垂径定理导学案-(2)
垂径定理自主学习导学案
D垂径定理【学习目标】1．理解圆的轴对称性；2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。
【学习重点】理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。
【学习难点】理解掌握垂径定理及其逆定理。
【学法指导】通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。
【学习过程】一、学前准备1．我们学过哪几种对称性？什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。
3．圆的有关概念。
（1）圆弧：（2）弦：M COAB 二、活动探究活动一：探究圆的对称性1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？2．结论：_______________________，_____________________________。
活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。
2．研究右图的对称性。
并说出在已知条件下， 可以发现哪些等量关系？并说明理由。
3．垂径定理：________________________________，________________________________。
用符号语言表述：4．巩固练习：（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。
（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。
活动三：探究垂径定理的逆定理1． 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M 。
浙教版数学九年级上册3.3《垂径定理(2)》参考教案2
3.3 垂径定理（2）教学目标:1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点:垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.教学方法：类比启发教学辅助：投影片教学过程:一、从学生原有的认知结构提出问题1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设结论指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题.二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.已知：在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.求证：CD⊥AB.分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，又因为CD是直径，所以原题可证.2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：(2)若选①④为题设，可得：以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出.最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影打出其它六个命题：3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三个命题，教师板书出垂径定理的推论1.推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.4.垂径定理的推论2.在上面图形的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(学生答)接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.三、应用举例，变式练习练习，填空：在⊙O中(1)若MN⊥AB，MN为直径；则，，；(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则，，；(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则，，；此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.例3 我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.02米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.23米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学习数学的兴趣.关于赵州桥的说明：赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.02米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.23米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.解题过程，参考课本.对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到.四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主要内容?在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形.指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线，在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.六、布置作业1.课内练习2.课本作业题教学反思:本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好.。
垂径定理 导学案
义务教育教科书（北师）九年级数学下册第三章 圆3.4《垂径定理》导学案学习目标1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
（重点）2.运用垂径定理及其逆定理解决问题。
（难点）学习任务一、预习导学1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？阅读教材，完成预习内容。
二、新知探究11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2、辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．结论：垂径定理__________________________________________________ O C D B A O C D E O C D B AO DB A C三、新知探究21、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2、辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：结论：垂径定理逆定理______________________________________.四、新知探究3例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD=600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m.求这段弯路的半径．五、 自学反馈1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所O C D B A O CD B A O C D B A 在圆的半径．（结果精确到0.1米）．2．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；（3）圆心在平行弦内．3、你的收获还有什么？本节课的疑惑？。
人教版九年级数学上册24.1.2垂径定理导学案2
第3课时 24.1.2 垂直于弦的直径（2）［学习目标］1．熟练掌握垂径定理及其推论；2．能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明 3、进一步应用垂径定理解决实际问题. ［学习流程］ 一、依标独学1．垂径定理： 2.推论： 3.如图1，O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 . 二、扣标展示活动1：垂径定理的实际应用怎样求p80赵州桥主桥拱半径？解：如图3，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心是点O ，半径为R .归纳：（1）如图4，半弦、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理可得 .（2）在弦长a 、弦心距d 、半径r 、弓形高h 中，知道其中任意两个，可求出其它两个.活动2 ：如图5，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．作法：三、扣标展示1. P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为______；•最长弦长为______．2. 如图8，P 为⊙O 的弦AB 上的点，P A =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．3. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道? 四、达标测评已知：如图11，,A B 是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，80AOD ∠=︒B 是AD 的中点．(1)在CD 上求作一点P ，使得AP PB ＋最短； (2)若4CD cm =，求AP PB ＋的最小值．五、课后反思RB A O（（（图5）BA（8）（9）。
《垂径定理》导学案 2022年最新word版
2.3 垂径定理一、知识点回忆：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。
2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。
3．圆的半径是4，那么弦长x的取值范围是_______________。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。
二、新知学习：〔一〕．学习目标：1-知识目标：掌握垂径定理2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题〔二〕．自学要求：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.符号语言：∵是⊙的直径又∵∴推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧符号语言：∵是⊙的直径又∵∴三、典型拓展例题：，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．如图，在⊙⊙的半径。
3．如图，在⊙中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.求证：四边形为正方形。
4．如以下列图，两个同心圆，大圆的弦交小圆于、。
求证：5．如以下列图，在⊙中，、是弦上的两点，且.求证：四、检测与反响：1．如图，在⊙中，是弦，于.⑴假设，，求的长；⑵假设，，求的长；⑶假设，，求⊙的半径；⑷假设，OA =10，求的长。
2．如图，在⊙中，是弦，为的中点，假设，到⊙的半径.3．⊙O的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。
五、畅所欲言对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
有一年狡猾的他对慢羊羊说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？〞慢羊羊一听觉得没有吃亏，就容许了。
浙教版初中数学九年级上册3.3《垂径定理(2)》导学案
浙教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！3.3 垂径定理（2）我预学1.什么是逆命题？原命题是真命题，则其逆命题一定是真命题吗？判断下列命题的逆命题的真假：①三角形的外角中至少有2个钝角；②对角钱垂直且相等的四边形是菱形；③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；④两个全等三角形的面积相等.2. 试写出垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”的条件与结论，并写出其逆命题.3. 阅读教材中的本节内容后回答：（1）为什么的定理1要有“不是直径”这个前提条件？你能举出反例吗？（2）本节的两课时内容涉及到①直径（经过圆心）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，你怎么理解这五者之间的关系？这些结论主要可用于证明或求什么？【我求助】预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理平分 .【我反思】通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1.下列命题中，正确的是（ ） A. 过弦的中点的直线必过圆心B. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧C. 弦的垂线平分弦所对的弧D. 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心2.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件.（写出两个）就可得M 是AB 的中点3.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB =2cm ，CD =4cm.以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD =90°，则圆心O 到弦AD 的距离是.4.△ABC 是直径为10cm 的⊙O 的内接等腰三角形，如果此等腰三角形的底边BC =8cm ，则该△ABC 的面积为 .D5.用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）.将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.求这种铁球的直径标准.6.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位时水面宽AB=60米，水面到拱顶距离CD=18米，当洪水泛滥，水面宽MN=32米时是否需要采取紧急措施？请说明理由（当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施）.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
垂径定理教案 (2)
，
让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
∴CD⊥AB，
（四）共同议一议：
看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。
1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，
命题1实质：条件（1）+（3）==>结论（2）（4）（5）
请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。
圆是轴对称图形，它还有哪些性质呢？
（三）
知识延伸
思维拓展
三、亲自证一证：
已知：CD是⊙O的直径，
AB是弦，AB⊥CD,猜想一下
会有那些等量关系。
你能用几何语言叙述本题的的含义吗？
垂径定理-----垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。（教师板书课题------22.3垂径定理）
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，
分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
浙教版九年级数学上册 3.3 垂径定理 教学设计 (2课时)
浙教版九年级数学上册 3.3 垂径定理教学设计 (2课时)
一、教学目标
1.理解什么是垂径定理；
2.掌握垂径定理的应用方法和解题思路；
3.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学内容
1.垂径定理的概念介绍；
2.垂径定理的常见应用。
三、教学过程
1. 导入 (5分钟)
教师出示一个图形，让学生观察图形并回答以下问题：
•这个图形有哪些特点？
•你能发现图形中有哪些直线？
•你能找出与某个直线相交的直线吗？
通过学生的回答，引导他们思考直线相交的性质，并引入垂径定理。
2. 讲解垂径定理的概念 (15分钟)
•通过示意图，讲解垂径的定义和性质；
•提示学生思考垂径的特点，并引导他们总结出垂径定理的基本内容。
3. 案例分析与解决 (40分钟)
•给出具体案例，让学生分析并解答相关问题；
•引导学生从图形角度、纵横坐标等不同角度入手思考问题，培养他们的分析能力；
•鼓励学生积极讨论，与同学合作解题；
4. 拓展应用 (35分钟)
•提供一些其他类型的垂径问题，让学生运用垂径定理解决；
•引导学生思考如何利用垂径定理解决更复杂的几何问题；
•鼓励学生提出自己的问题，并尝试解决。
四、教学反思
本节课使用了案例分析和问题导向的教学方法，帮助学生深入理解垂径定理的概念和应用。
在教学设计中，通过鼓励学生思考、讨论和合作解题，培养了他们的逻辑思维和分析问题的能力。
同时，通过拓展应用部分的设计，引导学生思考如何运用垂径定理解决更复杂的几何问题，激发了学生的求知欲和探究兴趣。
垂径定理导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）课型：新授课备课组：初三数学组主备人：吴丰华教研组长：唐善权【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】一．问题情境：赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，你知道赵州桥主桥拱的半径吗？今天我们将研究如何求出赵州桥主拱桥的半径。
二、新知导学（一）活动一：（动手折一折）用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折几次，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，是它的对称轴。
（二）活动二：（小组合作探究）你能证明活动一的结论吗？说说你的方法。
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明。
解：如图，（三）活动三：（再动手折一折）请同学们拿出自己手中的圆，任意画出⊙O的一条弦AB，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．请同学们沿着CD折叠⊙O，仔细观察并回答下列问题：（1）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
由上可知：直径CD平分弦AB,并且平分弧AB及弧ACB因此：我们得到下面的定理： 垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(四)深化理解：分析下列图形是否具备垂径定理的条件？能够利用垂径定理的几个基本图形：引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线、线段或射线。
垂径定理导学案
3.垂径定理一、复习引入：1.如图：AB 是⊙O______；CD 是⊙O______； ⊙O 中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
如：二、新知导学 （一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？ 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）探究二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：垂直于弦的直径_ ______，并且________ __________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M ∴____=_____，_____=______，_____=______。
(三) 探究三：用垂径定理解决问题已知：⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求：弦AB 的长归纳：圆中常用辅助线是作弦心距，构造Rt △.弦（a ）半径（r ）弦心距（d ），三个量关系为 。
三、巩固练习，拓展提高1．已知：为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则BC =____，AC =____ ；CE=______2. 已知：AB 为⊙O 的弦，AB=24cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm,求⊙O 的直径四、想一想，探究新知1.如图，⊙O 的直径AB 与CD垂直吗？AC 与BC 相等吗？2. 若把AB 向上平移到任意位置，变成非直径的弦，且被直径CD平分， 即：M 点是AB 中点，图中有CD ⊥AB ，AC =BC ，AD=BD垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。
北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理2》导学案
新北师大版九年级数学下册第三章?垂径定理2?导教案一、教课目的运用垂径定理及其逆定理解决问题．二、教课要点和难点要点：运用垂径定理及其逆定理解决问题．难点：运用垂径定理及其逆定理解决问题，以及应用时怎样增添协助线三、教课过程〔一〕复习回想：1.复述垂径定理和推论垂径定理 _____________________________________________________垂径定理的推论：______________________________________________________________2. 观点辨析：①垂直于弦的直线均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧.〔〕②均分弦所对的一条弧的直径必定均分这条弦所对的另一条弧. 〔〕③经过弦的中点的直径必定垂直于弦.〔〕④圆的两条平行弦所夹的弧相等.〔〕⑤弦的垂直均分线必定均分这条弦所对的弧.〔〕〔二〕典型例题例 1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧, 点 O是这段弧的圆心,AB=300m,C 是弧 AB上一点 ,OC⊥ AB, 垂足为 D,CD=45, 求这段弯路的半径。
解：连结 OA例 2：如图是两个齐心圆，AB 是大圆的弦，与小圆交于C、 D 两点，那么 AC=BD 试说明原因OAC D B第1页共3页例 3：如图，直径AB 与弦 CD 交于 E 点，且 E 是 CD 中点， CD=8, AE=2, 求直径 ABAC DEOB〔三〕、讲堂练习：1. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面以下列图，AB=16m，半径 OA=10m，那么中间柱 CD的高度为多少米？2. 在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面以下列图，假定油面宽AB=800mm，那么油的最大深度为多少mm？第2页共3页3.如图，某花园小区一圆形管道破碎，维修工准备改换一段新管道，此刻量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，那么维修工应准备内直径是多少cm 的管道？4. 如图是一单位拟建的大门表示图，上部是一段直径为10 米的圆弧形，下部是矩形ABCD，此中AB=3.7 米， BC=6 米，那么弧 AD 的中点到 BC 的距离是多少米？5.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度 (AB) 为 16 米，拱高 (CD)为 4 米，求：⑴桥拱半径⑵假定大雨事后，桥下河面宽度 (EF) 为 12 米，求水面涨高了多少？CE FMA BDO第3页共3页。
24.1.2垂径定理导学案
24.1.2垂直于弦的直径学习目标：理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及其推论；学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算。
自主学习： 1.回顾：（1）圆的集合定义；（2）连结圆上任意两点的线段叫圆的______，圆上两点间的部分叫做_______，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。
2．阅读教材82页有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？ 3. 阅读教材81页“探究”内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD,使CD ⊥AB ，垂足为E ； 第三步，将⊙O 沿着直径折叠. 你发现了什么？ 归纳：（1）图1是对称图形，对称轴是.（2）相等的线段有，相等的弧有. 合作探究：探究一：用纸剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是____________，任何一条是圆的对称轴。
探究二：已知：如图1，在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，且CD ⊥AB 垂足为E ，求证：AE=BE ，=，=结论（垂径定理）。
符号语言： ∵，， ∴，，探究三：如图2，⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，AB ，CD 交于点E ，且AE=BE. （1）CD ⊥AB 吗？为什么？（2）还有其他结论成立吗？（3）如图3，若弦AB 过圆心O ，上述结论还成立吗？推论：平分弦（）的直径垂直于弦， 并且 符号语言∵，∴，，综合：对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
AC BCAD BD图1C DD 图2 图3例1 辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？例2 （1）已知：如图4，在⊙O 中，弦AB=8，O 到AB 的距离等于3，则⊙O 的半径为； （2）已知：如图4，若半径OA=10，弦心距OE=6，则弦AB 的长为；（3）已知：如图5，若弦AB=8cm ，直径CD ⊥AB 于E ，DE=2cm ，则⊙O 的半径为例3（1）已知，如图6，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点，求证：AC=BD（2）已知，如图7，⊙O 的两条弦AB ∥CD，求证:=例4 教材例题怎样求赵州桥主桥拱半径？(1) （2） （3） （4） （5）AC BD 图4图5 图7（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
九年级数学上册33垂径定理2导学案
班级姓名 教学目标：1、经历探索垂径定理的逆定理的过程；2、掌握定理“平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧〞及定理 “平分弧的直径平分弧所对的弦〞。
3、会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题。
教学重难点：重点：垂径定理的逆定理。
难点：例3的问题情境较为复杂是难点 一、学法指导1、 通过画图操作，学习垂径定理的逆定理，并加以理解2、 通过例3的学习，加强对垂径定理的理解、应用。
二、课前学习1、如图⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，弦心距为1， 求弦AB 的长。
2、如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，且AB=32，P 为AB 的中点，求OP 的长。
三、探索新知师：(1)假设CD 为直径，EB EA =是否能推出AB CD ⊥，AC=BC，AD=BD (2)假设CD 为直径， AC=BC ，AD=BD 是否能推出AB CD ⊥，EB EA =下面就〔1〕给出证明：如图，⊙O 的直径交弦AB 〔不是直径〕于点P ，AP=BP 。
求证：AB CD ⊥，AC=BC ，AD=BD 。
第〔2〕题的证明，留给同学们自己去证明 2、得出定理1： 定理2：强调：AB CD ⊥的前提条件下，其余三个条件有一个成立，都能得到其余两个条件。
四、范例讲解 例3〔题略〕 ☆例题解析：〔1〕学生仔细阅读题目，理解什么是跨径、拱高，并画出草图。
〔2〕要想求得桥拱半径，关键在于〔构造直角三角形〕 〔3〕对造草图，有哪些线段的长是的〔4〕在OAD RT ∆中，AD 的长是多少为什么OD 的长应怎样用关于R 的代数式表示 〔5〕怎样利用勾股定理列出关于未知数R 的方程 五、自学检测完成书本67页课内练习和书本68页作业题 六、当堂检测1.给出以下命题： (l )垂直于弦的直线平分弦； (2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3 )平分弦的直线必过圆心； (4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
数学人教版九年级上册24.1.2垂径定理 导学案
新人教版义务教育教科书九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》导学案一、学习目标:1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论。
2、学会运用垂径定理及其推论解决计算，证明和作图问题。
二、预习内容（自学课本81页至83页）复习：1、什么叫做轴对称图形？把一个平面图形沿一条直线______，直线两旁的部分能够互相_________，这个图形就叫做轴对称图形。
圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？2、什么叫等弧？在同圆或等圆中，能够互相______的弧叫做等弧。
三、探究学习活动一：自主探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是___________图形，_________________________是它的对称轴．活动二：小组合作交流（要求：小组每个成员积极发言，记录员填写，每组派一名同学汇报）1、做一做：在⊙O上作的一条弦AB，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？答：_______________________________________________________（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？答：相等的线段：______=_____相等的弧：______=______________=________证明：（方法1）如图，连接OA、OB ，则OA=OB在Rt△OAE和Rt△OBE中，（方法2）：连接OA、OB ，则OA=___∴△OAB是______三角形∴Rt△OAE≌Rt△OBE（）又AB CD∴AE= ∴AE =____(等腰三角形“三线合一”) ∴点和点关于CD对称∵⊙O关于CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合,弧AC与BC重合，AD与CD重合．∴，，2、进一步，我们还可以得到垂径定理推论：四、巩固测评1、2、3题（看课件直接说出答案）4、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．5、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1，AB=10，求半径的长6、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？五、学习心得 _ _____________________________________________________________________________． · OAB EC DO。
初中数学 导学案2：垂径定理 市赛一等奖
垂径定理（2）
学习目标：1、能初步应用垂径定理进行计算和证明．
2、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力
重点：应用垂径定理进行计算和证明
难点：垂径定理进行计算和证明
学习过程
一、复习引入
垂径定理：
推论：
如图在⊙O中，
（1）若CD是直径，CD⊥AB，则：、、
（2）若CD是直径，AB 不是直径，AE=EB，则：、、
（3）若CD是直径，= ，则：、、
（4）若 = ， = ，则：、、
（5）若CD⊥AB，AE=EB，则：、、
例1：已知：如图7-11，在以O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．
二、习题频道
1. 初试能力
（1）已知如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,
垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有
图中相等的劣弧有。
（2）已知：⊙O的半径为5，弦AB长为8，直径CD垂直于弦AB，求：
CE和DE的长.
2.能力提高
（1）在半径为5cm的圆内由两条互相平行的弦，一条弦长8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为．
（2) 已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．。
华师版数学九年级下册27 第2课时 垂径定理导学案精品
27.2圆的对称性物以类聚，人以群分。
《易经》原创不容易，【关注】，不迷路！2.圆的对称性第2课时垂径定理学习目标：1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）自主学习一、知识链接1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________.2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴AD=_______.二、新知预习（预习课本P39-40）填空并完成练习：(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧.(3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦.练习：（1）如图，⊙O中，若OD⊥AB于点C，OB=13，AB=24，则BC的长为，OC的长为.（2）如图，⊙O中，若C为AB的中点，OC=5，OB=13，则BC的长为，AB的长为.（3）如图，⊙O中，若D为弧AB的中点，AB=24，OC=5，则OB的长为.合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，AD和BD，AC和BC，你有什么发现？请证明你的结论.【要点归纳】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AC BC=，AD BD=.想一想下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）（2）（3）（4）归纳总结：垂径定理的几个基本图形【典例精析】OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件.思考探索如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？命题如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么?【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧.命题2如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为AB的中点.(1)CD⊥AB吗？请说明理由；(2)AE=BE吗？请说明理由.【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.【典例精析】例2已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC BD.法一：证明：作直径M⊥AB.方法二：证明：取AB的中点M，连结OM.探究点2：垂径定理的实际应用例3如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ，CD =10，EM =25求⊙O 的半径．【方法归纳】在圆中涉及弦长a ，半径r ，弦心距(圆心到弦的距离)d ，弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、课堂小结 垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论 一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”). 辅助线两条辅助线：半径，弦心距. 基本图形及变式图形构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解.当堂检测1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC =5cm ，CD =8cm ，则OE =____cm.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm.3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________.4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长.5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径.6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．参考答案自主学习一、知识链接1.轴直径所在的直线2.OB 等腰BE ∠BOD BD二、新知预习（1）平分平分（2）垂直于平分（3）垂直平分练习：（1）125（2）1224（3）13合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做：1.AE =BE ，AD BD =，AC BC =证明如下：∵OA =OB ，OD ⊥AB ，∴AE =BE ，∠AOD =∠BOD ，∴AD BD =.∵CAD CBD =，∴CAD AD CBD BD -=-，∴AC BC =.想一想：解：（1）是.(2)不是，因为没有垂直.(3)是.（4）不是，因为CD 没有过圆心.【针对训练】解:连结OA ，∵CE ⊥AB 于点D ，∴1184(cm).22AD AB ==⨯=设OC =x ，则OD =x -2，根据勾股定理，得x 2=42+(x -2)2，解得x =5cm.即半径OC 的长为5cm.思考探索命题1解：（1）CD ⊥AB .连结AO 、BO ，则AO =BO ，又AE =BE ，OE =OE ,∴△AOE ≌△BOE ，∴∠AEO =∠BEO =90°，∴CD ⊥AB .（2）由垂径定理可得AC =BC ，AD =BD . 命题2解：（1）CD ⊥AB ，理由如下：∵D 为AB 的中点，∴AD BD =，∴∠AOB =∠BOD .即OD 平分∠AOB .∵OA =OB ，∴OD ⊥AB ，即CD ⊥AB .（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA =OB ，OD ⊥AB ，则AE =BE .【典例精析】,AM BM CM DM ==（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴,AM CM BM DM -=-∴AC BD =.方法二：证明：取AB 的中点M ，连结OM .∴OM ⊥AB ，.AM BM =∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∴CM DM =，∴,AM CM BM DM -=-∴AC BD =.探究点2：垂径定理的实际应用据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连结OA 、OD ．根据垂径定理，得AD =6，设圆的半径是r ，则OD =r -4.根据勾股定理，得r 2=36+（r -4）2，解得r =6.5， 答：拱桥的半径是6.5米．【针对训练】解：连结OC ，∵M 是弦CD 的中点，EM 过圆心O ，∴EM ⊥CD ．∴CM =MD ．∵CD =10，∴CM =5．设OC =x ，则OM =25-x ，在Rt △COM 中，根据勾股定理，得52+（25-x ）2=x 2．解得 x =13．∴⊙O 的半径为13．当堂检测1. 32.53.24.解：连结OB ，∵AO ⊥BC ，垂足为D ，BC =4，∴BD =CD =2，∠BDO =90°.=5.解：（1）画出弦CD ，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5．6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O于点E，则AD=BD=12AB=12×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=173cm，∴输水管的半径为173cm．【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
九年级数学上 垂径定理(2)教案人教版.doc
（1）如上图，若弦CD垂直平分另一条弦AB，则是否可以根据圆的对称性得到，BC是圆的直径？且CD是否平分弦所对优弧和劣弧？
（2）如果条件为CD平分AB所对的优弧和劣弧，则CD是直径吗？CD平分且垂直于弦AB吗？
（3）根据“知二得三”规律，你还能变化出其它推论吗？它们是否都成立？
（2）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”
垂径定理在生活中的应用
如图，你能用什么方法确定这个残缺的圆的圆心？
教师出示问题，并引导学生利用垂径定理的推论来解决。
教师引导学生画出图形，考虑两种位置关系，利用勾股定理解决计算问题。
（4）观察和思考若直线CD具备了以下五个条件中的两个，是否都可以得到其它三个结论？①过圆心（即CD是直径）②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。
（5）你能总结和概括“知二得三”意义吗？
结合刚才得出的问题，教师引导学生利用圆的对称性来解决问题1。
可以继续利用对称性来解释问题2。
教师循序渐进提出问题3，引导学生进行思考。
3.如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。
问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。
问题2由学生思考后进行总结和体会。
问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。
合作交流探究新知
板书设计
教学反思
垂径定理(第2课时)
课题
垂径定理(第2课时)
备课时间
2009-8-9
课型
习题提高课
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（2）垂直于弦的直径自学案
课型：新课 主备人：吴剑红 学生姓名： 家长签字： 【教学目标】
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题 ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段. 【教学重点】垂径定理及其应用 【教学难点】垂径定理的证明 【教学方法】探究发现法 【教学设计】
一、【情景创设】
1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。
因它位于现在的历史文化名城河北省赵
县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
（图1）
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，）为米。
请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
二、【自主探究】
活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论
可以发现
活动二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． 你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么 线段 弧 理由：如图
我们把这个结论称为
探索发现：垂径定理三种语言
(一)图形：
(二)文字： (三).符号：如图，∵
∴
抢答：
1、如上图，已知CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥ CD 于E ，AB=8，则AE= , BE= ⌒ ⌒ AD= ，AC=_____
2、判断下列图形，能否使用垂径定理
活动三：应用定理计算
1、如图，在⊙O 中弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离OE=3cm ，求⊙O 的半径。
【变式1】如上图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OE 的长为3，则弦AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
【变式2】如图，已知⊙O 的半径为13mm ，弦AB=10mm ，则 圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．3 mm B ．4 mm C ． 12 mm D ． 5 mm
【变式3】半径为4cm 的⊙O 中，弦AB=4cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 。
【变式4】 如图，⊙O 的半径OC 为6cm ，弦AB 垂直平分OC ，则弦AB 的长是 。
【变式5】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的 直径为（ ）
O
C D B A O C
D B A O C D B A O C
D E O A
B
C
D
E
小结：（1）对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高h ，这四个量中，存在以下常用关系，如图有：
·A
B
O C
D
（2）解决有关圆的计算问题时，
三、【合作探究】
活动四：例题详解
2、赵州桥的桥拱呈圆弧形（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37m ，拱高（弧的中点到弦
AB 的距离，也叫弓高）为。
请问：桥拱的半径是多少（结果保留小数点后一位））
已知： 求： 解：
四、【交流展示】
活动五：应用定理证明
3、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，求证：AC ＝BD
小结：解决圆的有关证明问题时，
五、【巩固小结】
我发现了…… 我学会了……
我的体会是…… 我的困难是……
六、【课后提升】
1、课本P89习题
2、8、9、12做在家作本上。
2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。
如果具备
（1）是直径（过圆心）（2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗 3、小组活动：到网上百度一些有关于圆拱桥的知识。
【当堂检测】
1、在⊙O 中，若CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，则下列结论不正确的是（ ） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A 、AC=AD
B 、BC=BD
C 、AM=OM
D 、CM=DM
2、已知⊙O 的直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，OM=3，则CD= .
3、在⊙O 中，CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O 的半径是
4、已知：在⊙O 中，AC,AB 为互相垂直的两条相等的弦，OD ⊥AB, OE ⊥AC 求证：四边形ADOE 为正方形。
证明：
O B
C
A
E D。