高一数学《平面向量》单元测试.docx
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量,且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为(D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2,则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0,向量a b 与a2b 垂直,则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点,且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知,p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ,则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量,且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为( D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,右向量 c 满足(ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC 0,那么( A )则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中, uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为(B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2(4,3) , a 在b 上的投影为 ,b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14,则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量,若函数f(x)(xa b) (a xb )的图象是一条直线, 则必有( A )11.设两个向量a ( 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ,其中,m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),(1, n ),若2a b 与b 垂直,则|a(C13•如图,已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是(A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1,对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一,|OA| 4 ,3luu r|OB| 1,若点 M 在直线 OB 上,贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5),则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3,且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于(5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一,那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2,且(2aOAA. [0,4]b) a,则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]),贝UOA与OC夹角的取值范围是(上海)直角坐标系xOy中,i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j,则k的可能值个数是(B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一,且|m |6uuir D为BC边的中点,贝U | AD |(乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n,AC 2m 6n,112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图, 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起, 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3),若向量 a b 与向量c (4, 7)共线,则已知向量a 与b 的夹角为120°,且a b 4,那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1,则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ,则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ,在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么,按照运算 “”的含义,计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量,若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值;求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解:(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・{妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4),在向量OC 上是否存在点P ,使得PA PB ,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由。
重点中学平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.向量a =(1,-2),向量a 与b 共线,且|b |=4|a |.则b =( )A .(-4,8)B .(-4,8)或(4,-8)C .(4,-8)D .(8,4)或(4,8)2.已知a=(2,1),b =(x ,1),且a +b 与2a -b 平行,则x 等于( )A .10B .-10C .2D .-23.已知向量a 和b 满足|a |=1,|b |=2,a ⊥(a -b ).则a 与b 的夹角为( ) A .30º B .45º C .75º D .135º4.设e 1、e 2是两个不共线向量,若向量 a =3e 1+5e 2与向量b =m e 1-3e 2共线,则m 的值等于( )A .- 53B .- 95C .- 35D .- 595.设□ABCD 的对角线交于点O ,AD → =(3,7),AB → =(-2,1),OB → =( )A .( -52 ,-3)B .(52 ,3)C .(1,8)D .(12 ,4) 6.设a 、b 为两个非零向量,且a ·b =0,那么下列四个等式①|a |=|b |;②|a +b |=|a -b |; ③a ·(b +a )=0;④(a +b )2=a 2+b 2.其中正确等式个数为( )A .0B .1C .2D .37.下列命题正确的是( )A .若→a ∥→b ,且→b ∥→c ,则→a ∥→c B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D .若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线8.a =),(21-,b =),(1-1,c =),(2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a +q b ,则实数p 、q 的值为( )A .p =4 q =1B . p =1 q =4C . p =0 q =4D . p =1 q =09.设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ,已知(DB → +DC → -2DA → )·(AB→ -AC → )=0.则ΔABC 的形状是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形10.设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =⊗=⊗已知,0,3,21,2⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动,点Q 在()x f y =的图象上运动,且满足(),为坐标原点其中O n OP m OQ +⊗=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A .π,2 B .,2π4 C .,21π4 D .π,21二、填空题:每小题5分,共25分.11.已知()2,1,10==b a ,且b a //,则a 的坐标为_______ 12.已知向量a 、b 满足a=b =1,b a 23-=3,则 b a +3 =13.已知向量a =( 2 ,- 2 ),b =( 3 ,1)那么(a +b )·(a -b )的值是 . 14.若a =(2,3),b =(-4,7),a +c =0,则c 在b 方向上的投影为 .15.若对n 个向量 a 1,a 2,a 3,…,a n ,存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1 a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称a 1,a 2,…,a n 为“线性相关”.依此规定,能使a 1=(1,0),a 2=(1,-1),a 3=(2,2)“线性相关”的实数k 1,k 2,k 3 依次可以取 . 三、解答题16.(本题满分13分)已知向量a =(sin 2x ,cos 2x),b =(sin 2x ,1), )(x f )=8a ·b .(1)求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值.(2)函数y=)(x f 的图象能否经过平移后,得到函数y=sin4x 的图象,若能,求出平移向量m ;若不能,则说明理由.17.(本题满分12分)在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知222a c b -=,且sin 4cos sin B A C =,求b .18.(本题满分13分)如图,在矩形ABCD 中,,,22==BC AB 点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若,2=⋅AF AB 求BF AE ⋅的值.19. (本题满分12分)已知向量OA→ =3i -4j ,OB → =6i -3j ,OC → =(5-m )i -(4+m )j ,其中i 、j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量.(1)若A 、B 、C 能构成三角形,求实数m 应满足的条件; (2)若ΔABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数m 的值.20.(本题满分12分)已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π(1)求向量n ; (2)设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量,其中R x ∈,若0=⋅a n ,试求||b n +的取值范围.21. (本题满分13分)已知向量a 、b 、c 、d ,及实数x 、y ,且|a |=1,|b |=1,c =a +(x 2-3)b ,d =-y a +x b ,如果a ⊥b ,c ⊥d ,且|c |≤10 .(1)求x 、y 的函数关系式y =f (x )及定义域;(2)判断f (x )的单调性,指出单调区间,并求出函数的最大值、最小值.ECA BDF答案一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.B9. B 10. D 二、填空题11.),),((22-2-22,2 12.23 13.0 14.- 65515.-4,2,1 . 16.解:(1)f(x)=8a ·b =8(sin 2x ,cos 2x)·(sin 2x ,1) = 8(sin 4x +cos 2x)= 2(1-cos2x)2+4(1+cos2x) =2(1-2cos2x +cos 22x)+4+4cos2x =6+2cos 22x=7+cos4x .∴f(x)的最小正周期为最大值为8,最小值为6.(2)假设它的图象可以按向量m =(h,k)平移后得到y=sin4x 的图象.故按向量平移后便得到y=sin4x 的图象.17.3818.略19. (1)AB → =(3,1) ,AC → =(2-m ,-m ),AB → 与AC →不平行则m ≠1 .(2)AB → · AC → =0 m =2320.解:(1)令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x n 或则π )1,0()0,1(-=-=∴n n 或 3分(2))1,0(0),0,1(-=∴=⋅=n a n a 4分)1sin ,,(cos -=+x x b n 6分b n +=222)1(sin cos -+x x =x sin 22-=)sin 1(2x -; 8分∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0≤b n +≤2, 10分21. 提示:(1) 由 |c |≤10 ,及a ·b = 0得 -6≤ x ≤6 又由c ⊥d 得 y =x 3-3x(2)单调增区间为[-6,-1]、[1,6],单调减区间为[-1,1] 最大值为f (6)=36,最小值为f (-6)=-36 .。
高一数学《平面向量》单元测试
高一数学《平面向量》单元测试姓名: 班级:一、 选择题(共8小题,每题5分)1. 下列命题正确的是 ( )A .单位向量都相等B . 任一向量与它的相反向量不相等C .平行向量不一定是共线向量D .模为0的向量与任意向量共线2.已知向量a =(3,4),b =(sin α,cos α),且a ∥b ,则tan α等于( )A .34B .34-C .43D .43- 3.在以下关于向量的命题中,不正确的是 ( )A .若向量a =(x ,y ),向量b =(-y ,x )(x 、y ≠0),则a ⊥bB .四边形ABCD 是菱形的充要条件是=,且||=||C .点G 是△ABC 的重心,则GA +GB +CG =0D .△ABC 中,AB 和的夹角等于180°-A4.设P (3,-6),Q (-5,2),R 的纵坐标为-9,且P 、Q 、R 三点共线,则R 点的横坐标为( )A .-9B .-6C .9D .6 5.若||1,||2,a b c a b ===+ ,且c a ⊥ ,则向量a 与b 的夹角为( )A .30°B .60°C .120°D .150°6.在△ABC 中,A >B 是sin A >sin B 成立的什么条件( )A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要7.若将函数x y 2sin =的图象按向量平移后得到函数)42sin(π-=x y -1的图象,则向量可以是: ( )A . )1,8(-πB . )1,8(π-C . )1,4(πD .)1,4(--π 8.在△ABC 中,已知S ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为( ) A .-2 B .2 C .±4 D .±2二、 填空题(共4小题,每题5分)9.已知向量、的模分别为3,4,则|-|的取值范围为 .10.已知e 为一单位向量,a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为-2,则a = .11.设21e e 是两个单位向量,它们的夹角是60,则=+-⋅-)23()2(2121e e e e12.在∆ABC 中,a =5,b=3,C=0120,则=A sin 三、 解答题(共40分)13.设21,e e 是两个垂直的单位向量,且2121,)2(e e e e λ-=+-=(1)若a ∥b ,求λ的值; (2)若⊥,求λ的值.(12分)14.设函数x f ⋅=)(,其中向量a =(2cos x ,1),b =(cos x ,3sin2x ),x ∈R. (1)若f(x)=1-3且x ∈[-3π,3π],求x ; (2)若函数y =2sin2x 的图象按向量=(m ,n) (|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m 、n 的值. (14分)15. 已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,向量)2sin ,2(cosC C m =,)2sin ,2(cos C C n -=,且n m 与的夹角为.3π (1)求角C 的值; (2)已知27=c ,△ABC 的面积233=S ,求b a +的值. (14分)。
平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题(一)2一,选择题:1,下列说法中错误的是 ( )A .零向量没有方向B .零向量与任何向量平行C .零向量的长度为零D .零向量的方向是任意的2,下列命题正确的是 ( )A. 若→a 、→b 都是单位向量,则 →a =→bB . 若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量→a 、→b 相等,则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3,下列命题正确的是 ( )A 、若→a ∥→b ,且→b ∥→c ,则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同。
C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线。
4,已知向量(),1m =a ,若,a=2,则m =( )A .3 C. 1± D.3±5,若→a =(1x ,1y ),→b =(2x ,2y ),,且→a ∥→b ,则有( )A ,1x 2y +2x 1y =0,B , 1x 2y ―2x 1y =0,C ,1x 2x +1y 2y =0,D , 1x 2x ―1y 2y =0,6,若→a =(1x ,1y ),→b =(2x ,2y ),,且→a ⊥→b ,则有( )A ,1x 2y +2x 1y =0,B , 1x 2y ―2x 1y =0,C ,1x 2x +1y 2y =0,D , 1x 2x ―1y 2y =0,7,在ABC ∆中,若=+,则ABC ∆一定是 ( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不能确定8,已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥,则a b 与的夹角等于 ( )A .0120B 060C 030D 90o二,填空题:(5分×4=20分)9。
已知向量a 、b 满足==1,a 3-=3,则a +3=10,已知向量a =(4,2),向量b =(x ,3),且a //b ,则x =11,.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =12,.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像, 则平移向量a 是(用坐标表示)三,解答题:(10分×6 = 60分)13,设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =,,则求点P的坐标14,已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小,15,已知向量a =(6,2),b =(-3,k ),当k 为何值时,有(1),a ∥b ?(2),a ⊥b ?(3),a 与b 所成角θ是钝角?16,设点A (2,2),B (5,4),O 为原点,点P 满足OP =OA +AB t ,(t 为实数);(1),当点P 在x 轴上时,求实数t 的值;(2),四边形OABP 能否是平行四边形?若是,求实数t 的值 ;若否,说明理由, 17,已知向量OA =(3, -4), OB =(6, -3),OC =(5-m, -3-m ),(1)若点A 、B 、C 能构成三角形,求实数m 应满足的条件;(2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数m 的值.18,已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π(1)求向量n ;(2)设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量,其中R x ∈, 若0=⋅a n ,试求||b n +的取值范围.平面向量单元测试题2答案:一,选择题:A D C D B C C A二,填空题: 9,23; 10,6; 11,13132 12,)3,2(- 三,解答题:13,解法一:设分点P (x,y ),∵P P1=―22PP ,λ=―2 ∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15,∴ P(―8,15)解法二:设分点P (x,y ),∵P P1=―22PP , λ=―2 ∴ x=21)2(24---=―8,y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15)解法三:设分点P (x,y ),∵212PP P P =,∴―2=24x+, x=―8,6=23y+-, y=15, ∴ P(―8,15)14,解:a=22, b =2 , cos <a ,b >=―21, ∴<a ,b >=1200, 15,解:(1),k=-1; (2), k=9; (3), k <9,k ≠-116,解:(1),设点P (x ,0),AB =(3,2),∵OP =OA +AB t ,∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由∴⎩⎨⎧-=-=,11t x 即(2),设点P (x,y ),假设四边形OABP 是平行四边形,则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1,OP ∥AB ⇒ 2y=3x ∴⎩⎨⎧-=-=32y x 即……①,又由OP =OA +AB t ,⇒(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴⎩⎨⎧+=+=t y t x 2223即……②,由①代入②得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2534t t ,矛盾,∴假设是错误的, ∴四边形OABP 不是平行四边形。
(完整版)平面向量单元测试卷及答案
《平面向量》单元测试卷一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分) 1.下列命题中的假命题是( ) A 、→-→-BA AB 与的长度相等; B 、零向量与任何向量都共线; C 、只有零向量的模等于零;D 、共线的单位向量都相等。
2.;;④;③∥;②是单位向量;①是任一非零向量,若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→→→→→→→→),其中正确的有(⑤→→→=b a a|| A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3.首尾相接能,,;命题乙:把命题甲:是任意三个平面向量,,,设→→→→→→→→→→=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件 4.)的是(下列四式中不能化简为→-AD A 、→-→-→-++BC CD AB )(B 、)()(→-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、)()(→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC5.),则(),(,),(设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6.如图1,△ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点,G 是△ABC 中的重心,则下列各等式中不成立的是( )A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CGD 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 31图17.)(,则锐角∥,且),(,),(设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA 、4πB 、6πC 、3πD 、36ππ或 8.)所成的比是(分,则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29.)的范围是(的夹角与,则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π,B 、)2[ππ,C 、)2(ππ,D 、]2(ππ,10.→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与,则方向的投影为在,方向的投影为在都是非零向量,若与设 的模之比值为( ) A 、43B 、34 C 、73 D 、74二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分) 11.。
平面向量单元测试卷及答案
《平面向量》单元测试卷一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分) 1.下列命题中的假命题是( ) A 、→-→-BA AB 与的长度相等; B 、零向量与任何向量都共线; C 、只有零向量的模等于零;D 、共线的单位向量都相等。
2.;;④;③∥;②是单位向量;①是任一非零向量,若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→→→→→→→→),其中正确的有(⑤→→→=b a a|| A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3.首尾相接能,,;命题乙:把命题甲:是任意三个平面向量,,,设→→→→→→→→→→=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件 4.)的是(下列四式中不能化简为→-AD A 、→-→-→-++BC CD AB )(B 、)()(→-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、)()(→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC5.),则(),(,),(设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6.如图1,△ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点,G 是△ABC 中的重心,则下列各等式中不成立的是( )A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CG D 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 317.)(,则锐角∥,且),(,),(设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA B C D EFG ͼ1A 、4πB 、6πC 、3πD 、36ππ或 8.)所成的比是(分,则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29.)的范围是(的夹角与,则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π,B 、)2[ππ,C 、)2(ππ,D 、]2(ππ,10.→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与,则方向的投影为在,方向的投影为在都是非零向量,若与设 的模之比值为( ) A 、43B 、34 C 、73 D 、74二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分) 11.。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5(共22题)一、选择题(共10题)1. 在 △ABC 中,E ,F 分别为 AB ,AC 的中点,P 为 EF 上的任一点,实数 x ,y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,设 △ABC ,△PBC ,△PCA ,△PAB 的面积分别为 S ,S 1,S 2,S 3,记 S 1S=λi (i =1,2,3),则 λ2⋅λ3 取到最大值时,2x +y 的值为 ( ) A . −1 B . 1C . −32D . 322. 在 △ABC 中,已知 b =2√3,c =2,C =30∘,那么 a 等于 ( ) A . 2 B . 4 C . 2 或 4 D .无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5,∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4,则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A . [1,5] B . [1,9] C . [4,5] D . [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2,E 是线段 CD 的中点,F 是线段 BE 上的动点,则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A . [−1,0]B . [−1,45]C . [−45,1]D . [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列各式中不正确的是 ( )A . ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B . ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C . ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D . 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点,P 为直线 AB 外一点,PC 是 ∠APB 的角平分线,I 为 PC 上一点,满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0),∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4,∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10,则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .57. 已知非零向量 a ,b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣,a ,b ⃗ 的夹角的余弦值为 13,且 a ⊥(a −kb ⃗ ),则实数 k 的值为 ( ) A . 18 B . 24 C . 32 D . 368. 在 △ABC 中,AC =3,BC =√7,AB =2,则 AB 边上的高等于 ( ) A . 2√3 B .3√32C .√262D . 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点,满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,S △AOB S △ABC=47,则实数 m 为 ( ) A . 2 B . −2 C . 4 D . −410. 已知 A ,B 都是数轴上的点,O 为原点,A (3),B (−2),则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A . 17B . 1C . −1D . −17二、填空题(共6题)11. 设 I 为 △ABC 的内心,三边长 AB =7,BC =6,AC =5,点 P 在边 AB 上,且 AP =2,若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ,则线段 QC 的长为 .12. 如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为 2,且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 λ+μ= .13. 设向量 a =(3,3),b ⃗ =(1,−1),若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ ),则实数 λ= .14. 思考辨析,判断正误.在 △ABC 中,若 a 2+b 2−c 2=0,则角 C 为直角.( )15. 如图,在折线 ABCD 中,AB =BC =CD =4,∠ABC =∠BCD =120∘,E ,F 分别是 AB ,CD的中点,若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个,则实数 k 的取值范围是 .16. 山上有一塔,高 50 m ,自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘,测得塔底仰角为 45∘,则山高m .三、解答题(共6题)17. 已知 ∣a ∣=1,∣∣b ⃗ ∣∣=2,a与 b ⃗ 夹角 π3,m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ,n ⃗ =ka +2b ⃗ . (1) 当 k 为何值时,m ⃗⃗ ∥n ⃗ ? (2) 当 k 为何值时,m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ?18. 已知 △ABC 的三个内角 A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ,a >c ,且 2csinA =√3a .(1) 求角 C 的大小;(2) 若 c =4,△ABC 的面积为 √3,求 △ABC 的周长.19. 在 △ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 bsinA =√3acosB .(1) 求角 B 的大小;(2) 若 b =3,sinC =2sinA ,求 a ,c 的值.20. 已知锐角 △ABC ,同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3;②a =13;③c =15;④sinC =13.(1) 请指出这三个条件,并说明理由; (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ,b ,c ,d ,表达式 ad −bc 称为二阶行列式(determinant ),记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣. (1) 求下列行列式的值:① ∣∣∣1001∣∣∣; ② ∣∣∣1326∣∣∣; ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣;(2) 求证:向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0. (3) 讨论关于 x ,y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件,并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示)22. 已知 O 为坐标原点,对于函数 f (x )=asinx +bcosx ,称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量,同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数.(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x),试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x ),当 f (x )=85,且 x ∈(−π3,π6) 时,求 sinx 的值; (3) 将(1)中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象,已知 A (−2,3),B (2,6),问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ,使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由.答案一、选择题(共10题) 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得, sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32, 所以 B =60∘ 或 B =120∘. 当 B =60∘ 时,A =90∘, a =√(2√3)2+22=4;当 B =120∘ 时,A =30∘,a =c =2, 故 a =4 或 a =2. 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0),所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上,又 I 在 ∠APB 的角平分线上,所以 I 为 △PAB 的内心.因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10,所以 ∣AB ∣=10.BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影,过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ,则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10,∣AK ∣−∣BK ∣=4,所以 ∣BK ∣=3,故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣,可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ,则 ∣a ∣=6t (t >0),因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0, 所以 k =18.【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1. 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题(共6题) 11. 【答案】138【解析】如图, 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ ), 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ . 设 CQ =x ,BQ =y ,则 x +y =6, 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ ), 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ . 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0, 点 I 是 △ABC 的内心,根据三角形内心的向量表示得向量等式. 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ , 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ . 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ,所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52,结合 x +y =6,解得 x =138.所以线段 QC 的长为138.【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘,所以 AB ∥DE ,过 D 作 AB ,AC 的垂线 DM ,DN , 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2, 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2, 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 λ=2+√22,μ=√22,所以 λ+μ=1+√2.【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴,以 BC 为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 AB =BC =CD =4,∠ABC =∠BCD =120∘, 所以 B (−2,0),C (2,0),A(−4,2√3),D(4,2√3).因为 E ,F 分别是 AB ,CD 的中点,所以 E(−3,√3),F(3,√3).设 P (x,y ),−4≤x ≤4,0≤y ≤2√3,因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k , 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k , 即 x 2+(y −√3)=k +9.当 k +9>0 时,点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心,以 √k +9 为半径的圆. 当圆与直线 DC 相切时,此时圆的半径 r =3√32,此时点有 2 个;当圆经过点 C 时,此时圆的半径为 r =√22+3=√7,此时点 P 有 4 个.因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个,结合图象可得, 所以274≤k +9≤7,解得 −94≤k ≤−2,故实数 k 的取值范围为 [−94,−2].【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题(共6题) 17. 【答案】(1) −6. (2) 1.【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ,由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA , 又由 A ∈(0,π),则 sinA >0,所以 sinC =√32, 又因为 a >c ,则 ∠A >∠C , 所以 ∠C =60∘.(2) 由三角形的面积公式,可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3,解得 ab =4, 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12,解得 a 2+b 2=20, 即 (a +b )2=28,所以 a +b =2√7,所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4. 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB,得 sinB =√3cosB , 故有 tanB =sinBcosB =√3. 即 B =π3.(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC,得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB , 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②,解得 a =√3,c =2√3. 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①,②,③. 理由如下:若 △ABC 同时满足 ①,④,则在锐角 △ABC 中, sinC =13<12, 所以 0<C <π6. 又因为 A =π3, 所以 π3<A +C <π2.所以 B >π2,这与 △ABC 是锐角三角形矛盾, 所以 △ABC 不能同时满足 ①,④, 所以 △ABC 同时满足 ②,③. 因为 c >a ,所以 C >A 若满足 ④, 则 A <C <π6,则 B >π2, 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾,故 △ABC 不满足 ④,故 △ABC 同时满足 ①,②,③.(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA , 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12,解得 b =8 或 b =7. 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0,所以 C 为钝角,与题意不符合, 所以 b =8.所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3. 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1;② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0;③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0. (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线,则 当 q ≠0⃗ 时,有 ad −bc =0,即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0, 当 q =0⃗ 时,有 c =d =0,即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0, 所以必要性得证. 反之,若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0,即 ad −bc =0, 当 c ,d 不全为 0 时,即 q ≠0⃗ 时, 不妨设 c ≠0,则 b =ad c,所以 p =(a,ad c),因为 q =(c,d ),所以 p =a cq ,所以 p ∥q , 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线, 当 c =0 且 d =0 时,q =0⃗ , 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线, 充分性得证.综上,向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0.(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端,然后两个方程相减, 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理,消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以,当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时,即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时, 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣,y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣, 所以,当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时,方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣,y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣. 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1). (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx , 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45, 因为 x ∈(−π3,π6), 所以 x +π3∈(0,π2), 所以 cos (x +π3)=35, 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由(1)知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6),将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象,再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象,则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x),因为 A (−2,3),B (2,6),所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6), 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0, 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0, 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2(*),因为 −2≤2cos 12x ≤2, 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52,所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694.又因为254−x 2≤254,所以当且仅当 x =0,即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时,(*)式成立.所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2),使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
平面向量单元测试(含答案)
《平面向量》单元测试一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点, 则向量=CD ( )A .BA BC 21+- B .BA BC 21--C .BA BC 21-D .BA BC 21+2.与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等,且模为1的向量是( )A .⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B .⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C .⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D .⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3.设a r 与b r 是两个不共线向量,且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线,则λ=( )A .0B .-1C .-2D .0.54.已知向量()1,3=a ,b 是不平行于x 轴的单位向量,且3=⋅b a ,则b =( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D .(1,0)5.如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是( )A .3121P P P P ⋅B .4121P P P P ⋅C .5121P P P P ⋅D .6121P P P P ⋅ 6.在OAB ∆中,OA a =u u u r ,OB b =u u u r ,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=u u u r u u u r,则实数λ等 于 ( )A .2()a b a a b⋅-- B .2()a a b a b⋅--C .()a b a a b⋅--D .()a a b a b⋅--7.设1(1,)2OM =u u u u r ,(0,1)ON =u u u r ,则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ,01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的 变化范围(图中阴影部分含边界)是( )A .B .C .D . 8.将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x ),要使|a |最小,则a =( )A .(,16π-)B .(,16π-)C .(,112π)D .(,112π--)9.已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ,||3a =r ,||4b =r ,||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ,b r与c r 的夹角为2θ,a r 与c r的夹角为3θ,则它们的大小关系是( )A .123θθθ<<B .132θθθ<<C .231θθθ<<D .321θθθ<<10.已知向量),(n m a =,)sin ,(cos θθ=b ,其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =,则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是( )A .2>λ或2-<λB .2>λ或2-<λC .22<<-λD .22<<-λ11.已知1OA =u u u r,OB =u u u r ,0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,点C 在AOB ∠内,且30oAOC ∠=,设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈,则mn等于( )A .13B .3 C.3D12.对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,定义它们之间的一种“距离”:2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题:①若点C 在线段AB 上,则;AC CB AB += ②在ABC ∆中,若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中,.AC CB AB +> 其中真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .3二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.13.在中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r _______.(用a b r r 、表示)14.已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点,动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r,其中,m n R ∈且2222m n -=,则M 的轨迹方程为 .15.在ΔABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM=2,则)(+⋅的最小值为 .16.已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=,若点A 、B 、C 能构成三角形,则实数m 满足的条件是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量)sin 1,sin 1(x x -=,)2cos ,2(x =.(1)若]2,0(π∈x ,试判断与能否平行?(2)若]3,0(π∈x ,求函数x f ⋅=)(的最小值.18.(本小题满分12分)(2006年湖北卷)设函数()()c b a x f +⋅=,其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=,()R x x x c ∈-=,sin ,cos .(1)求函数()x f 的最大值和最小正周期;(2)将函数()x f y =的图像按向量d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d .19.(本小题满分12分)(2006年全国卷II )已知向量a =(sin θ,1),b =(1,cos θ),-π2<θ<π2.(1)若a⊥b,求θ;(2)求|a+b|的最大值.20.(本小题满分12分)在ABC △中,2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r. (1)求22AB AC +u u u r u u u r 的值;(2)当ABC △的面积最大时,求A ∠的大小.21.(本小题满分12分)(2006陕西卷)如图,三定点A (2,1),B (0,-1),C (-2,1); 三动点D ,E ,M 满足]1,0[,,,∈===t t t t (1)求动直线DE 斜率的变化范围; (2)求动点M 的轨迹方程.22.(本小题满分14分)已知点P 是圆221x y +=上的一个动点,过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ,设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .(1)求点M 的轨迹方程;(2)求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值,并求此时P 点的坐标参考答案1.21+-=+=,故选A . 2.B 设所求向量e r=(cos θ,sin θ),则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B .3.D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线,设a b λ+r rk =(-2),则有)()21(=++-k k λ,所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ,解得5.0=k ,选D . 4.解选B .设(),()b x y x y =≠,则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5.解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6.B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高,0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ,整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-,故选B . 7.A 设P 点坐标为),(y x ,则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ,01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ,在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可,选A .8.A 要经过平移得到奇函数g(x),应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位,再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小,应取a=(,16π-),故选A .9.B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=,两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=,将||3a =r ,||4b =r ,||5c =r 代入得0cos 1=θ,所以0190=θ;同理,由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=,可得54cos 2-=θ,53cos 3-=θ,所以132θθθ<<.10. B 由已知得1||=b ,所以4||22=+=n m a ,因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ,由于2λ<⋅恒成立,所以42>λ,解得2>λ或2-<λ.11.答案B ∵ 1OA =u u u r,OB =u u u r,0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形,其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B . 12.答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中, 90oC ∠=,不妨取A (0,1), C (0,0),B (0,1),则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠;AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+==||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ =||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述,真命题的个数1个,故本题的答案为B .13.解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12AM a b =+u u u u r r r,所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14.2222=-y x 设),(y x M ,则),(y x =,又)1,1(),1,2(-=-=,所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=,于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2,由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为:2222=-y x . 15.2- 如图,设x AO =,则x OM -=2,所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ,故当1=x 时,OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16.21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=,所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形,所以与不共线,而当AB 与BC 共线时,有m m -=--113,解得21=m ,故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17.解析:(1)若与平行,则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ,因为]2,0(π∈x ,0sin ≠x ,所以得22cos -=x ,这与1|2cos |≤x 相矛盾,故a 与b 不能平行.(2)由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=,又因为]3,0(π∈x ,所以]23,0(sin ∈x , 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ,当xx sin 1sin 2=,即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx -cosx,sinx -3cosx)=sin 2x -2sinxcosx+3cos 2x =2+cos2x -sin2x =2+2sin(2x+43π). 所以,f(x)的最大值为2+2,最小正周期是22π=π. (Ⅱ)由sin(2x+43π)=0得2x+43π=k.π,即x =832ππ-k ,k ∈Z , 于是d =(832ππ-k ,-2),,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数,要使d 最小,则只有k =1,此时d =(―8π,―2)即为所求. 19.解析:解:(Ⅰ)若a ⊥b ,则sin θ+cos θ=0,由此得 tan θ=-1(-π2<θ<π2),所以 θ=-π4;(Ⅱ)由a =(sin θ,1),b =(1,cos θ)得|a +b |=(sin θ+1)2+(1+cos θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+22sin(θ+π4),当sin(θ+π4)=1时,|a +b |取得最大值,即当θ=π4时,|a +b |最大值为2+1.20.解:(Ⅰ)由已知得:222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此,228AB AC +=u u u r u u u r . (Ⅱ)2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur , 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=.(当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时,取等号),当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r,所以3π=∠A . 解:(I )由条件知: 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅, 设a b r r 和夹角为θ,则41||||cos -==b a θ, ∴1cos 4arc θπ=-,故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-,(Ⅱ)令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r, ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21.解析:如图,(Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D -2,y D -1)=t(-2,-2). ∴⎩⎨⎧x D =-2t+2y D =-2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =-2ty E =2t -1.∴k DE = y E -y D x E -x D = 2t -1-(-2t+1)-2t -(-2t+2)= 1-2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[-1,1].(Ⅱ) 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →-OA →) = (1-t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →-OB →) =(1-t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →-OD →)=(1-t) OD →+ tOE →= (1-t 2) OA → + 2(1-t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,-1), OC →=(-2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1-t 2)·2+2(1-t)t ·0+t 2·(-2)=2(1-2t)y=(1-t)2·1+2(1-t)t ·(-1)+t 2·1=(1-2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[-2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[-2,2]22.解析:(1)设(,)P x y o o ,(,)M x y ,则(,)OP x y =o o u u u r ,(,0)OQ x =o u u u r,(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .(2)设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α,则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o,则cos α==≥当且仅当2t =时,即P点坐标为(时,等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。
平面向量 单元测试(含答案)
《平面向量》一、选择题1.在矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若OC e DC e BC 则213,5===( )A .)35(2121e e +B .)35(2121e e -C .)53(2112e e - D .)35(2112e e - 2.化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是( )A .b a -2B .a b -2C .a b -D .b a -3.对于菱形ABCD ,给出下列各式: ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个4 ABCD 中,设d BD c AC b AD a AB ====,,,,则下列等式中不正确的是( )A .c b a =+B .d b a =-C .d a b =-D .b a c =-5.已知向量b a 与反向,下列等式中成立的是( )A .||||||b a b a -=-B .||||b a b a -=+C .||||||b a b a -=+D .||||||b a b a +=+6.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个点的坐标为 ( ) A .(1,5)或(5,-5) B .(1,5)或(-3,-5) C .(5,-5)或(-3,-5) D .(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 7.下列各组向量中:①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( )A .①B .①③C .②③D .①②③ 8.与向量)5,12(=d 平行的单位向量为( )A .)5,1312(B .)135,1312(--C .)135,1312(或)135,1312(--D .)135,1312(±±9.若32041||-=-b a ,5||,4||==b a ,则b a 与的数量积为( )A .103B .-103C .102D .1010.若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( )A .)223,22(--B .)223,22(C .)22,223(-D .)22,223(-11.设k ∈R ,下列向量中,与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 ( )A .),(k k b =B .),(k k c --=C .)1,1(22++=k k dD .)1,1(22--=k k e12.已知12||,10||==b a ,且36)51)(3(-=b a ,则b a 与的夹角为( )A .60°B .120°C .135°D .150°二、填空题13.非零向量||||||,b a b a b a +==满足,则b a ,的夹角为 .14.在四边形ABCD 中,若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15.已知)2,3(=a ,)1,2(-=b ,若b a b a λλ++与平行,则λ= .16.已知e 为单位向量,||a =4,e a 与的夹角为π32,则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17.已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18.已知在△ABC 中,)3,2(=AB ,),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角,求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量,2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.20.已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时,⑴c ∥dc⑵d21.如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:①PA=EF;②PA⊥EF.22.如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一.选择题:二、填空题:13. 120°; 14. 矩形 15、 1± 16. 2- 三、解答题: 17.证:()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18.解:)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19.()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ,B ,D 三点共线,则BD AB 与共线,BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得:221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
平面向量及其应用单元测试题+答案 百度文库
一、多选题1.题目文件丢失!2.下列说法中正确的是( )A .对于向量,,a b c ,有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B .向量()11,2e =-,()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C .设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D .在ABC 中,设D 是BC 边上一点,且满足2CD DB =,CD AB AC λμ=+,则0λμ+=3.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,下列说法正确的有( ) A .::sin :sin :sin a b c A B C = B .若sin 2sin 2A B =,则a b = C .若sin sin A B >,则A B >D .sin sin sin +=+a b cA B C4.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45°D .()//2a a b +5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( )A .B .C .8D .6.下列各式中,结果为零向量的是( ) A .AB MB BO OM +++ B .AB BC CA ++ C .OA OC BO CO +++ D .AB AC BD CD -+- 7.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是( )A .若a b >,则sin sin AB >B .若sin 2sin 2A B =,则ABC 是等腰三角形 C .若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D .若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形8.在△ABC 中,AB =AC ,BC =4,D 为BC 的中点,则以下结论正确的是( ) A .BD AD AB -= B .1()2AD AB AC =+ C .8BA BC ⋅=D .AB AC AB AC +=-9.下列命题中,结论正确的有( ) A .00a ⨯=B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-C .若//AB CD ,则A 、B 、C 、D 四点共线;D .在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,0AC BD ⋅=,则四边形ABCD 为菱形. 10.已知a 、b 是任意两个向量,下列条件能判定向量a 与b 平行的是( ) A .a b =B .a b =C .a 与b 的方向相反D .a 与b 都是单位向量11.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -.则第四个顶点的坐标为( ) A .(0,1)-B .(6,15)C .(2,3)-D .(2,3)12.点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形13.下列命题中正确的是( ) A .单位向量的模都相等B .长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C .若a 与b 满足a b >,且a 与b 同向,则a b >D .两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 14.下列说法中错误的是( )A .向量AB 与CD 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点必在一条直线上 B .零向量与零向量共线 C .若,a b b c ==,则a c =D .温度含零上温度和零下温度,所以温度是向量 15.下列命题中正确的是( )A .对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B .对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C .若()ma mb m =∈R ,则有a b =D .若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16.已知ABC 的面积为30,且12cos 13A =,则AB AC ⋅等于( ) A .72B .144C .150D .30017.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos sin a B b A c +=.若2a =,ABC 的面积为3(21)-,则b c +=( )A .5B .22C .4D .1618.下列说法中说法正确的有( )①零向量与任一向量平行;②若//a b ,则()a b R λλ=∈;③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+;⑤若0AB BC CA ++=,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点;⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; A .①④B .①②④C .①②⑤D .③⑥19.设θ为两个非零向量,a b →→的夹角,已知对任意实数t ,||b t a →→-的最小值为1,则( )A .若θ确定,则||a →唯一确定 B .若θ确定,则||b →唯一确定 C .若||a →确定,则θ唯一确定D .若||b →确定,则θ唯一确定20.在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若22sin cos sin a b cA B B===,则ABC ∆的面积为( ) A .2B .4C .2D .2221.已知在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若ABC 的面积为S ,且222()S a b c =+-,则tan C =( )A .43-B .34-C .34D .4322.如图,测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒,302CD m =,并在点C 测得塔顶A 的仰角为30,则塔高AB 为( )A .302mB .203mC .60mD .20m23.已知点O 是ABC 内部一点,并且满足2350OA OB OC ++=,OAC 的面积为1S ,ABC 的面积为2S ,则12S S = A .310 B.38C .25D .421 24.若O 为ABC 所在平面内任意一点,且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=,则ABC 一定为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .钝角三角形25.如图,ADC 是等边三角形,ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠︒=,BD 与AC 交于E 点.若2AB =,则AE 的长为( )A .62-B .1(62)2- C .62+D .1(62)2+26.题目文件丢失!27.在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为( ). A .4B .3C .-4D .528.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 是BC 的中点,点F 在线段CD 上,且2CF DF =,AE 与BF 交于点P ,若AP AE λ=,则λ=( )A .34B .58C .38D .2329.已知D ,E ,F 分别是△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC a CA b ==,,AB c =,则①AD =-b -12a ;②BE =a +12b ;③CF =-12a +12b ;④AD +BE +CF =0.其中正确的等式的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .430.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90ABC ∠=︒,2AB BC ==,1AD =,则BD AC ⋅=( )A .2-B .3-C .2D .531.ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=,则ABC 的面积为( )A .6B C .D32.已知ABC 中,1,30a b A ︒===,则B 等于( )A .60°B .120°C .30°或150°D .60°或120°33.设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ,点O 满足2AO OD =,则OC =( )A .1233AB AC -+ B .2133AB AC - C .1233AB AC -D .2133AB AC -+34.题目文件丢失!35.在△ABC 中,M 为BC 上一点,60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==,则△ABC 的面积的最大值为( )A .B .C .12D .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.无 2.BCD 【分析】.向量数量积不满足结合律进行判断 .判断两个向量是否共线即可 .结合向量数量积与夹角关系进行判断 .根据向量线性运算进行判断 【详解】解:.向量数量积不满足结合律,故错误, ., 解析:BCD 【分析】A .向量数量积不满足结合律进行判断B .判断两个向量是否共线即可C .结合向量数量积与夹角关系进行判断D .根据向量线性运算进行判断 【详解】解:A .向量数量积不满足结合律,故A 错误,B .1257-≠,∴向量1(1,2)e =-,2(5,7)e =不共线,能作为所在平面内的一组基底,故B 正确,C .存在负数λ,使得m n λ=,则m 与n 反向共线,夹角为180︒,此时0m n <成立,当0m n <成立时,则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒,则m 与n 不一定反向共线,即“存在负数λ,使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立,故C 正确,D .由23CD CB =得2233CD AB AC =-, 则23λ=,23μ=-,则22033λμ+=-=,故D 正确故正确的是BCD , 故选:BCD . 【点睛】 本题主要考查向量的有关概念和运算,结合向量数量积,以及向量运算性质是解决本题的关键,属于中档题.3.ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ,在,由正弦定理得,则,故A 正确; 对于B ,若,则或,所以和不一定相等,故B 错误; 对于C ,若,由正弦定理知,由于三角形中,大边对大角解析:ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ,在ABC ,由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===,则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==,故A 正确;对于B ,若sin 2sin 2A B =,则A B =或2A B π+=,所以a 和b 不一定相等,故B 错误;对于C ,若sin sin A B >,由正弦定理知a b >,由于三角形中,大边对大角,所以A B >,故C 正确;对于D ,由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===,则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用,属于基础题. 4.AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ;利用向量模的坐标求法可判断B ;利用向量数量积的坐标运算可判断C ;利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量,, 则,故A 正确; ,故B 错误;解析:AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ;利用向量模的坐标求法可判断B ;利用向量数量积的坐标运算可判断C ;利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =,()2,2b =,则()()()21,022,25,4a b +=+=,故A 正确;222b =+=,故B 错误;2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+,又[],0,a b π<>∈,所以a 与b 的夹角为45°,故C 正确; 由()1,0a =,()25,4a b +=,140540⨯-⨯=≠,故D 错误. 故选:AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算,考查了基本运算能力,属于基础题.5.AC 【分析】利用余弦定理:即可求解.在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:, 即,解得. 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基解析:AC 【分析】利用余弦定理:2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,即216310a a -+=,解得8a = 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基本运算,属于基础题.6.BD 【分析】根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案. 【详解】对于选项:,选项不正确; 对于选项: ,选项正确; 对于选项:,选项不正确; 对于选项: 选项正确. 故选:解析:BD 【分析】根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案. 【详解】对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确; 对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确; 对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;对于选项D :()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题.7.AC 【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到,从而得到是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析:AC 【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =,从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确;对D ,首先根据余弦定理得到A 为锐角,但B ,C 无法判断,故D 错误. 【详解】对选项A ,2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>,故A 正确; 对选项B ,因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒= 所以A B =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误;对选项C ,因为cos cos a B b A c -=,所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+,sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+,sin cos cos sin B A A B -=,因为sin 0B ≠,所以cos 0A =,2A π=,ABC 是直角三角形,故③正确;对D ,因为2220a b c +->,所以222cos 02a b c A ab+-=>,A 为锐角.但B ,C 无法判断,所以无法判断ABC 是锐角三角形,故D 错误. 故选:AC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查学三角函数恒等变换,属于中档题.8.BC 【分析】根据向量的加法和减法运算,以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项:,故A 错;对于 B 选项:因为D 为BC 的中点,,故B 正确; 对于C 选项:,故正确; 对于D 选项:,而,故【分析】根据向量的加法和减法运算,以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项:BD AD BD DA BA -=+=,故A 错; 对于 B 选项:因为D 为BC 的中点,()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+,故B 正确;对于C 选项:cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=,故正确;对于D 选项:2,AB AC AD AB AC CB +=-=,而2AD CB ≠,故D 不正确. 故选:BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算,属于基础题.9.BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得; 【详解】解:对于A ,,故A 错误;对于B ,若,则,所以,,故,即B 正确; 对于C ,,则或与共线,故C 错误; 对于D ,在四边形中,若解析:BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得; 【详解】解:对于A ,00a ⨯=,故A 错误; 对于B ,若a b ⊥,则0a b ⋅=,所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+,2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+,故||||a b a b +=-,即B 正确;对于C ,//AB CD ,则//AB CD 或AB 与CD 共线,故C 错误;对于D ,在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,即AB DC =,所以四边形ABCD 是平行四边形,又0AC BD ⋅=,所以AC BD ⊥,所以四边形ABCD 是菱形,故D 正确; 故选:BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用,属于基础题.10.AC【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项,若,则与平行,A 选项合乎题意;对于B 选项,若,但与的方向不确定,则与不一定平行,B 选项不合乎题意; 对于C 选项,若与的方向相反,解析:AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项,若a b =,则a 与b 平行,A 选项合乎题意;对于B 选项,若a b =,但a 与b 的方向不确定,则a 与b 不一定平行,B 选项不合乎题意;对于C 选项,若a 与b 的方向相反,则a 与b 平行,C 选项合乎题意;对于D 选项,a 与b 都是单位向量,这两个向量长度相等,但方向不确定,则a 与b 不一定平行,D 选项不合乎题意. 故选:AC. 【点睛】本题考查向量共线的判断,考查共线向量定义的应用,属于基础题.11.ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是,分类讨论点在平行四边形的位置有:,,,将向量用坐标表示,即可求解. 【详解】 第四个顶点为, 当时,,解得,此时第四个顶点的坐标为; 当时,, 解得解析:ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -,分类讨论D 点在平行四边形的位置有:AD BC =,AD CB =,AB CD =,将向量用坐标表示,即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ,当AD BC =时,(3,7)(3,8)x y --=--,解得0,1x y ==-,此时第四个顶点的坐标为(0,1)-; 当AD CB =时,(3,7)(3,8)x y --=,解得6,15x y ==,此时第四个顶点的坐标为(6,15); 当AB CD =时,(1,1)(1,2)x y -=-+,解得2,3x y ==-,此时第四个项点的坐标为(2,3)-. ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-. 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标,考查分类讨论思想,属于中档题.12.AD 【解析】 【分析】由条件可得,再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点,且, ∴, 即, ∴,两边平方并化简得, ∴,∴,则一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形, 故解析:AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+,再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点,且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=, ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=, 即||||CB AC AB =+, ∴||||AB AC AC AB -=+, 两边平方并化简得0AC AB ⋅=, ∴AC AB ⊥,∴90A ︒∠=,则ABC ∆一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形, 故不可能是钝角三角形,等边三角形,故选:AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用,考查计算能力,是基础题.13.AD 【分析】利用向量的基本概念,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1,故A 正确; 向量共线包括同向和反向,故B 不正确; 向量是矢量,不能比较大小,故C 不正确; 根据解析:AD 【分析】利用向量的基本概念,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1,故A 正确; 向量共线包括同向和反向,故B 不正确; 向量是矢量,不能比较大小,故C 不正确; 根据相等向量的概念知,D 正确. 故选:AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小,属于基础题.14.AD 【分析】利用零向量,平行向量和共线向量的定义,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故A 错误; 零向量与任一向量共线,故B解析:AD 【分析】利用零向量,平行向量和共线向量的定义,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故A 错误; 零向量与任一向量共线,故B 正确; 若,a b b c ==,则a c =,故C 正确;温度是数量,只有正负,没有方向,故D 错误. 故选:AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义,平行向量和共线向量的定义,属于基础题.15.ABD 【详解】解:对于:对于实数和向量、,根据向量的数乘满足分配律,故恒有:,故正确.对于:对于实数,和向量,根据向量的数乘运算律,恒有,故 正确. 对于:若,当 时,无法得到,故不正确. 对解析:ABD 【详解】解:对于A :对于实数m 和向量a 、b ,根据向量的数乘满足分配律,故恒有:()m a b ma mb -=-,故A 正确.对于B :对于实数m ,n 和向量a ,根据向量的数乘运算律,恒有()m n a ma na -=-,故 B 正确.对于C :若()ma mb m =∈R ,当 0m =时,无法得到a b =,故C 不正确. 对于D :若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =成立,故D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查相等的向量,相反的向量的定义,向量的数乘法则以及其几何意义,注意考虑零向量的情况.二、平面向量及其应用选择题16.B 【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ,然后根据平面向量的数量积公式得到所求. 【详解】解:因为ABC 的面积为30,且12cos 13A =,所以5sin 13A =,所以1||||sin 302AB AC A ⨯=,得到||||626AB AC ⨯=⨯, 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=; 故选:B . 【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积;属于中档题. 17.C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选:C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 18.A 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①:零向量与任一向量平行,故①正确;对于②:若//a b ,则()a b R λλ=∈,必须有0b ≠,故②错误; 对于③:()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅,a 与c 不共线,故③错误; 对于④:a b a b +≥+,根据三角不等式的应用,故④正确;对于⑤:若0AB BC CA ++=,则,,A B C 为一个三角形的三个顶点,也可为0,故⑤错误;对于⑥:一个平面内,任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底,故⑥错误. 综上:①④正确. 故选:A. 【点睛】本题考查的知识要点:向量的运算的应用以及相关的基础知识,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题. 19.B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+,令222()2f t b a bt a t =-⋅+,易得2cos b a b t a aθ⋅==时,222min 244()()14a b a b f t a-⋅==,即222||cos 1b b θ-=,结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+,令222()2f t b a bt a t =-⋅+,因为t R ∈,所以当2cos b a b t a aθ⋅==时,222min 244()()4a b a b f t a -⋅=,又||b t a →→-的最小值为1, 所以2||b ta -的最小值也为1,即222min244()()14a b a b f t a-⋅==,222||cos 1b b θ-=,所以22||sin 1(0)b b θ=≠,所以1sin b θ=,故若θ确定,则||b →唯一确定. 故选:B 【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算,涉及到二次函数的最值,考查学生的数学运算求解能力,是一道容易题. 20.A 【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形,由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点,所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长,再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sinsin a b cr A B C=== 已知sin cos sin a b cA B B===sin cos B B =和sin sin C B =, 所以45B =,45C=,所以ABC 是等腰直角三角形,由条件可知ABC,即等腰直角三角形的斜边长为 所以122ABCS=⨯=. 故选:A 【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状,重点考查直角三角形和外接圆的性质,属于基础题型. 21.A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式,利用二倍角公式求得tan2C,从而求得tan C . 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-, ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-,又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-,∴sin cos 12C C +=, 即22cos sin cos 222C C C =,则tan 22C =,∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---, 故选:A . 【点睛】本题考查三角形面积公式,余弦定理,考查二倍角公式,同角间的三角函数关系,掌握相应的公式即可求解.属于中档题,考查了学生的运算求解能力. 22.D 【分析】由正弦定理确定BC 的长,再tan30AB BC 求出AB .【详解】15BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得:sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用,关键是利用正弦定理求出BC ,属于基础题. 23.A 【解析】∵2350OA OB OC ++=,∴()()23OA OC OB OC +=-+. 设AC 中点为M ,BC 中点为N ,则23OM ON =-,∵MN为ABC 的中位线,且32 OMON=,∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABCS S S S S⎛⎫==⨯=⨯=⎪⎝⎭,即12310SS=.选A.24.C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC+-=+,所以()0BC AB AC⋅+=,作出图形,结合向量加法的平行四边形法则,可得BC AD⊥,进而可得AB AC=,即可得出答案.【详解】由题意,()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC+-=-+-=+,所以()0BC AB AC⋅+=,取BC的中点D,连结AD,并延长AD到E,使得AD DE=,连结BE,EC,则四边形ABEC为平行四边形,所以AB AC AE+=.所以0BC AE⋅=,即BC AD⊥,故AB AC=,ABC是等腰三角形.故选:C.【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查平面向量的性质,考查学生的计算求解能力,属于基础题.25.A【分析】由条件求得∠BCD=150°,∠CBE=15°,故∠ABE=30°,可得∠AEB=105°.计算sin105°,代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒,化简求得AE =-. 【详解】由题意可得,AC =BC =CD =DA =BAC =45°,∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°+60°=150°.又△BCD 为等腰三角形,∴∠CBE =15°,故∠ABE =45°﹣15°=30°,故∠BEC =75°,∠AEB =105°.再由 sin105°=sin (60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°4=, △ABE 中,由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒,∴12AE=,∴AE =), 故选:A . 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用,两角和的正弦公式,属于中档题.26.无27.C 【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥,并计算出BC CA ⋅,然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影. 【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得,222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅,整理得,0AB AC ⋅=,则AB AC ⊥,()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-,设向量BC 与CA 的夹角为θ,所以,BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CACAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅, 故选C . 【点睛】本题考查平面向量投影的概念,解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方,这也是向量求模的常用解法,考查计算能力与定义的理解,属于中等题. 28.A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,求得()2113m AP AB m AD +=+-,再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ,因为B ,P ,F 三点共线,所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+, 因为2CF DF =,所以1133DF DC AB ==, 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点, 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=, 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭, 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得34λ=. 故选:A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查了平面向量基本定理的应用,属于基础题. 29.D 【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量,我们根据已知中的图形,结合向量加减法的三角形法则,对题目中的四个结论逐一进行判断,即可得到答案. 【详解】①如图可知AD =AC +CD =AC +12CB =-CA -12BC=-b -12a ,故①正确. ②BE =BC +CE =BC +12CA =a +12b ,故②正确. ③CF =CA +AE =CA +12AB =b +12(-a -b ) =-12a +12b ,故③正确. ④AD +BE +CF =-DA +BE +CF=-(DC +CA )+BE +CF=-(12a +b )+a +12b -12a +12b =0,故④正确. 故选D.【点睛】 本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义,关键是要根据向量加减法及其几何意义,将未知的向量分解为已知向量.30.A【解析】分析:根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解:由题可得:BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛:考查向量的线性运算,将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 31.B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =,再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知:22226c a b ab =+-+,①由余弦定理可知:222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-,②所以由①②可知,62ab ab -=-,即6ab =,则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选:B【点睛】本题考查解三角形,重点考查转化与化归思想,计算能力,属于基础题型.32.D【分析】 由正弦定理可得,3sin 2B =,根据b a >,可得B 角的大小. 【详解】由正弦定理可得,sin 3sin b A B a ==, 又0,,π<<>∴>B b a B A ,60︒∴=B 或120B =.故选:D【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于基础题目. 33.A 【分析】作出图形,利用AB 、AC 表示AO ,然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示:D 为BC 的中点,则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+, 2AO OD =,211333AO AD AB AC ∴==+, 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭, 故选:A.【点睛】本题考查利用基底表示向量,考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用,考查计算能力,属于中等题.34.无35.A【分析】由已知条件,令||AC a =,||BC b =,则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤,根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意,可得如下示意图令||AC a =,||BC b =,又2BM MC =,即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知:222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=,当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 48123222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选:A【点睛】本题考查了正余弦定理,利用向量的知识判断线段的长度及比例关系,再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围,进而结合三角形面积公式求最值。
第六章平面向量初步单元测试题(新高考模式)— 高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
平面向量初步一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a ,b 是两个非零向量,AO →,BO →分别是与a ,b 同方向的单位向量,则以下各式正确的是( )A .AO →=BO →B .AO →=BO →或AO →=OB →C .AO →=OB →D .|AO →|=|BO →|2.已知点A (2,3),B (-2,6),C (6,6),D (10,3),则以ABCD 为顶点的四边形是( )A .梯形B .邻边不相等的平行四边形C .菱形D .两组对边均不平行的四边形3.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则|a +b|等于( )A .(0,6)B .6C . 6D .(6,-2)4.已知向量a =(1,-2),b =(m,4),且a ∥b ,那么2a -b =( ) A .(4,0) B .(0,4) C .(4,-8)D .(-4,8)5.在重600 N 的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A .300 3 N,300 3 NB .150 N,150 NC .300 3 N,300 ND .300 N,300 N6.已知e 1≠0,λ∈R ,a =e 1+λe 2,b =2e 1,若a ∥b ,则( ) A .λ=0 B .e 2=0 C .e 1∥e 2D .e 1∥e 2或λ=07.如图,已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →=a ,BE→=b ,则BC →等于( )A .43a +23bB .23a +43bC .23a -43bD .-23a +43b8.设0≤θ<2π,已知两个向量OP 1→=(cos θ,sin θ),OP 2→=(2+sin θ,2-cos θ),则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A . 2B . 3C .3 2D .2 3二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中正确的是( )A .AB →=DC → B .AD →+AB →=AC → C .AB →-AD →=BD →D .AD →+CB →=010.已知点P 为△ABC 所在平面内一点,且P A →+2PB →+3PC →=0,如果E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,则下列结论中正确的是( )A .向量P A →与PC →可能平行 B .向量P A →与PC →不可能垂直 C .点P 在线段EF 上D .PE ∶PF =2∶111.下列命题正确的是( ) A .若|a |=|b |,则a =bB .若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C .若a =b ,b =c ,则a =cD .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c12.设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A .若AM →=12AB →+12AC →,则点M 是边BC 的中点 B .若AM →=2AB →-AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →=-BM →-CM →,则点M 是△ABC 的重心D .若AM →=xAB →+yAC →,且x +y =12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________.14.下列命题中正确命题的个数为________个. ①在△ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0;②若AB →+BC →+CA →=0,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点; ③若a ,b 均为非零向量,则|a +b|与|a|+|b|一定相等.15.在直角坐标系xOy 中,已知点A (3,3),B (5,1),P (2,1),M 是坐标平面内的一点.(1)若四边形APBM 是平行四边形,则点M 的坐标为________;(2)若P A →+PB →=2PM →,则点M 的坐标为________.(本题第一空2分,第二空3分)16.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →=xAB →+(1-x )AC →,则x 的取值范围是________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知P 是△ABC 内一点,且AP →+2BP →+3CP →=0,设Q 为CP 的延长线与AB 的交点,令CP →=p ,用p 表示CQ →.18.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点M 是边BC 的中点,点N 在边AC 上,且AN =2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP ∶PM 的值.19.(本小题满分12分)设OA →=(2,-1),OB →=(3,0),OC →=(m,3). (1)当m =8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件.20.(本小题满分12分)设e 1,e 2是正交单位向量,如果OA →=2e 1+m e 2,OB →=n e 1-e 2,OC →=5e 1-e 2,若A ,B ,C 三点在一条直线上,且m =2n ,求m ,n 的值.21.(本小题满分12分)已知e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量,AB →=2e 1+e 2,BE →=-e 1+λe 2,EC →=-2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e 1=(2,1),e 2=(2,-2),求BC →的坐标;(3)已知点D (3,5),在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.22.(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ,BC →=2AD →,且AB =CD =DA =2,AD →=a ,BA →=b ,M 是CD 的中点.(1)试用a ,b 表示BM →;(2)AB 上有点P ,PC 和BM 的交点Q ,PQ ∶QC =1∶2,求AP ∶PB 和BQ ∶QM .一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a ,b 是两个非零向量,AO →,BO →分别是与a ,b 同方向的单位向量,则以下各式正确的是( )A .AO →=BO →B .AO →=BO →或AO →=OB →C .AO →=OB →D .|AO →|=|BO →|D [因为a 与b 方向关系不确定且a ≠0,b ≠0,又AO →与a 同方向,BO →与b 同方向,所以AO →与BO →方向关系不确定,所以A ,B ,C 项均不对.又AO →与BO →均为单位向量,所以|AO →|=|BO →|=1.]2.已知点A (2,3),B (-2,6),C (6,6),D (10,3),则以ABCD 为顶点的四边形是( )A .梯形B .邻边不相等的平行四边形C .菱形D .两组对边均不平行的四边形B [因为AD →=(8,0),BC →=(8,0),所以AD →=BC →,因为BA →=(4,-3),所以|BA →|=5,而|BC →|=8,故为邻边不相等的平行四边形.]3.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则|a +b|等于( )A .(0,6)B .6C . 6D .(6,-2)B [因为|e 1|=|e 2|=1,e 1与e 2垂直,设e 1=(1,0),e 2=(0,1),则a =(3,2),b =(-3,4).所以|a +b |=(3-3)2+(2+4)2=6.]4.已知向量a =(1,-2),b =(m,4),且a ∥b ,那么2a -b =( )A .(4,0)B .(0,4)C .(4,-8)D .(-4,8)C [由a ∥b 知4+2m =0,∴m =-2,2a -b =(2,-4)-(-2,4)=(4,-8).故选C .]5.在重600 N 的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A .300 3 N,300 3 NB .150 N,150 NC .300 3 N,300 ND .300 N,300 NC [如图,作矩形OACB ,使∠AOC =30°,∠BOC =60°. 在△OAC 中,∠ACO =∠BOC =60°,∠OAC =90°,所以|OA →|=|OC →|cos 30°=300 3 N ,|AC →|=|OC →|sin 30°=300 N ,|OB →|=|AC →|=300 N .故选C .]6.已知e 1≠0,λ∈R ,a =e 1+λe 2,b =2e 1,若a ∥b ,则( ) A .λ=0 B .e 2=0 C .e 1∥e 2D .e 1∥e 2或λ=0D [∵a ∥b ,∴存在实数k ,使得a =k b 成立,∴e 1+λe 2=k ·2e 1,∵e 1≠0,∴e 1∥e 2,或λ=0,故选D .]7.如图,已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →=a ,BE →=b ,则BC →等于( )A .43a +23bB .23a +43bC .23a -43bD .-23a +43bB [BC →=2BD →=2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →+13AD →=43BE →+23AD →=23a +43b .]8.设0≤θ<2π,已知两个向量OP 1→=(cos θ,sin θ),OP 2→=(2+sin θ,2-cos θ),则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A . 2B . 3C .3 2D .2 3C [∵P 1P 2→=OP 2→-OP 1→=(2+sin θ-cos θ,2-cos θ-sin θ),∴|P 1P 2→|=(2+sin θ-cos θ)2+(2-cos θ-sin θ)2 =10-8cos θ≤3 2.]二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中正确的是( )A .AB →=DC → B .AD →+AB →=AC → C .AB →-AD →=BD →D .AD →+CB →=0ABD [在平行四边形ABCD 中,根据向量的减法法则知AB →-AD →=DB →,所以结论中错误的是C .A 、B 、D 均正确.]10.已知点P 为△ABC 所在平面内一点,且P A →+2PB →+3PC →=0,如果E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,则下列结论中正确的是( )A .向量P A →与PC →可能平行 B .向量P A →与PC →不可能垂直 C .点P 在线段EF 上D .PE ∶PF =2∶1CD [由E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,可得PE →=12(P A →+PC →),PF →=12(PB →+PC →),P A →+2PB →+3PC →=0,即(P A →+PC →)+2(PB →+PC →)=0,可得PE →+2PF →=0,可得P 在线段EF 上,且PE ∶PF =2∶1,向量P A →与PC →不可能平行,可能垂直,则CD 正确.AB 错误.]11.下列命题正确的是( ) A .若|a |=|b |,则a =bB .若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C .若a =b ,b =c ,则a =cD .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cBC [A 不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. B 正确,由AB →=DC →得|AB →|=|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,所以四边形ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则AB →∥DC →且方向相同,且|AB →|=|DC →|.因此,AB →=DC →.故“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件.C 正确,因为a =b ,所以a ,b 的长度相等且方向相同;又b =c ,则b ,c 的长度相等且方向相同,所以a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .D 不正确,当b =0时不成立.]12.设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A .若AM →=12AB →+12AC →,则点M 是边BC 的中点 B .若AM →=2AB →-AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →=-BM →-CM →,则点M 是△ABC 的重心D .若AM →=xAB →+yAC →,且x +y =12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 ACD [若AM →=12AB →+12AC →,则点M 是边BC 的中点,故A 正确;若AM →=2AB →-AC →,即有AM →-AB →=AB →-AC →,即BM →=CB →, 则点M 在边CB 的延长线上,故B 错误;若AM →=-BM →-CM →,即AM →+BM →+CM →=0,则点M 是△ABC 的重心,故C 正确;若AM →=xAB →+yAC →,且x +y =12,可得2AM →=2xAB →+2yAC →,设AN →=2AM →,由图可得M 为AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12,故D 正确,故选ACD .]三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________.-1 [∵a =(2,-1),b =(-1,m ),∴a +b =(1,m -1). ∵(a +b )∥c ,c =(-1,2),∴2-(-1)·(m -1)=0. ∴m =-1.]14.下列命题中正确命题的个数为________个. ①在△ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0;②若AB →+BC →+CA →=0,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点; ③若a ,b 均为非零向量,则|a +b|与|a|+|b|一定相等. 1 [①真命题;②假命题,当A ,B ,C 三点共线时,也可以有AB →+BC →+CA →=0; ③假命题,只有当a 与b 同向时才相等.]15.在直角坐标系xOy 中,已知点A (3,3),B (5,1),P (2,1),M 是坐标平面内的一点.(1)若四边形APBM 是平行四边形,则点M 的坐标为________;(2)若P A →+PB →=2PM →,则点M 的坐标为________.(本题第一空2分,第二空3分)(1)(6,3) (2)(4,2) [(1)设M (x ,y ),则AP →=(-1,-2),MB →=(5-x,1-y ). 因为四边形APBM 是平行四边形,所以AP →=MB →,所以(-1,-2)=(5-x,1-y ),所以⎩⎨⎧ 5-x =-1,1-y =-2,解得⎩⎨⎧x =6,y =3,所以点M的坐标为(6,3).(2)P A →=(1,2),PB →=(3,0), PM →=(x -2,y -1), 因为P A →+PB →=2PM →,所以(1,2)+(3,0)=2(x -2,y -1), 所以(4,2)=(2(x -2),2(y -1)), 所以⎩⎨⎧ 2(x -2)=4,2(y -1)=2,解得⎩⎨⎧x =4,y =2,所以点M 的坐标为(4,2).]16.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →=xAB →+(1-x )AC →,则x 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0 [设CO →=yBC →, ∵AO →=AC →+CO →=AC →+yBC → =AC →+y (AC →-AB →) =-yAB →+(1+y )AC →.∵BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合), ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13,∵AO →=xAB →+(1-x )AC →, ∴x =-y ,∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0.]四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知P 是△ABC 内一点,且AP →+2BP →+3CP →=0,设Q 为CP 的延长线与AB 的交点,令CP →=p ,用p 表示CQ →.[解] ∵AP →=AQ →+QP →,BP →=BQ →+QP →, ∴(AQ →+QP →)+2(BQ →+QP →)+3CP →=0, 即AQ →+3QP →+2BQ →+3CP →=0.又∵A ,Q ,B 三点共线,C ,P ,Q 三点共线, ∴设AQ →=λBQ →,CP →=μQP →. ∴λBQ →+3QP →+2BQ →+3μQP →=0, ∴(λ+2)BQ →+(3+3μ)QP →=0, 又∵BQ →,QP →为不共线的向量, ∴⎩⎨⎧λ+2=0,3+3μ=0. 解得λ=-2,μ=-1,∴CP →=-QP →=PQ →,故CQ →=CP →+PQ →=2CP →=2p .18.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点M 是边BC 的中点,点N 在边AC 上,且AN =2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP ∶PM 的值.[解] 设BM →=e 1,CN →=e 2,则AM →=AC →+CM →=-3e 2-e 1, BN →=BC →+CN →=2e 1+e 2.∵A ,P ,M 和B ,P ,N 分别共线,∴存在实数λ,μ,使得AP →=λAM →=-λe 1-3λe 2,BP →=μBN →=2μe 1+μe 2.故BA →=BP →-AP →=(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2. 而BA →=BC →+CA →=2e 1+3e 2, 由平面向量基本定理,得⎩⎨⎧λ+2μ=2,3λ+μ=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=45,μ=35.∴AP →=45AM →,∴AP ∶PM =4∶1.19.(本小题满分12分)设OA →=(2,-1),OB →=(3,0),OC →=(m,3). (1)当m =8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件. [解] (1)当m =8时,OC →=(8,3),设OC →=λ1OA →+λ2OB →, ∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1), ∴⎩⎨⎧2λ1+3λ2=8,-λ1=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1=-3,λ2=143,∴OC →=-3OA →+143OB →.(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,则有AB →与AC →不共线, 又AB →=OB →-OA →=(3,0)-(2,-1)=(1,1), AC →=OC →-OA →=(m,3)-(2,-1)=(m -2,4), 则有1×4-(m -2)×1≠0,∴m ≠6.20.(本小题满分12分)设e 1,e 2是正交单位向量,如果OA →=2e 1+m e 2,OB →=n e 1-e 2,OC →=5e 1-e 2,若A ,B ,C 三点在一条直线上,且m =2n ,求m ,n 的值.[解] 以O 为原点,e 1,e 2的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy (图略),则OA →=(2,m ),OB →=(n ,-1),OC →=(5,-1), 所以AC →=(3,-1-m ),BC →=(5-n,0),又因为A ,B ,C 三点在一条直线上,所以AC →∥BC →,所以3×0-(-1-m )(5-n )=0,与m =2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn -5m +n -5=0,m =2n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-12或⎩⎨⎧m =10,n =5.21.(本小题满分12分)已知e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量,AB →=2e 1+e 2,BE →=-e 1+λe 2,EC →=-2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e 1=(2,1),e 2=(2,-2),求BC →的坐标;(3)已知点D (3,5),在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.[解] (1)AE →=AB →+BE →=(2e 1+e 2)+(-e 1+λe 2)=e 1+(1+λ)e 2.因为A ,E ,C 三点共线,所以存在实数k ,使得AE →=kEC →, 即e 1+(1+λ)e 2=k (-2e 1+e 2), 得(1+2k )e 1=(k -1-λ)e 2.因为e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量, 所以⎩⎨⎧1+2k =0,λ=k -1,解得k =-12,λ=-32.(2)BC →=BE →+EC →=-3e 1-12e 2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)因为A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD →=BC →.设A (x ,y ),则AD →=(3-x,5-y ),因为BC →=(-7,-2),所以⎩⎨⎧3-x =-7,5-y =-2,解得⎩⎨⎧x =10,y =7,即点A 的坐标为(10,7).22.(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ,BC →=2AD →,且AB =CD =DA =2,AD →=a ,BA →=b ,M 是CD 的中点.(1)试用a ,b 表示BM →;(2)AB 上有点P ,PC 和BM 的交点Q ,PQ ∶QC =1∶2,求AP ∶PB 和BQ ∶QM . [解] (1)BM →=12(BD →+BC →) =12(BA →+AD →+2AD →)=32a +12b .(2)设BP →=tBA →,则BQ →=BC →+CQ →=BC →+23CP →=2AD →+23(CB →+BP →)=23tBA →+23AD →=23(a +t b ).设BQ →=λBM →=3λ2a +λ2b ,由于BA →,AD →不共线,则有⎩⎪⎨⎪⎧3λ2=23,λ2=23t ,解方程组,得λ=49,t =13.故AP ∶PB =2∶1,BQ ∶QM =4∶5.。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 ) (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a,b都是单位向量,则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量 =(1,1),n=(1,-1),且n• =2,则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上,且 = ,若 =λ,则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1,2),c=(-3,-4),且b⊥c,则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ,则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中,AB= ,BC=1,E是CD上一点,且• =1,则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中,AB边上的高为CD,若 =a, =b,a•b=0,|a|=1,|b|=2,则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P,如果 + + = ,则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2,4),b=(-1,-3),则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1, ),b=(-2,2 ),则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1,e2为单位向量.且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中:①a∥b 存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;②e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;③|a•a•a|=|a|3;④a与b共线,b与c共线,则a与c共线;⑤若a•b=b•c且b≠0,则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA= AB. 求证:AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2,-1), =(3,0), =(m,3). (1)当m=8时,将用和表示. (2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中,设=2 , =3 . (1)用向量,作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|b|=2 ,且a∥b,求b的坐标. (2)若|c|= ,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1,cosx),b=(,sinx),x∈(0,π). (1)若a∥b,求的值. (2)若a⊥b,求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a,b满足|a|=|b|=1, |ka+b|= |a-kb|(k>0,k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b,求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a,b都是单位向量,所以|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2,即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ,又n• =(1,-1)•(1,1)=1-1=0,所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知,| |∶| |=2∶3,且方向相反(如图所示),所以 =- ,所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1,2),b=(-3,0),所以2a+b=(-1,4),a-mb=(1+3m,2),又因为(2a+b)∥(a-mb),所以(-1)×2=4(1+3m),解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a,b,若存在实数λ,使得b=λa,则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a∥b. (3)对于向量a,b,若|a•b|=|a|•|b|,则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式,其一是共线定理,其二是共线定理的坐标形式.其中,共线定理的坐标形式更具有普遍性,不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1,2),c=(-3,-4),且b⊥c,所以a•c=(a+b)•c =(1,2)•(-3,-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11,所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b,c⊥a,所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0,所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ= = =- ,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ,所以2= • + • + • ,所以•( - - )= • ,所以•( - )= • ,所以• =0,所以⊥ ,所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ,所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0,0),B( ,0),C( ,1),设点E 坐标为(x,1),则 =(x,1), =( ,0),所以• =(x,1)•( ,0)= x=1,x= ,所以• = •( ,1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2), a+b=(1,2)+(2,-3)= ,因为(c+a)∥b,c⊥(a+b),所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示,导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0,所以⊥ ,所以AB= = ,又因为CD⊥AB,所以△ACD∽△ABC,所以 = ,所以AD= = = ,所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形,分析点P所在的位置,然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ,所以2 + =0, =-2 =2 ,所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2,4)+2(-1,-3) =(6,12)+(-2,-6)=(4,6),所以|3a+2b|= =2 . 答案:2 14.【解析】设a与b的夹角为θ,a•b=(1,)•(-2,2 )=1×(-2)+ ×2 =4, |a|= =2,|b|= =4,所以cosθ= = = ,又0°≤θ≤180°,所以θ=60°. 答案:60° 15.【解析】设a,b的夹角为θ,则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ,而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5,|b|=2,所以所求射影为 . 答案: 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;②正确.e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;③正确. = = = ;④错误.当b=0时,a与b共线,b与c共线,则a与c不一定共线;⑤错误.只要a,c在b方向上的投影相等,就有a•b=b•c. 答案:②③17.【证明】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系如图,设AD=1,则A(0,0),B(2,0), C(1,1),D(0,1),所以 =(-1,1), =(1,1),• =-1×1+1×1=0,所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时, =(8,3),设 =x +y ,则 (8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x),所以所以所以 =-3 + . (2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以,不共线, =(1,1), =(m-2,4),所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x,y),因为a∥b,所以y=2x;① 又因为|b|=2 ,所以x2+y2=20;② 由①②联立,解得b=(2,4)或b=(-2,-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c),(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0,又|a|= ,|c|= ,解得a•c=5,所以cosθ= = ,θ∈[0,π],所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示,另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b,所以sinx= cosx⇒tanx= ,所以 = = =-2. (2)因为a⊥b,所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ,所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0,π)且sinxcosx<0,所以x∈ ⇒sinx-cosx>0,所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2,将已知条件两边平方,然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b,判断a与b同向,再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值,再利用配方法求余弦值的最小值,最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2,k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1,得8ka•b=2k2+2,所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b,k>0,所以a•b= >0,则a与b同向. 因为|a|=|b|=1,所以a•b=1,即 =1,整理得k2-4k+1=0,所以k=2± ,所以当k=2± 时,a∥b. (3)设a,b的夹角为θ,则cosθ= =a•b = = = .当 = ,即k=1时,cosθ取最小值,又0≤θ≤π,所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)《平面向量》单元测试考试时间:120分钟 满分:150分一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(),3a k =,()1,4b =,()2,1c =,且()23a b c -⊥,则实数k 的值为( )A .32-B .152C .32D .32.在平行四边形ABCD 中,E 是边CD 的中点,AE 与BD 交于点F .若AB a =,AD b =,则AF =( )A .1344a b +B .2133ab C .3144a b +D .1233a b +3.如图,ABC 中,3BD DC =,AE mAB =,AF nAC =,0m >,0n >,则13m n+=( )A .3B .4C .43D .344.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在线段BD 上,且EB mDE =(m R ∈),若AC AE AD λμ=+(λ,μ∈R )且20λμ+=,则m =( )A .13B .3C .14D .45.已知平面向量,,a b c 满足1a =,2b =,a 与b 的夹角为45,当1c b -=时,a c ⋅的最大值为( )A .1B .2C .3D .46.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 的中点,点F 为线段BD 上的一动点,若AF x AE yDC =+,且0x m >>,0y >,则()my x m -的最大值为( )A .8243B .4243C .381D .4817.已知ABC 中,()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈,()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤,则PQ 的最小值为( )A .3B .5CD 8.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=,24b a +=,32CA CD CB =-,则线段CD 长度的最小值为( )A .2B C .3 D 二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.9.已知平面向量()1,0a =,()1,23b =,则下列说法正确的是( ) A .4a b +=B .()2a b a +⋅=C .向量a b +与a 的夹角为30︒D .向量a b +在a 上的投影向量为2a10.已知向量()3,1a =,()2,3b =,()1,2c =-,若()()ma c a nb ++∥(m ,n ∈R ),则(),m n 可能是( ) A .()2,1B .()0,1-C .()3,2D .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11.已知向量()()2,1,cos ,sin (0π)a b θθθ==<<,则下列命题正确的是( ) A .·a bB .存在θ,使得=+a b a b +C .若a b ⊥,则tan θ=D .若b 在a 上的投影向量为,则向量a 与b 的夹角为2π3 12.下列说法正确的是( )A .已知向量()2,3a =-,(),21b x x =-,若a ∥b ,则2x =B .若向量a ,b 共线,则a b a b +=+C .已知正方形ABCD 的边长为1,若点M 满足12DM MC =,则43AM AC ⋅= D .若O 是ABC 的外心,3AB =,5AC =,则OA BC ⋅的值为8-三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量a ,b 满足2a =,1b =,()5a a b ⋅+=,则cos ,a b =____________. 14.设向量,a b 的夹角的余弦值为13-,且|2||3|6a b ==,则|2|a b +=___________. 15.在ABC 中,点D 在边BC 上,且2BD DC =,若AD AC AB λμ=+,则λμ=____16.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABC 的面积为S ,且2||2AC AB AC S -⋅=,则C =______.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,a b 满足||2,||1a b ==,且()(2)9a b a b -⋅-=. (1)求|3|a b +;(2)记向量b 与向量3a b +的夹角为θ,求cos θ.18.如图,在矩形ABCD 中,点E 在边AB 上,且2AE EB =,M 是线段CE 上一动点.(1)若M 是线段CE 的中点,AM mAB nAD =+,求m n +的值; (2)若9AB =,43CA CE ⋅=,求解AD .19.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,过中心O 的直线l 与两边AB ,CD 分别交于点M ,N .(1)若Q 是BC 的中点,求QM QN ⋅的取值范围;(2)若P 是平面上一点,且满足2(1)OP OB OC λλ=+-,求PM PN ⋅的最小值.20.已知向量()cos ,sin OA a αα==,()2cos ,2sin OB b ββ==,()0,OC c d ==(0d >),其中O 为坐标原点,且π0π2βα<<<<. (1)若()a b a ⊥-,求βα-的值;(2)若向量a 在向量c b c d ⋅=,求AOB 的面积,21.已知函数()f x a b =⋅,其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈. (1)求函数()y f x =的单调递减区间;(2)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a =且3sin 2sin B C =,求ABC 的面积.22.已知向量(1,3=-m ,()sin ,cos n x x =,函数()()f x m n n =+⋅,在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()1f C =. (1)求C 的大小;(2)若ABC D 在边AC 上,且12CD DA =,求BD 的最小值.《平面向量》课时作业参考解析1.D【解析】由已知得,()()()232,331,423,6a b k k -=-=--. 又()23a b c -⊥,所以()230a b c -⋅=,即()()()23,62,12236k k --⋅=--4120k =-=.解得,3k =.故选:D. 2.D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<,则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-,且,,B F D 三点共线,则,BF BD 共线,即R μ∃∈,使得BF BD μ=,即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,又,AB AD 不共线,则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以,22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选:D.3.B【解析】由题意得:()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, AE mAB =,AF nAC =,1344AD AE AF m n∴=+, ,,E D F 三点共线,13144m n ∴+=,即134m n+=.故选:B. 4.B【解析】方法1:在平行四边形ABCD 中,因为EB =mDE ,所以()AB AE m AE AD -=-,所以11AE AB m =++1m AD m+,又∵AB DC AC AD ==-, ∴()111mAE AC AD AD m m=-+++,∴()()11AC m AE m AD =++-, 又∵AC AE AD λμ=+,∴1m λ=+,1m μ=-,(平面向量基本定理的应用) 又∵20λμ+=,∴()1210m m ++-=,解得3m =,故选:B.方法2:如图,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则()0,0A ,设(),0B a ,(),D b c ,∵AB DC = 则 (),C a b c +,又∵EB mDE =,设(),E x y ,则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即:,11mb a mc E m m +⎛⎫⎪++⎝⎭,∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭,(),AC a b c =+,(),AD b c =, 又∵AC AE AD λμ=+,20λμ+=,∴2AC AE AD μμ=-+ ∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+-+⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ-+⎧+=+⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩①②由②得1=1m mμ+-,将其代入①得3m =,故选:B. 5.B【解析】1a =,2b =,a 与b 的夹角为45,∴可设()1,0a =,()1,1b =,设(),c x y =,由1c b -=得:()()22111x y -+-=,则点C 轨迹是以()1,1为圆心,1为半径的圆,a c x ⋅=,∴当2x =时,a c ⋅取得最大值2.故选:B.6.B【解析】由题意可得12AE AD DE AB AD =+=+,所以,1122x AB AD y AB A x A F xAE x yDC y B AD ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭+,因为F 为线段BD 上的点,所以,存在()0,1λ∈,使得DF DB λ=, 所以,()AF AD AB AD λ-=-,则()1AF AB AD λλ=+-,所以,121x y x λλ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,则312x y +=,因为03102x y x >⎧⎪⎨=->⎪⎩,则203x <<, 所以,()()()3321223my x m m x x m m x m x ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223232323448383839m x m x m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 令()32344839f m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其中203m <<, 则()238432233839833f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当209m <<时,()0f m '>,此时函数()f m 单调递增, 当2293m <<时,()0f m '<,此时函数()f m 单调递减,所以,()max 249243f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,当且仅当29m =,49x =时,()my x m -取最大值4243.故选:B. 7.C【解析】如图,设点O 为BC 上的一点,令BO BC λ=,即AB BC AB BO AO λ==++,当AO BC ⊥时AO 取最小值3,此时根据勾股定理可得BO OC ==ABC 为等边三角形,当点O 为BC 的中点时建立如图直角坐标系:()0,3A ,3,0B,)C,()3AB =--,()3,3AC =-()226AB μμ=--,())()()131,31AC μμμ-=---()()213,33AP AB AC μμμ=+-=---,故),3Pμ-因为2BQ QA =,所以2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则32PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭3PQ ⎛== 因为1233μ≤≤,所以当13μ=时PQ 取最小值,min 23PQ =:C 8.D【解析】由()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理, 得2()()a c a c b ab +-+=,即222a b c ab +-=,由余弦定理得,2221cos 22a b c C ab +-==,∵()0,C π∈,∴3C π=. 由32CA CD CB =-,1233CD CA CB =+,两边平方,得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+,即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+, 当且仅当224b a b a =⎧⎨+=⎩,即12a b =⎧⎨=⎩时取等号,即2214(2)123CD b a ≥+=,∴线段CD D . 9.ABD【解析】由题意得((11,0a b +=++=, 所以(224a b +=+,故A 正确;()21202a b a +⋅=⨯+=,故B 正确;()21cos ,142a ab a a b a a b⋅++===⨯+, 0,πa a b ≤+≤,∴π,3a ab +=,故C 错误;向量a b +在a 上的投影向量为()2a a baa aa⋅+⋅=,故D 正确,故选:ABD . 10.ABD【解析】由题意得()32,13a nb n n +=++,()31,2ma c m m +=-+, 由()()ma c a nb ++∥可得()()()()3221331n m n m ++=+-,整理得1mn n =+. 对于选项A ,2111⨯=+,故选项A 正确; 对于选项B ,()0111⨯-=-+,故选项B 正确; 对于选项C ,3221⨯≠+,故选项C 错误; 对于选项D ,()111122⎛⎫-⨯-=-+ ⎪⎝⎭,故选项D 正确,故选:ABD . 11.ABD【解析】对于A ,()2cos sin a b θθθϕ⋅=++,其中tan 0,2πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以当=2πθϕ+,a b ⋅A 正确.对于B ,因为0πθ<<,所以当a b λ=,且0λ>时,a b a b +=+,即θ使得cos θ=,sin θ=时,符合题意,所以B 正确. 对于C ,若a b ⊥,则2cos sin 0a b θθ⋅=+=,此时tan θ=C 错误. 对于D ,b 在a 上的投影向量为cos ,3cos ,63a ba b a b a a a⋅==-, 所以1cos ,2a b =-,所以a 和b 的夹角为2π3,D 正确. 故选:ABD. 12.CD【解析】对于A ,因为()2,3a =-,(),21b x x =-,a ∥b , 所以2(21)3x x --=,解得27x =,故错误;对于B ,因为向量a ,b 共线,当向量a ,b 同向时,则有a b a b +=+;当向量a ,b 反向时,则有||a b a b +=-,故错误;对于C ,因为12DM MC =,所以M 为CD 的三等分点中靠近D 的点, 所以13AM AD DM AD DC =+=+,AC AD DC =+,所以2211414()()||||1033333AM AC AD DC AD DC AD DC DC AD ⋅=+⋅+=++⋅=++=,故正确;对于D ,因为O 是ABC 的外心,所以||||||OA OB OC R ===(R 为ABC 的外接圆半径),又因为OB OA AB -=,所以22()||OB OA AB -=,即2229R OA OB -⋅=,① 同理可得22225R OA OC -⋅=,②由①-②可得:8OA OC OA OB ⋅-⋅=-,即有()8OA OC OB OA BC ⋅-=⋅=-,故正确. 故选:CD.13.【解析】∵()242cos ,5a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=,∴1cos ,2a b =14.【解析】由题意|2||3|6a b ==,所以||3,||2,a b ==所以1cos 232,3a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以2|2|(2)a b ab +=+2244a a b b =+⋅+==15.【解析】由2BD DC =,得23BD BC =, 则在ABC 中,()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, 因AD λAC μAB =+,故2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此2λμ=. 16.【解析】22||cos sin 222AC AB AC b bc A bc AS -⋅-===,则()cos sin b c A A =+,由正弦定理得()()()sin cos sin sin sin πsin sin cos cos sin C A A B A C A C A C A C ⎡⎤+==-+=+=+⎣⎦,故 ()sin cos sin 0C C A -=,∵sin 0A ≠,∴πsin cos sin 04C C C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭,∵()0,πC ∈,∴π4C =.17.【解析】(1)因为()(2)9a b a b -⋅-=,所以22329a a b b -⋅+=. 因为向量,a b 满足||2,||1a b ==,所以2223219a b -⋅+⨯=,所以1a b ⋅=-.所以()2222|3|3692a b a ba ab b +=+=+⋅+=+(2)因为()231323a b b b a b ⋅+=-+⋅==+,所以()32cos 173b a bb a bθ⋅+==⨯⨯+ 18.【解析】(1)因为点E 在边AB 上,且2AE EB =,所以23AE AB =, 因为M 是线段CE 的中点,所以1()2AM AC AE =+112()223AB AD AB =++⨯5162AB AD =+, 因为AM mAB nAD =+,,AB AD 不共线,所以51,62m n ==, 所以514623m n +=+=;(2)由题意可得CA CD CB AB AD =+=--,13CE CB BE AD AB =+=--, 因为43CA CE ⋅=,所以1()()433AB AD AD AB --⋅--=,所以1()()433AB AD AD AB +⋅+=,所以22144333AD AB AB AD ++⋅=,因为9AB =,0AB AD ⋅=,所以2219433AD +⨯=,得216AD =,所以4AD =. 19.【解析】(1)因为直线l 过中心O 且与两边AB 、CD 分别交于点M 、N . 所以O 为MN 的中点,所以OM ON =-, 所以()()QM QN QO OM QO ON ⋅=+⋅+22QO OM =-.因为Q 是BC 的中点,所以||1QO =,1||2OM ≤≤2210QO OM -≤-≤, 即的QM QN ⋅取值范围为[1,0]-;(2)令2OT OP =,则 2(1)OT OP OB OC λλ==+-,∴OT OB OC OC λλ=+-,即:OT OC OB OC λλ-=-,∴CT CB λ= ∴点T 在BC 上,又因为O 为MN 的中点,所以||1OT ≥,从而1||2OP ≥,()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+22PO OM =-,因为1||2OM ≤≤,所以2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-, 即PM PN ⋅的最小值为74-.20.【解析】(1)由题知(2cos cos ,2sin sin )b a βαβα-=--,因为()a b a ⊥-, 所以()cos (2cos cos )sin (2sin sin )2cos()10a b a αβααβααβ⋅-=-+-=--= 即1cos()2αβ-=,因为π0π2βα<<<<,所以0αβπ<-<,所以3παβ-=,所以3πβα-=-(2)由题知sin a c d d c α⋅==sin α=, 因为2απ<<π,所以23πα=,又2sin b c d d β⋅==,即1sin 2β=,因为02βπ<<,所以6πβ=,易知,2AOB π∠=,1,2OA OB ==,所以112AOBSOA OB =⨯=21.【解析】(1)因为函数()f x a b =⋅,其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈,所以,()22cos cos212sin 216f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅==+=++ ⎪⎝⎭,由题意有()3222Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈,解得()2Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈, 所以,函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ; (2)结合(1)得()12sin 212,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0A π<<,所以132666A πππ<+<,所以,5266A ππ+=,解得3A π=,因为3sin 2sin B C =,所以332,2b c c b ==,又在ABC 中,a =所以,由余弦定理得2222772cos34a b c bc b π==+-=,解得3,2c b ==,所以1232ABC S =⨯⨯=△.22【解析】(1)()1sin ,cos m n x x +=+,()()()22sin 1sin cos cos sin sin cos f x x x x x x x x x∴=++=++πsin 12sin 13x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,()π2sin 113f C C ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭,πsin 03C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,()0,πC ∈,ππ2π,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭,π03C ∴-=,解得:π3C =.(2)1sin 2ABCSab C ===2ab ∴=;12CD DA =,13CD b ∴=, 在BCD △中,由余弦定理得:2222211112cos 3393BD a b a b C a b ab ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭,2111223333BD a b ab ab ∴≥⋅-==(当且仅当13a b =,即a =,b 时取等号),BD ∴≥BD .。
高一数学第二章平面向量检测题及答案解析
高一数学平面向量测试题本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
参考公式:将点),(y x P 按向量),(b a 平移后得点),(y x P ''',则⎩⎨⎧+='+='b y y ax x第Ⅰ卷(选择题部分 共40分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷时,考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,仅一项符合要求)1.已知向量b a ,,则“R b a ∈=λλ,”成立的必要不充分条件是 ( )A .0 =+b aB .a 与b 方向相同C .b a ⊥D .a∥b2.在△ABC 中,AB =a ,AC=b ,如果|||=|a b ,那么△ABC 一定是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形3.1(26)32+-a b b 等于 ( )A .2-a bB .-a bC .aD .b4.下列命题正确的是( )A .若ABC 、、是平面内的三点,则AB AC BC -= B .若12e e 、是两个单位向量,则12e e =。
C .若a b 、 是任意两个向量,则a b a b +≤+D .向量12(0,0),(1,2)e e ==-可以作为平面内所有向量的一组基底5.一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有( )A .13,F F 成90角B .13,F F 成150角C .23,F F 成90角D .23,F F 成60角6.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ =2AB +1AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 A .15B .45 C .14 D .137.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BCAB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=( )A .8B .4C .2D .18.平面上O,A,B 三点不共线,设,OA a OB b ==,则△OAB 的面积等于( )A .222|||()|a b a b -B .222|||()|a b a b +C .2221|||()2|a b a b - D .2221|||()2|a b a b + 9.函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /,F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a 可以等于( )A .)2,6(-πB .)2,6(πC .)2,6(--πD .)2,6(π-10.定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a=(m,n),b p,q)=(,令 a b=mq-np ,下面说法错误的是( )A .若a 与b 共线,则a b=0B .ab=b aC .对任意的R λ∈,有a)b=(λλ(ab)D .2222(ab)+(ab)=|a||b|第Ⅱ卷(非选择题部分 共60分)二、填空题(本大题6小题,每题4分,共24分。
平面向量及其应用单元测试题+答案
一、多选题1.已知非零平面向量a ,b ,c ,则( )A .存在唯一的实数对,m n ,使c ma nb =+B .若0⋅=⋅=a b a c ,则//b cC .若////a b c ,则a b c a b c =++++D .若0a b ⋅=,则a b a b +=- 2.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知cos cos 2B bC a c=-,4ABC S =△,且b = )A .1cos 2B =B .cos B =C .a c +=D .a c +=3.在△ABC 中,a ,b ,c 是角A ,B ,C 的对边,已知A =3π,a =7,则以下判断正确的是( )A .△ABC 的外接圆面积是493π; B .b cos C +c cos B =7;C .b +c 可能等于16;D .作A 关于BC 的对称点A ′,则|AA ′|的最大值是4.已知在平面直角坐标系中,点()10,1P ,()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时,点P 的坐标为( ) A .4,23⎛⎫⎪⎝⎭B .4,33⎛⎫⎪⎝⎭C .()2,3D .8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5.设P 是ABC 所在平面内的一点,3AB AC AP +=则( ) A .0PA PB += B .0PB PC += C .PA AB PB += D .0PA PB PC ++=6.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A .10,45,70b A C ==︒=︒B .45,48,60b c B ===︒C .14,16,45a b A ===︒D .7,5,80a b A ===︒ 7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( )A .B .C .8D .8.ABC 中,4a =,5b =,面积S =c =( )A BC D .9.在△ABC 中,AB =AC ,BC =4,D 为BC 的中点,则以下结论正确的是( ) A .BD AD AB -= B .1()2AD AB AC =+ C .8BA BC ⋅=D .AB AC AB AC +=-10.在ABC 中,15a =,20b =,30A =,则cos B =( ) A .5-B .23C .23-D .5 11.下列各组向量中,不能作为基底的是( ) A .()10,0e =,()21,1=e B .()11,2e =,()22,1e =-C .()13,4e =-,234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D .()12,6=e ,()21,3=--e12.已知正三角形ABC 的边长为2,设2AB a =,BC b =,则下列结论正确的是( ) A .1a b +=B .a b ⊥C .()4a b b +⊥D .1a b ⋅=-13.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则下列关系正确的是( )A .AB DC =B .AB DC =C .AB DC >D .BC AD ∥14.点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形15.下列说法中错误的是( )A .向量AB 与CD 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点必在一条直线上 B .零向量与零向量共线 C .若,a b b c ==,则a c =D .温度含零上温度和零下温度,所以温度是向量二、平面向量及其应用选择题16.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ,测得45BDC ∠=︒,则塔AB 的高是(单位:m )( )A .102B .106C .103D .1017.O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=,若3a =,则边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为( ) A .23π B .43π C .6π D .3π 18.ABC ∆内有一点O ,满足3450OA OB OC ++=,则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为( ) A .1:4B .4:5C .2:3D .3:519.在ABC 中,若A B >,则下列结论错误的是( )A .sin sin AB >B .cos cos A B <C .sin2sin2A B >D .cos2cos2A B <20.在ABC 中,若()()0CA CB CA CB +⋅-=,则ABC 为( ) A .正三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .无法确定 21.在△ABC 中,AB =a ,BC =b ,且a b ⋅>0,则△ABC 是( ) A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形22.如图,ADC 是等边三角形,ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠︒=,BD 与AC 交于E 点.若2AB =,则AE 的长为( )A 62B .1(62)2C 62D .1(62)223.在ABC ∆中,6013ABC A b S ∆∠=︒=,,,则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于( ) A 239B 2633C 833D .2324.在ABC ∆中,已知2AB =,4AC =,若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心,则()AG AW BC +⋅=( )A .4B .6C .10D .1425.已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=,点P 在直线3y x上,线段AB 为圆C的直径,则PA PB ⋅的最小值为() A .2B .52C .3D .7226.题目文件丢失!27.已知向量()22cos ,3m x =,()1,sin2n x =,设函数()f x m n =⋅,则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A .关于直线12x π=对称B .关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C .周期为2πD .()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 28.在ABC 中,()2BC BA AC AC +⋅=,则ABC 的形状一定是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形29.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则DF =( )A .1324AB AD -+ B .1223AB AD + C .1132AB AD - D .1324AB AD - 30.如图所示,设P 为ABC ∆所在平面内的一点,并且1142AP AB AC =+,则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于( )A .25B .35C .34D .1431.如图,在ABC 中,14AD AB →→=,12AE AC →→=,BE 和CD 相交于点F ,则向量AF →等于( )A .1277AB AC →→+B .1377AB AC →→+C .121414AB AC →→+ D .131414AB AC →→+ 32.ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=,则ABC 的面积为( )A .6B .332C .33D 333.在ABC 中,若sin 2sin cos B A C =,那么ABC 一定是( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形D .等边三角形34.设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ,点O 满足2AO OD =,则OC =( )A .1233AB AC -+ B .2133AB AC -C .1233AB AC -D .2133AB AC -+35.在ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S ,若()22S a b c +=+,则cos A 等于( )A .45B .45-C .1517D .1517-【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.BD 【分析】假设与共线,与,都不共线,即可判断A 错;根据向量垂直的数量积表示,可判断B 正确;向量共线可以是反向共线,故C 错;根据向量数量积法则,可判断D 正确. 【详解】A 选项,若与共线,与,都 解析:BD 【分析】假设a 与b 共线,c 与a ,b 都不共线,即可判断A 错;根据向量垂直的数量积表示,可判断B 正确;向量共线可以是反向共线,故C 错;根据向量数量积法则,可判断D 正确. 【详解】A 选项,若a 与b 共线,c 与a ,b 都不共线,则ma nb +与c 不可能共线,故A 错;B 选项,因为a ,b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ,则a b ⊥,a c ⊥,所以//b c ,即B 正确;C 选项,因为向量共线可以是反向共线,所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++;如a 与b 同向,c 与a 反向,且a b c +>,则a b c a b c =+-++,故C 错;D 选项,若0a b ⋅=,则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+,()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+,所以a b a b +=-,即D 正确.故选:BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定,以及向量数量积的相关计算,属于基础题型.2.AD 【分析】利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简,结合,可求,结合范围,可求,进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵,整理可得:, 可得,∵A 为三角形内角,, ∴,故A 正确解析:AD 【分析】利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-,结合sin 0A ≠,可求1cos 2B =,结合范围()0,B π∈,可求3B π=,进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--, 整理可得:sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-,可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==, ∵A 为三角形内角,sin 0A ≠, ∴1cos 2B =,故A 正确,B 错误, ∵()0,B π∈, ∴3B π=,∵ABC S =△3b =,∴11sin 42224ac B a c ac ==⨯⨯⨯=, 解得3ac =,由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-,解得a c +=C 错误,D 正确. 故选:AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.3.ABD 【分析】根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A ,设的外接圆半径为,根据正弦定理,可得,所以的外接圆面积是,故A 正确;对于B ,根据正弦定解析:ABD 【分析】根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A ,设ABC 的外接圆半径为R ,根据正弦定理2sin a R A =,可得3R =,所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==,故A 正确; 对于B ,根据正弦定理,利用边化角的方法,结合A B C π++=,可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==,故B 正确.对于C ,22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤,故C 错误.对于D ,设A 到直线BC 的距离为d ,根据面积公式可得11sin 22ad bc A =,即sin bc Ad a=,再根据①中的结论,可得d =D 正确. 故选:ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题,解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等.4.AD 【分析】设,则,然后分点P 靠近点,靠近点两种情况,利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设,则,当点P 靠近点时,, 则, 解得, 所以,当点P 靠近点时,, 则, 解得, 所以, 故选:解析:AD 【分析】设(),P x y ,则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ,然后分点P 靠近点1P ,靠近点2P 两种情况,利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设(),P x y ,则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y , 当点P 靠近点1P 时,1212PPPP =, 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭, 当点P 靠近点2P 时,122PP PP =, 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩, 解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故选:AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5.CD 【分析】转化为,移项运算即得解 【详解】 由题意: 故 即 , 故选:CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算能力,属于基础题.解析:CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--,移项运算即得解 【详解】由题意:3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选:CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算能力,属于基础题.6.BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由,所以,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解; 对于选项B 中:因为,且,所以角有两解析:BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由45,70A C =︒=︒,所以18065B A C =--=︒,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解;对于选项B 中:因为csin sin 115B C b ==<,且c b >,所以角C 有两解;对于选项C 中:因为sin sin 17b A B a ==<,且b a >,所以角B 有两解; 对于选项D 中:因为sin sin 1b AB a=<,且b a <,所以角B 仅有一解. 故选:BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定,其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.7.AC【分析】利用余弦定理:即可求解.【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:, 即,解得. 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基解析:AC 【分析】利用余弦定理:2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,即216310a a -+=,解得8a = 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基本运算,属于基础题.8.AB 【分析】在中,根据,,由,解得或,然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中,因为,,面积, 所以, 所以,解得或,当时,由余弦定理得:, 解得,当时,由余弦定理得:, 解得 所以或解析:AB 【分析】在ABC 中,根据4a =,5b =,由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =,然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中,因为4a =,5b =,面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =,解得60C =或120C =, 当60C =时,由余弦定理得:2222cos 21c a b ab C =+-=,解得c =当120C =时,由余弦定理得:2222cos 61c a b ab C =+-=,解得c =所以c =c =故选:AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.9.BC 【分析】根据向量的加法和减法运算,以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项:,故A 错;对于 B 选项:因为D 为BC 的中点,,故B 正确; 对于C 选项:,故正确; 对于D 选项:,而,故解析:BC 【分析】根据向量的加法和减法运算,以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项:BD AD BD DA BA -=+=,故A 错; 对于 B 选项:因为D 为BC 的中点,()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+,故B 正确;对于C 选项:cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=,故正确;对于D 选项:2,AB AC AD AB AC CB +=-=,而2AD CB ≠,故D 不正确. 故选:BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算,属于基础题.10.AD 【分析】利用正弦定理可求得的值,再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理,可得, ,则,所以,为锐角或钝角. 因此,. 故选:AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析:AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值,再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=,可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===, b a >,则30B A >=,所以,B 为锐角或钝角.因此,cos 3B ==±. 故选:AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值,考查计算能力,属于基础题.11.ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ,C ,D 中向量与共线,不能作为基底;B 中,不共线,所以可作为一组基底. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义,属解析:ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ,C ,D 中向量1e 与2e 共线,不能作为基底;B 中1e ,2e 不共线,所以可作为一组基底. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义,属于基础题.12.CD 【分析】分析知,,与的夹角是,进而对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】分析知,,与的夹角是. 由,故B 错误,D 正确; 由,所以,故A 错误; 由,所以,故C 正确. 故选:CD 【点睛】解析:CD 【分析】分析知1a =,2=b ,a 与b 的夹角是120︒,进而对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】分析知1a =,2=b ,a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠,故B 错误,D 正确;由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=,所以3a b +=,故A 错误; 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=,所以()4a b b +⊥,故C 正确.故选:CD 【点睛】本题考查正三角形的性质,考查平面向量的数量积公式的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.13.BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可; 【详解】解:与显然方向不相同,故不是相等向量,故错误; 与表示等腰梯形两腰的长度,所以,故正确; 向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故解析:BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可; 【详解】解:AB 与DC 显然方向不相同,故不是相等向量,故A 错误;AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度,所以AB DC =,故B 正确; 向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故C 错误;等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行,所以//BC AD ,故D 正确; 故选:BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解,属于基础题.14.AD 【解析】 【分析】由条件可得,再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点,且, ∴, 即, ∴,两边平方并化简得, ∴,∴,则一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形, 故解析:AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+,再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点,且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=, ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=, 即||||CB AC AB =+, ∴||||AB AC AC AB -=+, 两边平方并化简得0AC AB ⋅=, ∴AC AB ⊥,∴90A ︒∠=,则ABC ∆一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形, 故不可能是钝角三角形,等边三角形, 故选:AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用,考查计算能力,是基础题.15.AD 【分析】利用零向量,平行向量和共线向量的定义,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故A 错误; 零向量与任一向量共线,故B解析:AD 【分析】利用零向量,平行向量和共线向量的定义,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故A 错误; 零向量与任一向量共线,故B 正确; 若,a b b c ==,则a c =,故C 正确; 温度是数量,只有正负,没有方向,故D 错误. 故选:AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义,平行向量和共线向量的定义,属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16.B 【分析】设塔高为x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x ,从而有BC=3x ,在△BCD 中,CD=10,∠BCD=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,由正弦定理可求 BC ,从而可求x 即塔高. 【详解】设塔高为x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x ,从而有x ,x , 在△BCD 中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30° 由正弦定理可得,sin sin BC CDBDC CBD=可得,BC=10sin 45sin 30x ==.则;所以塔AB 的高是米; 故选B . 【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题,即正确建立数学模型,结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据,进而选择合适的公式进行求解. 17.A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==,利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==,从而可得知ABC ∆为等边三角形,进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,a bOC OA OB c c∴=--,同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--,tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩,tan tan tan A B Ca b c∴==, 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==,所以,111cos cos cos A B C==, cos cos cos A B C ∴==,由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减,所以,3A B C π===, 设ABC ∆的外接圆半径为R,则22sin 2aR A===,1R ∴=, 所以,边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选:A. 【点睛】本题考查弧长的计算,涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题. 18.A 【解析】分析:由题意,在ABC ∆内有一点O ,满足3450++=OA OB OC ,利用三角形的奔驰定理,即可求解结论.详解:由题意,在ABC ∆内有一点O ,满足3450++=OA OB OC ,由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=,所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==, 故选A .点睛:本题考查了向量的应用,对于向量的应用问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用,利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决. 19.C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >,由余弦函数性质判断B ,然后结合二倍角公式判断CD . 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C , 由A B >,则,a b >∴sin sin 0A B >>,A 正确; 由余弦函数性质知cos cos A B <,B 正确;sin 22sin cos A A A =,sin 22sin cos B B B =, 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <,C 错误,;2cos 212sin A A =-,2cos 212sin B B =-,∴cos2cos2A B <,D 正确. 故选:C . 【点睛】本题考查三角形内角和定理,考查正弦定理、余弦函数性质,考查正弦、余弦的二倍角公式,考查学生的逻辑推理能力,属于中档题. 20.C 【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=,从而可得答案. 【详解】 解:在ABC 中,(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=,a b ∴=,ABC ∴为等腰三角形, 故选:C . 【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查向量的数量积的运算性质,属于中档题. 21.D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小,得三角形形状. 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->,∴cos()0B π->,cos 0B ->,cos 0B <,又B 是三角形内角,∴2B ππ<<.∴ABC 是钝角三角形.故选:D . 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断,解题关键是掌握数量积的定义.向量夹角的概念. 22.A 【分析】由条件求得∠BCD =150°,∠CBE =15°,故∠ABE =30°,可得∠AEB =105°.计算sin105°,代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒,化简求得AE =-. 【详解】由题意可得,AC =BC =CD =DA =BAC =45°,∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°+60°=150°.又△BCD 为等腰三角形,∴∠CBE =15°,故∠ABE =45°﹣15°=30°,故∠BEC =75°,∠AEB =105°.再由 sin105°=sin (60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=, △ABE 中,由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒,∴12AE=,∴AE =), 故选:A . 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用,两角和的正弦公式,属于中档题. 23.A 【解析】分析:先利用三角形的面积公式求得c 的值,进而利用余弦定理求得a ,再利用正弦定理求解即可.详解:由题意,在ABC ∆中,利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=, 解得4c =,又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,解得a =,由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===-+,故选A. 点睛:本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,对于解三角形问题,通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题. 24.C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ,因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心,则0DW BC ⋅=, 再用AB 、AC 表示AW ,AG ,BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解:如图,取BC 的中点D ,因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选:C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示,考查运算能力,属于中档题. 25.B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -,利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算,考查点到直线距离公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题. 26.无27.D【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++,当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称; 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称; f (x )得周期22T ππ==, 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数. 本题选择D 选项.28.D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系,再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=,所以222a c b -=,即ABC 是直角三角形,选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用πA B C ++=这个结论.29.D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得:DF AF AD =-,1=2AF AE ,=AE AB BE +,1=2BE BC ,=BC AD ,即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则,可得DF AF AD =-,=AE AB BE +, E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则1=2AF AE ,1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法:一是几何运算,往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算,建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).30.D【分析】由题,延长AP 交BC 于点D ,利用共线定理,以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系,可得DP 与AD 的比值,再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ,因为A 、P 、D 三点共线,所以(1)CP mCA nCD m n =++=,设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+,即11,142nk m nk =--=,且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边,所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理,共线定理以及四则运算,解题的关键是在于向量的灵活运用,属于较难题目.31.B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ,作//FN AC 交AB 于点N ,由平行线得出三角形相似,得出线段成比例,结合14AD AB →→=,12AE AC →→=,证出37AM AC →→=和17AN AB →→=,最后由平面向量基本定理和向量的加法法则,即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解:过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ,作//FN AC 交AB 于点N , 已知14AD AB →→=,12AE AC →→=, //FN AC ,则MFE ABE △△和MCF ACD △△, 则:MF ME AB AE =且MF MC AD AC=, 即:2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =,所以124MC MF ME AB AC AC ==, 则:8MC ME =,所以37AM AC =, 解得:37AM AC →→=, 同理//FM AB ,NBF ABE △△和NFD ACD △△, 则:NF NB AE AB =且NF ND AC AD=, 即:12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =,所以142NB NF ND AC AB AB ==, 则:8NB ND =,即()8AB AN AD AN -=-, 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,即28AB AN AB AN -=-, 得:17AN AB =, 解得:17AN AB →→=, 四边形AMFN 是平行四边形,∴由向量加法法则,得AF AN AM →→→=+, 所以1377AF AB AC →→→=+. 故选:B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理,考查运算能力. 32.B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =,再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知:22226c a b ab =+-+,①由余弦定理可知:222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-,②所以由①②可知,62ab ab -=-,即6ab =, 则ABC 的面积为11333sin 622S ab C ==⨯=. 故选:B【点睛】本题考查解三角形,重点考查转化与化归思想,计算能力,属于基础题型.33.B【分析】利用两角和与差公式化简原式,可得答案.【详解】因为sin 2sin cos B A C =,所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选:B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用,考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用,考查学生计算能力,属于中档题.34.A【分析】作出图形,利用AB 、AC 表示AO ,然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示:D 为BC 的中点,则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+, 2AO OD =,211333AO AD AB AC ∴==+, 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭, 故选:A.【点睛】本题考查利用基底表示向量,考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用,考查计算能力,属于中等题.35.D【分析】由22()S a b c +=+,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得:1sin 2cos 22bc A bc A bc =+,化为sin 4cos 4A A -=,与22sin cos 1A A +=.解出即可.【详解】解:22()S a b c +=+,2222S b c a bc ∴=+-+, ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+, 所以sin 4cos 4A A -=,因为22sin cos 1A A +=.解得15cos 17A =-或cos 1A =-. 因为1cos 1A -<<,所以cos 1A =-舍去.15cos 17A ∴=-. 故选:D .【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。
《第2章 平面向量》2013年单元测试卷
《第2章平面向量》2013年单元测试卷《第2章平面向量》2013年单元测试卷一、选择题(共14小题,每小题3分,满分42分)1.(3分)已知向量()D.2.(3分)已知向量,则的坐标是()3.(3分)已知,且∥,则x等于()D.4.(3分)若,则与的夹角的余弦值为().C D.5.(3分)若,与的夹角是135°,则等于()C D8.(3分)在平行四边形ABCD中,M为上任一点,则等于().C D.9.(3分)在平行四边形ABCD中,若,则必有().C或10.(3分)已知点C在线段AB的延长线上,且等于()C.11.(3分)已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x)满足,则x的值为()12.(3分)已知△ABC的三个顶点分别是,重心G(x,﹣1),则x、yC.13.(3分)设两个非零向量不共线,且共线,则k的值为()14.(3分)(2012•北京模拟)已知,则点M的坐标是().C D.二、填空题(共6小题,每小题4分,满分20分)15.(4分)(2012•湖北模拟)已知垂直,则λ等于_________.16.(4分)已知等边三角形ABC的边长为1,则=_________.17.(4分)设是两个单位向量,它们的夹角是60°,则=_________.18.(4分)已知A(﹣3,4)、B(5,﹣2),则||=_________.19.(2分)设=(,sinα),=(cosα,),且⊥,则tanα=_________.20.(2分)若对n个向量,存在n个不全为零的实数k1,k2…,k n,使得=成立,则称向量为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明=(1,0),=(1,﹣1),=(2,2)“线性相关”.k1,k2,k3的值分别是_________(写出一组即可).三、解答题(共4小题,满分38分)21.(9分)已知,求线段AB的中点C的坐标.22.(9分)已知的夹角为60°,求.23.(10分)平面向量,已知∥,,求的坐标及夹角.24.(10分)如图所示,在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点,=,=,=.(1)用、表示向量、、、、;(2)求证:B、E、F三点共线.《第2章平面向量》2013年单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题(共14小题,每小题3分,满分42分)1.(3分)已知向量()D.=的值,即可得到=∴2.(3分)已知向量,则的坐标是()通过向量坐标运算,直接求出,则3.(3分)已知,且∥,则x等于()D.解:∵==∥x=.4.(3分)若,则与的夹角的余弦值为().C D.,可求解:设向量==的应用,属于基础试题.5.(3分)若,与的夹角是135°,则等于()C D=解:由题意,与∴(﹣=中两个向量是8.(3分)在平行四边形ABCD中,M为上任一点,则等于().C D.可得答案.解:∵9.(3分)在平行四边形ABCD中,若,则必有().C或知对角线相等,再由矩形定义求解.中,∵10.(3分)已知点C在线段AB的延长线上,且等于()C.11.(3分)已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x)满足,则x的值为(),∵∴12.(3分)已知△ABC的三个顶点分别是,重心G(x,﹣1),则x、yC.13.(3分)设两个非零向量不共线,且共线,则k的值为()解:∵共线)+∵14.(3分)(2012•北京模拟)已知,则点M的坐标是().C D.,∵∴的坐标是二、填空题(共6小题,每小题4分,满分20分)15.(4分)(2012•湖北模拟)已知垂直,则λ等于.解:∵∴∵②故答案为:16.(4分)已知等边三角形ABC的边长为1,则=.模已知,夹角已知,故∴﹣故答案为﹣17.(4分)设是两个单位向量,它们的夹角是60°,则=.+7=+7=﹣故答案为﹣18.(4分)已知A(﹣3,4)、B(5,﹣2),则||=10.||∴||===1019.(2分)设=(,sinα),=(cosα,),且⊥,则tanα=﹣.先利用向量垂直的充要条件得+解:∵=,=,∴sin﹣.20.(2分)若对n个向量,存在n个不全为零的实数k1,k2…,k n,使得=成立,则称向量为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明=(1,0),=(1,﹣1),=(2,2)“线性相关”.k1,k2,k3的值分别是﹣4,2,1(写出一组即可).个向量,存在成立,则称向量为=,= =====0∵,,三、解答题(共4小题,满分38分)21.(9分)已知,求线段AB的中点C的坐标.和向量的坐标,可以求得点∴22.(9分)已知的夹角为60°,求.解:由题意,已知∴∴23.(10分)平面向量,已知∥,,求的坐标及夹角.∥,,及平面向量的值,再根据,我们易得向量夹角的余弦值,进而得到向量∥得∴与∥,24.(10分)如图所示,在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点,=,=,=.(1)用、表示向量、、、、;(2)求证:B、E、F三点共线.,由题意求出,再由向量减法的三角形法则求出和;)求出,故两个向量共线,即=是平行四边形,则==∴=(=(的中点,∴==,∴﹣=()﹣=﹣=﹣()可知,=(,=(∴,即、是共线向量,所以参与本试卷答题和审题的老师有:俞文刚;庞会丽;lily2011;翔宇老师;wodeqing;wdnah;minqi5;涨停;吕静;caoqz;qiss;xintrl;gongjy;394782(排名不分先后)菁优网2013年11月20日。
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题(含答案)
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题(1)第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、化简 AC -BD +CD —AB 得………………………………………………( ) A .AB B . C .BC D .02、下列命题正确的是………………………………………………………………( )A .单位向量都相等B .若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量C .||||b a b a -=+,则0a b =D .若0a 与0b 是单位向量,则0a 0b 1=3、下列命题中错误的是………………………………………………………………( )A .对于任意向量a ,b ,有|a +b |≤|a |+|b |B .若 a b =0,则 a =0或 b =0C .对于任意向量a ,b ,有||a b ≤||||a bD .若a ,b 共线,则 a b = ±|a ||b |4、按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-,则按向量→a 将点)3,2(-平移到……( )A.)4,3(-B.)2,1(-C.)3,4(-D.)1,2(-5、把542++=x x y 的图像按向量经过一次平移后得到2x y =的图像,则为( )A. )1,2(B. )1,2(-C. )1,2(--D. (2,1-)6、已知12(4,7),(1,0),P P --且点P 在线段21P P 的延长线上,且12||2||PP PP =,则点P的坐标………………………………………………………………………………( ) A.)11,2(- B.)1,34(C.)3,32( D.)7,2(- 7、已知△ABC 中,A=45°,a=2,b=2,那么∠B 为………………………………( )A .30°B .60°C .30°或150°D .60°或120°8、在△ABC 中,c =C 为……………………………………( )A .4π B .3π C .23π D .3π或23π9、若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有……………………………………( )A .a=3,b=-5B .a-b+1=0C .2a-b=3D .a-2b=0 10、||1,||2a b ==,且()0a b a +=,则a 、b 的夹角为…………………………( )A .60°B .90°C .120°D .150°11、△ABC 中,||=5,||=8,²=20,则||为……………………( )A. 6B. 7C. 8D. 912、设πθ20<≤,已知两个向量()θθsin ,cos 1=,()θθcos 2,sin 22-+=OP ,则向量21P P 长度的最大值是…………………………………………………………( ) A.2B.3C.23D.32第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.13、已知||=3,||=2,与的夹角为600,则|-|= 14、已知(3,4),(2,3)a b =-=,则2||3a a b -=15、已知向量→a =(1,2),→b =(-2,3),→c =(4,1),用→a 和→b 表示→c ,则→c =__________16、在△ABC 中,若B=300,AB=23,AC=2,则△ABC 的面积S 是 ;三、解答题:本大题共6小题;共74分.17、(8分)已知ABCD 的顶点A (0,-9),B (2,6), C (4,5),求第四个顶点D 的坐标.18、(14分)如图,平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,DC 的中点,G 为DE 、BF 交点。
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》(时间:120分钟 满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20-2.已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭, ()0,1BC =,则向量BA 与BC 夹角的大小为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-,, ()12b =-,,则()2a b a +⋅=( )A. 1-B. 0C. 1D. 24.已知向量,若,则实数m 的值为 ( ) A. 0 B. 2 C. D. 2或 5.如上图,向量1e , 2e , a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底1e , 2e 表示为( )A. 1e +2eB. 21e -2eC. -21e +2eD. 21e +2e6.若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线,则a 的值为( )A. 4B. 4-C. 2D. 2-7.已知平面向量,a b 的夹角为60°,()1,3a =, 1b =,则a b +=( )A. 2B. 37 D. 48.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=,若(2a b -)与c 互相垂直,则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A , ()1,2B , ()2,1C --, ()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11.在矩形ABCD 中, 3AB =, 3BC =, 2BE EC =,点F 在边CD 上,若•3AB AF =,则•AE BF 的值为( )A. 0B. 833C. 4-D. 4 12.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形, P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值为 ( )A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设a 与b 是两个不共线向量,且向量a b λ+与2a b -共线,则λ=__________.14.已知单位向量a , b 满足()1•232a ab -=,则向量a 与b 的夹角为__________. 15.在平行四边形ABCD 中, AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点, AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =, BD b =,则AF 等于_______(用a , b 表示).16.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 在线段AB 边上运动(包含线段端点),则DE CB ⋅的值为__________; DE DB ⋅的取值范围为__________.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题10分)已知四点A (-3,1),B (-1,-2),C (2,0),D (23,4m m +)(1)求证: AB BC ⊥;(2) //AD BC ,求实数m 的值.18.(本小题12分)已知向量()1,2a =,()3,4b =-.(1)求a b +与a b -的夹角;(2)若()a ab λ⊥+,求实数λ的值.19.(本小题12分)已知是夹角为的两个单位向量,,.(1)求;(2)求与的夹角.20.(本小题12分)如图,在平行四边形中,,是上一点,且. (1)求实数的值;(2)记,,试用表示向量,,.21.(本小题12分)已知向量a 与b 的夹角为120︒, 2,3a b ==, 32,2m a b n a kb =-=+. (I )若m n ⊥,求实数k 的值; (II )是否存在实数k ,使得//m n ?说明理由.22.(本小题12分)已知点(1,0),(0,1)A B -,点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.(1)求证:APB ∠恒为锐角;(2)若四边形ABPQ 为菱形,求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案(时间:120分钟 满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选:C .2.【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭, ()0,1BC =,则向量BA 与BC 夹角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-,, ()12b =-,,则()2a b a +⋅=( ) A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选:C.4.已知向量,若,则实数m 的值为 ( ) A. 0 B. 2 C.D. 2或 【答案】C 【解析】∵向量,且 ∴, ∴.选C. 5.如上图,向量1e , 2e , a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底1e , 2e 表示为( )A. 1e +2eB. 21e -2eC. -21e +2eD. 21e +2e【答案】C6.若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线,则a 的值为( )A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -,三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+,,()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7.【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°,()1,3a =, 1b =,则a b +=( ) A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选:C .9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=,若(2a b -)与c 互相垂直,则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=,因为(2a b -)与c 互相垂直,则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-,选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A , ()1,2B , ()2,1C --, ()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11.【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中, 3AB =,3BC =, 2BE EC =,点F 在边CD 上,若•3AB AF =,则•AE BF 的值为( )A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12.【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形, P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值为 ( )A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系, (()()0,23,2,0,2,0A B C -,设(),P x y ,则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--,()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦,∴最小值为6-,故选B.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设a 与b 是两个不共线向量,且向量a b λ+与2a b -共线,则λ=__________.【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a , b 满足()1•232a ab -=,则向量a 与b 的夹角为__________. 【答案】60°(或3π) 【解析】因为()1232a a b ⋅-=,化简得: 2123232a a b a b -⋅=-⋅=,即12a b ⋅=,所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅,又0,a b π≤≤,所以,3a b π=,故填3π. 15.【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中, AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点, AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =, BD b =,则AF 等于_______(用a ,b 表示).【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =, BD b =,∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点,∴=,∴DF=AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭, ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 在线段AB 边上运动(包含线段端点),则DE CB ⋅的值为__________; DE DB ⋅的取值范围为__________. 【答案】 1 []1,2【解析】如图,以D 为坐标原点,以DC , DA 分别为x , y 轴,建立平面直角坐标系, ()0,0D , ()0,1DE x , ()1,1B , ()0,1CB ,()1,0C , ()1,1DB , ()0,1E x , []00,1x ∈,∴1DE CB ⋅=, 01DE DB x ⋅=+,∵001x ≤≤,0112x ≤+≤,∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2,故答案为1, []1,2.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)已知四点A (-3,1),B (-1,-2),C (2,0),D (23,4m m +) (1)求证: AB BC ⊥; (2) //AD BC ,求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析:(1)分别根据向量的坐标运算得出AB BC ,算出AB BC ⋅(2)由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析:(1)依题意得, ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18.(本小题12分)已知向量()1,2a =,()3,4b =-. (1)求a b +与a b -的夹角; (2)若()a ab λ⊥+,求实数λ的值. 【答案】(1)34π;(2)1-. 【解析】(1)因为()1,2a =,()3,4b =-,所以()2,6a b +=-,()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯,由[],0,a b a b π+-∈,则3,4a b a b π+-=; (2)当()a ab λ⊥+时,()0a a b λ⋅+=,又()13,24a b λλλ+=-+,所以13480λλ-++=,解得:1λ=-.19.(本小题12分)已知是夹角为的两个单位向量,,.(1)求; (2)求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析:(1)向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果;(2)同第一问,由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量,∴,(1)(2) ,,∴,∴与的夹角为.20.(本小题12分)如图,在平行四边形中,,是上一点,且. (1)求实数的值;(2)记,,试用表示向量,,.【答案】(1);(2),,.【解析】试题分析:(1)根据平面向量共线定理得到,由系数和等于1,得到即。
海南省海南中学平面向量及其应用单元测试题+答案doc
一、多选题1.若a →,b →,c →是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A .若a b →→=,则a b →→= B .若a c b c →→→→⋅=⋅,则a b →→= C .若//a b →→,//b c →→,则//a c →→D .若a b a b →→→→+=-,则a b →→⊥2.正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则下列结论正确的是( )A .()0a b c -⋅=B .()0a b c a +-⋅= C .()0a c b a --⋅=D .2a b c ++=3.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且02C <<π,4b =,则以下说法正确的是( )A .3C π=B .若72c =,则1cos 7B =C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形D .若ABC 的面积是44.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +>B .若a b >,则cos2cos2A B <C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 5.给出下列结论,其中真命题为( ) A .若0a ≠,0a b ⋅=,则0b =B .向量a 、b 为不共线的非零向量,则22()a b a b ⋅=⋅ C .若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+,则a 与b 垂直D .若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量,则向量a b +与a b -的夹角是2π6.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A .6π B .3π C .56π D .23π7.在ABC 中,AB =1AC =,6B π=,则角A 的可能取值为( )A .6π B .3π C .23π D .2π 8.已知向量a =(2,1),b =(1,﹣1),c =(m ﹣2,﹣n ),其中m ,n 均为正数,且(a b -)∥c ,下列说法正确的是( ) A .a 与b 的夹角为钝角B .向量a 在bC .2m +n =4D .mn 的最大值为29.在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,不解三角形,确定下列判断错误的是( )A .B =60°,c =4,b =5,有两解 B .B =60°,c =4,b =3.9,有一解C .B =60°,c =4,b =3,有一解D .B =60°,c =4,b =2,无解10.下列各式中,结果为零向量的是( ) A .AB MB BO OM +++ B .AB BC CA ++ C .OA OC BO CO +++D .AB AC BD CD -+-11.下列命题中,结论正确的有( ) A .00a ⨯=B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-C .若//AB CD ,则A 、B 、C 、D 四点共线;D .在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,0AC BD ⋅=,则四边形ABCD 为菱形. 12.设a 为非零向量,下列有关向量||aa 的描述正确的是( ) A .||1||a a =B .//||a a aC .||a a a =D .||||a a a a ⋅=13.有下列说法,其中错误的说法为( ).A .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cB .若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是三角形ABC 的垂心 C .两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向D .若a ∥b ,则存在唯一实数λ使得a b λ=14.设,a b 是两个非零向量,则下列描述正确的有( ) A .若||||||a b a b +=-,则存在实数λ使得a b λ= B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-C .若||||||a b a b +=+,则a 在b 方向上的投影为||bD .若存在实数λ使得a b λ=,则||||||a b a b +=-15.点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形二、平面向量及其应用选择题16.已知M (3,-2),N (-5,-1),且12MP MN =,则P 点的坐标为( ) A .(-8,1) B .31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .(8,-1)17.已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=,则::PAB PAC PBC S S S =△△△( )A .1∶2∶3B .1∶2∶1C .2∶1∶1D .1∶1∶218.在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若lg lg lg sin a c B -==-,且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则ABC 的形状是( )A .等边三角形B .锐角三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形19.若O 为ABC 所在平面内任意一点,且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=,则ABC 一定为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .钝角三角形20.三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,那么点P 是三角形ABC 的( ) A .重心B .垂心C .外心D .内心21.著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O ,H 分别是△ABC 的外心、垂心,且M 为BC 中点,则 ( )A .33AB AC HM MO +=+ B .33AB AC HM MO +=- C .24AB AC HM MO +=+D .24AB AC HM MO +=-22.在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为( ). A .4B .3C .-4D .523.在ABC ∆中,6013ABC A b S ∆∠=︒==,,,则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于( ) A .239B .2633C .833D .2324.在ABC ∆中,E ,F 分别为AB ,AC 的中点,P 为EF 上的任一点,实数x ,y 满足0PA xPB yPC ++=,设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ,记ii S Sλ=(1,2,3i =),则23λλ⋅取到最大值时,2x y +的值为( ) A .-1B .1C .32-D .3225.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30,第一排和最后一排的距离为102米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)A 33B 53C 73D 83.题目文件丢失!27.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ,测得45BDC ∠=︒,则塔AB 的高是(单位:m )( )A .102B .106C .103D .1028.设(),1A a ,()2,1B -,()4,5C 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同,则a =( )A .12-B .12C .-2D .229.在矩形ABCD 中,3,3,2AB BC BE EC ===,点F 在边CD 上,若AB AF 3→→=,则AE BF→→的值为( ) A .0B .833C .-4D .430.如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若(),DE AB AD R λμλμ=+∈,则λμ⋅等于( )A .316- B .316 C .12D .12-31.在ABC ∆中,60A ∠=︒,1b =,3ABC S ∆=,则2sin 2sin sin a b cA B C++=++( )A .239B .263C .83D .2332.如图所示,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进50 m 到达B 处,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD =50 m ,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于( )A B .2C D 1 33.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ,若cos 2aB c=,则ABC ∆一定是( ) A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形34.设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ,点O 满足2AO OD =,则OC =( )A .1233AB AC -+ B .2133AB AC -C .1233AB AC -D .2133AB AC -+35.ABC 中,5AB AC ==,6BC =,则此三角形的外接圆半径是( )A .4B .72C .258D .259【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断. 【详解】对应,若,则向量长度相等,方向相同,故,故正确; 对于,当且时,,但,可以不相等,故错误; 对应,若,,则方向相同 解析:ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断. 【详解】对应A ,若a b =,则向量,a b 长度相等,方向相同,故||||a b =,故A 正确; 对于B ,当a c ⊥且b c ⊥时,··0a c b c ==,但a ,b 可以不相等,故B 错误; 对应C ,若//a b ,//b c ,则,a b 方向相同或相反,,b c 方向相同或相反, 故,a c 的方向相同或相反,故//a c ,故C 正确;对应D ,若||||a b a b +=-,则22222?2?a a b b a a b b ++=-+,∴0a b =,∴a b ⊥,故D 正确.故选:ACD【点睛】本题考查平面向量的有关定义,性质,数量积与向量间的关系,属于中档题.2.ABC 【分析】作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解解析:ABC 【分析】作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示:对于A 选项,四边形ABCD 为正方形,则BD AC ⊥,a b AB BC AB AD DB -=-=-=,()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=,A 选项正确;对于B 选项,0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=,则()00a b c a a +-⋅=⋅=,B 选项正确;对于C 选项,a c AB AC CB -=-=,则0a c b CB BC --=-=,则()0a c b a --⋅=,C 选项正确;对于D 选项,2a b c c ++=,222a b c c ∴++==,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断,同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用,考查计算能力,属于中等题.3.AC 【分析】对于,利用正弦定理可将条件转化得到,即可求出; 对于,利用正弦定理可求得,进而可得;对于,利用正弦定理条件可转化为,结合原题干条件可得,进而求得; 对于,根据三角形面积公式求得,利解析:AC 【分析】对于A2sin sin A C A =,即可求出C ; 对于B ,利用正弦定理可求得sin B ,进而可得cos B ;对于C ,利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =,结合原题干条件可得B ,进而求得A B C ==;对于D ,根据三角形面积公式求得a ,利用余弦定理求得c ,进而由正弦定理求得R . 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =, 因为sin 0A ≠,故sin 2C =, 因为(0,)2C π∈,则3C π=,故A 正确;若72c =,则由正弦定理可知sin sin c b C B =,则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈,则1cos 7B =±,故B 错误; 若sin 2cos sin A BC =,根据正弦定理可得2cos a c B =,2sin c A =,即sin a A =sin 2cos A c B =,所以sin A B =,因为23A B C ππ+=-=,则23A B π=-,故2sin()3B B π-=,1sin 2B B B +=,即1sin 2B B =,解得tan B =3B π=,则3A π=,即3A B C π===,所以ABC 是等边三角形,故C 正确; 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =,由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,即c =设三角形的外接圆半径是R ,由正弦定理可得24sin c R C ===,则该三角形外接圆半径为2,故D 错误, 故选:AC . 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式,转化思想,计算能力,属于中档题.4.ABD 【分析】对于A ,利用及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由,可得,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【解析:ABD 【分析】对于A ,利用A B π+<及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由a b >,可得sin sin A B >,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用in 12s S ab C =和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【详解】对于A ,∵A B π+<,∴0A B ππ<<-<,根据余弦函数单调性,可得()cos cos cos A B B π>-=-,∴cos cos 0A B +>,故A 正确;对于B ,若sin sin a b A B >⇔>,则22sin sin A B >,则2212sin 12sin A B -<-,即cos2cos2A B <,故B 正确;对于C ,211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=,故C 错误;对于D ,在ABC 为非直角三角形,()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角函数基本性质.考查了推理和归纳的能力.5.CD 【分析】对于A 由条件推出或,判断该命题是假命题;对于B 由条件推出,判断该命题是假命题;对于C 由条件判断与垂直,判断该命题是真命题;对于D 由条件推出向量与的夹角是,所以该命题是真命题. 【详解解析:CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥,判断该命题是假命题;对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅,判断该命题是假命题;对于C 由条件判断a 与b 垂直,判断该命题是真命题;对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π,所以该命题是真命题. 【详解】对于A ,若0a ≠,0a b ⋅=,则0b =或a b ⊥,所以该命题是假命题; 对于B ,()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==,而()()2222a ba b ⋅=,由于a 、b 为不共线的非零向量,所以2cos 1α≠,所以()()()222a b a b ⋅≠⋅,所以该命题是假命题;对于C ,若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+,22222a b a b a b ++⋅=+,所以0a b ⋅=,则a 与b 垂直,所以该命题是真命题;对于D ,以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形,则a b +和a b -所在的对角线互相垂直,所以向量a b +与a b -的夹角是2π,所以该命题是真命题. 故选:CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断,是基础题.6.BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析:BD【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案.【详解】 由正弦定理可得sin sin a c A C=,∴ sin sin c C A a ==而a c <, ∴ A C <,∴ 566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD.【点睛】 本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.7.AD【分析】由余弦定理得,解得或,分别讨论即可.【详解】由余弦定理,得,即,解得或.当时,此时为等腰三角形,,所以;当时,,此时为直角三角形,所以.故选:AD【点睛】本题考查余弦解析:AD【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅,解得1BC =或2BC =,分别讨论即可.【详解】由余弦定理,得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅,即21322BC BC =+-,解得1BC =或2BC =. 当1BC =时,此时ABC 为等腰三角形,BC AC =,所以6A B π==;当2BC =时,222AB AC BC +=,此时ABC 为直角三角形,所以A =2π. 故选:AD【点睛】 本题考查余弦定理解三角形,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道容易题.8.CD【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断;对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用()∥判断;对于D ,利用C 的结论,2m+n=4,结合基本不等式判断.【详解】对于A ,向量(解析:CD【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断; 对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用(a b -)∥c 判断;对于D ,利用C 的结论,2m +n =4,结合基本不等式判断.【详解】对于A ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则2110a b ⋅=-=>,则,a b 的夹角为锐角,错误;对于B ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=,错误;对于C ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则a b -= (1,2),若(a b -)∥c ,则(﹣n )=2(m ﹣2),变形可得2m +n =4,正确;对于D ,由C 的结论,2m +n =4,而m ,n 均为正数,则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2,即mn 的最大值为2,正确; 故选:CD.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用,属于基础题.9.ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论:若为锐角,当时,三角形有唯一解;当时,三角形有两解;当时,三角形无解:当时,三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于,因为为锐角且,所以三角解析:ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论:若B 为锐角,当c b <时,三角形有唯一解;当sin c B b c <<时,三角形有两解;当sin c B b >时,三角形无解:当sin c B b =时,三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于A ,因为B 为锐角且45c b =<=,所以三角形ABC 有唯一解,故A 错误;对于B ,因为B 为锐角且sin 4 3.92c B b c =⨯==<,所以三角形ABC 有两解,故B 错误;对于C ,因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=,所以三角形ABC 无解,故C 错误;对于D ,因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=,所以三角形ABC 无解,故D 正确.故选:ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法,属于基础题. 10.BD【分析】根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案.【详解】对于选项:,选项不正确;对于选项: ,选项正确;对于选项:,选项不正确;对于选项:选项正确.故选:解析:BD【分析】根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案.【详解】对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确;对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确;对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;对于选项D :()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选:BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题. 11.BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得;【详解】解:对于A ,,故A 错误;对于B ,若,则,所以,,故,即B 正确;对于C ,,则或与共线,故C 错误;对于D ,在四边形中,若解析:BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得;【详解】解:对于A ,00a ⨯=,故A 错误;对于B ,若a b ⊥,则0a b ⋅=,所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+,2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+,故||||a b a b +=-,即B 正确;对于C ,//AB CD ,则//AB CD 或AB 与CD 共线,故C 错误;对于D ,在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,即AB DC =,所以四边形ABCD 是平行四边形,又0AC BD ⋅=,所以AC BD ⊥,所以四边形ABCD 是菱形,故D 正确; 故选:BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用,属于基础题.12.ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量,然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量,所以正确,正确,所以AB 正确,当不是单位向量时,不正确,,所以D 正确.故选:ABD解析:ABD【分析】 首先理解a a表示与向量a 同方向的单位向量,然后分别判断选项. 【详解】 a a 表示与向量a 同方向的单位向量,所以1a a =正确,//a a a 正确,所以AB 正确,当a 不是单位向量时,a a a =不正确, cos 0a a a a a a a a a a⋅==⨯=,所以D 正确. 故选:ABD【点睛】本题重点考查向量a a 的理解,和简单计算,应用,属于基础题型,本题的关键是理解a a 表示与向量a 同方向的单位向量.13.AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】 对于选项A ,当时,与不一定共线,故A 错误;对于选项B ,由,得,所以,,同理,,故是三角形的垂心,所以B 正确;对于选项C ,两个非零向量 解析:AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ,当0b =时,a 与c 不一定共线,故A 错误;对于选项B ,由PA PB PB PC ⋅=⋅,得0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥,PB CA ⊥, 同理PA CB ⊥,PC BA ⊥,故P 是三角形ABC 的垂心,所以B 正确;对于选项C ,两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向,故C 正确;对于选项D ,当0b =,0a ≠时,显然有a ∥b ,但此时λ不存在,故D 错误. 故选:AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断,考查学生对基本概念、定理的掌握,是一道容易题.14.AB【分析】若,则反向,从而;若,则,从而可得;若,则同向,在方向上的投影为若存在实数使得,则共线,但是不一定成立.【详解】对于选项A ,若,则反向,由共线定理可得存在实数使得;对于选解析:AB【分析】若||||||a b a b +=-,则,a b 反向,从而a b λ=;若a b ⊥,则0a b ⋅=,从而可得||||a b a b +=-;若||||||a b a b +=+,则,a b 同向,a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=,则,a b 共线,但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ,若||||||a b a b +=-,则,a b 反向,由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=;对于选项B ,若a b ⊥,则0a b ⋅=,222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-;对于选项C ,若||||||a b a b +=+,则,a b 同向,a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ,若存在实数λ使得a b λ=,则,a b 共线,但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选:AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算,明确向量的性质及运算规则是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.15.AD【解析】【分析】由条件可得,再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是所在平面内一点,且,∴,即,∴,两边平方并化简得,∴,∴,则一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故解析:AD【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+,再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点,且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=,∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=,即||||CB AC AB =+,∴||||AB AC AC AB -=+,两边平方并化简得0AC AB ⋅=,∴AC AB ⊥,∴90A ︒∠=,则ABC ∆一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不可能是钝角三角形,等边三角形,故选:AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用,考查计算能力,是基础题.二、平面向量及其应用选择题16.B【分析】由向量相等的坐标表示,列方程组求解即可.【详解】解:设P(x ,y ),则MP = (x -3,y +2),而12MN =12(-8,1)=14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,属基础题.17.B【分析】延长PB 至D ,可得出点P 是ADC 的重心,再根据重心的性质可得出结论。
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高一数学《平面向量》单元测试
姓名 :
班级 :
一、 选择题 (共 8 小题 ,每题 5 分 )
1. 下列命题正确的是
(
)
A .单位向量都相等
B . 任一向量与它的相反向量不相等
C .平行向量不一定是共线向量
D .模为 0 的向量与任意向量共线
2.已知向量 a =( 3,4), b =( sin α, cos α),且 a ∥ b ,则 tan α等于(
)
A .
3
B .
3 C .
4
D .
4
4
4
3
3
3.在以下关于向量的命题中,不正确的是
(
)
A .若向量 a=(x , y),向量 b=(- y , x)(x 、 y ≠ 0),则 a ⊥ b
B .四边形 ABCD 是菱形的充要条件是
AB = DC ,且 | AB |=| AD |
C .点 G 是△ ABC 的重心,则 GA + GB + CG =0
D .△ ABC 中, AB 和 CA 的夹角等于 180°- A
4.设 P ( 3, 6), Q ( 5, 2), R 的纵坐标为
9,且 P 、 Q 、 R 三点共线,则
R 点的横坐标为
( )
A . 9
B . 6
C . 9
D . 6
r r r r r r
r
r r
)
5.若 | a | 1,| b | 2, c a b ,且 c
a ,则向量 a 与
b 的夹角为 (
A . 30°
B .60°
C .120°
D . 150°
6.在△ ABC 中, A >B 是 sinA > sinB 成立的什么条件(
)
A .充分不必要
B .必要不充分
C .充要
D .既不充分也不必要
7.若将函数
y
sin 2x 的图象按向量
a 平移后得到函数
y sin( 2x
) -1 的图象 ,则向量 a 可以是:
4
(
)
A . ( , 1)
B . (
,1) C . (
,1) D . (
, 1)
8
8
4
4
8.在△ ABC 中,已知 | AB | 4,| AC | 1, S
ABC
3,则 AB AC 的值为(
)
A .- 2
B . 2
C .± 4
D .± 2 二、 填空题 (共 4 小题 ,每题 5 分 )
9.已知向量 a 、 b 的模分别为 3,4,则| a - b |的取值范围为
.
r
r r
r
r
10.已知 e 为一单位向量,
a 与 e 之间的夹角
是
120O ,而 a 在 e 方向上的投影为-
2,则
r
a
.
11.设 e 1、e 2 是两个单位向量,它们的夹角是 60 ,则 (2e 1
e 2 ) ( 3e 1 2e 2 )
12.在 ?ABC 中, a =5, b= 3,C= 1200 ,则 sin A
三、
解答题 (共 40 分 )
13.设 e 1 ,e 2 是两个垂直的单位向量,且
a
( 2e 1 e 2 ) ,b
e 1 e 2
(1)若 a ∥ b ,求
的值;
(2) 若 a
b ,求
的值 .( 12 分)
14.设函数 f ( x)
a b ,其中向量
a =(2cosx , 1),
b =(cosx ,
3 sin2x), x ∈ R.
(1)若
f(x)=1-
3 且
x ∈ [-
,
] ,求
x ;
( 2)若函数
y=2sin2x 的图象按向量
c =(m , n) (|m|<
)平移后得到
3
3
2
函数 y=f(x) 的图象,求实数 m 、 n 的值 . (14 分)
15. 已知△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,向量
C C C
C m (cos , sin
) , n (cos
,
sin ) ,且 m 与 n 的夹角为 .
2
2
2
2
3
(1)求角 C 的值; ( 2)已知 c
7 3 3
b 的值 . ( 14 分)
2
,△ ABC 的面积 S
,求 a
2。