第二章 土壤水分运动基本方程2
第二章 土壤水分运动基本方程2
第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ x D q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ yD q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z zy y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zvz ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。
第2章 土壤水的保持和运动3
∂v y + dy ) dxdzdt ∂y
∂vy vy + dy ∂y
dz
vx +
∂vx dx ∂x
ρ (v x +
dy
∂vx x dx ) dydzdt ∂x
dx
vz
y
流入和流出单元体的质量差
流入
m i = ρ v x dydzdt + ρ v y dxdzdt + ρ v z dydxdt
流出
以含水率θ为变量的基本方程
∂θ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂K (θ ) = K (θ ) ⎥ + K (θ ) ⎥ + ⎢ K (θ ) ⎥ + ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎢ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣ ⎣
dz
vx +
∂vx dx ∂x
x
dy
dx v z
y
达 西 定 律（Darcy’s Law）
∂ϕ v x = − K (θ ) ∂x
∂ϕ v y = − K (θ ) ∂y
∂ϕ v z = − K (θ ) ∂z
非饱和导水率（水力传导度） (Hydraulic Conductivity)
水力传导度是指单位水头差作用下，单位断面 积上流过的水流通量，它是土壤含水率或土壤 基质势的函数。由实验测定。
饱和土壤水流
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂z ∂y
拉普拉斯方程
Richards方程
∂v y ∂v z ∂v ∂θ = −( x + ) + ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂x
根据达西定律 ∂θ 有： =
土力学与地基基础 2、土中水的运动规律
二、土的渗透性
3.动水力GD（kN/m3） 动水力：水流动时，水对单位体积土的骨架作用的力。是水 流对土体施加的体积力。与水流受到土骨架的阻力大小相等 而方向相反。 GD= γw×i 静水力：静水作用在水下物体上的力。 沿地下水流方向取出一个土柱体，长度为L，横断面积为F。 则土柱所受的力为：
γ W h1F 及γ W h 2F （2）与土柱同体积水柱的重量： γ W LF
H1 - H 2 = g Wi 或 L
T = 10i
i = H1 - H2 / L ，为水力梯度。 式中：
二、土的渗透性
（四） 渗流破坏及防治措施
1.流土 当水流自下而上流动时，动水力方向与重力方向相反，使 土颗粒悬浮。当动水力等于或大于土的浮重度时，土粒之间毫 无压力，土随水流动，即 g Wi = g ，所以 icr = g / g w 称为 临界水力坡降。
一、土的毛细性
（二） 地下水对工程的影响
1.基础埋深：通常设计基础埋深D应小于地下水位深度 hw。
2.施工排水：当地下水位高，基础埋深D大于地下水位深度时，
基槽开挖与基础施工必须进行排水。中小工程可以采用挖排 水沟与集水井排水；重大工程应采用井点降低地下水位法。 3.地下水位升降：湿陷性黄土、膨胀土遇水时；地下水位大 幅下降时。
在基坑内（外）设 置排水沟、集水井， 用抽水设备将地下 水从排水沟或集水 井排出 要求地下水位降得较深， 采用井点降水。在基坑周 围布置一排至几排井点， 从井中抽水降低水位
二级抽水后水位
多级井点降水
二、土的渗透性
2.设置板桩 沿坑壁打入板桩。一方面可以加固坑壁，同时增加了地下 水的渗流路径，减小水力坡降。
造成塌陷，这种现象称为管涌或潜蚀。管涌可能发生在渗流逸
第2章_土壤水动力学基本方程
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.3非饱和导水率的数学表达
含水量为 s Δ ，最大半径为 R1的毛管排空。 2 2 Δ M 1Δ M 1 i 1,2,, M 1 对一般情况 K s iΔ K s Δ 2 w g j 2 w g j i 1 h2 2 h2 j j 2 M M M 又
K s iΔ K s i M2 K s i 1,M , M 1 2, 1 Ks Δ1 M 1 例题2.1 2 2 j 1 h 2 2 w g j 1 h j j j 1 h j
j i 1 h 2 j
Δ 1 1 1 g 2 j i 1 h2 2 i h j w j j
H h z h 1 J w K h K h K h z z z
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律
Buckingham-Darcy通量定律也可写成： 符号相反, 向下为正
非饱和流与饱和流的比较： 共同之处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地 方向水势低的地方运动。 不同之处： ①土壤水流的驱动力不同。 饱和流的驱动力是重力势和压力势；
非饱和流的是重力势和基质势。
②导水率差异 非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到 -100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导 水率的十万分之一。 ③土壤空隙的影响土壤。在高吸力下，粘土的非饱和导 水率比砂土高。
16~40cm/d
〉100cm/d
中
很高
40~100cm/d
高
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处 在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最 活跃的研究领域之一。 2.3.1 非饱和流与饱和流的比较
2土中水的运动规律
q=VA’=-A’dh/dt
在土样内，由达西定律有： q=kiA=kAh/l
' A l 所以： dt dh Akh
渗透理论
三、渗透系数的确定
（一）实验室测定 1. 变水头试验 积分得：
t Al h ln( ) Ak h0
'
A’
h0
h A
为起始水头高度。
把两个时间及对应的水头高度带入上式，并做 差，可得渗流系数为：
Q
AK (e w ) L
V
K (e w ) L
流网
（二）数值解法 主要是有限元法，能求解稳定渗流和非稳定渗流，渗流与扩散 的耦合，渗流与力场的耦合即后文中可能提到的比奥固结理论。
网
（三）流网法
流网 3.4 渗流力及渗透变形
（三）流网法 流网法的特点： （1）流网的等势线与流线垂直（参考文献） （2）在做流网时，为分析方便而做成正方形的网格 （3）两等势线之间的水头损失相等，两流线之间的单位 渗流量相等。 要求：能对流网进行分析，能根据流网求渗流速度，渗 流量和孔隙水压力。
渗透理论
三、渗透系数的确定
（一）实验室测定 1. 常水头试验 h1
h2
L Q=qt=VAt=kiAt=kAt(h1-h2)/L
t，Q
k=QL/(At((h1-h2))
适用条件：渗透性较大的土，细砂至中等卵石。
渗透理论
三、渗透系数的确定
（一）实验室测定 1. 变水头试验 根据连续性原理，流经土样的渗流水量取决 于玻璃管的水位下降，dt时间下降dh,流速为 -dh/dt A’ h A
z
Vz
Vz dz z
x
z
流网
达西定律写成：
第二章-土壤水分运动基本方程2
第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数；q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zh k z Hk q z θθ 注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD h k =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ xD q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ y D q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+=ρ出 t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zv z ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。
农田水分状况与土壤水分运动
可使地下水位上升，可能使耕层毛管水增加， 也可能造成渍害
二、旱作物对农田水分状况的要求 （续）
¾ 地下水位不允许上升至根系吸水层内 ¾ 农田的地面水和地下水必须适时适量地转化为作物 根系吸水层的土壤水分，才能被作物吸收利用。 ¾ 因此地下水位必须维持在根系吸水层以下一定深度 处，此时地下水可通过毛细管作用上升至根系吸收 层，供作物利用。
膜状水的移动方式：
• 毛管水
9在毛管作用下土壤所能保持的水分，或 在重力作用下，不易排除的水分超出吸 着水的部分
¾上升毛管水（地下水位的影响） ¾悬着毛管水（灌水入渗）
水 沿 着 毛 管 上 升
毛管作用力范围： 0.1-1mm 有明显的毛管作用 0.05-0.1mm 毛管作用较强 0.05-0.005mm 毛管作用最强 〈0.001mm 毛管作用消失
• 通过土壤的水流大小与水头梯度和导 水率成比例，其运动方向与水头梯度 的方向一致
△H
∆H v=q=k L
L
L
q-单位时间内通过单位横截面-水头梯度 L
∆H v=q=k L
二、达西定律在非饱和土壤中的应用
• 假定达西定律同样适用于非饱和土壤水分运动，则在 水平和垂直方向的水流通量可分别写成：
（三）相对含水量（%）
土壤含水量 土壤相对含水量＝ 田间持水量
（三）土壤贮水量
1、水深（DW）
DW=θV·h 或 Dw,100 = ∑θ 1 • h
i =1
n
i
2、水方（ m3）
mm
V 方 / 公顷 = 10 D w
V方/亩＝2/3Dw
土壤水的有效性
• 无效水
– 小于最大分子持水率的水分，即汽态水与吸 着水为无效水 – 凋萎系数：当土壤含水率降至吸湿系数的 1.5-2.0倍时，作物吸水很困难，将会凋 萎。此时的含水率称为凋萎系数
第二章 土中水的运动规律 土力学与基础工程
ln
h1 h2
三、 影响土渗透性的因素
1）土的粒度成分及矿物成分：土颗粒越粗，越浑圆，越均匀， 渗透性越大；粘土中含亲水性较大的粘土矿物或有机质时， 渗透性大为降低。 2）结合水膜厚度：水膜越厚，渗透性越小。 3）土的结构构造：黃土竖向渗透系数要比水平向大得多；夹 有粉砂层的层状粘土，水平向渗透系数比竖向大得多。 4）水的粘滞度：不同温度下，水的粘滞度不同，室内试验 中 一般将测定 的kt值修正为100c水温时的k10值：k10=kt 5）土中气体：土中有密闭气泡时，将降低土的渗透性，因此 室内试验应用不含溶解空气的蒸馏水。
设玻璃管的内截面积为a，试 验开始以后任一时刻 t 的水 位差为 h ，经时段 dt ，细玻 璃管中水位下落 dh ，则在时 段dt内流经试样的水量
dQ adh
dQ k h l Fdt
dQ adh
dQ k h l
adh k
Fdt
h l
Fdt
k
al F ( t 2 t1 )
各向同性土的流网性质 • 流网是相互正交的网格: 由于流线与等势线具有相互正交 的性质，故流网为正交网格； • 流网为曲边正方形: 在流网网格中，网格的长度l与宽度b 之比通常取为定值，一般取1.0，使之成为曲边正方形； • 任意两相邻等势线间的水头损失相等； • 任意两相邻流线间的单位渗流量相等。
v=v(x,z)
vz v z z dz
连续性条件
达西定律
z
假定： x k z k 介质不可压缩
vx
v x x
dx
vx vz
x
连续性条件
dq
e
v x dz v z dx
vz
土壤水分运动
Soil water movement
一、饱和土壤中水分运动 Flow of water in saturated soils
（一）饱和土壤水分移动的基本规律： 1.普氏定律（Poiseuille’s law) 普氏定律揭示了细管中的薄层水流的基本规律： P1 流量(Q)与单位距离压降（Δp/L）和管子半径（R) 的四次访成比。 ū为平均流速， 参数a是管子形状的参数，对 于园管时等于8，其它形状时，a为其它值。此式仅 符合于细管中薄层水流。对于粗管中水流过程此式 就不适用了。绝大土壤可以满足这个条件。 Q=V t
一、饱和土壤中水分运动 Flow of water in saturated soils
2.非达西现象也可能发生在水利传导度较低一端。对于颗粒较细重粘质土壤，在 水头梯度较低时，由于液体分子受到土壤颗粒表面分子引力强烈吸附作用，使液 体更加坚固，吸附水和结合水有类似冰的准结晶结构，表现出宾厄欧（Bingham） 流的性质（由屈服点，也有人叫限度梯度，threshold gradient），而不是牛顿 流的性质。由此可见，达西定律在粗砂和重粘质土壤使用可能产生偏差。
ν
P2
L
=
=
u=
Q A
=
R 2 ∆p 8η L
−πR 4 ( P2 − P ) 1来自8ηLR2 8η⋅
∆p L
=
( )∇P
R2 aη
where V is volume of water (m3), t is time (s), P1 and P2 are the entrance and exit pressures (N/m2), respectively, η is the viscosity of the fluid (kg/(m·s), and L is the length of the tube. Similar calculations can be done for such flow as between parallel plates, in a film over a flat plate or between flat plates coming together at an angle.
2 土中水的运动规律ppt课件
上游
下游
•
2 1•
土力学与地基基础
土中水的运动规律
二、渗透变形的判别方法及防治措施
（1）流砂
• 流砂可能性判定
Ie Icr Ie Icr Ie Icr
土体处于稳定状态
土体处于临界状态 Ie
土体发生流砂破坏
要求：渗流逸出处 I I Icr
K
渗流逸出处水力梯度
5.土中气体
土中封闭气体多，渗透性低，k
土力学与地基基础
土中水的运动规律
§2.3 渗透力与渗透变形
一、渗透力
渗透力GD：
水流作用在单位体积土体中土颗粒上的力 其反力为土颗粒对水流阻力T。
1、渗透力计算 应用于深基坑支护结构设计、防洪堤坝的抢险等
取土柱体ab，以土柱体内的水作为隔离体，分析受力
h1
H1
T
P1 a z1
基准面
土力学与地基基础
P2
b
l
W=W1+ W2
•重力： W1 W lA
•a点水压力 P1 wh1 A
h2
•b点水压力 P2 wh2 A
H2•流土方粒向对相流反水的阻力，方向与水
z2
•土体上下两面与流动方向垂直 的水压力
土中水的运动规律
沿水流方向建立平衡方程（以水流方向为正）
I 容许水力梯度
安全系数 可取2~2.5
土力学与地基基础
• 流砂防治原则
土中水的运动规律
• 1.减小或消除水头差 如采取基坑外的井 点降水法降低地下水位，或采取水下挖掘；
• 2.增长渗流路径 如打板桩； • 3.在向上渗流出口处地表用透水材料覆盖
压重以平衡渗流力；
2 土壤水分运动
§2 土壤水分运动
土壤水分运动的两种途径：毛管理论、水势理论。
毛管理论仅适用于对一些简单的问题分析。
水势理论则是根据在土壤水势基础上推导出的扩散方程，研究土壤的水分运动。
这种方法理论严谨，适用于各种边界条件，因而具有广阔的应有前景。
一、土壤水运动基本方程
在一般情况下，达西定律同样适用于非饱和土壤水分运动。
根据达西定律和质量守恒原则，可推导出水壤水运动基本方程。
土壤水运动基本方程的两种形式：式（1-11）和式（1-14。
在初始条件和边界条件已知的情况下，可求解式（1-11）和式（1-14），得各点土壤含水率（或负压）和土壤水流量的计算公式，或用数值计算法，直接计算各点土壤含水率（或负压）和土壤水流量。
二、入渗条件下土壤水分运动
除雨和灌水入渗是补给农田水分的主要来源。
教材中针对地面已形成一薄水层情况，推导了如下基本公式：
（1）剖面含水率分布，式（1-19'）
（2）入渗速度公式，式（1-20）
（3）入渗速度挖计算公式，式（1-21）
（3）在单间t内入渗入总量计算公式，式（1-21'）
菲利普根据严格的数学推导，由一维土壤水运动方程，推导出了入渗速度的近似计算式，式（1-22），以及t时间内总入渗量计算公式，式（1-23）。
我国习惯采用考斯加可夫经营公式计算入渗速度和入渗水量。
即式（1-25）和式(1-26）。
本课程专门安排了一个实验来验证考斯大林加可夫公式。
节土壤水分运动基本微分方程
2.以 为因变量的基本方程：
引入参数：非饱和土壤水的扩散率 D ( ) （ D ( ) 由实验测 量）
2-2 土壤水分运动 基本微分方程
一、方程的推导（质量守恒定律）：
z
B
A A’
B’
1 qx qx dx 2 x
D
C
z
C’
qx
1 qx dx 2 x
x
D’ y x
y
O
注意： qx 为土壤水分运动通量：单位时间、单位面积上通过 的水体积。
讨论在dt时间内，微分单元体中的水均衡问题 沿x方向流入的土壤水质量为：
此方程即非饱和土壤水运动的基本微分方 程（二阶非线性）
二、基本微分方程的各种形式
1.以基质势为因变量的基本方程：
d 引入比水容量：c d m
。
m d m c(m ) t dm t t
m m m c( m ) k ( m ) k ( m ) t x x y y m k ( m ) k ( m ) z z Z
q r k ( ) r
1 q k ( ) （水平面上的夹角） r sin
1 q k ( ) r （垂直方向的夹角）
r
以基质势为因变量的基本微分方程： m m 1 1 (r k ) (k ) 2 t r r r (r sin ) m 1 k sin k 2 (k ) cos r r r
第2章 土壤水的保持和运动2
土水势的测定
四、张力计法
张力计是测定土壤吸力（基质势）的一种仪器。张力计又叫 土壤湿度计、负压计等。
•原理
采用多孔的陶瓷头与植物根系从土壤中吸收水分相似的原 理，当土壤中的水分减少，水势降低时，埋置在土壤中的张 力计管中的水分会从多孔的陶瓷头渗出，此时张力计管中形 成一定的真空度，通过测量张力计管中的真空度，就可以反 映出土壤中水势的变化。
土壤水势二wmsgpt渗透势土壤水分中的溶质所引起的水势土壤水分中的溶质所引起的水势温度势由于温度变化引起的土壤水势的变化由于温度变化引起的土壤水势的变化重力势重力引起的土壤水势重力引起的土壤水势总水势土壤水的总势能基质势土壤基质的吸附力和毛管力所引起的水势土壤基质的吸附力和毛管力所引起的水势压力势当土壤饱和时自由水面下土壤由于静水压力所产生的水势自由水面下土壤由于静水压力所产生的水势二土壤各分势
土壤 A 砂土 10%
土壤 B 粘土 15%
水 流 向 何 方 ？
（二）土水势(soil water potential) 国际土壤学会名词委员会定义: 土水势(ψ土)：从一已知高度的蓄水池中，把无 限少量的纯水，在一个大气压下等温地和可逆地 转移到土壤中的某一指定高度成为土壤水所必须 作的功。 能量很难获得它的绝对值，几乎都是相对而言， 这里需要一个标准状态—纯水池中的纯水作为参 照标准，并规定水势为零。进一步将水分在土壤 中状态进行分析会得出影响土壤水分能量水平的 因素，就得到了许多分势。
二、土壤各分势
1、重力势(Gravitational potential): ψg （±） 由于重力作用而引起的土壤水势的变化。所有土壤水度受到重力 的作用。 实质上是由于位置差所产生的土壤水分的能量差。可以和参比 面进行比较，得到土壤水的重力势值及符号。 重力势大小估算: ψg =mgZ (Z 土壤剖面上高度) at height Z above Z0 per unit mass ψg=mgZ/m=gZ (J/kg) per unit volume ψg =mgZ/v=ρwgZ (N/m2) per unit weight ψg=mgZ/mg=Z (m)
2非饱和水流运动基本方程
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高 处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律 在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非 饱和土壤水分流动的达西定律:
Guelph土壤入渗仪
3.2 容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一 般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
Ch d
dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放 出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。 用测水分特征曲线的方法来测定
3.3 土壤水分扩散度D
q K ( m ) 或 q K ( )
饱和土壤水分流动的达西定律:
qKsH
水势组成： 流动准则：
ψg :
饱和流
非饱和流
ψ =ψg +ψp
总水头
高
低
ψ =ψg +之高度
ψp:
至地下水面的高度
ψp= 0
ψm :
ψm = 0
ψm 取决于土壤的干湿程度
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者 呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。
k (h)
h=-30cm h=-50cm
h
负压梯度△h/△x
3.1.2 饱和水力传 导度及其测定
双环入渗仪
The assumption is that the soil layer immediately below the ponded area is fully saturated and thus the matric potential is essentially zero. Common Steady Flow Analysis (Unit Gradient): Accounts only for the flow component due to gravity.
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第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即（2-2-1）()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(()(±∂∂-=∂∂-=zhk z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据（K=C ×D ）得：()()θθθD hk =∂∂x hk q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( yhk q y ∂∂-=)(θyD q y ∂∂-=θθ)()1)((±∂∂-=zhk q z θ)]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：ty x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：tz y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出 （2-2-3）t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z zvz ∆∂∂化值。
由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：出入m m m -=∆（2—2—4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z v y v x v z y x ρt z y x ∆∆∆∆⨯设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为（2—2—5）t z y x tm ∆∆∆∆∂∂=∆θρ根据质量平衡原理（流入量－流出量＝储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5）应相等，即（2-2-6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂z v y v xv t z y x θ根据达西定律得：，，（2-2-7）()x H k v x ∂∂-=θ()y H k v y ∂∂-=θ()zHk v z ∂∂-=θ式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；H––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。
因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：（2-2-8）()()()zz H k y y H k x x H k t ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂θθθθ上式可以简写为（2-2-9）()[]H k t∇∇=∂∂θθ式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。
在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。
水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为（2－2－10）0222222=∂∂+∂∂+∂∂zHy H x H 或写作（2－2－10‘）02=∇H（2－2－11）2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇式中：▽2––––拉普拉斯算子。
式（2－2－10）或式（2－2－10‘）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。
二、基本方程的不同形式为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。
为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。
（一）以含水率θ为变量的基本方程由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为（2－2－12）()⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂z H k z t θθ式中：H––––总土水势；z––––为水流方向坐标，取z 向上为正。
因为H=h 十z ，所以上式可写作（2－2－13）()()zk z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθ式(2－2－13）为以θ为变量的基本方程，将代入式（2－2－13）得：zh z h ∂∂∂∂=∂∂θθ()()z k z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂θθθθθ令，则式（2—2—13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）：()()θθθD hk =∂∂ （2－2－14）()()zk z D z t ∂∂+⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ在水平运动的情况下，重力项等于0，所以，其形式与Fick 扩散定律相()xD v x ∂∂-=θθ同。
式（2－2－14）具有扩散方程的形式，故将D （θ）称为扩散度。
（2－2－14‘）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x D x t θθθFick 定律：自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick 定律：xcDJ ∂∂-=式中：J 为溶质的扩散通量； D 为溶质的扩散系数；为溶质的浓度梯度。
xc∂∂（二）以基质势h 为变量的基本方程由于，则式（2－2－14）可以写成：()t h h c t h h t ∂∂=∂∂∂∂=∂∂θθ （2－2－15）()()()zh k z h h k z t h h c ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂式中：c （h ）––––比水容量（也称容水度），c （h ）=，表示单位基质势变化时含h∂∂θ水率变化。
（三）以参数v 为因变量的基本方程采用Kirchhoff 变换，令()()()⎰⎰⎰-∞==ccch hh hh d k Vd k d k v ττττττ1则 ()h k Vh v 1=∂∂()⎰∞=ch d k V ττ由式（2-2-15）得：()()zh k z z h h k t h h ∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ()()z v v h h h k z z v v h h k t v v h h ∂∂∂∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂θ()()()()()zv h k V h h k z z v h k V h k t v h k V h ∂∂∂∂-∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ（2－2－16）()()zvv X z v t v v Y ∂∂+∂∂=∂∂22式中h c ––––土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值。
另外，；()()()()()h k h c h D h h k v Y ==∂∂=11θ()()()hh k h k v X ∂∂=1在非饱和区： ()01<=⎰hh cd k V v ττ在饱和区： ()01>=⎰hh cd k Vv ττ且因为 ，()0=∂∂=h h c θ()0=∂∂hh k 所以；()0=v Y ()0=v X 则方程式（2－2－16）为：022=∂∂zv（四）以位置坐标z 为变量的土壤水运动方程以z 为变量，则z 为θ、t 的函数，z （θ，t ）为未知函数。
已知θ=θ（z ，t ），当0≠∂∂zθ处，可以解出z= z （θ，t ），即[14]()()0,,≡-t t z z z θ对z ，t 分别求导数：，01=∂∂∂∂-z z θθ0=∂∂-∂∂∂∂-tzt z θθ于是及θθ∂∂=∂∂z z1θθ∂∂∂∂-=∂∂z t zt 将以上式子代入方程（2－2－14）得：()()zk z D z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ()z k z z D z t z∂∂∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-θθθθθθθ()z k z z D z t z ∂∂∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-θθθθθθθ （2－2－17）()θθθθθ∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂-k z z D t z （五）以参数u 为因变量的土壤水运动方程定义()()()⎰⎰⎰==θθθθθθθθθθθθisiid D Ud D d D u 1式中：––––初始含水率；i θ ；()⎰=θθθθid D U—饱和含水率。
s θ由式（2-2-14）得：()()zk z k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ()tuu k z u u D z t u u ∂∂∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂θθθθθ将代入上式得：()θθD Uu 1=∂∂()()()()zuD U k z u D U D z t u D U ∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθθ所以（2-2-18）()z uk zu D t u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθ22以上各式中式（2－2－14）、式（2－2－15）是二种经常采用的形式，形式的选定取决于要解决问题的边界条件和初始条件。
以含水率θ为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和—非饱和流问题不适用；以负压水头h 为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可适用于饱和—非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k （h ）及容水度c(h)，受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差；以v ，u 为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h 和含水率θ为因变量的基本方程，在某些情况下由于经代换后方程较为简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题。
以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，求解某些土壤水分运动问题时，采用柱坐标系可能更方便。