山西省忻州市第一中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题

山西省忻州市第一中学【最新】高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2M x x =<,{}260,N x x x x Z =--<∈,则MN =（ ） A ．()2,2- B ．()2,3- C ．{}1,0,1- D ．1,0,1,2 2．某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时,第一次经计算()00f <,()0.50f >,可得其中一个零点0x ∈________,第二次应计算________,以上横线应填的内容为( ) A ．()()0,0.5,0.25fB ．()()0,1,0.25fC ．()()0.5,1,0.25fD ．()()0,0.5,0.125f4．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是 ( )A ．8B ．7C ．6D ．55．已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时，1()ln1f x x=-，则函数()f x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩在R 上单调,则a 的取值范围为( )A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．()1,+∞C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞ 7．设偶函数()f x 满足()()240x f x x =-≥,则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为( )A ．()0,4B ．()()0,24,+∞C ．()(),04,-∞+∞D ．()[),04,-∞+∞ 8．若函数()24f x x ax =-++有两零点,一个大于2,另一个小于1-,则a 的取值范围是( )A ．()0,3B ．[]0,3C ．()3,0-D ．()(),03,-∞+∞9．执行如图所示的程序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是( )A ．6?k ≤B ．7?k ≤C ．8?k ≤D ．9?k ≤10．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()()g x f x a =-,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 11．已知()f x 为定义在R 上的奇函数,()()g x f x x =-,且当(),0x ∈-∞时,()g x 单调递增,则不等式()()ln 1f x x f +-ln 1x x >+-的解集为( )A ．[),e +∞B ．(),e +∞C ．[)1,+∞D ．()1,+∞12．函数()f x 的定义域为D ，若满足：(1)()f x 在D 内是单调函数；(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“梦想函数”.若函数()()log x a f x a t =+ ()0,1a a >≠是“梦想函数”，则t 的取值范围是( )A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．()8521转化为十进制是__________.14．函数()f x x =__________.15．函数()22log 412y x x =-++的单调递减区间是__________.16．已知函数32,0,(),2,0x x f x t x x t x ⎧=∈⎨-++<⎩R ，若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为_______ .三、解答题17．已知集合{}211600A x x x =--≤,{}133B x m x m =-≤≤+,若()A B A ⊆,求实数m 的取值范围.18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．已知22()log 1f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，且113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R a ∈. （1）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由;（2）若()131mf -<<,求实数m 的取值范围. 20．已知函数()()()2log 424,x x f x b g x x =+⋅+=.（1）当5b =-时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围.21．已知定义域为R 的函数()221g x x x m =-++在[]1,2上有最大值1,设()()g x f x x=. （1）求m 的值;（2）若不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[)9,x ∈+∞上恒成立,求实数k 的取值范围. 22．已知()()213f x x =--.（1）若函数()()g x f x a =-有三个零点,求实数a 的值；（2）若对任意[]1,1x ∈-,均有()2220x k x f --≤恒成立,求实数k 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】化简集合,M N ,根据交集定义,即可求得答案.【详解】 {}2M x x =<{}22M x x ∴=-<< 又 {}260,N x x x x Z =--<∈化简可得()(){}320,N x x x x Z =-+<∈ ∴ {}1,0,1,2N =-∴ {}1,0,1M N ⋂=-故选:C.【点睛】本题考查了求集合的交集,解题关键是掌握交集的定义和一元二次不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.2．B【解析】 试题分析：男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=，故选B. 考点：分层抽样.【方法点晴】本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力． 3．A【分析】根据零点存在定理可知,当()f x 在定义域内是连续不断的,当()()00.50f f ⋅<,则在()0,0.5存在零点,结合二分法规则,即可求得答案.【详解】根据零点存在定理可知,当()f x 在定义域内是连续不断的, ()()00.50f f ⋅<∴ ()0,0.5存在零点结合二分法规则可知, 第二次运算应该求()0.25f故选:A.【点睛】本题判断在指定区间是否存在零点,解题关键是掌握零点存在定理和二分法求解零点的步骤,考查了分析能力,属于基础题.4．C【解析】当0,1S i ==，则第一次运行2011,112S i =⨯+==+=；第二次运行，2124,3S i =⨯+==；第三次运行，24311,4S i =⨯+==；第四次运行，211426,5S i =⨯+==；第五次运行，226557,6S i =⨯+==，因为5750>，终止循环，故输出6i =，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．D【解析】当0x >时，0x -<，所以1()ln ln(1)1f x x x-==-++，所以()()ln(1)f x f x x =--=+，其图象是将()ln f x x =的图象向左平移一个单位，由于()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故选D.点睛：本题考查了函数的图象的判断，属于基础题；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，利用函数的奇偶性求函数的解析式，本着“求在哪个区间内的解析式，设x 属于该区间”，结合已知区间及奇偶性可得函数解析式.6．A【分析】因为()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩在R 上单调,当1x ≤时,()f x x a =-+是单调递减函数,可得()f x 在R 上是单调递减函数,即可求得答案.【详解】()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩又 当1x ≤时,()f x x a =-+是单调递减函数∴ ()f x 在R 上是单调递减函数根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得:∴ ()01log 131a a a a <<⎧⎨-≤-+⎩ 解得:1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选:A.【点睛】本题考查了根据分段函数单调性来求参数范围,解题关键是掌握在求解分段函数的单调性时,即要保证每段函数上单调,也要保证在分界点上单调,通过联立不等式组来求解参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.7．C【分析】因为偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥,可知()f x 在0x ≥是单调递增,根据偶函数性质可得()()22f a f a -=-,即可求得答案.【详解】偶函数()f x 满足()()240x f x x =-≥, ∴可知()f x 在0x ≥是单调递增()()240xf x x =-≥ ∴ ()22240=-=f∴ ()20f a ->,即()()22f a f ->根据偶函数性质可得()()22f a f a -=-, ∴ ()()22f a f -> 故22a ->,解得:22a ->或22a -<-即4a >或0a <故选:C.【点睛】本题考查了根据偶函数的单调性求解函数不等式,解题关键是掌握偶函数性质()()f x f x =和偶函数图像特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．A【分析】因为函数()24f x x ax =-++有两零点,一个大于2,另一个小于1-,根据二次函数图像可得:()()120,0f f >->,即可求得答案.【详解】()24f x x ax =-++有两零点,一个大于2,另一个小于1- 可得:()()2010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩ ,即:()()2222401140a a ⎧-+⋅+>⎪⎨--+⋅-+>⎪⎩ 解得:0<<3a故选:A.【点睛】本考查了根据二次函数零点范围求参数范围问题,解题关键是掌握零点定义和二次函数图像特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．B【分析】根据框图,进行循环计算,当3s =时,即可退出,进而求得判断框内应填入的条件.【详解】当222,1log (3)log (3)k S ==⋅=当233,log (3)log (4)k S ==⋅当3424,log (3)log (4)log (5)k S ==⋅当32455,log (3)log (4)log (5)log (6)k S ==⋅当234566,log (3)log (4)log (5)log (6)log (7)k S ==⋅当23456727,log (3)log (4)log (5)log (6)log (7)log (8)=log (8)3k S ==⋅=故可知判断框内应填入的条件是:7?k ≤故选:B.【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件,解题关键是掌握根据框图计算的方法和对数运算法则,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.10．C【分析】画出(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩函数图像, ()()g x f x a =-,若()g x 存在2个零点,即()f x a =,可看作()f x 与y a =有2交点,即可求得答案.【详解】画出(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩函数图像,求()()g x f x a =-,若()g x 存在2个零点,即()f x a =有2个解,∴ 可看作()f x 图像与y a =图像有2交点由函数图像可知当1a >时()f x 图像与y a =图像有2交点∴ 1a >故选:C.【点睛】本题考查了根据零点个数求参范围问题,解题关键是画出分段函数图像和掌握对数图像,指数图像,数形结合,考查了分析能力,属于中档题.11．D【分析】()f x 为定义在R 上的奇函数, 根据奇函数定义可知()()g x f x x =-也是奇函数, 当(),0x ∈-∞时,()g x 单调递增,根据奇函数图像关于原点对称可知,()g x 是单调增函数,即可求得答案.【详解】()f x 为定义在R 上的奇函数又 ()()g x f x x =-∴ ()()()g x f x x g x -=-+=-∴ ()()g x f x x =-是奇函数当(),0x ∈-∞时,()g x 单调递增根据奇函数图像关于原点对称可知:()g x 是定义在R 单调增函数()()ln 1ln 1f x x f x x +->+-可化简为:()()ln ln 11f x x x x f +-+>- 即()()1ln g x g x +>()g x 是定义在R 单调增函数可得ln 1x x +>,即ln 1x x >-在同一坐标系中画出ln y x =和1y x =-图像:又图像可知当1x >,ln 1x x >-∴ 1x >时()()ln ln 11f x x x x f +-+>-故选: D.【点睛】本题利用函数单调性解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉"f ",转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.12．A【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为22log log m a n a a t ma t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，等价转化为20x x a a t --=有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.【详解】因为函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“梦想函数”，所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的.所以22log log m a n a a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，即22mm n n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ∴20x x a a t --=有2个不等的正实数根，令2xw a = 即20w w t --=有两个不等正根，∴140t ∆=+>且两根之积等于0t ->， 解得104t -<<. 故选：A.【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.13．337【分析】根据八进制转化为十进制公式,即可求得答案.【详解】根据八进制转化为十进制公式()8521对应的十进制数为:2158281337⨯+⨯+=∴ ()8521转化为十进制是337故答案为:337.【点睛】本题考查了将八进制数转化为十进制数,解题关键是掌握八进制转化为十进制公式,考查了计算能力,属于基础题.14．17,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】因为()f x x =+利用换元法,令()0t t =≥,则24x t =-,()24f x t t =-+,即可求得答案.【详解】()f x x =令()0t t =≥,则24x t =-,∴ ()24f x t t =-+,()0t ≥∴ ()22117424f x t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,()0t ≥ 根据二次函数图像可知:()174f x ≤∴函数()f x x =:17,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为: 17,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了求函数的值域,解题关键是掌握换元法求值域的解法,使用换元法要注意求出引入变量的范围,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15．[)2,6【分析】根据复合函数单调性:同增异减,即可求得函数()22log 412y x x =-++的单调递减区间.【详解】2log y x =是单调增函数,要保证函数()22log 412y x x =-++的单调递减根据复合函数单调性: 同增异减需内层函数2412y x x =-++单调递减,且24120x x -++> ∴ 224120x x x ≥⎧⎨-++>⎩即()()2620x x x ≥⎧⎨-+<⎩解得:26x ≤<故答案为:[)2,6.【点睛】本题考查了求解复合函数单调区间,解题关键是掌握复合函数单调性:同增异减,求单调区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 16．[16,0)-【分析】若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，令()m f x =，即(2)0f m -=，讨论2m =或(02)s s ≤<，由0s =求得t ，结合图象进而得到答案.【详解】函数32,0()2,0x x f x x x t x ≥⎧=⎨-++<⎩，当0x <时，3()2f x x x t =-++的导数为22'()323()3f x x x x x =-+=--， 所以'()0f x <在0x <时恒成立，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，可令()(()2)0g x f f x =-=，再令()m f x =，即有(2)0f m -=，当0t ≥时，(2)0f m -=，只有2m =，()0g x =只有两解；当0t <时，(2)0f m -=有两解，可得2m =或(02)s s ≤<，由()2f x =和()f x s =各有两解，共4解，有(2)0f -≥，解得16t ≥-，可得t 的范围是：[16,0)-，故答案是：[16,0)-.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.17．4m ≤【分析】 化简{}211600A x x x =--≤,可得[]4,15A =-,根据()A B A ⊆,可得B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可求得答案.【详解】 {}211600A x x x =--≤可解得[]4,15A =-,()A B A ⊆∴B A ⊆当B =∅时,133m m ->+,得2m <-.满足题意.当B ≠∅时,要使B A ⊆,则应有133143315m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得:24m -≤≤.综上所述,m 的取值范围为4m ≤.【点睛】本题考查了集合的子集运算,解题关键是掌握将()A B A ⊆转化为B A ⊆,通过分类讨论求的参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18．（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为2153 ；（3）10 【分析】（1）根据频率之和为1，直接列式计算即可；（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率，再求和；众数指频率最大的一组的中间值；中位数两端的小长方形面积之和均为0.5；（3）根据题意分别求出[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90的人数，即可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得：()1020.020.030.041a ⨯+++=, 0.005.a ∴=（2）平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073.⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）众数为65分.中位数为()0.50.005100.041021570.0.033-⨯+⨯+=（分） （3）数学成绩在[)50,60的人数为1000.055⨯=，在[)50,60的人数为1000.055⨯=， 在[)60,70的人数为11000.4202⨯⨯=， 在[)70,80的人数为41000.3403⨯⨯=，在[)80,90的人数为51000.2254⨯⨯=， 所以数学成绩在[)50,90之外的人数为100-5-20-40-25=10.【点睛】本题主要考查样本估计总体，由题中频率分布直方图，结合平均数、中位数等概念，即可求解，属于基础题型.19．()f x 为奇函数，理由见解析；（2）(,1)-∞-.【分析】（1）由113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得a 求得解析式，再利用奇偶性定义判断（2）先确定函数的单调性，再解不等式即可【详解】（1）∵213log 132f a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1a =， ∴2221()log 1log 11x f x x x -⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 由101x x->+得函数()f x 的定义域为()1,1-, ∵2211()log log ()11x x f x f x x x+--==-=--+,∴()f x 为奇函数； （2）由（1）得22()log 11f x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭,且()f x 为奇函数， ∵211y x=-+在()1,1-上是减函数，∴()f x 在()1,1-上是减函数， ∵()f x 为奇函数，∴11133f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()131m f -<<，∴11333m -<<，∴1m <-， ∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性和奇偶性的判断与证明，熟记一般初等函数的单调性是关键．20．（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）；（2）(3,)-+∞【分析】（1）把5b =-代入解析式并化简()()2log 4524x x f x =-⋅+，从而可得45240x x -⋅+>，从而求出定义域．（2）由()()f x g x >得4242x x x b +⋅+>，从而可得41(2)2x x b >-+， 令4()1(2)2x x h x =-+从而化为最值问题． 【详解】 （1）当5b =-时，()()2log 4524x x f x =-⋅+，则45240x x -⋅+>，故0x <或2x >， 所以函数的定义域为{0x x <或}2x >．（2）()()2log 424x x f x b =+⋅+，()g x x =，∴由()()f x g x >得4242x x x b +⋅+>，即41(2)2x x b >-+，令4()1(2)2x x h x =-+， 则()3h x ≤-，当3b >-时，()()f x g x >恒成立，故实数b 的取值范围为(3,)-+∞【点睛】本题考查了函数的定义域的求法以及恒成立问题，注意“分离参数法”求参数的取值范围． 21．（1）0（2）18k ≤. 【分析】（1）因为函数()221g x x x m =-++,可得()()21g x x m =-+,根据二次函数图像可知: ()g x 在[]1,2上是增函数,即可求得答案;（2）因为()12f x x x=+-,设3log x t =,由9x ≥得2t ≥,则原题等价于1220t k t t+--⋅≥在2t ≥上恒成立,即可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1） 函数()221g x x x m =-++ 可得()()21g x x m =-+根据二次函数图像可知:()g x 在[]1,2上是增函数,()()max 21g x g ∴==,解得0m =.（2）()12f x x x=+-, 设3log x t =,由9x ≥得2t ≥, 则原题等价于1220t k t t+--⋅≥在2t ≥上恒成立, 即1122k t t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭211t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设1s t =,10,2s ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,()()21g s s =-, 函数()()21g s s =-在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数, ()min 1124g s g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭, 124k ∴≤得18k ≤. 【点睛】本题考查了根据函数最值求参数和在指定区间函数不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握通过参数分离法,使问题转化为不等式恒成立的问题,考查了分析能力和计算能力,属于难题.22．（1）9（2）4k ≥.【分析】（1）因为()()22213g x x a -=----()()213x a g x =---=,所以()g x 关于直线1x =对称,结合()g x 有奇数个零点,即可求得答案;（2）设2xt =,由[]1,1x ∈-得1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,原不等式可变为()22213k t t --≤,分别讨论1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和[]1,2t ∈两种情况,即可求得答案. 【详解】（1） ()()22213g x x a -=----()()213x a g x =---=, ()g x ∴关于直线1x =对称.又()g x 有奇数个零点,()10g ∴=,得9a =.当9a =时,由()0g x =可解得1x =或5x =-或7x =满足题意,9a ∴=.（2）设2x t =,由[]1,1x ∈-得1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 原不等式可变为()22213kt t --≤. ①当1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()2222k t t +≤即222kt t+≤, 可得:2222k t t ≥+, ()2max 23t t +=223k∴≥,得22log 3k ≥②当[]1,2t ∈时,()2224k t t -≤ 即224kt t-≤, 也即2224kt t ≥-+, ()2max 44tt -+= 224k∴≥,得4k ≥ 综上所述:k 的取值范围为4k ≥.【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数取值范围和根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握在处理函数不等式恒成立,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,考查了分析能力和计算能力.。