余弦函数图像和性质练习含答案
正弦、余弦函数的图像和性质的练习题
一题多变
2
新余市第六中学 高中数学 必修④
三、解答题
解： 令 sin x t , 则 1 t 1 7 2 则有函数 f (t ) t t (1 t 1) 4 画出函数f (t )的图像，如图所示
7 12、求函数 f ( x) sin x sin 2 x( x R)的值域 4
2
2
1
令 cos x t , 则有-1 t 1
2
则有f (t ) 1 t 3t (1 t 1)
2
-1
1
O
1
2
x
画出函数f (t )的图像，如图所示
通过观察发现
2
3
新余市第六中学 高中数学 必修④
一题多变
三、解答题
判断函数f ( x) sin 2 x 3 cos x( x R)的奇偶性，并求其值域 。
解得
a0
a的取值范围为 a0
一题多变 m 1 m3 已知 - x , cos x , 则m的取值范围是 __________ 。 6 3 m 1
新余市第六中学 高中数学 必修④
二、填空题
。 [0, ] 2 11 、不等式sin x 0在x [0,2 ]上的解集为__________ ____
y
2 1
通过观察发现
-1
1
O
1
2
x
1 b b 当x 1时， f (1) min 当x 时， f ( ) max 2 4 2a 2a 7 1 2 函数 f (t ) t t (1 t 1)的值域为 [ ,2] 4 4 7 1 函数 f ( x) sin 2 x sin x ( x R)的值域为 [ ,2] 4 4
2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】
2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第二象限是减函数 B ．tan y x =在定义域内是增函数 C ．|cos(2)|3y x π=+的周期是2π D ．sin ||y x =是周期为2π的偶函数【答案】C【分析】根据函数的图象与图象变换进行判断．【详解】解：由余弦函数图象可知cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，故单调递减，但是在第二象限内不具有单调性，故A 错误；由正切函数的图象可知tan y x =在每一个周期内都是增函数，故tan y x =在定义域内不是增函数，故B 错误．cos(2)3y x π=+的周期为π，则|cos(2)|3y x π=+的图象是由cos(2)3y x π=+的图象将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到的，故周期减半， |cos(2)|3y x π∴=+的周期是2π，故C 正确． sin ||y x =是偶函数，其图象是将sin y x =在y 轴右侧的函数图象翻折到y 轴左侧，所以函数sin ||y x =不是周期函数，故D 错误． 故选：C ．2．若()y f x =的图像与cos y x =的图象关于x 轴对称，则()y f x =的解析式为（ ） A ．()cos y x =- B ．cos y x =- C ．cos y x = D ．cos y x =【答案】B【分析】根据()f x -、()f x -、()fx 与()f x 的图象特征依次判断即可得到结果.【详解】对于A ，()cos cos y x x =-=，图象与cos y x =重合，A 错误； 对于B ，()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称，cos y x ∴=-与cos y x =图象关于x 轴对称，B正确；对于C ，当0x ≥时，cos cos y x x ==，可知其图象不可能与cos y x =关于x 轴对称，C 错误； 对于D ，将cos y x =位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到cos y x =的图象，可知其图象与cos y x =的图象不关于x 轴对称，D 错误.故选：B.3．函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是（ ） A ．3x π= B ．52x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】C【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴.【详解】由余弦函数的性质可得函数cos y x =关于,x k k Z π=∈对称， 又(),3x ππ∈，则2x π=，故函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是2x π=. 故选：C.4．若函数()3sin 12f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．周期为1的奇函数 B ．周期为2的偶函数C ．周期为1的非奇非偶函数D ．周期为2的非奇非偶函数．【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式可得()3cos 1f x x π=-，由正弦函数的周期公式和奇偶性的定义法可得答案.【详解】()3sin 13cos 12f x x x πππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==又()()()3cos 13cos 1f x x x f x ππ-=--=-=，所以()f x 为偶函数. 故选：B二、填空题5．已知余弦函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭，则m 的值为__________． 3【分析】将,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭代入余弦函数即可求解. 【详解】设余弦函数为cos y x =， 由函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭可得3cos 6m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 36．方程2cos 303⎛⎫++= ⎪⎝⎭x π的解集是____________. 【答案】22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭【分析】由题意可得出3cos 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得出3x π+的等式，由此可求得原方程的解集. 【详解】2cos 303x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 3x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ ()5236x k k Z πππ∴+=±∈，解得22x k ππ=+或()726x k k Z ππ=-∈，因此，方程2cos 303⎛⎫+= ⎪⎝⎭x π的解集是22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 故答案为：22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 7．函数2sin 3cos =+y x x 的值域为_____________． 【答案】[3,3]-【分析】设cos x t =，[]1,1t ∈-，得到231324y t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22sin 3cos 1cos 3cos y x x x x =+=-+，设cos x t =，[]1,1t ∈-，则223133124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，函数在[]1,1t ∈-上单调递增，故1t =时，max 1313y =-++=，1t =-时，min 1313y =--+=-，故值域为[3,3]-. 故答案为：[3,3]-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元是解题的关键. 8．函数()lg cos f x x x =-在(,)-∞+∞内的零点个数为__________． 【答案】4【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数|lg |y x =和cos y x =的图像如图， 结合图像的对称性可以看出两函数|lg |y x =和cos y x =的图像应有4个交点， 即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有4个零点， 故答案为：4．点睛：本题旨在考查化归转化的数学思想、函数方程思想、数形结合思想等数学思想的综合运用，求解时依据函数的对称性，先画出y 轴右边的函数的图像相交的情形，再根据对称性确定y 轴左边的函数的图像相交的情形，最终使得问题获解． 9．当3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()arcsin cos y x =的值域是______. 【答案】,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再利用反正弦函数的性质求解. 【详解】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以212t -≤≤， 因为arcsin y t =在2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以arcsin 42t ππ-≤≤，所以函数()arcsin cos y x =的值域是,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反正弦函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【答案】3[3,]4--【分析】化简得到2()cos cos 1f x x x =-+-，设cos x t =，得到21324y t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元转化为二次函数是解题的关键.11．方程2cos 210x -=的解集是___________. 【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =， 所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 三、解答题12．作出函数[]32cos ,,y x x ππ=-∈-的大致图象，并分别写出使0y >和0y <的x 的取值范围． 【答案】图象见解析；当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【分析】利用五点作图法可得函数大致图象，令0y =，确定函数零点，数形结合得到所求x 的取值范围. 【详解】由五点作图法可知：x π-2π-2ππcos x1-0 11-y32+ 3 32- 3 32+由此可得函数大致图象如下图所示：令0y =32cos 0x =，3cos 2x ∴=，又[],x ππ∈-，6x π∴=-或6π，结合图象可知：当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【点睛】本题考查五点作图法的应用、与余弦函数有关的不等式的求解；求解不等式可确定函数零点后，通过数形结合的方式来求解.13．利用“五点法”作出函数1cos y x =-，[]0,2x π∈的图像． 【分析】根据“五点法”的步骤先描点，再画出图象. 【详解】先找出五个关键点，列表如下：x2ππ32π 2π1cos y x =-0 121描点作出函数图象如下：14．求下列函数的单调递增区间： （1）3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）sin y x =；（4）()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．【答案】（1）37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（2）5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦；（3）,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（4）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用诱导公式变形，由正弦型复合函数的单调性求解； （2）余弦型复合函数的单调性求解； （3）画出函数图象，结合函数图象即可判断；（4）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得．【详解】解：（1）2sin 22sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由3222242k x k πππππ+-+，得3878k x k ππππ++，k Z ∈． 3sin 24y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭的单调增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （2）因为2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2224k x k ππππ-++，k Z ∈，得588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈． 2cos 24y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （3）sin y x =的图象是由sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （4）因为()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈所以()sin 2cos 222224f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦15．如图，设A 、B 是半径为1的圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.（1）若点A 的坐标为34(,)55，求5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-值；（2）设2()||f BC θ=，求函数()f θ的解析式和值域. 【答案】（1）3；（2）()22cos()3f πθθ=-+，值域为(2,23).【分析】（1）根据A 的坐标，利用三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，再利用诱导公式，即可得到结论； （2）由题意，cos cos()3COB πθ∠=+，利用余弦定理，可得函数()f θ的解析式，从而可求函数的值域．【详解】解：（1）A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ∴根据三角函数的定义可知，4sin 5θ=，3cos 5θ=，4tan 3θ=∴5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-5sin 5cos 3tan θθθ=-++4345533553=-⨯+⨯+⨯=；（2）)AOB 为正三角形，3AOB π∴∠=．cos cos()3COB πθ∴∠=+222()||||||2||||cos 22cos 3f BC OC OB OC OB COB πθθ⎛⎫∴==+-∠=-+ ⎪⎝⎭62ππθ<<， 5236πππθ∴<+<， 3cos 03πθ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以222cos 233πθ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭(2()2,3f θ∴+∈．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
2020-2021数学第三册课时7.3.3余弦函数的性质与图像含解析
2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册课时分层作业：7.3.3余弦函数的性质与图像含解析课时分层作业(十)余弦函数的性质与图像(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像()A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于原点和x轴对称D．关于原点和坐标轴对称C[由y＝－cos x的图像知关于原点和x轴对称．］2．设函数f(x)＝sin错误!，x∈R，则f（x)是(）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数B［因为sin错误!＝－sin错误!＝－cos 2x，所以f(x）＝－cos 2x。
又f(－x）＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f（x)的最小正周期为π的偶函数．]3．下列函数中，周期为π，且在错误!上为减函数的是() A．y＝sin错误!B．y＝cos错误!C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!A[因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为y＝cos错误!＝－sin 2x在错误!上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin错误!的周期为π，且在错误!上为减函数．]4．在(0，2π)内使sin x〉|cos x|的x的取值范围是（)A．错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!A［因为sin x〉|cos x｜，所以sin x〉0，所以x∈（0,π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π）与y＝｜cos x｜，x∈（0，π）的图像，观察图像易得x∈错误!。
]5．三个数cos 32,sin 错误!，－cos 错误!的大小关系是（)A．sin 错误!＞cos 错误!＞－cos 错误!B．cos 错误!＞－cos 错误!＞sin 错误!C．cos 错误!＜sin 错误!＜－cos 错误!D．－cos 错误!＜sin 错误!＜cos 错误!C[sin 错误!＝cos错误!，－cos 错误!＝cos错误!。
(完整版)正余弦函数图像和性质练习题(最新整理)
12.已知函数 y= f(x)的定义域是[0, 1 ]，求函数 y=f(sin2x) 的定义域. 4
13. 已知函数 f(x) =sin(2x+φ)为奇函数，求 φ 的值.
*14.已知 y=a－bcos3x 的最大值为 3 ，最小值为 1 ，求实数 a 与 b 的值.
2
2
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
高中数学第七章三角函数7.3.3余弦函数的性质与图像同步作业含解析第三册
课时作业(十）余弦函数的性质与图像一、选择题1．下列对y＝cos x的图像描述错误的是（)A．在［0，2π]和［4π，6π］上的图像形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点2．x轴与函数y＝cos x的图像的交点个数是(）A．0B．1C．2 D．无数个3．函数y＝1－2cos错误!x的最小值,最大值分别是() A．－1,3 B．－1,1C．0，3 D．0，14．y＝|cos x｜的一个单调增区间是(）A．［－错误!,错误!] B．［0，π]C．［π,错误!] D．［错误!,2π］二、填空题5．函数y＝cos（－x)，x∈[0，2π］的单调递减区间是________．6．函数y＝2cos错误!的最小正周期为4π，则ω＝________。
7．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是________．三、解答题8．求函数y＝3－2cos错误!的对称中心坐标,对称轴方程,以及当x为何值时，y取最大值或最小值．9．求函数y＝sin2x＋a cos x－错误!a－错误!的最大值为1时a的值．[尖子生题库］10．已知函数f（x)＝2cos ωx（ω＞0）,且函数y＝f（x）的图像的两相邻对称轴间的距离为错误!.(1)求f错误!的值;(2）将函数y＝f（x）的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x）的单调递减区间．课时作业(十)余弦函数的性质与图像1．解析：由余弦函数的周期性可知A项正确，根据函数的图像可知B项与D项正确，y＝cos x的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．答案：C2．解析：函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点,故选D.答案：D3．解析：∵cos错误!x∈[－1,1］，∴－2cos错误!x∈［－2,2］，∴y＝1－2cos错误!x的最小值为－1，最大值为3。
余弦函数的图像与性质
§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质邓州市三高中：王豪欣1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2．会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 余弦函数的图像与性质阅读教材P 31～P 33“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．利用图像变换作余弦函数的图像因为y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位长度得到．如图1-6-1是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1-6-12．利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的简图(如图1-6-2)．图1-6-23．余弦函数的性质图像定义域 R 值域 [－1,1]最大值，最小值 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； 当x ＝2kπ＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 周期函数，T ＝2π单调性 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增加的； 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的 奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的图像关于坐标原点对称．( )(2)余弦函数y ＝cos x 的图像可由y ＝sin x 的图像向右平移π2个单位得到．( )(3)在同一坐标系内，余弦函数y ＝cos x 与y ＝sin x 的图像形状完全相同，只是位置不同．( )(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )【解析】 (1)错；余弦函数y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，即可看作是y ＝sin x 向左平移π2个单位得到的，因而(2)错；(3)正确；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[小组合作型]五点法作图用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 【精彩点拨】 利用“五点法”： 列表―→描点―→连线 【自主解答】 列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121作函数y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0,2π]的图像的步骤1．列表：由x＝0，π2，π，3π2，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值．2．描点：在同一坐标系中描五个关键点．3．连线：用光滑曲线．[再练一题]1．作出函数y＝1－13cos x在[－2π，2π]上的图像．【解】①列表：x 0π2π3π22πy＝cos x 10－101y＝1－13cos x23143123②作出y＝1－13cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－13cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．如图所示：余弦函数图像的应用已知(1)y≥12时x的集合；(2)－12≤y≤32时x的集合．【精彩点拨】画出函数y＝cos x(x∈R) 的图像，观察图像，求出它在一个周期上的解集，再根据余弦函数的周期性，把它拓展为整个定义域上的解集．【自主解答】 用“五点法”作出y ＝cos x 的简图．(1)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点，在[－π，π]区间内，y ≥12时，x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3≤x ≤π3.当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12，k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32， k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ －2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或π6＋2k π≤x ≤⎭⎬⎫2π3＋2k π，k ∈Z利用余弦曲线求解cos α≥a 或cos α≤a (|a |<1)的步骤：1.作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定)；2.作直线y ＝a 与函数图像相交；3.在一个周期内确定x 的取值范围；4.根据余弦函数周期性确定最终的范围.[再练一题]2．在同一坐标系中，画出函数y ＝sin x 与y ＝cos x 在[0,2π]上的简图，并根据图像写出sin x ≥cos x 在[0,2π]上的解集．【解】 用“五点法”画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的简图如下：由上图可得sin x ≥cos x 在[0,2π]上的解集为[π4，5π4]．余弦函数的单调性及应用(1)函数y ＝1－2cos x 的单调增区间是 ； (2)比较大小cos 263π cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π.【精彩点拨】 (1)y ＝1－2cos x 的单调性与y ＝－cos x 的单调性相同，与y ＝cos x 的单调性相反．(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．【自主解答】 (1)由于y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，所以函数y ＝1－2cos x 的增区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(2)由于cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝cos π3， y ＝cos x 在[0，π]上是减少的． 由π3<2π3知cos π3>cos 2π3， 即cos263π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3. 【答案】 (1)[2k π，2k π＋π]k ∈Z (2)<1．形如y ＝a cos x ＋b (a ≠0)函数的单调区间 (1)当a >0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性一致； (2)当a <0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性恰好相反．2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．[再练一题]3．(1)比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π；(2)求函数y ＝log 12(cos 2x )的增区间． 【解】 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减， ∴cos 3π5<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]与余弦函数有关的最值问题探究1 【提示】 不是．余弦函数y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°<cos 390°.探究2 对于y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型的函数如何求最值？ 【提示】 利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．求下列函数的最值． (1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.【精彩点拨】 本题中的函数可以看作是关于cos x 的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．【自主解答】 (1)y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14. 当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的最大值为14，最小值为－2. (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154； 当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.求值域或最大值、最小值问题，一般依据为： (1)sin x ，cos x 的有界性；(2)sin x ，cos x 的单调性；(3)化为sin x ＝f (x )或cos x ＝f (x )，利用|f (x )|≤1来确定； (4)通过换元转化为二次函数.[再练一题]4．已知函数y ＝－cos 2x ＋a cos x －12a －12的最大值为1，求a 的值.【导学号：66470018】【解】 y ＝－cos 2 x ＋a cos x －12a －12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－a 2－12.∵－1≤cos x ≤1，于是①当a2<－1，即a <－2时，当cos x ＝－1时， y max ＝－32a －32.由－32a －32＝1，得a ＝－53>－2(舍去)；②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24－a 2－12. 由a 24－a 2－12＝1，得a ＝1－7或a ＝1＋7(舍去)； ③当a 2>1，即a >2时，当cos x ＝1时，y max ＝a 2－32. 由a 2－32＝1，得a ＝5. 综上可知，a ＝1－7或a ＝5.1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－1【解析】 ∵－1≤cos x ≤1， ∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3. 【答案】 B2．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )【解析】 结合函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像(略)知都减少的区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 【答案】 C3．函数y ＝cos x1＋cos x的定义域是 .【导学号：66470019】【解析】 由题意知1＋cos x ≠0，即cos x ≠－1，结合函数图像知⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠2k π＋π，k ∈Z . 【答案】{}x | x ≠2k π＋π，k ∈Z4．满足2＋2cos x ≥0(x ∈R )的x 的集合是 ． 【解析】 ∵2＋2cos x ≥0，∴cos x≥－22，结合图像(略)知：－34π＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪2kπ－34π≤x≤2kπ＋3π4，k∈Z5．画出y＝1－3cos x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．【解】列表：x 0π2π32π2πcos x 10－1011－3cos x －2141－2由图像可知，函数y＝1－3cos x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，单调减区间为[π，2π]．11。
1.6 余弦函数的图像与性质练习2
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos
－π 8
与
cos157π；
(2)sin194°与 cos160°.
14．已知函数 y＝－cos2x＋acosx－12a－12的最大值为 1，求 a 的值．
余弦函数的图像余弦函数的性质
|基础巩固|(25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．对于余弦函数 y＝cosx 的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与 x 轴有无数多个交点；
(3)与 y＝sinx 的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
|能力提升|(20 分钟，40 分)
11．已知函数 y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线 y＝2 围成一个封闭的平面图 形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8 C．2π D．4π 12．(2016·江苏太仓月考)若函数 f(x)的定义域为[0,1]，则 f(cosx)的定义域为 ________．
则
f
－15π 4
＝________.
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．根据 y＝cosx 的图象解不等式：－ 23≤cosx≤12，x∈[0,2π]． 10．画出函数 y＝3＋2cosx 的简图． (1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合并分别写出最大值、最 小值． (2)讨论此函数的单调性．
C．2 个 D．3 个
2．函数 y＝sin 2 0211π－2 010x 是(
)
A．奇函数Байду номын сангаас
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
学年高中数学第一章三角函数._余弦函数的图像余弦函数的性质练习含解析北师大版必修
6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质 填一填1.余弦函数图像的画法 (1)变换法：y ＝sin x 图像向左平移________个单位即得y ＝cos x 的图像．(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．2．余弦函数的性质函数 性质余弦函数y ＝cos x 图像定义域 R值域 [－1,1]最值 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 是周期函数，最小正周期为________奇偶性 是偶函数，图像关于y 轴对称单调性在[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上是________的在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是________的判一判1.当余弦函数y ＝cos x 取最大值时，x ＝π＋2k π，k ∈Z .( )2．函数y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数．( ) 3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( )4．y ＝cos x 的定义域为[0,2π]．( )5．余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( )6．余弦函数y ＝cos x 的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )7．函数y ＝a cos x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )8．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，那么g (x )＝－sin x ．(想一想1.提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y ＝cos x 写成y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，然后利用图像平移得到y ＝cos x 的图像．(2)“五点法〞：在函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比拟常用的一种画图方法．余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．2．如何理解余弦函数的对称性？提示：(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的交点，此时的余弦值为0. (2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x ＝kx (k ∈Z )，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．思考感悟：练一练1.函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A.π3 B ．3π C.2π3 D.3π22．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 3．用“五点法〞作出函数y ＝3－cos x 的图像，以下点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )A ．(π，－1)B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3 4．函数y ＝－3cos x ＋2的值域为( )A ．[－1,5]B ．[－5,1]C ．[－1,1]D ．[－3,1]知识点一 用“五点法〞作函数的图像1.作出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图像．2．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．知识点二 与余弦函数有关的定义域问题3.求y ＝32－cos x 的定义域． 4．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．知识点三 余弦函数的单调性及应用5.求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，3π2的单调区间和最值． 6．比拟cos 26π3与cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3的大小． 综合知识 余弦函数值域(最值)问题7.求以下函数的最值．(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.。
余弦函数的图像和性质
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数的图像和性质
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌 伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠 言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让
正弦函数、余弦函数的图象和性质及答案
正弦函数、余弦函数的图象和性质一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B. ﹣32 C. ﹣34 D. ﹣2 2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ---------------------------------------------- ( )(A) {0}(B) [-1,1] (C) [0,1](D) [-2,0]3.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=4．函数cos y x =的一个单调增区间是----------------------------------- ( )A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．对于函数y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是------------------------ ( )(A) 函数是周期为π的奇函数(B) 函数是周期为π的偶函数(C) 函数是周期为2π的奇函数(D) 函数是周期为2π的偶函数6．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ）A ．23 B ．32 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)7．函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是.8．函数y ＝1sin 2-x 的定义域是.9．函数y ＝sin(π4－2x)的单调递增区间是.10．已知奇函数y ＝f (x )对一切x ∈R 满足f (x ＋1)＝f (x -1)，当x [1-∈，]0时，f (x )＝943+x ，则f (5log 31)＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．求函数f （x ）=2sin （x+3π）的值域，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 。
完整版)正余弦函数图象与性质练习题
完整版)正余弦函数图象与性质练习题正弦函数和余弦函数是初中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质也是高中数学中必须掌握的内容。
一、选择题1.函数 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ 的图像关于点（$-\frac{\pi}{6}$，0）对称。
2.函数 $y=2\sin(\frac{\pi}{6}-2x)$ 在区间$[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{2}]$ 上是增函数。
3.设 $a$ 为常数，且 $a>1$，$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq 2\pi$，则函数 $f(x)=\cos 2x+2a\sin x-1$ 的最大值为 $2a+1$。
4.函数 $y=\sin(2x+\frac{5}{2}\pi)$ 的一个对称轴方程是$x=\frac{5}{4}\pi$。
5.方程 $\cos(x+\frac{5}{2}\pi)=\frac{1}{2}x$ 在区间$(0,100\pi)$ 中有 $102$ 个解。
6.函数 $y=\sin(2x+\pi)$ 是以 $\pi$ 为周期的偶函数。
7.如果函数 $y=\sin 2x+\alpha\cos 2x$ 的图像关于直线$x=-\frac{\pi}{8}$ 对称，则 $\alpha=-2$。
8.函数 $y=2\cos 2x+1$ 的最小正周期为 $\pi$。
9.已知函数 $f(x)=\sin(\pi x-\frac{\pi}{2})-1$，则命题“$f(x)$ 是周期为 $2$ 的偶函数”是正确的。
10.函数 $y=-\cos x+\frac{\cos x}{\sin x}$ 的定义域为$(2k\pi+\pi,2k\pi+\frac{3}{2}\pi]$。
11.定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是偶函数又是周期函数，且最小正周期为 $\pi$，当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$ 时，$f(x)=\sin x$，则$f(\frac{5\pi}{3})=-\frac{1}{2}$。
7.3.3 余弦函数的性质与图像
第七章 三角函数7．3.3 余弦函数的性质与图像1.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值及图像变换．2.借助图像理解余弦函数在[0, 2π]上的性质．3．通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空 1．余弦函数对于任意一个角x ，都有唯一确定的余弦cos x 与之对应，所以y ＝cos x 是一个函数，一般称为余弦函数．2．余弦函数的性质性质 内容 定义域 R 值域 [－1,_1]周期性 T ＝2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π奇偶性 偶函数单调区间在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增，在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1对称性对称轴为x ＝ k π，对称中心为⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，其中k ∈Z3．余弦函数的图像把正弦函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位就得到余弦函数y ＝cos x 的图像，该图像称为余弦曲线．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的图像是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (3)在区间[0,3π]上，函数y ＝cos x 仅在x ＝0时取得最大值1.( ) (4)函数y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．0≤m ≤2 C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m ≤1，解得0≤m ≤2.故选B. 3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像[学透用活][典例1] (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图像沿x 轴( ) A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． [解析] (1)选C ∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图像上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，故选C.(2)列表：[方法技巧]“五点法”画函数图像的三个步骤作形如y＝A cos(ωx＋φ)＋b，x∈[0,2π]的图像时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．[对点练清]1．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ)的图像如图所示，f⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f⎝⎛⎭⎫－π6＝()A．－23B．－12C.23 D.12解析：选A由题图知，T＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，∴f⎝⎛⎭⎫－π6＝f⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f⎝⎛⎭⎫π2＝－23.2．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图． 解：按五个关键点列表，描点画出图像(如图).题型二 余弦函数的最值、值域问题[学透用活][典例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6， 2π3， ∵函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6， 2π3上单调递减， ∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， 当t ＝－1时，函数取得最大值10； 当t ＝1时，函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2,10]． [方法技巧]求余弦函数最值或值域问题的关注点(1)求形如y ＝a cos x 的函数最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．[对点练清]1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数， ∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 2．求y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值． 解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴原函数在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14. 题型三 余弦函数的性质及应用[学透用活][典例3] (1)f (x )＝x ·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x 的奇偶性为________． (2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． (3)比较下列各组数的大小． ①cos ⎝⎛⎭⎫－π18，cos π10； ②cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8，cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [解析] (1)此函数的定义域R 关于原点对称，且f (x )＝x ⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝x ·(－cos x ) ＝－x cos x ，∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )． 所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．(3)①cos ⎝⎛⎭⎫－π18＝cos π18. ∵0＜π18＜π10＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝⎛⎭⎫－π18＞cos π10. ②cos 3π8＝sin π8.∵0＜π8＜3π8＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， ∴sin π8＜sin 3π8，即0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝cos x 在(0,1)上单调递减， ∴cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＞cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [答案] (1)奇函数(2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z ) [方法技巧]1．求三角函数周期的三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. (3)观察法(图像法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形； 偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 3．求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间的技巧(1)求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．(2)具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时，同样的方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．[对点练清]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数f (x )为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．函数f (x )＝cos 2x 的最小正周期为________．解析：令z ＝2x ，∴f (x )＝cos 2x ＝cos z ＝cos(z ＋2π)＝cos(2x ＋2π)＝cos [2(x ＋π)]，即f (x ＋π)＝f (x )， ∴T ＝π. 答案：π3．比较大小：cos 15π8________cos 14π9.解析：cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.答案：＞[课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题1．x 轴与函数y ＝cos x 的图像的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：选D 函数y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点． 2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2， π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数解析：选C 结合函数在⎣⎡⎦⎤－π2， π2上的图像可知C 正确． 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________. 解析：∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12.答案：±124．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点有________个．解析：作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像及直线y ＝－12(图略)，可知两函数图像有2个交点．答案：2 二、创新应用题5．求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4，由2k π－π≤x －π4≤2k π，k ∈Z ，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .即该函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－3π4， 2k π＋π4，k ∈Z . [课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图像( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称解析：选C 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C. 2．使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合为( ) A ．{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π，k ∈Z } C ．{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }解析：选B 使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合，就是使函数y ＝cos x 取得最大值时的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }．3．已知函数y ＝cos x 在(a ，b )上是增函数，则y ＝cos x 在(－b ，－a )上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．增函数或减函数D ．以上都不对解析：选B ∵函数y ＝cos x 为偶函数，∴在关于y 轴对称的区间上单调性相反．故选B. 4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x 的最小值为－1，最大值为3.5．(多选题)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 解析：选ABD f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，故B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，C 错误，D 正确．6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是____________________． 解析：画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像如图所示．cos x >0的区间为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π 7．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件， 故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]8．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)解析：由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 答案：cos 1>cos 2>cos 3 9．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )． 解：(1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋23k π，－π12＋23k π(k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝－π＋2k π，即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，最小值为－2.10．求作函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值时x 的值．解：列表如下：描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像：由图可得，当x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，函数取得最大值，y max ＝5.B 级——高考水平高分练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像(如图)．故选D.2．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2. 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫k πx ＋π3的周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数k ＝________. 解析：∵T ＝2πk π＝2k (k ∈N *)，∴1<2k <3(k ∈N *)． ∴23<k <2(k ∈N *)．∴k ＝1. 答案：14．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积． 解：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.5．求函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x 为何值时，y 取最大值或最小值．解：由于y ＝cos x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )． 又由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，3(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 因为当θ＝2k π(k ∈Z )时，y ＝3－2cos θ取得最小值， 所以当2x －π3＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值1. 同理可得当x ＝k π＋2π3(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最大值5.6．已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )的周期T ＝π，故2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎭⎫2⎝⎛⎦⎤x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。
余弦函数的性质与图像练习题含答案
余弦函数的性质与图像练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分，）1. 已知函数f(x)＝cos(ωx−ωπ6)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象（）A.可由函数g(x)＝cos2x的图象向左平移π3个单位而得B.可由函数g(x)＝cos2x的图象向右平移π3个单位而得C.可由函数g(x)＝cos2x的图象向左平移π6个单位而得D.可由函数g(x)＝cos2x的图象向右平移π6个单位而得2. 函数f(x)=2tan(π2x+3)的最小正周期为（）A.2πB.4πC.2D.43. 函数y＝cos(−x)，x∈[0, 2π]的简图是（）A. B.C. D.4. 已知函数f(x)＝cosπ5x+1，设a＝f(log30.2)，b＝f(3−0.2)，c＝f(−31.1)，则（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>bA.2πB.πC.D.6. 不等式sin x≥12，x∈[0, 2π]的解集为（）A.[π3，4π3] B.[π6，5π6] C.[π6，π2] D.[π2，5π6]7. 函数y=ln|x−1|+(x−1)2的图象大致为( )A. B. C.D.8. 将函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y＝2cos2x，若y＝sin(ωx+φ)图象与y＝a图象在x∈[0, π)上有两个不同交点(x1, a)，(x2, a)，则x1+x2的值为（）A.或πB.或πC.或或πD.或9. f(x)=cos(ωx−3π4)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对∀x∈R成立，则ω的最小值为（）A.2B.3C.23D.3210. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则（）A.ω=1，φ=π3B.ω=1，φ=π3C.ω=2，φ=−π3D.ω=2，φ=−π3二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分，）11. 设a=cos2π7，b=sin5π7，c=tan2π7，则a，b，c的大小关系为________（按由小至大顺序排列）．12. 若函数f(x)=3cos(ωx+θ)对任意的x都有f(π6+x)=f(π6−x)，则f(π6)等于________13. 函数f(x)=a sin x+sin(x+π2)的最小值为−√3，则实数a=________.14. 如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p, q)是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题：①“距离坐标”为(1, 0)的两点间距离为2；②若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线；③若pq≠0，则“距离坐标”为(p, q)的点有且仅有4个；④若直线l1与l2的夹角是60∘，则|OM|=2√33√p2+pq+q2或|OM|=2√33√p2−pq+q2．其中所有正确命题的序号为________．15. 已知函数y=A sin(ωx+ϕ)(A>0, ω>0, |ϕ|<π)的部分图象如图所示，则其函数解析式是________．x+ϕ)图象的最高点或最16. 存在实数ϕ，使得圆面x2+y2≤5恰好覆盖函数y=sin(πk低点共三个，则正数k的取值范围是________．三、解答题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）17. 已知函数f(x)=sin x，x∈R，点P(−1,√3)是角α终边上一点，α∈[0, 2π]．(Ⅰ)求f(α)的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x+α)+f(x)，求g(x)在[0,πbrack上的最大值和最小值．218. 已知函数f(x)＝sin x+3|sin x|．（1）用分段函数形式写出f(x)在x∈[0, 2π]的解析式，并画出其图象；（2）直接写出f(x)(x∈R)的最小正周期及其单调递增区间．19. 已知函数f(x)=−x2+2ax−2a+b，且f(1)=0.(1)若f(x)在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在区间(2,3)上有零点，求实数a的取值范围；(3)若f(x)在[0,3]上的最大值是2，求实数a的的值．）的部分图象如图所示．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象．求当x∈[0,π]时，函数y=g(x)的单调递增区间．参考答案与试题解析余弦函数的性质与图像练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】D【考点】余弦函数的图象【解析】根据函数f(x)的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】函数f(x)＝cos(ωx−ωπ6)(ω>0)的最小正周期为π，即T=2πω=π，∴ω＝2，则f(x)＝cos(2x−π3)的图象可有函数g(x)＝cos2x的图象向右平移π6个单位而得．2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由题意利用y＝A tan(ωx+φ)的周期为πω，得出结论．【解答】函数f(x)=2tan(π2x+3)的最小正周期为ππ2=2，3.【答案】B【考点】余弦函数的图象五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】余弦函数的单调性【解析】利用函数的奇偶性和单调性，先确定作用对象的大小关系再给出判断即可．【解答】函数f(x)＝cosπ5x+1是偶函数，所以c＝f(−31.1)＝f(31.1)．可得：31.1>3，1<log35<2，0<3−0.2<1，即0<3−0.2<log35<31.1<5，因为函数f(x)＝cosπ5x+1在(0, 5)是单调递减函数，所以b>a>c．5.【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】直接利用正切函数的周期公式T＝，求出它的周期即可．【解答】函数y＝tan(2x−），所以T＝＝．6.【答案】B【考点】余弦函数的定义域和值域【解析】先画出y1=sin x，y2=12在[0, 2π]上的图象，再求出交点的横坐标即可得到答案．【解答】解：画出y1=sin x，y2=12在[0, 2π]上的图象，得它们交点的横坐标分别为π6、5π6，观察图象知所求的解集为[π6，5π6]．故选B ．7.【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据函数特点判断函数的对称性，利用特殊值的符号是否一致进行排除． 【解答】解：y =ln |x|+x 2是偶函数，图象关于y 轴对称，将y =ln |x|+x 2的图象向右平移1个单位得到y =ln |x −1|+(x −1)2， 则图象关于x =1对称，排除A ，当x >0时，y =ln x −x 2，则y ′=1x −2x ， 当x ∈(0,√22)时，y ′=1x−2x >0，y =ln x −x 2单调递增，当x ∈(√22，+∞)时，y ′=1x −2x <0，y =ln x −x 2单调递减， 且最大值为y max =ln√22−(√22)2=ln√22−12<0，即函数y =ln |x −1|−(x −1)2在(1,2+√22)上单调递增，在(2+√22，+∞)上单调递减且最大值为负值，排除C ，D .故选B . 8.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用逆向思维处理问题，通过关系式的变换和函数的性质求出结果． 【解答】利用反向思考：，将其图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式是，又ω>0，，所以ω＝2，．所以两交点关于或对称，∴或．9.【答案】B【考点】余弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，当x=π4时，f(x)取得最大值，所以π4ω−3π4=2kπ,k∈Z，解得ω=8k+3,k∈Z，因为ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值3. 故选B.10.【答案】C【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义【解析】由已知中函数的图象过(5π12, 1)点和(2π3, 0)点，我们可以求出函数的周期，根据T=2πω，可以求出ω值，进而将(5π12, 1)点代入，结合|ϕ|<π2，即可得到φ值．解：由已知中函数的图象过(5π12, 1)点和(2π3, 0)点故T4=2π3−5π12，∴T=π=2πω故ω=2则f(x)=sin(2x+φ)将(5π12, 1)点代入得φ=−π3+2kπ，k∈Z又∵|ϕ|<π2∴φ=−π3故选C二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）11.【答案】a<b<c【考点】三角函数线【解析】首先将b化为2π7的正弦，然后结合三角函数线，比较大小．【解答】解：由已知，a=cos2π7，b=sin5π7=sin2π7，c=tan2π7，则2π7的各三角函数线即正弦线、余弦线、正切线如图，分别是AB，OA，CD，易知OA<AB<CD，所以a<b<c；12.【答案】±3【考点】余弦函数的对称性三角函数的最值【解析】由题设条件函数f(x)=3cos(ωx+θ)对任意的x都有f(π6+x)=f(π6−x)，知x=π6是函数的对称轴，此函数是一个余弦型函数，是一个周期函数，其图象的特点是其对称轴一定过最值点，故可得f(π6)．【解答】解：∵f(π6+x)=f(π6−x)∴函数f(x)关于x=π6对称，∴x=π6时，f(x)取得最值±3．故答案为±313.【答案】a=√2或a=−√2【考点】三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=asinx+sin(x+π2)=a sin x+cos x，则函数f(x)的最小值为=−√a2+1，所以−√a2+1=−√3，解得a=√2或a=−√2.故答案为：a=√2或a=−√2.14.【答案】③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．【解答】解：①当l1⊥l2时，“距离坐标”为(1, 0)的两点间距离为2，不垂直时，两点间的距离大于2，故①不正确；②若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，故②不正确．③若pq≠0，则“距离坐标”为(p, q)的点有且仅有4个，如图所示，故③正确；④如图，延长BM交l1与点C，AM交l2与点D，AM交l1与点A，BM交l2与点B，连接OM，当∠AOB=60∘时，∵∠CAM=∠DBM=90∘，AM=p，BM=q，∴∠ACM=∠BDM=30∘，∴DM=2BM=2q，CM=2AM=2p，∴AD=p+2q，BC=q+2p，在Rt△OAD中，AO=ADtan60∘=√33(p+2q)，∴OM=√AM2+OA2=2√33√p2+pq+q2.同理，当∠AOB=120∘时，易得OA=√33(2q−p)，∴OM=√AM2+OA2=2√33√p2−pq+q2.综上，只有③④正确．故答案为：③④．15.【答案】y=3sin(2x−2π3)【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由题意求出函数的周期，最大值A，利用函数经过的特殊点，求出ϕ，即可求出函数的解析式．【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A=3，T=4×(π12+π6)=π，所以ω=2，因为函数的图象经过(π12, −3)， 所以−3=3sin (2×π12+ϕ)，|ϕ|<π，所以ϕ=−2π3，所以函数的解析式为：y =3sin (2x −2π3)．故答案为：y =3sin (2x −2π3)．16.【答案】 (1, 2] 【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】函数y =sin (πk x +ϕ)图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，{y =±1x 2+y 2≤5 ，解得：−2≤x ≤2，由题意可得：T ＝2k ，T ≤4<2T ，即可得出．【解答】函数y =sin (πk x +ϕ)图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，{y =±1x 2+y 2≤5 ，解得：−2≤x ≤2， 由题意可得：T =2ππk=2k ，T ≤4<2T ，解得正数k 的取值范围是：(1, 2]．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 17. 【答案】(Ⅰ)因为点P(−1,√3)是角α终边上一点， 所以r =√(−1)2+(√3)2=2， 所以sin α=yr =√32， 所以f(α)=sin α=√32． (Ⅱ)由(Ⅰ)知sin α=√32，cos α=−12，α∈[0, 2π]． 所以α=2π3．所以g(x)=f(x +α)+f(x)=sin (x +2π3)+sin x ，=−12sin x +√32cos x +sin x ，=12sin x +√32cos x ， =sin (x +π3)因为x ∈[0,π2brack ， 所以π3≤x +π3≤5π6．所以，当x +π3=π2，即x =π6时，g(x)的最大值为1； 当x +π3=5π6，即x =π2时，g(x)的最小值为12．【考点】三角函数的最值 【解析】(Ⅰ)直接利用三角函数的定义求出结果．(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质求出结果． 【解答】(Ⅰ)因为点P(−1,√3)是角α终边上一点， 所以r =√(−1)2+(√3)2=2， 所以sin α=y r=√32， 所以f(α)=sin α=√32． (Ⅱ)由(Ⅰ)知sin α=√32，cos α=−12，α∈[0, 2π]． 所以α=2π3．所以g(x)=f(x +α)+f(x)=sin (x +2π3)+sin x ，=−12sin x +√32cos x +sin x ，=12sin x +√32cos x ， =sin (x +π3)因为x ∈[0,π2brack ，所以π3≤x +π3≤5π6．所以，当x +π3=π2，即x =π6时，g(x)的最大值为1； 当x +π3=5π6，即x=π2时，g(x)的最小值为12．18.【答案】当x∈[0, π]时，sin x≥0，|sin x|＝sin x，f(x)＝4sin x当x∈(π, 2π]时，sin x≤0，|sin x|＝−sin x，f(x)＝−2sin x，所以f(x)={4sin x x∈[0,π]−2sin x x∈(π,2π]，可得其图象如下图所示．由f(x+2π)＝sin(x+2π)+3|sin(x+2π)|＝sin x+3|sin x|＝f(x)，可知2π为函数f(x)的一个周期，结合图象可得2π为函数f(x)的最小正周期，（直接写出答案也可以给满分）由图可得，x∈[0, 2π]时，函数f(x)的递增区间为[0,π2]，[π,3π2]，又f(x)的最小正周期为2π，故函数f(x)的递增区间为[kπ,π2+kπ](k∈Z)．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象【解析】（1）利用正弦函数的图象和性质分类讨论可求函数解析式为f(x)={4sin xx∈[0,π]−2sin xx∈(π,2π]，进而可求函数图象．（2）利用函数的图象和正弦函数的性质可求函数f(x)的最小正周期和递增区间．【解答】当x∈[0, π]时，sin x≥0，|sin x|＝sin x，f(x)＝4sin x当x∈(π, 2π]时，sin x≤0，|sin x|＝−sin x，f(x)＝−2sin x，所以f(x)={4sin xx∈[0,π]−2sin xx∈(π,2π]，可得其图象如下图所示．由f(x +2π)＝sin (x +2π)+3|sin (x +2π)|＝sin x +3|sin x|＝f(x)， 可知2π为函数f(x)的一个周期，结合图象可得2π为函数f(x)的最小正周期， （直接写出答案也可以给满分）由图可得，x ∈[0, 2π]时，函数f(x)的递增区间为[0,π2]，[π,3π2]，又f(x)的最小正周期为2π，故函数f(x)的递增区间为[kπ,π2+kπ](k ∈Z)． 19.【答案】解：(1)由题意，f (x )开口向下，对称轴为直线x =a ， 又f (x )在区间(2,3)上为单调函数，当f (x )在区间(2,3)上为单调递增函数时，a ≥3， 当f (x )在区间(2,3)上为单调递减函数时，a ≤2， 综上：实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤2． (2)由f (1)=0，得b =1，又f (x )在区间(2,3)上有零点，且f (x )的一个零点是1∉(2,3)， 所以，{f (2)>0,f (3)<0,⇒{2a −3>0,4a −8<0,⇒32<a <2．(3)f (x )=−x 2+2ax −2a +1，对称轴为x =a ， ①当a ≤0时，f max =f (0)=−2a +1=2，则a =−12；②当0<a <3时，f max =f(a)=a 2−2a +1=2， 则a =1+√2或a =1−√2（舍去）；③当a ≥3时，f max =f(3)=4a −8=2，则a =52（舍去）； 综上：a =−12或a =1+√2．【考点】二次函数的性质已知函数的单调性求参数问题 函数的零点二次函数在闭区间上的最值 函数的最值及其几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意，f (x )开口向下，对称轴为直线x =a ， 又f (x )在区间(2,3)上为单调函数，当f (x )在区间(2,3)上为单调递增函数时，a ≥3， 当f (x )在区间(2,3)上为单调递减函数时，a ≤2， 综上：实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤2． (2)由f (1)=0，得b =1，又f (x )在区间(2,3)上有零点，且f (x )的一个零点是1∉(2,3)， 所以，{f (2)>0,f (3)<0,⇒{2a −3>0,4a −8<0,⇒32<a <2．(3)f (x )=−x 2+2ax −2a +1，对称轴为x =a ， ①当a ≤0时，f max =f (0)=−2a +1=2，则a =−12；②当0<a <3时，f max =f(a)=a 2−2a +1=2， 则a =1+√2或a =1−√2（舍去）；③当a ≥3时，f max =f(3)=4a −8=2，则a =52（舍去）； 综上：a =−12或a =1+√2． 20.【答案】【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答。
正弦、余弦函数的图象与性质(习题及答案
， ， (- π π π正弦、余弦函数的图象与性质（习题）➢ 例题示范 例 1：已知定义在 R 上的函数 f (x ) 既是偶函数又是周期函数．若f (x ) 的最小正周期是π ，且当 x ∈[0 f (5π) 的值为（ ）3π ， ] 时， f (x ) = sin x ，则 2 A. - 1 2 思路分析： B. 1 2C. - 3 2D.2要求 f (5π) ，根据题目条件，考虑利用 f (x ) = sin x 来求解；3结合函数的周期性和奇偶性，将5π 3 再利用解析式求解．∵函数 f (x ) 的最小正周期是π，转化到区间[0 π] 上，2∴ f (5π) = f (5π - π) = f ( 2π) = f ( 2π - π) = f (- π) ，3 3 3 3 3∵函数 f (x ) 是偶函数，∴ f (- π) = f ( π) = sin π = 3 ，故选 D ．3 3 3 2例 2：已知函数 f (x ) = 2sin(2x + π) ，x ∈(- π 2π) ，则 f (x ) 的单 6 6 3 调递增区间是（ ） A. (- π π) B. ( π 7π ， ) C. ( π 2π ， ) π π D. ， ) 6 6 思路分析： 12 12 3 3 6 3 ∵函数 y = sin x 在(- π + 2k π ， + 2k π)（ k ∈ Z ）上单调递增， 2 2 ∴当2x + π ∈(- π + 2k π， + 2k π)（ k ∈ Z ）时，原函数单调递增， 6 2 2 即当 x ∈(- π + k π， + k π)（ k ∈ Z ）时，原函数单调递增． 3 6 综合各个选项， 当 k = 0 时， x ∈(- π π) (- π 2π) ，即 x ∈(- π π) 时原函数 ， ， ，3 6 6 3 6 6，14. 函数 f (x ) = sin( π x + π) 的最小正周期是（） 3 6A ． 3B ． 6C ． 3πD ． 6π5. 函数 f (x ) = 3cos( 2 x - π) 的最小正周期是（） 5 6 A ． 2π B ． 5π C ．2 πD ．5 π5 2， ，6. 函数 f (x ) = 7 sin( 2 x + 15π) 是（ ）3 2A ．周期为 3 π 的偶函数B ．周期为 2 π 的奇函数C ．周期为 3 π 的奇函数D ．周期为 4 π 的偶函数 37. 函数 f (x ) = x cos x （） A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数8. 若 f (x ) 是以π 为周期的奇函数，且 f (- π) = -1 ，则 f (9π) 的4 4值为（ ）A. π 4B. - π 4D ． -1A. (0 π ) 2B. ( π 2 ，π) C ． (π 3π)D ． (3π ，2π)229. 函数 y = 3 cos(2x + π) + 2 的单调递减区间是（ 3 ）A ． (- π + 2k π 6 ， π + 2k π)（ k ∈ Z ） 3B ． ( π + 2k π， 6 5π + 2k π)（ k ∈ Z ） 6C ． (- π + k π 6 ， π + k π)（ k ∈ Z ） 3D ． ( π + k π， 6 5π + k π)（ k ∈ Z ） 6 10. 在[0 ，2π] 上，使 y = sin x 为增函数，且 y = cos x 为减函数的区间是（ ）5π] 的值域是（ 4 4 D ．[ 2 ，1] 22 ] 2C ．[-1，A ．[- 2 ， 2 ]B ．[- 2 ，1] 2 2212. 方程 x = cos x 在 R 上（） A ．没有根B ．有且仅有 1 个根C ．有且仅有 2 个根D ．有无穷多个根13. 已知函数 f (x ) = sin(x - π) ，则下列结论错误的是（）2A. f (x ) 的最小正周期为 2πB. f (x ) 在区间[0 π ， ] 上是增函数 2C. f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称D. f (x ) 是奇函数14. 设 M 和 m 分别表示函数 y = 1 cos x -1 的最大值和最小值，则3M + m = （ ）A. 2 3B. - 2 3C. - 4 3D ．-2） 11. 函数 y = sin x ，x ∈[ π ，【参考答案】➢巩固练习1. B2. C3. A4. B5. D6. A7. A8. C9. C10.A11.B12.C13.D14.D。
正弦函数.余弦函数的图像与性质基本题(内附详解答案)doc
正弦函数，余弦函数的图像与性质（基本题）基础巩固：1、选择题1.函数y=3sin（2x+）的最小正周期是（）A.4πB. 2πC.πD.2.下列函数中，周期为的是（）A.y=sinB. y=sin2xC.y=cosD.y=cos4x3.设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（）A． B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣24.函数y=丨sinx丨+sin丨x丨的值域为（）A．[﹣2,2] B. [﹣1,1] C. [0,2] D. [0,1]5.下列函数中，图像关于直线x=对称的是（）A.y=sin（2x－）B.y=sin（2x－）C.y=sin（2x+）D.y=sin（+）6.当﹣≤x≤时，函数f（x）=2sin（x+）有（）A,最大值为1，最小值为﹣1 B.最大值为1，最小值为﹣C.最大值为2，最小值为﹣2D.最大值为2，最小值为﹣1二．填空题7.若函数y=5sin（x﹢）的周期不大于1，则自然数k的最小值为_______8.函数y=sinx的定义域为[a,b]，值域为[﹣1, ]，则b－a的最大值和最小值之和等于 ___9.设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是﹣，则A=_____,B=_____10.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间（，）内有最小值，无最大值，则ω=_______.能力提升.三．解答题11.求函数y=cos²x－sinx的值域12.如果函数y=sin²x﹢acos2x的图像关于直线x=﹣对称，求a的值13.函数f（x）=﹣sin²x + sinx + a.若1≤f（x）≤时，一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围。
答案：选择题：1.C．解析：T==π2.D．解析：A.T==4π B.T==π C.T==8π D.T==3.D．解析：Ymax=－1=﹣，Ymin=×（﹣1）－1=﹣∴M＋m=﹣－=﹣24.C．解析：∵f（x）=丨sinx丨＋sinx ﹙x≥0﹚f（x）=丨sinx丨－sinx ﹙x＜0﹚[分情况考虑]∴0≤f（x）≤2，故选C5.B．解析：B中sin（2×－）=sin=1，故选B6.D．解析：∵﹣≤x≤，∴﹣≤x＋≤∴﹣≤sin（x＋）≤1，∴﹣1≤f（x）≤2填空题：7. 19. 解析：T==，且丨T丨≤1，即丨丨≤1∴k≥6π，且k为自然数，∴kmin=198. 2π.解析：利用函数y=sinx图像知（b－a）min=，（b－a）max=，故b －a的最大值和最小值之和等于2π9. ，﹣1. 解析：由题意，由A－B= A＋B=﹣，可得A=，B=﹣110. . 解析：由题意知x=＋=为函数的一条对称轴.且ω•＋=2kπ－﹙k∈Z﹚得ω=8k－﹙k∈Z﹚……①又－≤﹙ω＞0﹚∴0＜ω≤12……②由①②得k=1，ω=，故填能力提升：11.解析：cos²x－sinx=1－sin²x →配方→求值域。
《正弦函数、余弦函数的性质》习题
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足$f(-x) = -f(x)$；余弦函数是偶函数，满足 $f(-x) = f(x)$。
定义域
正弦函数和余弦函数的定义域都是 全体实数，即$R$。
图像比较
01
02
03
形状
正弦函数的图像是正弦曲 线，呈波浪形；余弦函数 的图像也是正弦曲线，但 上下对称。
极值点
正弦函数的极值点出现在 $frac{pi}{2}+kpi$，余弦 函数的极值点出现在 $kpi$。
04 综合习题
基础题
基础题1
已知函数$f(x) = sin x + cos x$，求$f(x)$的最小 正周期。
基础题2
已知函数$f(x) = sin^2 x + cos^2 x$，求$f(x)$的 最大值和最小值。
基础题3பைடு நூலகம்
已知函数$f(x) = sin x cos x$，求$f(x)$的单调递增 区间。
图像
总结词
正弦函数的图像呈现周期性波动。
详细描述
正弦函数的图像是一个周期为$2pi$的波动曲线，它在每个周期内先上升到最大 值，然后下降到最小值，如此往复。
02 余弦函数的性质
周期性
总结词
余弦函数是周期函数，具有特定的周期性。
详细描述
余弦函数的周期为$2pi$，这意味着函数图像每隔$2pi$会重复。例如，$y = cos(x)$与$y = cos(x + 2pi)$是相同的。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，具有奇函数的性 质。
详细描述
奇函数满足$f(-x)=-f(x)$的性质，对于 正弦函数，当$x$取反时，$sin(-x)=sin(x)$，因此正弦函数是奇函数。
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课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．函数f (x )＝cos(2x －π
6)的最小正周期是( )
A.π2 B ．π C ．2π
D ．4π
解析：本题考查三角函数的周期．
T ＝
2π
2
＝π. 余弦型三角函数的周期计算公式为2π
ω
(ω>0)．
答案：B
2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个
单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.13 B ．3 C ．6
D ．9
解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π
3)＝
cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π
3
ω＝2k π，
∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时，
ω有最小值6，故选C.
3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π
2
的函数，若f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2≤x ≤0，sin x
0<x ≤π，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－15π4的值等于( ) A ．1 B.2
2 C ．0
D ．－2
2
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π
2
×
－3＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝2
2
.
答案：B
4．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π
6
)的图象，则φ等于( )
A.π6
B.2π3
C.4π3
D.11π6
解析：∵y ＝sin(x －π6)＝cos[π2－(x －π6)]＝cos(x －2π
3)．
将y ＝cos x 的图象向右平移2π3个单位可得到y ＝cos(x －2π
3)的
图象，
∴要得到y ＝sin(x －π
6)的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π
－2π3＝4π
3
个单位．
5．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3，－π2∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3 C.⎝
⎛⎭⎪⎫
－3，－π2∪(0,1)∪(1,3)
D ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
解析：f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f (x )<0的解集为(－3，
－1)∪(0,1)，当x ∈(－π，π)时，cos x >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，cos x <0
的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2，π，
故f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3.
答案：B
6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3，0中心对称，
那么|φ|的最小值为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π
2
解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
8π3＋φ＝0 ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ) ∴φ＝k π＋π2－8π
3(k ∈Z ) ∴|φ|的最小值为|φ|＝|2π＋π2－8π3|＝π6.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增函数，那么f (x )在[a ，b ]上是________函数．
解析：∵f (x )＝cos x 是偶函数，且偶函数在对称区间的单调性相反，
∴f (x )在[a ，b ]上是减函数． 答案：减
8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为____________．
解析：由题意知0≤cos x ≤1， ∴2k π－π2≤x ≤2k π＋π
2，k ∈Z .
答案：[2k π－π2，2k π＋π
2
](k ∈Z )
9．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
解析：本题考查三角函数的图象及求值问题．
由题意cos π3＝sin(2×π3＋φ)，即sin(2π3＋φ)＝12，2π
3
＋φ＝
k π＋(－1)k
·π6，(k ∈Z )，因为0≤φ<π，所以φ＝π
6
.
答案：π
6
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．比较下列各组数的大小 (1)cos 32，sin 110，－cos 74
；
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
cos 3π7.
解：(1)∵sin 1
10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110≈cos1.47，
－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－74≈cos1.39，cos 32＝cos1.5，
又0<1.39<1.47<1.5<π，y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos1.5<cos1.47<cos1.39. 即cos 32<sin 110<－cos 7
4
；
(2)∵cos 3π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－3π7＝sin π14，
而0<π14<3π7<π
2，y ＝sin x 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，
∴0<sin π14<sin 3π7<1<π
2
，
y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2上是减函数，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π14>cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
sin 3π7.
即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π7>cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
sin 3π7.
11．求当函数y ＝sin 2
x ＋a cos x －12a －3
2
的最大值为1时，a 的值．
解：y ＝1－cos 2
x ＋a cos x －12a －32＝－cos 2
x ＋a cos x －12a －12
＝－(cos x －a
2
)2
＋a 2
4－12a －12
设cos x ＝t ，∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤t ≤1.
∴求函数y ＝－(cos x －a
2)2
＋a 24－12a －12
的最大值为1时a 的值，
等价于求闭区间上的二次函数y ＝－(t －a
2
)2
＋a 24－12a －12
(－1≤t ≤1)
的最大值为1时a 的值．
(1)当a
2<－1，即a <－2时，
t ＝－1时，y 有最大值为－32a －3
2
，
由题设可知－32a －32＝1，∴a ＝－5
3>－2(舍去)．
(2)当－1≤a
2
≤1，即－2≤a ≤2时， t ＝a 2
时，y 有最大值为a 24
－a 2－1
2
，
由题设可知a 24－a 2－1
2
＝1，
解得a ＝1－7，或a ＝1＋7(舍去)．
(3)当a 2>1，即a >2时，t ＝1时，y 有最大值为a 2－3
2
，
由题设可知a 2－3
2＝1，∴a ＝5.
综上可得a ＝1－7或a ＝5. 12．已知函数f (x )＝2cos(π
3
－2x )．
(1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，π4，求x 的值；
(2)求f (x )的单调增区间． 解：(1)根据题意cos(π3－2x )＝1
2，
因为π3－2x ＝2k π±π
3
(k ∈Z )，
而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，π4，故x ＝0.
(2)令2n π≤π
3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )，
解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π
6(其中n ∈Z )，
即k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )，
从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π
6
](k ∈Z )．。