第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程

如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即

（2-2-1）

()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；

H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。Richards 方程垂向一维方程为

)

1)(()

(±∂∂-=∂∂-=z

h

k z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：

根据（K=C ×D ）得：()

()θθ

θD h

k =∂∂

x h

k q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( y

h

k q y ∂∂-=)

(θy

D q y ∂∂-=θθ)

(

)1)(

(±∂∂-=z

h

k q z θ)]()

([θθ

θk z

D q z ±∂∂-=

第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程

一、基本方程的推导

土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：

t

y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）

流出立方体的质量为（3个面流出）：

t

z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭

⎫

⎝⎛∆∂∂+=ρ出 （2-2-3）

t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；

––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；

z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z z

v

z ∆∂∂化值。

由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：

出

入m m m -=∆

（2—2—4）

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z v y v x v z y x ρt z y x ∆∆∆∆⨯设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为

（2—2—5）

t z y x t

m ∆∆∆∆∂∂=∆θ

ρ

根据质量平衡原理（流入量－流出量＝

储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5）应相等，即

（2-2-6）

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂z v y v x

v t z y x θ

根据达西定律得：

，，

（2-2-7）

()

x H k v x ∂∂-=θ()y H k v y ∂∂-=θ()z

H

k v z ∂∂-=θ式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；

H––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：

（2-2-8）

()()()z

z H k y y H k x x H k t ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂θθθθ上式可以简写为

（2-2-9）

()[]H k t

∇∇=∂∂θθ

式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。

在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为

（2－2－10）

0222222=∂∂+∂∂+∂∂z

H

y H x H 或写作

（2－2－10‘）02=∇H

（2－2－11）

22

22222

z

y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇式中：▽2––––拉普拉斯算子。

式（2－2－10）或式（2－2－10‘）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。

二、基本方程的不同形式

为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。（一）以含水率θ为变量的基本方程

由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为

（2－2－12）

()

⎦

⎤

⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂z H k z t θθ式中：H––––总土水势；

z––––为水流方向坐标，取z 向上为正。因为H=h 十z ，所以上式可写作