余弦函数图像和性质练习含答案

课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)

时间：45分钟 满分：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分)

1．函数f (x )＝cos(2x －π

6)的最小正周期是( )

A.π2 B ．π C ．2π

D ．4π

解析：本题考查三角函数的周期．

T ＝

2π

2

＝π. 余弦型三角函数的周期计算公式为2π

ω

(ω>0)．

答案：B

2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π

3个

单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )

A.13 B ．3 C ．6

D ．9

解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π

3)＝

cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π

3

ω＝2k π，

∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时，

ω有最小值6，故选C.

3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π

2

的函数，若f (x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧

cos x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2≤x ≤0，sin x

0

则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－15π4的值等于( ) A ．1 B.2

2 C ．0

D ．－2

2

解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π

2

×

－3＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝2

2

.

答案：B

4．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π

6

)的图象，则φ等于( )

A.π6

B.2π3

C.4π3

D.11π6

解析：∵y ＝sin(x －π6)＝cos[π2－(x －π6)]＝cos(x －2π

3)．

将y ＝cos x 的图象向右平移2π3个单位可得到y ＝cos(x －2π

3)的

图象，

∴要得到y ＝sin(x －π

6)的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π

－2π3＝4π

3

个单位．

5．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－3，－π2∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3 C.⎝

⎛⎭⎪⎫

－3，－π2∪(0,1)∪(1,3)

D ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)

解析：f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f (x )<0的解集为(－3，

－1)∪(0,1)，当x ∈(－π，π)时，cos x >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2，cos x <0

的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫π

2，π，

故f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，3.

答案：B

6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4π3，0中心对称，

那么|φ|的最小值为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π

2

解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫

8π3＋φ＝0 ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ) ∴φ＝k π＋π2－8π

3(k ∈Z ) ∴|φ|的最小值为|φ|＝|2π＋π2－8π3|＝π6.

答案：A

二、填空题(每小题8分，共计24分)

7．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增函数，那么f (x )在[a ，b ]上是________函数．

解析：∵f (x )＝cos x 是偶函数，且偶函数在对称区间的单调性相反，

∴f (x )在[a ，b ]上是减函数． 答案：减

8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为____________．

解析：由题意知0≤cos x ≤1， ∴2k π－π2≤x ≤2k π＋π

2，k ∈Z .

答案：[2k π－π2，2k π＋π

2

](k ∈Z )

9．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π

3

的交点，则φ的值是________．

解析：本题考查三角函数的图象及求值问题．

由题意cos π3＝sin(2×π3＋φ)，即sin(2π3＋φ)＝12，2π

3

＋φ＝

k π＋(－1)k

·π6，(k ∈Z )，因为0≤φ<π，所以φ＝π

6

.

答案：π

6

三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．比较下列各组数的大小 (1)cos 32，sin 110，－cos 74

；

(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7，cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

cos 3π7.

解：(1)∵sin 1

10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110≈cos1.47，

－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π－74≈cos1.39，cos 32＝cos1.5，

又0<1.39<1.47<1.5<π，y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos1.5

4

；

(2)∵cos 3π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2

－3π7＝sin π14，

而0<π14<3π7<π

2，y ＝sin x 在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，

∴0

2

，

y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

0，π2上是减函数，

∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π14>cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

sin 3π7.