量纲分析相似理论w
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（1）写出支配现象的物理法则 （2）求出相似参数
流态与速度V、管径d、 密度、粘性系数相关
3 选定物理法则法
（1）写出支配现象的物理法则 支配该现象的物理法则是粘性力和惯性力
d 惯性力：Fi m 2 d 2V 2 t V 粘性力：F A dV d
（2）求出相似参数
Fi d 2V 2 Vd Re F dV
第二章
相似理论和量纲分析
2016.9.2
相似理论－举例1（自然灾害模拟）
相似理论－举例1（自然灾害模拟）
Lab-scale to Real-scale
海啸模拟器
explosion 地震模擬振動台
实验室模拟：易于实现、经济、安全； 条件可控；获取的信息多、发现规律
问题：是否反映真实现象？如何应用？
（4）求相似参数
2 量纲分析法
（1）写出决定现象的物理量和量纲（SI制）
ML3
p
MT 2 L1 MT 1L1
l d V L L LT 1
（2）写出量纲矩阵
M T L 1 0
p
l
d
VHale Waihona Puke Baidu
在SI制中，一般力 学问题有三个基本 单位（长度、时间、 质量），因此取量 纲分别用L、T、M 表示。
一、相似的基本理论
一个物理现象，用 n个物理量x （ i i 1,2, n）之间的函数来描述 f ( x1 , x2 , xn ) 0 在这些变量xi中涉及到m个基本量纲，可从 xi中选择m个量纲独立 的物理量，导出 n m个无量纲数 j ( j 1,2, n m)，它们满足函 数关系 F ( 1 , 2 , n m ) 0 它与f ( x1 , x2 , xn ) 0有等价的效力。
举例2－大（巨）型工具、装置的研制
实物实验：代价高、危险性大或不允许
模型实验：廉价、高效、形成设计理论；替代 或显著减少实际试验；新发现或拓宽应用范围 问题：如何保证模拟的正确性？
举例3－－小放大（易于观察测量）
举例4－－雷诺数小叙
管内流动 层流与湍流
层流与湍流问题：什么情况下 层流 湍流 转变？
1
p 静压 同理由动静压关系可得 2 2 V 动压
三、三种方法的比较
相似变换法——从已知的基本方程出发求相似参数
量纲分析法——从决定现象的物理量的量纲出发求相似参数
选定物理法则法——从支配现象的物理法则出发求相似参数
三、三种方法的比较
在相似变换法中需要过多的知识，而且还把这些好不容易才得到的 知识浪费了。本来用程度较低的知识就够了，却要求较高程度的知 识，这是这种方式的不合理之处。 而量纲分析法与相似变换法则相反，使我们好不容易才有的知识几 乎无用，当然，在考虑如何选取合适的参数具有参考和指导作用。 此外，过去的经验和合理的推测猜想也是选取参数的源泉。 量纲分析法不仅是最常用的方法，而且是最复杂的方法。其原因是， 不能忽略与现象有关的参数，同时避免列出无关的参数，这是非常 困难的。
1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1
3 1 1 1 1
2 量纲分析法
（3）确定重复变量并检查子行列式（线性无关）
选择 ，d, V
1
0
0
0 0 1 1 0 0 1 3 1 1
（4）求相似参数
在SI制中，一般力 学问题有三个基本 单位（长度、时间、 质量），因此取三 个重复变量。这三 个物理量需要线性 无关（量纲子行列 式不为零）。
l
Tp f (l, m, g, )
无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为（长度/加速度）1/2
m
g
Tp (l / g )1/ 2
f1 (1,1,1, )
次数按后者 10次
Tp (l / g )
1/ 2
f 2 ( )
发现规律：Tp f（） (l / g )1/ 2 Tp 正比于l , 反比于g , 与m无关，Tp与有关
1/ 2 1/ 2
4 设计实验：每个因素取 十组数据，次数 10 10 10 10 10 次 按前者
减少实验量，发现规律，具有普适性，好处多多！！
一、相似的基本理论
相似的概念
几何相似 ----一个物体经过均匀变形后和另一个物体完全 重合称为两个物体几何相似。 运动相似 ----两个几何相似的物体运动时，对应点的运动 路径几何相似，并且对应点经过对应路径的时间之比是常 数，称为两个物体运动相似。 动力相似----两个几何相似和运动相似的物体，对应点受力 成比例，成为两个物体动力相似 。
管流：
u v v 0 x r r u u 1 p 2u 2u 1 u u v 2 2 x r x x r r r v v 1 p 2 v 2v 1 v u v 2 2 x r r x r r r
2
势能
应力能
3
V 1000
cm/s
Ei V V L g1 g2 1 1 Eg gL V2 L2
Eg
大鹿
马 骆驼
500
W 2 4 自动相等 2 Es d
山羊 猫 1:2 150 L cm
300
20
50
100
呼吸速度 哺乳动物新陈代谢与吸氧量有关，即与呼吸次数nL和肺 活量VL之积成正比。
1 2
腿的直径 d 与体重的关系
腿必须支撑躯干，腿的发展与重量及腿 的应力有关。重量W，应力决定的力d 2
2
W d2
W 2 l3 1 2 4 g 2 d ER
2 2
W 2l 4 2 2 4 g d E
R2
W lg
d1 l1 W1 d 2 l2 W2
l
V P+Δp d
V P
二、三种求相似参数的方法
1 相似变换法——从已知的基本方程出发求相似参数
(1) 写出基本方程
(2) 无量纲化方程
(3) 求出相似参数
1 相似变换法
（1）写出基本方程（不可压缩流方程） 定常：
V 0 1 2 V V p V
i：相似准则
研究摆动周期问题
主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α
l
Tp f (l, m, g, )
无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为（长度/加速度）1/2
m
g
Tp (l / g )
1/ 2
f (1,1,1, )
Tp ,
Tp (l / g )
1/ 2
一、相似的基本理论
相似第一定律是关于相似准则存在的定理。 相似第二定律解决了实验数据的整理方法和实验 结果的应用问题。 相似第三定律确定了现象相似的充分必要条件。
二、三种求相似准则的方法
三种求相似参数的方法： 1 相似变换法 2 量纲分析法 3 物理法则法
例：
密度为的流体在内径为d, 长度为l 的水平光滑圆管内以速度 V运动, 求管子两端压差p与上述参数的关系。
（3）求出相似参数
0Vd 1 0
2
p0 0V 2
无量纲方程具有普 遍性，对不同管道 流动都适用。要求 特征量组合的无量 纲系数为常数。
二、三种求相似参数的方法
2 量纲分析法——从决定现象的物理量的量纲出发求相似
参数 （1）写出决定现象的物理量和量纲（SI制） （2）写出量纲矩阵 （3）确定重复变量并检查子行列式
1 相似变换法
（2）无量纲化方程
u v v 0 x r r u u 1 p 2u 2u 1 u u v x r x x 2 r 2 r r v v 1 p 2 v 2 v 1 v u v x r r x 2 r 2 r r
E1 E2 1 2
1 2
1
4
腿的直径 d 与体重的关系
d/l 0.1 河马 0.05 北极熊 狮子
长颈鹿 1:4
马 牛
100
500
1000
W kg
运动速度
认为哺乳动物奔跑时是抛物线型跳跃， 支配现象的物理法则是惯性力和腿的应力。
动能
W 2 V g E g WL Ei Es d 2 L
f ( )
1
(l / g )
1/ 2
2
一、相似的基本理论
相似理论
相似第一定律--------“彼此相似的现象，它们的同名相似准则 必相等。” 相似第二定律--------“相似的现象中由相似准则所描述的函数 关系对两个现象是相同的。” 相似第三定律--------“假定两个现象服从同一个函数关系，在 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。”
W R 2l
EI I R4 ER 4 Ms l l
g
3 2
1
Mg Ms
l
3 2
R cm 100 牛 大鹿 50 山羊 狗 3:2 猫 狗 50 100 200 l cm 驴
ER
R1 l1 1 2 R2 l2 E1 E2 g g
u, v x, r , , p p p , u, v , x, r V d 0 0 0
u v v 0 x r r p0 1 p 0 2u 2u 1 u u u u v 2 2 2 x r r r r 0V x 0Vd x p0 1 p 0 2 v 2v 1 v v v u v 2 2 2 x r r r r 0V r 0Vd x
举例(1)
-哺乳动物的体格和运动特性上的共性
哺乳动物的进化过程和生理结构都 由同样的物理法则决定，因此在解 剖学上应该大体相似。
l R L d
l
躯干的肥度与长度关系 R ~ l
R
W
认为哺乳动物躯干的挠度是相似的，看成是一个梁。
重力产生的力矩 应力产生的力矩
M g Wl R 2l 2 g
管径d 、流速v、密度ρ、粘性系数µ 影响 d
层流
层流
d v
湍流
层流
湍流（普通观察）
v ρ
湍流
湍流
层流
湍流（闪光照相）
ρ µ
层流
µ
湍流
球体阻力系数 Cd f (Re)
ρvd/µ≈1800 雷诺数 Re
举例5－－单摆（量纲分析的优势）
研究摆动周期问题（假想不知道牛顿第二定律）
主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α
1
0
1 p d V
MT 2 L1 M L3 L T L M 1 T 2 L13 M 0 L0T 0 K 0
1, 0, 2 1 p V
1 2
p V 2
2 量纲分析法
3 l d V
L M L3 L L T M T L13 M 0 L0T 0 K 0
0, 1, 0 3 ld 1
l d
二、三种求相似参数的方法
3 选定物理法则法——从支配现象 的物理法则出发求相似参数
2 d V
MT 1 L1 M L3 L L T M 1 T 1 L13 M 0 L0T 0 K 0
1, 1, 1 2 1d 1V 1 Vd
Rubner法则：新陈代谢的能量与动物表面积成正比。 假设动物几何相似，表面积与重量2/3次幂成正比。
流态与速度V、管径d、 密度、粘性系数相关
3 选定物理法则法
（1）写出支配现象的物理法则 支配该现象的物理法则是粘性力和惯性力
d 惯性力：Fi m 2 d 2V 2 t V 粘性力：F A dV d
（2）求出相似参数
Fi d 2V 2 Vd Re F dV
第二章
相似理论和量纲分析
2016.9.2
相似理论－举例1（自然灾害模拟）
相似理论－举例1（自然灾害模拟）
Lab-scale to Real-scale
海啸模拟器
explosion 地震模擬振動台
实验室模拟：易于实现、经济、安全； 条件可控；获取的信息多、发现规律
问题：是否反映真实现象？如何应用？
（4）求相似参数
2 量纲分析法
（1）写出决定现象的物理量和量纲（SI制）
ML3
p
MT 2 L1 MT 1L1
l d V L L LT 1
（2）写出量纲矩阵
M T L 1 0
p
l
d
VHale Waihona Puke Baidu
在SI制中，一般力 学问题有三个基本 单位（长度、时间、 质量），因此取量 纲分别用L、T、M 表示。
一、相似的基本理论
一个物理现象，用 n个物理量x （ i i 1,2, n）之间的函数来描述 f ( x1 , x2 , xn ) 0 在这些变量xi中涉及到m个基本量纲，可从 xi中选择m个量纲独立 的物理量，导出 n m个无量纲数 j ( j 1,2, n m)，它们满足函 数关系 F ( 1 , 2 , n m ) 0 它与f ( x1 , x2 , xn ) 0有等价的效力。
举例2－大（巨）型工具、装置的研制
实物实验：代价高、危险性大或不允许
模型实验：廉价、高效、形成设计理论；替代 或显著减少实际试验；新发现或拓宽应用范围 问题：如何保证模拟的正确性？
举例3－－小放大（易于观察测量）
举例4－－雷诺数小叙
管内流动 层流与湍流
层流与湍流问题：什么情况下 层流 湍流 转变？
1
p 静压 同理由动静压关系可得 2 2 V 动压
三、三种方法的比较
相似变换法——从已知的基本方程出发求相似参数
量纲分析法——从决定现象的物理量的量纲出发求相似参数
选定物理法则法——从支配现象的物理法则出发求相似参数
三、三种方法的比较
在相似变换法中需要过多的知识，而且还把这些好不容易才得到的 知识浪费了。本来用程度较低的知识就够了，却要求较高程度的知 识，这是这种方式的不合理之处。 而量纲分析法与相似变换法则相反，使我们好不容易才有的知识几 乎无用，当然，在考虑如何选取合适的参数具有参考和指导作用。 此外，过去的经验和合理的推测猜想也是选取参数的源泉。 量纲分析法不仅是最常用的方法，而且是最复杂的方法。其原因是， 不能忽略与现象有关的参数，同时避免列出无关的参数，这是非常 困难的。
1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1
3 1 1 1 1
2 量纲分析法
（3）确定重复变量并检查子行列式（线性无关）
选择 ，d, V
1
0
0
0 0 1 1 0 0 1 3 1 1
（4）求相似参数
在SI制中，一般力 学问题有三个基本 单位（长度、时间、 质量），因此取三 个重复变量。这三 个物理量需要线性 无关（量纲子行列 式不为零）。
l
Tp f (l, m, g, )
无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为（长度/加速度）1/2
m
g
Tp (l / g )1/ 2
f1 (1,1,1, )
次数按后者 10次
Tp (l / g )
1/ 2
f 2 ( )
发现规律：Tp f（） (l / g )1/ 2 Tp 正比于l , 反比于g , 与m无关，Tp与有关
1/ 2 1/ 2
4 设计实验：每个因素取 十组数据，次数 10 10 10 10 10 次 按前者
减少实验量，发现规律，具有普适性，好处多多！！
一、相似的基本理论
相似的概念
几何相似 ----一个物体经过均匀变形后和另一个物体完全 重合称为两个物体几何相似。 运动相似 ----两个几何相似的物体运动时，对应点的运动 路径几何相似，并且对应点经过对应路径的时间之比是常 数，称为两个物体运动相似。 动力相似----两个几何相似和运动相似的物体，对应点受力 成比例，成为两个物体动力相似 。
管流：
u v v 0 x r r u u 1 p 2u 2u 1 u u v 2 2 x r x x r r r v v 1 p 2 v 2v 1 v u v 2 2 x r r x r r r
2
势能
应力能
3
V 1000
cm/s
Ei V V L g1 g2 1 1 Eg gL V2 L2
Eg
大鹿
马 骆驼
500
W 2 4 自动相等 2 Es d
山羊 猫 1:2 150 L cm
300
20
50
100
呼吸速度 哺乳动物新陈代谢与吸氧量有关，即与呼吸次数nL和肺 活量VL之积成正比。
1 2
腿的直径 d 与体重的关系
腿必须支撑躯干，腿的发展与重量及腿 的应力有关。重量W，应力决定的力d 2
2
W d2
W 2 l3 1 2 4 g 2 d ER
2 2
W 2l 4 2 2 4 g d E
R2
W lg
d1 l1 W1 d 2 l2 W2
l
V P+Δp d
V P
二、三种求相似参数的方法
1 相似变换法——从已知的基本方程出发求相似参数
(1) 写出基本方程
(2) 无量纲化方程
(3) 求出相似参数
1 相似变换法
（1）写出基本方程（不可压缩流方程） 定常：
V 0 1 2 V V p V
i：相似准则
研究摆动周期问题
主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α
l
Tp f (l, m, g, )
无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为（长度/加速度）1/2
m
g
Tp (l / g )
1/ 2
f (1,1,1, )
Tp ,
Tp (l / g )
1/ 2
一、相似的基本理论
相似第一定律是关于相似准则存在的定理。 相似第二定律解决了实验数据的整理方法和实验 结果的应用问题。 相似第三定律确定了现象相似的充分必要条件。
二、三种求相似准则的方法
三种求相似参数的方法： 1 相似变换法 2 量纲分析法 3 物理法则法
例：
密度为的流体在内径为d, 长度为l 的水平光滑圆管内以速度 V运动, 求管子两端压差p与上述参数的关系。
（3）求出相似参数
0Vd 1 0
2
p0 0V 2
无量纲方程具有普 遍性，对不同管道 流动都适用。要求 特征量组合的无量 纲系数为常数。
二、三种求相似参数的方法
2 量纲分析法——从决定现象的物理量的量纲出发求相似
参数 （1）写出决定现象的物理量和量纲（SI制） （2）写出量纲矩阵 （3）确定重复变量并检查子行列式
1 相似变换法
（2）无量纲化方程
u v v 0 x r r u u 1 p 2u 2u 1 u u v x r x x 2 r 2 r r v v 1 p 2 v 2 v 1 v u v x r r x 2 r 2 r r
E1 E2 1 2
1 2
1
4
腿的直径 d 与体重的关系
d/l 0.1 河马 0.05 北极熊 狮子
长颈鹿 1:4
马 牛
100
500
1000
W kg
运动速度
认为哺乳动物奔跑时是抛物线型跳跃， 支配现象的物理法则是惯性力和腿的应力。
动能
W 2 V g E g WL Ei Es d 2 L
f ( )
1
(l / g )
1/ 2
2
一、相似的基本理论
相似理论
相似第一定律--------“彼此相似的现象，它们的同名相似准则 必相等。” 相似第二定律--------“相似的现象中由相似准则所描述的函数 关系对两个现象是相同的。” 相似第三定律--------“假定两个现象服从同一个函数关系，在 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。”
W R 2l
EI I R4 ER 4 Ms l l
g
3 2
1
Mg Ms
l
3 2
R cm 100 牛 大鹿 50 山羊 狗 3:2 猫 狗 50 100 200 l cm 驴
ER
R1 l1 1 2 R2 l2 E1 E2 g g
u, v x, r , , p p p , u, v , x, r V d 0 0 0
u v v 0 x r r p0 1 p 0 2u 2u 1 u u u u v 2 2 2 x r r r r 0V x 0Vd x p0 1 p 0 2 v 2v 1 v v v u v 2 2 2 x r r r r 0V r 0Vd x
举例(1)
-哺乳动物的体格和运动特性上的共性
哺乳动物的进化过程和生理结构都 由同样的物理法则决定，因此在解 剖学上应该大体相似。
l R L d
l
躯干的肥度与长度关系 R ~ l
R
W
认为哺乳动物躯干的挠度是相似的，看成是一个梁。
重力产生的力矩 应力产生的力矩
M g Wl R 2l 2 g
管径d 、流速v、密度ρ、粘性系数µ 影响 d
层流
层流
d v
湍流
层流
湍流（普通观察）
v ρ
湍流
湍流
层流
湍流（闪光照相）
ρ µ
层流
µ
湍流
球体阻力系数 Cd f (Re)
ρvd/µ≈1800 雷诺数 Re
举例5－－单摆（量纲分析的优势）
研究摆动周期问题（假想不知道牛顿第二定律）
主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α
1
0
1 p d V
MT 2 L1 M L3 L T L M 1 T 2 L13 M 0 L0T 0 K 0
1, 0, 2 1 p V
1 2
p V 2
2 量纲分析法
3 l d V
L M L3 L L T M T L13 M 0 L0T 0 K 0
0, 1, 0 3 ld 1
l d
二、三种求相似参数的方法
3 选定物理法则法——从支配现象 的物理法则出发求相似参数
2 d V
MT 1 L1 M L3 L L T M 1 T 1 L13 M 0 L0T 0 K 0
1, 1, 1 2 1d 1V 1 Vd
Rubner法则：新陈代谢的能量与动物表面积成正比。 假设动物几何相似，表面积与重量2/3次幂成正比。