3.动点问题题型方法归纳

3.动点问题题型方法归纳标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

动点问题

知识点：

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线

3

6

4

y x

=-+

与坐标轴分别交于A B

、两点，动点

P Q

、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A B

、两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ

△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当

48

5

S=

时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q

、、为顶点的平行

四边形的第四个顶点M的坐标．

提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；

（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

简单题。

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点

(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形

（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小并求出最小值及此时PQ 的长．

注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

二．特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿

A C

B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B

C

D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：

（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；

（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3-，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC

交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒

S≠），点P的运动时间为的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（0

t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时

直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；

第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。

利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C （0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

(1)求∠ABC的度数；

(2)当t为何值时，AB∥DF；

(3)设四边形AEFD的面积为S．

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<23时，求m的取值范围(写出答案

即可)．

注意：发现特殊性，DE∥OA

7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且

∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的

速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设(08)

t t<≤秒后，直线PQ交OB于点D.（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）当

4

3,3

3

a OD

==

时，求t的值及此时直线PQ的解析式；