垂径定理导学案-(2)

B A D

C 弓弓弓 弓←→

（2）垂直于弦的直径自学案

课型：新课 主备人：吴剑红 学生姓名： 家长签字： 【教学目标】

①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题 ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段. 【教学重点】垂径定理及其应用 【教学难点】垂径定理的证明 【教学方法】探究发现法 【教学设计】

一、【情景创设】

1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵

县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

（图1）

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

二、【自主探究】

活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论

可以发现

活动二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． 你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么 线段 弧 理由：如图

我们把这个结论称为

探索发现：垂径定理三种语言

(一)图形：

(二)文字： (三).符号：如图，∵

∴

抢答：

1、如上图，已知CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥ CD 于E ，AB=8，则AE= , BE= ⌒ ⌒ AD= ，AC=_____

2、判断下列图形，能否使用垂径定理

活动三：应用定理计算

1、如图，在⊙O 中弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离OE=3cm ，求⊙O 的半径。

【变式1】如上图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OE 的长为3，则弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

【变式2】如图，已知⊙O 的半径为13mm ，弦AB=10mm ，则 圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．3 mm B ．4 mm C ． 12 mm D ． 5 mm

【变式3】半径为4cm 的⊙O 中，弦AB=4cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 。 【变式4】 如图，⊙O 的半径OC 为6cm ，弦AB 垂直平分OC ，则弦AB 的长是 。

【变式5】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的 直径为（ ）

O

C D B A O C

D B A O C D B A O C

D E O A

B

C

D

E

小结：（1）对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高h ，这四个量中，存在以下常用关系，如图有：

·A

B

O C

D

（2）解决有关圆的计算问题时，

三、【合作探究】

活动四：例题详解

2、赵州桥的桥拱呈圆弧形（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37m ，拱高（弧的中点到弦

AB 的距离，也叫弓高）为。请问：桥拱的半径是多少（结果保留小数点后一位））

已知： 求： 解：

四、【交流展示】

活动五：应用定理证明

3、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，求证：AC ＝BD

小结：解决圆的有关证明问题时，

五、【巩固小结】

我发现了…… 我学会了……

我的体会是…… 我的困难是……

六、【课后提升】

1、课本P89习题

2、8、9、12做在家作本上。 2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。如果具备

（1）是直径（过圆心）（2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗 3、小组活动：到网上百度一些有关于圆拱桥的知识。

【当堂检测】

1、在⊙O 中，若CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，则下列结论不正确的是（ ） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

A 、AC=AD

B 、BC=BD

C 、AM=OM

D 、CM=DM

2、已知⊙O 的直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，OM=3，则CD= .

3、在⊙O 中，CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O 的半径是

4、已知：在⊙O 中，AC,AB 为互相垂直的两条相等的弦，OD ⊥AB, OE ⊥AC 求证：四边形ADOE 为正方形。

证明：

O B

C

A

E D