＣ,(注:式(＊＊)也可以从重心方程ＧＡ+ＧＢ+ＧＣ=0得到)例3　设Ｄ、Ｅ■ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上,ＤＣ与ＥＢ交于Ｆ,且ＡＤ=ＡＥ,ＦＢ=ＦＣ,求证:ＡＢ=ＡＣ.证明:如图5,设■ＡＢＣ的角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边分别为ａ、ｂ、ｃ,令Ａ=λＤ,Ａ=μＥ,则ＡＤ=λ1+λＡＢ,ＡＥ=μ1+μＡＣ.又已知Ａ = Ａ ,所以λｃ-μｂ=λμ(ｂ-ｃ).①根据广义定比分点公式得Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ,从而Ｂ=ＢＡ+μＢＣ1+λ+μ,Ｃ=ＣＡ+λＣＢ1+λ+μ.因为已知Ｂ2=ＣＦ2·18·数理化学习(高中版)所以(Ｂ+μＢ)2=(ＣＡ+λＣＢ)2所以ｃ2+μ2ａ2+2μＢ·Ｂ=ｂ2+λ2ａ2+2λＣ·Ｃ.在■ＡＢＣ中,运用余弦定理可得2Ｂ·Ｂ=ａ2+ｃ2-ｂ2,2Ｃ·Ｃ=ａ2+ｂ2-ｃ2,所以ｃ2+μ2ａ2+μ(ａ2+ｃ2-ｂ2)=ｂ2+λ2ａ2+λ(ａ2+ｂ2-ｃ2),所以(1+λ+μ)[(μ-λ)ａ2+(ｃ2-ｂ2)]=0.所以(μ-λ)ａ2=ｂ2-ｃ2②若ｂ>ｃ,则由②知μ>λ,所以μｂ>λｃ.由①可得　λμ(ｂ-ｃ)<0,所以ｂ<ｃ,矛盾.所以ｂ≤ｃ.同理ｃ≤ｂ于是ｂ=ｃ,即ＡＣ=ＡＢ.以上几例充分说明广义定比分点公式是平面向量内容中较重要的向量方程,掌握定比分点推广式有利于提高解题能力.贵州省安顺市双阳中学(561018)○梁克强以正方体为载体研究空间角正方体的六个面都是正方形,有众多相等的线段和角,还有很多平行和垂直以及对称的条件,这些都为研究空间角提供了有效的依据,只要很好的运用,空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系,只要善于利用,就能将空间角转化为平面角.例1　正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的棱长是1,Ｐ是ＡＤ的中点,求二面角Ａ-ＢＤ1-Ｐ的大小.解:如图1,过Ｐ作ＢＤ1及ＡＤ1的垂线,垂足分别是Ｅ、Ｆ,连结ＥＦ.由ＡＢ⊥平面ＡＤ1,得ＡＢ⊥ＰＦ,又ＰＦ⊥ＡＤ1,所以ＰＦ⊥平面ＡＢＤ1,而ＰＥ⊥ＢＤ1,故ＥＦ⊥ＢＤ1,∠ＰＥＦ为所求二面角平面角.Ｒｔ■ＡＤＤ1∽■ＡＦＰ,利用相似比得ＰＦ=24.在■ＰＢＤ1中,ＰＤ1=ＰＢ=52,因为ＰＥ⊥ＢＤ1,所以ＢＥ=32.在Ｒｔ■ＰＥＢ中,ＰＥ=ＰＢ2-ＢＥ2=22.在Ｒｔ■ＰＦＥ中,ｓｉｎ∠ＰＥＦ=ＰＦＰＥ=12,所以∠ＰＥＦ=π6.例2　如图2,在棱长为1的正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,Ｐ是侧棱ＣＣ1上的一点,ＣＰ=ｍ,试确定ｍ,使得直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角的正切值为32.解:连ＡＣ,设ＡＣ∩ＢＤ=0.ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1交于Ｇ,连ＯＧ,由ＰＣ∥面ＢＤＤ1Ｂ1,得ＯＧ∥ＰＣ,故ＯＧ=12ＰＣ=ｍ2.又ＡＯ⊥ＤＢ,ＡＯ⊥ＢＢ1,从而ＡＯ⊥面ＢＤＤ1Ｂ1,故∠ＡＧＯ为直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角.在Ｒｔ■ＡＯＧ中,ｔａｎ∠ＡＧＯ=2ｍ=32,所以ｍ=13.故当ｍ=13时,ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角正切值为32.二、射影法正方体的六个面都是正方形,有很多对称·19·数理化学习(高中版)。

向量共线、定比分点公式及数量积

向量共线、定比分点公式及数量积一、平面向量共线定理、定比分点 1. 平面向量共线定理设),(11y x a =，),(22y x b =（ b 0），则b a //⇔01221=-y x y x注：不能写成b a //⇔2211x y x y =，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ=则OP =λ+111OP +λ+λ12OP 坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P为内分点；λ ＜0时，P 为外分点.二、平面向量的数量积1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos叫a 与b 的数量积，记作a b ，即a b = |a ||b |cos，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积ab 等于a 的长度与b 在a 方向上投影 |b |c os 的乘积.b 在a 方向上的投影：OP aba b ⋅=θ=cos 3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量（1）-|a ||b |≤|ab | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = -|a ||b |；（2）a b a b = 0（两向量垂直的判定）；（3）cos =||||b a b a ⋅，|a |cos =||b b a ⋅，|b |cos =||a ba ⋅（投影式）.4.平面向量数量积的运算律（1）交换律：a b =ba （2）数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) =a (λb )（3）分配律：(b a + )c = ac + bc5.平面向量数量积的坐标表示yP 2 PP 1O x abθθaboPo（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a b 2121y y x x +=.（2）设),(y x a =，则22||y x a +=.（3）平面内两点间的距离公式如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=.（4）向量垂直的判定：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =b a ⊥⇔02121=+y y x x .（5）两向量夹角的余弦 cos=||||b a b a ⋅⋅（πθ≤≤0）平面向量共线定理、定比分点1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋32、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )A ．)2,1(=a 与)1,2(=bB ．)2,1(-=a 与=b 0C ．)2,1(=a 与)4,2(--=bD ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )A ．)5,5(-B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27MC ．()1,1B ,)0,0(M D ．()1,1B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27M 4、已知向量 a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是 ( )A ．－2B ．0C ．1D ．25、在ABC ∆中，=AB b ,=c ,若点D 满足2=,则=( )A ．c b 3132+B ．b c 3235-C ．c b 3132- D ．c b 3231+6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ，则=+y x ________ ；7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD AG ＝GD C 的坐标为____________.9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何?10、(1) 已知点)4,3(),2,1(--B A ,点P 在直线AB 上，且BP AP 31=,求点P 的坐标；(2)已知点)8,6(),4,2(--B A ,点P 在直线AB =求点P 的坐标.平面向量的数量积1、已知等边ABC ∆的边长为6，则⋅与()CA BC AB ⋅+的值分别为( )A ．18-和36B ．18-和36-C ．18和36-D ．18-和36 2、已知2=b ，6-=⋅b a ，则a 在向量b 方向上的投影为( )A ．3-B ．12-C ．3D ．无法确定 3、已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 4、已知向量等于则垂直与若a ,b a ),n ,(b ),n ,(a 11-==（） A ．1B ．2C ．2D ．45、已知),(b ),,(a 1623-==，而)b a ()b a (λ-⊥+λ，则λ等于（）A ．1或2B ．2或－12C ． 2D ．以上都不对6、若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180o, 且 b 3=则b 等于( ).A. (3,6)-B. (3,6)-C. (6,3)-D. (6,3)-7、已知2,2,1-=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角为_________； 8、已知)4,3(=a ，且10=⋅b a ，求b 在a 的投影_________.9、已知3||,4||==b a ，的夹角为与b a 4π，求||b 2a +，||4b -3a .10、已知,|b |,|a |12==a 与b 的夹角为3π,若向量+a 2k b 与b a +垂直, 求k .11、已知1||,3||==b a ，b a 与的夹角为6π，求b -a b a 与+的夹角的余弦值.12、已知向量4||,3||==b a ，且4)2()(≥-⋅+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围.13、ABC ∆中，c AC b BC a AB ===,,，4||,2||,3||===c b a ，求d c c b b a ⋅+⋅+⋅14、已知向量)2,3(),2,1(-==b a ，向量=c k b a +，b a d 3-=（1）当k 为何值时，有d c ⊥；（2）若的夹角为钝角时与 d c ，求k 的取值范围.。

线段的定比分点公式及图象的平移

| PP2 |
(
点P内分 1P2时，λ 0;点P外分 1P2时，λ 0 P P
)
二.线段定比分点坐标
公式： x1 λx2 x 1 λ ①设P分有向线段 P1P 2比λ，即 P1P λPP 2，P 1(x 1 ,y 1 ) P 2(x 2 ,y 2 ),P(x, y), 则： y y1 λy2 1 λ
2

1焦点坐标为____ _
__;
准线方程为_____
x1 x 2 λ 1时，中点公式： x 2 a λ b ②向量式： OP y y1 y 2 P 1 λ P1 2 P为中点时， OP a b a
P2
b
三.平移公式
/
2
/
O
●
设A(x, y), B(x ,y )
a
B
OB OA a / x x h / y y k
/ /
设 a (h,k)
/
x x h / y y k / / x 1 y 2 x h 1 yk 2
即：y 2
x h 1
k 1且h 1 0 k 1且h 1
法2：图象变换
y), 平移后对应点(x
,y )
y 2 1 y 2
_________
反思：平移公式解决三
类问题：
已知原解析式
a (h, k)
？
a (h, k) ? 新解析式 a ？新解析式已知原解析式
例2：(定比分点公式
应用) P1(3, y),
①如果P 1，P 2，P 3 三点在同一直线上，且 | P1P 3 |
P 2(x, 1), P 3(0, 3), 3,求P 2 坐标 | P 3 P 2 | ( 1, 1)及(1, 1) ②点A( 1,6)和B(3,0 )在直线AB上，求一使 | AP | 1 3 | AB | ( 点P，

向量公式大全

向量公式设a=〔x，y〕，b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x' ，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减〞a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量对于数的分配律〔第一分配律〕：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律〔第二分配律〕：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,那么角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积〔内积、点积〕是一个数量，记作a?b。

假设a、b不共线，那么a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；假设a、b共线，那么a?b=+-∣a∣∣b∣。

定比定比分点公式

定比定比分点公式定比是指两个比例的比值在一定条件下保持不变的关系。

定比分点公式则是用来求解定比的分点的公式。

下面我们将详细讲解定比和定比分点公式。

【定比的定义】定比是指两个比例的比值在一定条件下保持不变的关系。

设a:b=c:d，其中a、b、c、d都是实数，且b、d不为零。

若a、b、c、d之间满足这一条件，我们称之为定比关系，记作a:b∷c:d。

在定比关系中，a和b称为第一个比例的两个比例项，c和d称为第二个比例的两个比例项。

【定比的性质】1.定比关系的比例项间的乘积相等，即a×b=c×d。

证明：设 a : b = c : d，则根据比例的定义，有 a/b = c/d。

两边同乘以bd，得到 ad = bc。

所以 ab = cd。

因此，定比关系的比例项间的乘积相等。

2.定比关系的两个比例可以用一个比值来表示。

证明：设 a : b = c : d，则根据性质 1，有 a/b = c/d。

两边交叉相乘，得到 ad = bc。

所以，比值 a/b 或 c/d 可以表示定比关系的两个比例。

在定比关系a:b∷c:d中，如果要求确定定比关系的分点e，也就是要求找到一个数x，使得a:b=x:e和c:d=x:(1-e)，则可以使用定比分点公式进行计算。

定比分点公式如下：e=[a/(a+b)]×(1-d/c)【定比分点公式的证明】设x=a/(a+b)，则1-x=1-a/(a+b)=b/(a+b)。

根据定比分点公式的条件，我们有：x:e=a:b带入x=a/(a+b)，得到：a/(a+b):e=a:b两边交叉相乘，得到：ae = ab同理，带入1-x=b/(a+b)，有：c/(c+d):(1-e)=c:d交叉相乘，得到：ce = cd由定比的性质可知，ab = cd，所以 ae = ab = cd = ce。

所以我们可以得出：ae = ce移项化简，得到：ae - ce = 0根据因式提取法，可将上式化简为：e(a-c)=0由于e≠0，所以我们可以得到a-c=0，即a=c。

立体几何定比分点公式

立体几何定比分点公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习立体几何的奇妙世界里，有一个挺重要的家伙，那就是定比分点公式。

这玩意儿，刚开始接触的时候，可能会让咱有点晕头转向，但只要搞明白了，那可真是解题的一把好手！我记得之前有个学生，叫小李。

小李这孩子吧，脑袋瓜挺灵，就是碰到立体几何的定比分点公式，那叫一个头疼。

有一次上课，我刚讲到这个公式，他就一脸迷茫地看着我，那眼神仿佛在说：“老师，这是啥外星语言啊？”我一看他那表情，就知道得好好给他讲讲。

咱们先来说说这定比分点公式到底是啥。

简单来说，就是已知有两个点 A 和 B 的坐标，然后存在一个点 P 把线段 AB 按照某个比例分成两段，通过这个比例就能算出点 P 的坐标。

听起来是不是有点抽象？别急，咱慢慢说。

比如说，点 A 的坐标是（x1, y1, z1），点 B 的坐标是（x2, y2, z2），然后点 P 分线段 AB 的比是λ，那点 P 的坐标（x, y, z）就可以通过公式算出来啦。

x = (x1 + λx2) / (1 + λ)y = (y1 + λy2) / (1 + λ)z = (z1 + λz2) / (1 + λ)这公式看起来有点复杂，但是咱只要多做几道题，多练练手，就能熟练掌握。

就像小李，刚开始怎么都搞不明白，我就给他举了个特别简单的例子。

假设 A 点坐标是（1, 2, 3），B 点坐标是（4, 5, 6），点 P 分线段AB 的比是 2，那咱们来算算点 P 的坐标。

先算 x 坐标，x = (1 + 2×4) / (1 + 2) = 9 / 3 = 3y 坐标，y = (2 + 2×5) / (1 + 2) = 12 / 3 = 4z 坐标，z = (3 + 2×6) / (1 + 2) = 15 / 3 = 5所以点 P 的坐标就是（3, 4, 5）。

小李听我这么一讲，好像有点开窍了，但还是不太自信。

数轴定比分点公式推导过程

数轴定比分点公式推导过程
嘿，咱今儿就来聊聊数轴定比分点公式的推导过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，数轴就像是一条长长的跑道，上面有好多好多的点
在排队呢。

那定比分点呢，就像是在这条跑道上找一个特别的位置。

比如说，咱有两个点 A 和 B，它们在数轴上的位置是确定的。

然后呢，咱要找一个点 P，让 AP 和 PB 之间有个特定的比例关系。

那怎么找这个点 P 呢？别急，咱慢慢来。

咱先设 A 点的坐标是 x1，B 点的坐标是 x2，定比是λ。

那咱就可
以开始捣鼓啦。

从 A 到 P 的距离，不就是 P 点的坐标减去 A 点的坐标嘛。

同样，
从 P 到 B 的距离，就是 B 点的坐标减去 P 点的坐标。

然后呢，根据定比的关系，咱就可以列出一个等式呀。

就是从 A 到
P 的距离和从 P 到 B 的距离的比值等于定比λ。

这就像你分糖果一样，要按照一定的比例来分。

把这些式子一整理，一化简，哇塞，不就得出数轴定比分点公式啦！
你看，其实也没那么难嘛！就是这么一步步推导出来的呀。

咱再想想，生活中好多事情不也是这样嘛，得一点点去分析，去琢磨，才能找到答案。

就像解开一道谜题一样，过程可能有点麻烦，但一旦解开了，那成就感可不是一般的大呀！
所以呀，别害怕这些数学公式推导，就把它当成一个有趣的游戏，去探索，去发现。

说不定你会发现其中的乐趣无穷呢！以后再遇到类似的问题，你就可以拍拍胸脯说：“这我会呀！”这不挺棒的嘛！
总之呢，数轴定比分点公式的推导过程就是这么回事，只要你用心去理解，肯定能搞明白的。

加油吧！。

定点分比定理公式

定点分比定理公式
固定点分比定理是一种实用及经典的数学推理方法，它是一种艺术结合科学技术的创新，极为重要。

固定点分比定理更多地运用了数学的模型和实践，来检验问题的准确性和合理性。

简要来说，固定点分比定理是一种确定比例因子的方法，通过固定点和比例尺寸，它可以确定一个点与另一个点之间的距离。

举个例子，当一个点在一个集合变换中不变时，则称该点为固定点，而变换就会影响其他的点，即分比的系数即比例因子。

固定点分比定理的公式是：α：β＝γ：δ。

即：α：β＝γ：δ可以确定α：β与γ：δ之间的比例关系。

比如，固定点A的坐标是(1,1)，B的坐标是(2,2)，则可以得到A：B＝1：1，也就是说从A到B的距离与它们之间的比例关系恒定不变。

固定点分比定理在求解不同称重比例、面积和距离问题中也有重要应用，最关键的是，它可以帮助我们根据一定规律，将复杂的问题简化，使之不仅简单而且易懂。

例如，在求解称重问题时，只要能够根据固定点分比定理求出比例因子，就可以得出各组称重值的比例，从而使之更容易地求解。

固定点分比定理可以帮助我们更清楚地了解几何问题的规律，是一种有用的数学理论。

它为工程应用、经济学及其它科学研究带来了许多好处，值得被更多人探索和研究。

平面向量定比分点公式推理

平面向量定比分点公式推理
平面向量定比分点公式是解决向量分点问题的一个重要定理。

在平面内，给定两个向量a和b，以及一个实数λ，我们想要找到一个点P，使得向量AP和向量PB满足AP = λPB。

这个问题可以通过定比分点公式来解决。

假设向量a和b的起点均为O点，P点的坐标为(x, y)。

根据向量的加法和数量积的定义，我们可以得到以下关系：
向量AP = 向量OP + 向量PA = 向量OP + (x, y)。

向量PB = 向量OP + 向量PB = 向量OP + (x, y)。

根据定比分点公式，我们有AP = λPB，即。

向量OP + (x, y) = λ(向量OP + (x, y))。

展开上式，我们得到。

向量OP + (x, y) = λ向量OP + λ(x, y)。

由向量的相等性，我们可以得到。

x = λx.
y = λy.
解以上方程，我们得到。

x = λx.
y = λy.
当λ≠1时，我们可以得到。

x = λx.
y = λy.
解以上方程，我们得到。

x = λx.
y = λy.
当λ=1时，我们可以得到。

x = x.
y = y.
这个结果表明当λ=1时，P点位于向量ab的中点；当λ≠1时，P点位于向量ab的外点。

通过推理和分析，我们得到了平面向量定比分点公式。

这个公式在解决向量分点问题时非常有用，可以帮助我们找到满足定比分点条件的点P。

这个公式在几何和物理问题中有着广泛的应用，是学习和理解向量运算的重要工具。